CC BY
36
МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
УДК 621.822
УЧЕТ РАДИАЛЬНОГО ЗАЗОРА В РОЛИКОВЫХ ОПОРАХ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ НАГРУЖЕННОСТИ
Ф.Г. Нахатакян, Д.Ф. Нахатакян
На основе ранее предложенного автором метода изложено аналитическое определение жесткости роликовых подшипников при наличии в них радиального зазора. Для решения задачи предварительно аналитически определены параметры при отсутствии зазоров-натягов в подшипнике: распределение нагрузки по телам качения; максимальная нагрузка на ролик; перемещения в подшипниках и количество нагруженных роликов. Далее все указанные параметры определены при наличии зазоров в подшипнике. Для удобства расчетов все указанные параметры представлены также в безразмерном виде. С помощью полученных формул построены графики зависимостей указанных параметров от величины зазора.
Ключевые слова: радиальный зазор; роликовые опоры; тела качения; распределение нагрузки; максимальная нагрузка; подшипники качения; максимальное смещение.
При расчете нагруженности и прочности опор качения необходимы знания максимальной нагрузки на одном из ее элементов и жесткость подшипника, а также распределение нагрузки по телам качения [1, 2]. В соответствии с существующими рекомендациями [3] принимается, что в роликовом подшипнике, работающем под радиальной нагрузкой, максимальная сила определяется Р0=к^г/2, где при условии 2 = 10^20, коэффициент £=4,0 если зазор в подшипнике равен нулю, и к=4,6 при зазоре больше нуля. Здесь ¥х -радиальная сила в подшипнике, 2 - количество роликов в нем. Очевидно, что чем больше зазор, тем больше неравномерность распределения нагрузки между телами качения.
Точное решение задачи сводится к решению системы двух уравнений: совместности деформаций, зазоров и перемещений
Ж= а1 - 51 , /=0, 1, 2, ... N (1)
где Ж1, а, 51 - упругая деформация, перемещение и зазор на I - ом элементе; М- количество воспринимающих нагрузку тел качения, и уравнения равновесия
N
P0 + 21P = Fr
(2)
i=0
где Р[ , - нагрузка на I - ом элементе и внешняя сила на подшипник соответственно.
При отсутствии зазоров, £¡=0, формула (1) упрощается
Ж = а, I =0, 1, 2, ...И. (3)
Формулу (2) можно переписать (рис.1)
Р0+2Р1сову1 +2Р2соБу2+... +2РмСовум=^г. (4)
Уравнение упругой деформации ¿-го элемента в роликовом подшипнике в (1) имеет вид
Ж = 5 Р, I =0, 1, 2, ...И , (5)
где 5- податливость с одним роликом, согласно работе [4] определяется
^^ьо^дасп, (6)
лЕ д
здесь Е, V - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала соответственно; д- погонная нагрузка; сп - приведенная толщина колец подшипника (контактное взаимодействие упругих тел конечных размеров на линейном контакте и цилиндров подробно рассмотрены в работах [5,6]).
Без зазора
Рис. 1. Деформация подшипника без зазора
Из геометрических соотношений, для а; в (3) можно записать, что
а= а0 cosy; , i =0, 1, 2, ... N , (7)
тогда с учетом (5) из (3) получим
5Р; = а0 cosyi=5P0cosyi, (8)
т.е.
Р; = Р0 (9)
а из (4) следует, что
Р0 + 2P0 cos2 g+ 2P0 cos2 2g+... = Fr , 286
отсюда получаем зависимость
F F
ро = Г 2 = f , (10)
1 + 2£cos2 ig
i=1
- N 2
где k = 1 + 2Xcos2 ig.
i=1
Следует отметить, что конечная сумма в формуле (10) существует. Так как
= 2p g=~Z '
где Z- количество роликов в подшипнике, то
r N 1 sin(2PN / Z) ^
к = 1 + 2 х
cos(2p(N +1)/Z) =1 + N + N i, У 2 2 sin(2p/Z) j
— sin (2pN / Z) ,
здесь N i =—^-^x cos(2p( N +1)/ Z).
sin(2p/ Z)
Легко показать, что при отсутствии зазора в подшипнике к »Z.
Следовательно, максимальная нагрузка в этом случае будет
F F
P0 =-= 4-^,
0 1 + N + Ni Z
а максимальное смещение
a = Pd = FF ту d = 4dF. (11)
1 + N + N i Z
Распределение нагрузки по телам качения можно определить с помощью формулы (9), имеем
F í. 2Р
P = 4-L cos г Z
i— Z
V ^ У
а жесткость всего подшипника определяется из соотношения
Fr = Cao,
F
т.е. C = —^, или, с учетом (11), получим
= 1 + N + Ni Z
8 48'
где податливость 3 с одним роликом определяется по (6).
Далее рассмотрим задачу при наличии радиального зазора 2е (рис.2) в подшипнике. Сначала установим связь между е и 8 в (1). В работе [1] из геометрических соотношений для величины зазора 8 между роликом и кольцом получена зависимость
287
s = (((r2 - r3)cos g- е)2 + ((r2 - r3)sin g)2 )1/2
(ri - e)
(12)
где ri , r2 шипника.
r3 - радиусы внутреннего и наружного колец и роликов под-
Однако не сложно показать, что при условии в2 / г22<<1 и ег3 / Г2<< 1, соотношение (12) существенно упрощается. Действительно, при этих условиях из (12) получаем зависимость
Г Л1/2
2
2
S = r
r3 ~ е
1 - 2-^ - 2—cos g
r
2
r
2
r1 + е
r
3
или
/
S = r
1 r3 e r r3 e 1 - ---cosg- — —3 + —
л
r
V '2 r2 '2 '2 '2 у
отсюда получим связь между радиальным зазором е в подшипнике и зазором S в его i- ом элементе в следующем виде
Si = е(1 - cosg). (13)
Таким образом, при наличии зазора в подшипнике задача сводится к решению системы уравнений (1), (2), (5) и (13). Из формулы (1) с учетом (7) и (13) имеем
Wi = a0 cosg - e(1 - cosg), i =0, 1, 2, ... N, а из условия WN=0, (когда N-й элемент только вошел в контакт, но еще нагрузку не воспринимает), получаем, что
a0 cos gN
rr
е =
или
1 - cos gN
e = a0 N 3,
где N 3 =
cos (2pN / Z) 1 - cos(2pN / Z) .
I
(14)
r
3
Рис. 2. Деформация подшипника при наличии зазора
288
Для установления связи е-И в аналитическом виде, поступим следующим образом. Перепишем систему уравнений упругой деформации (5) в виде
р0 4 Ж
2cosgíPí = 2—cos gW d
2 cosg) P2 = 2-d cos ^2^2 2
2cos gNPN = - cos gW, d
(í5)
а систему уравнений совместности (1) -в следующем виде
W = a0 cosgi - S, i =0, 1, 2, ... N, тогда подставляя (16) в (15) и суммируя полученную систему, получим Frd=a0 + 2a0 cos2 g1 - 2cos g1 S1 + 2a0 cos2 g2 -
(Í6)
или
■Л
-2cos g2S2 +... + 2a0 cos gN -2SN cos gN,
NN
Frd = a0 + 2a0 Z cos2 gi - 2£ Si cos g.
i=1 i=1
Подставляя в (17) значения зазоров S; из (13), получаем, что
NN
Frd = a0 + 2a0Zcos g - 2Z (e - ecos g)cos g,
i=1 i=1
(Í7)
или
Fd
= Í + 2-
f N
a
N
N
0
a0 V i=í
Z cos gi - £ cosg;. + 2Z cos gi-.
(Í8)
i=í
У i=í
Определяем значение конечных сумм в (Í8):
N 2 N 2.2ж N Í sin(2pN/Z) ,ЛГ 1W„4 N Í —
Zcos2 gi = Zcos2; — = - + cos(2p(N + Í)/Z) = —+ -Nb
; =Í i=Í Z 2 2 sin(2p/Z) 2 2
N N
Z cos g = cos 0 + cos gÍ + cos g2 +... + cos gN - Í = Z cos g - Í =
i=í ;=0
N л sin (2p(N + Í)/2Z) , Í— ,
= Zcosg -Í =—*—)-—¿cos(2pN/2Z)-Í = -N2 -Í,
;=0 sin (2p/2 Z) 2
— .sin(p(N + Í)/Z) / ч
где N 2 = 2—^-^—¿cos(PV / Z) .
sin (p/Z)
С учетом последних зависимостей, перепишем соотношение (Í8)
Fd d
a
~ e f " N Í — I Г Í — Л + 2 г N Í тг I
Í + 2 — + -N Í - - N 2 - Í + -N í
a0 V _ У 2 2 У _ Y 2
или
Fd e
a
- — (2 + N + NÍ - N2 )= Í + N + Ní. a
(Í9)
e
Из (3) с учетом (5) следует а0 = Ш0 = 8Р0, следовательно, из (19)
имеем
Я8 е
8Ро 8Ро
(2 + N + N1 - N2 )= 1 + N + N1,
отсюда получаем соотношение
¥г - е (2 + N + N1 - N 2)
Р =_8_=_
0 1 + N + N1
Последнюю формулу можно написать в безразмерном виде
р 1+ ,8^2 -2 -N
Р = ¥г8_=_. (20)
¥г 1 + N + N1
С другой стороны, из (14) следует, что
е = 8Р0 N з,
или, в безразмерном виде
Р = — Л- . (21)
¥г ¥г8 Nз
Для получения зависимости е-^ из формул (20) и (21), приравняв их правые стороны, получаем соотношение
1 —— (2 + N + N1 - N 2) е 1 ¥8 2
(22)
¥г8 N3 1 + N + N1
которое устанавливает связь между е и N в неявном виде. Из (22) получим формулу для е - N зависимости
_е__\_ = 1___е_ (2 + N + N1 - N 2)
¥г8 N3 = 1 + N + N1 ¥г8 1 + N + N1 ' откуда окончательно имеем
е = ¥8-=-1--
1 + N + N1 . , - -
-=-+ 2 + N + N1 - N 2
N з
Относительная максимальная нагрузка на ролике в долях максимальной нагрузки Р00 при отсутствии зазора
Р0 = ^ = 1 + — N2 - 2 - N - N1), Р ¥ 8
р00 ¥г°
а максимальная нагрузка в безразмерном виде на ролике будет определяться по формуле (20).
Распределение нагрузки по телам качения можно найти из системы (16) с учетом (5) и (13) , а именно
8Р =а0С0*У1 - е(1 - С0*У1), тогда для нагрузки Р\ на I- ом элементе окончательно получим формулу
Р = Р>С05К -8(1 -С0^).
В безразмерном виде
— Р Р е
Рг _ = ^ - ) '
Максимальное смещение определяется из (8) и (20)
е (—
а0 _ Рг8
1 + N 2 - 2 - N - N1) 8
1 + N + N1
Относительное смещение в долях максимального смещения а00 при отсутствии зазора будет
- а = 1 + е <~
ао _■
а
00
8
N 2 - 2 - N - N1).
Жесткость подшипника определяется
С _ г _ г
1
а0 8Р0 8Ро
или
С _ I • 8
1 + N + N1
1 +
е (—
8
N 2 - 2 - N - N1)
Относительная жесткость подшипника в долях жесткости при отсутствии зазора С0
С _ ^ _
N 2 - 2 - N - N1)
с0 1 + е
Я. 8
Графики зависимостей относительных величин: максимальной нагрузки, жесткости и смещения от зазора е показаны на рис.3. На рис.4. показан график зависимости количества нагруженных роликов от радиального зазора е в подшипнике при ¥г8_ 0,0261мм; 2=14, а на рис.5. - зависимость е ^ при различных 2.
1,6
1,2
0,8
0,4
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16
1
2
0
Рис. 3. Зависимости относительных величин: максимальной нагрузки на ролик (Р 0 - ▲); жесткости (N - •) подшипника и перемещения (а0 - ■) от радиального зазора е, мм
291
Зазор е, мм
Рис. 4. График зависимости количества нагруженных роликов N от радиального зазора е, мм
Количество нагруженных роликов N
Рис. 5. Зависимости количества нагруженных роликов N
от зазоров e, мм, при Frö=0,0261, мм; ▲ - Z =12; • - Z =18
Таким образом, определены параметры роликовых подшипников, которые могут быть использованы при расчете их нагруженности.
Список литературы
1. Орлов А.В. Влияние износа на работоспособность опор качения // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2007. №5. С. 71-79.
2. Нахатакян Ф.Г. Напряженно-деформированное состояние упругих элементов зубчатых механизмов и сооружений при их линейном и кромочном контакте. / Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. М., Институт машиноведения им. А.А.Благонравова РАН, 2014.
3. Решетов Д.Н. Детали машин. М.: Машиностроение, 1989. 496 с.
4. Нахатакян Ф.Г. Податливость роликовых подшипников. // Вестник машиностроения. 2015. №2. С. 19-21.
5. Нахатакян Ф.Г. Сближение упругих тел конечных размеров при начальном касании по линии. // Вестник машиностроения. 2014, № 2. С. 24-27.
6. Нахатакян Ф.Г. Решение плоской контактной задачи теории упругости с помощью модели упругого полупространства // Проблемы машиностроения и надежности машин, 2011. № 5. С. 63- 67.
Нахатакян Филарет Гургенович, д-р техн. наук., ведущ. научн. сотрудник, filnahat7@,mail.ru, Россия, Москва, ИМАШ им. А.А.Благонравова РАН,
Нахатакян Давид Филаретович, магистрант, filnahat 7@mail. ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
A GIVEN RADIAL CLEARANCE IN ROLLER BEARINGS WHEN DETERMINING
THE PARAMETERS OF LOADING
F.G. Nakhatakyan, D.F. Nakhatakyan
Based on previously proposed by the author method is described the analytical determination of stiffness of roller bearings if they radial zazo-RA. To solve the problem, the parameters in the absence of bearing load gaps have been determined analytically: load distribution over rolling elements; maximum load on the roller; movements in the bearings and the number of loaded rollers. Further all specified parameters are defined in the presence of gaps in the bearing. For the convenience of calculations, all these parameters are also presented in dimensionless form. With the help of the formulas obtained, the graphs of the dependence of the specified parameters on the gap value are constructed.
Key words: radial clearance; roller bearings; rolling elements; distribution of load; maximum load; rolling bearings; the maximum displacement.
Nakhatakyan Filaret Gurgenovich, doctor of technical sciences, research fellow, filnahat7@,mail.ru, Russia, Moscow, Blagonravov Mechanical Engineering Research Institute of RAS,
Nakhatakyan David Filaretovich, master, filnahat7@,mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University)
