CC BY
37
УДК 550.386 + 551.594 В.В. Плоткин
ИНГГ СО РАН, Новосибирск
УЧЕТ АНИЗОТРОПИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ ПРИ МАГНИТОТЕЛЛУРИЧЕСКОМ ЗОНДИРОВАНИИ
V.V. Plotkin
Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS Koptyug, 3, Novosibirsk, 630090, Russian Federation
INVOKING CONDUCTIVITY ANISOTROPY BY MAGNETOTELLURIC SOUNDING
Now it is known that magnetotelluric (MT) data can be interpreted often as either anisotropic conductivity in the lithosphere or alternatively by regional-scale isotropic conductivity variations. In this paper, we suggest to interpret MT data taking into account nonlocal responses excited by an arbitrary electromagnetic field in inhomogeneous anisotropic conducting media.
К настоящему времени выяснилось [см., например, 1, 2], что при интерпретации данных по кривым магнитотеллурического зондирования часто трудно определиться в выборе между наличием латеральной неоднородности и(или) анизотропией электропроводности. В работе [3] приводятся кривые МТЗ, которые оказываются одинаковыми для двух глубинных разрезов - Ш-разреза анизотропной и 2D-разреза изотропной электропроводности. В работах [4, 5] перспективы преодоления
возникающих трудностей связываются с площадными зондированиями с помощью массива пунктов наблюдений, но обработка таких данных проводится на основе стандартного анализа кривых МТЗ. В данной работе для решения возникшей задачи предлагается принять во внимание нелокальность электромагнитного отклика - влияние прилегающих к пункту наблюдения объемов среды на характер локальных кривых МТЗ, и при интерпретации данных использовать метод согласования регистрируемых распределений компонент поля на поверхности изучаемого региона между собой [6].
Для решения прямых задач при подборе модели среды методами оптимизации нами реализована программа расчета электромагнитного поля в среде с 3D неоднородной анизотропной электропроводностью. В основу алгоритма расчета был положен метод, предложенный в [7] и модифицированный нами. Исследуемый объем разбивается на параллелепипеды (блоки), внутри которых электропроводность считается однородной, но описывается тензором. Поле в блоке задается в виде набора волн, распространяющихся вдоль главных осей тензора электропроводности в обоих направлениях. В итоге в каждом из параллелепипедов имеем 12 неизвестных коэффициентов для амплитуд всех волн, которые далее определяются условиями сшивки тангенциальных
компонент полей в центральных точках граней параллелепипедов. Рассмотрим это подробно.
Уравнения Максвелла в однородной проводящей анизотропной среде в системе координат с осями, направленными вдоль главных осей тензора элект-ропроводности (где он описывается диагональной матрицей), сводятся к трем уравнениям:
АЕ] ~к^Еj =0, = /цсоа^ у = х ,у ,2 .
Здесь А - трехмерный оператор Лапласа, о- ■ - главные значения тензора
элект-ропроводности (в системе со штрихованными координатами). Предполагается, что источник поля находится вне исследуемого объема. Учтем теперь, что в однородной среде должно также выполняться условие
у =
X X
дх'
+
+
У
= 0.
Поэтому искомое решение можно представить в виде:
Ех’ - аіЄкх <уУ Уп^ + а2е
к ’(х’-хт)
Е= а*е у
а6е
-кх'(у’-у„) + ^АуСг'-г/)
-ку'(х'-хт)
Гкх (2'~2і)
+ а^е
ку'(2’-2!) , л -ку'іг'-г;)
а7е
а$е
Е,- = а**«*'-*-' + а,0е-Ы*'-*-> + а11/;'<'/~>") + я12г_^<-'/_>'").
Здесь аь...,а12 - неизвестные амплитуды, которые надо найти из
условий сшивки, хт, уп, г1 - центры параллелепипедов в лабораторной
системе коорди-нат, на которые разделен исследуемый объем. Приведены
/ * 1 1 \
выражения для компонент поля в системе координат (х ,у ,г ) в центре параллелепипеда, повернутой относительно лабораторной в соответствии с преобразованием тензора электропроводности & к диагональному виду:
а.
ух
<7
V
а.
ху
УУ
а
?У
V
11
12
V
13
- V
21
\у31
V
22
32
23
V
33 У
о
(7 ’
У
о
о
СГ
V
11
21
V
31
V
12
22
V
г' Ау13
V
23
32
у33 У
Здесь матрица V является матрицей поворота системы координат:
Е
Е
Vе 2
V
11
Е„ = V
21
^31
^2 \ v13 ( \ х Ґ П1
2 2 Р^ 3 2 Р^ ЕУ' У = v 21
2 3 Р^ v33 У V. Е 2 ' У 12У 1^1
12
V
13
V
22
32
V
23
V
33 у
х
г
У
\2 У
о
Матрица поворота V унитарна, так что обратное преобразование
Т
осуществ-ляется транспонированной матрицей V . Столбцы матрицы V
являются собст-венными векторами тензора электропроводности в лабораторной системе коор-динат. Матрица поворота может быть вычислена методами приведения тензора к диагональному виду, а также выражена с помощью углов Эйлера, характе-ризующих поворот системы координат.
Используя эти преобразования, можно получить следующие выражения для поля в параллелепипеде относительно лабораторной системы координат:
77 Л ку'(упх+У21У+УЪ1г-хт) -ку'(упх+у2іу+у31г-хт)
пх~у12а5е у12а6е +
л; п рк^(уих + у2\У + ^1г-хт) + п р-^і'^\\х + ^\У + ^\2~хт) +
ЧЗа9е ^у13а10е ^
Уі1аіЄкх' (у12х + у22У + у322~ Уп) + у^а2е-кх'^\2х^22У^Ъ22-Уп) +
У13апекАУ12Х+У22У+^22~Уп) +у13аие~кАУ12Х+У22У+^22~Уп) + упа3екх (уізх+у2з>’+узз2_2/) + Упа^е-кА^ъх+^2ъУ+^ъ2-21) +
I 2 ^ 1 \ ^ (
„ ^ ку'(уІЗх^23У + ^32~2і) , „ Л -ку’^13х^23У + ^32~21)
у12а7е у12а8е ■
Г Л ку(уПх + у21У + у312~хт),л, Л -ку'^Пх^2\У^Ъ\2-хт) ,
Пу~У 22а5е 'гу22а6е
V п рк^(УПх + у21У + у312~хт) +Л) п р-кх'<У\\х + '’2\У + '’Ъ\г-хт) + у23а9е + у23а10е +
У2іа1екх' (УиХ + У22У + уЪ22~Уп) + у^а^е-кх'^\2х^22У^Ъ22~Уп) + ,к2’(У12Х + У22у + У322~уп) , л, Л -кг’(У12Х + У22У + У322-уп)
У23аие +у23а12е У22У У32А Уп) +
У21а3екх'^х+у^у+у^ + у21аАе~кхІУ^х+У^у+У^2~2і) +
„ Л ку'^ІЗх^23У^332~2і) , „ Л -ку'^13х + У23У^332-21)
у22а1е у22а8е ’
77 Л ку'^Пх + л^2\У + л^312-хт) , „ Л -кy'(vnx + v2\У + vЗ\z-xm) ,
Ь2 у32а5е 'гу32а6е “г"
V /7 рк^(Уих + л^2\У + л^312-хт) + п р-кг'(уих + \2\У + УЪХ2-хт) ,
у33а9е ^у33а10е +
кх'^\2х + у22У + у322-Уп) + у а e~kx(v\2x + v22У + v32z-Уn) +
уз\а\е ^ ~ " + У31а2е
У33аиекАУ12Х+У22У+У^2~Уп) +у33апе~кАУ12Х+У22У+У^2~у") +
V п Ркх'^13х + У23У + Уз32~2і) + л, а р ~кх ^13Х + У23У + У332 ~21) + у31а3е + у31а4е +
„ „ ку^13х^23У^332~21) , „ „ -ку'^\Зх^23У^332~2і)
у32а1е + у32а%е
Учитывая входящие в эти выражения неизвестные коэффициенты аь...,а12 , в итоге для всего объема получаем 12ЫЫЬ неизвестных (М,N,Ь -количество блоков по осям координат ОХ, ОУ, 02 соответственно, с центрами в точ-ках хт, уп, ), подлежащих определению из условий сшивок
тангенциальных компонент электрического и магнитного полей в центральных точках всех граней параллелепипедов.
Количество сшивок на вертикальных внутренних гранях блоков равно 4(М - 1)Ж + 4M(N - l)L , на горизонтальных внутренних гранях блоков равно 4MN (L -1). На крайних боковых гранях объема и его нижней грани задаем, например, условия типа уходящих из объема волн, то есть, 4(М + N)L условий на боковых гранях объема и 2MN условий на нижней
грани объема. Если добавить еще условия на верхней поверхности объема, где предполагается известными тангенциальные компоненты либо электрического, либо магнитного полей, то есть 2MN условий, всего получится \2MNL уравнений для определения такого же количества упомянутых выше неизвестных коэффициентов - амплитуд волн во всех блоках. Система уравнений решается методом Качмажа [8].
Описанный алгоритм был реализован и использован при обработке синтетических
данных МТЗ для изотропной модельной среды.
Синтетические данные по пяти компонентам
электромагнитного поля на поверхности исследуемого объема получены численными расчетами для модели (рис. 1).
Чтобы больше
приблизиться к реальным условиям эксперимента, при подготовке синтетических данных распределение вертикальной компоненты магнитного поля на земной поверхности задавалось в соответствии с результатами одного из сеансов измерений международного проекта BEAR на Балтийском щите [9]. Далее для указанной модели среды были вычислены распределения остальных компонент электромагнитного поля на земной поверхности.
Поиск искомого распределения электропроводности осуществлялся согласованием друг с другом синтетических распределений компонент электромагнитного поля на поверхности объема [6] методами оптимизации. При решении прямых задач применялся описанный выше алгоритм расчета поля в неоднородной анизотропной среде. С целью упрощения предполагалось, что при восстановлении пространственной модели электропроводности главные оси тензора электропроводности совпадают с осями лабораторной системы координат. Осуществлялся подбор латеральных распределений двух главных значений тензора электропроводности, соответствовавших горизонтальным осям системы координат. Результаты определения этих латеральных распределений показаны на рис. 2. Видно, что
о(х.У)
■800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800
км
Рис. 1. Модель в виде кольца повышенной электропроводности
восстановление модели неоднородного распределения электропроводности с помощью предлагаемого алгоритма, учитывающего анизотропию среды, можно считать удовлетворительным.
Рис. 2. Результаты восстановления модельного распределения двух главных
значений тензора электропроводности
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 07-0500007).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Heinson, G., White, A. Electrical resistivity of the Northern Australian lithosphere: Crustal anisotropy or mantle heterogeneity? // Earth Planet. Science Lett.-2005.-V. 232.-P. 157170.
2. Wannamaker, P.E. Anisotropy versus heterogeneity in continental solid Earth
electromagnetic studies: fundamental response characteristics and implications for
physicochemical state // Surv. Geophys.-2005.-V. 26.-P. 733-765.
3. Berdichevsky, M.N., Pushkarev, P.Y. Are the crustal and mantle conductive zones isotropic or anisotropic? // Acta Geophysica.-2006.-V. 54.-N 4.-P. 333-342.
4. Bahr, K., Bantin, M., Jantos, C., Schneider, E., Storz, W. Electrical aniso-tropy from electromagnetic array data; implications for the conduction mechanism and for distortion at long periods // Phys. Earth Planet. Inter.-2000.-V. 119.-N 3-4.-P. 237-257.
5. Gatzemeier, A., Moorkamp, A. 3D modeling of electrical anisotropy from electromagnetic array data: hypothesis testing for different upper mantle conduction mechanisms // Phys. Earth Planet. Inter.-2005.-V. 149.-P. 225-242.
6. Плоткин, В.В., Белинская, А.Ю., Гаврыш, П.А., Губанов, А.И. Эффект нелокальности электромагнитного отклика при региональном магнитотеллурическом зондировании // Геология и геофизика.-2008.-Т. 49.-№ 11.-С. 1152-1160.
7. Егоров, И.В. Решение трехмерных задач геоэлектрики на основе метода Треффца // II Всероссийская школа-семинар по электромагнитным зондированиям Земли, Москва, 28 ноября - 30 ноября 2005 г. [электронный ресурс]: офиц. сайт: http://www.igemi.troitsk.ru/rus/school/Circular2_EMS-05.htm
8. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии.-М.: Мир,
1982.
9. Плоткин, В.В., Белинская, А.Ю., Гаврыш, П.А и Рабочая группа проек-та BEAR. Результаты применения нелокальных функций отклика отклика при региональном магнитотеллурическом зондировании // Сб. матер. междунар. науч. конгр. “ГЕО-Сибирь-2008”.-Новосибирск: СГГА, 2008.-Т. 5.-С. 190-194.
© В.В. Плоткин, 2009
