Цифровой алгоритм преобразования Меллина с экспоненциальной выборкой по частоте Текст научной статьи по специальности «Математика»

При использовании в ЭА КРК приемника прямого усиления, когда 4/ф = Д/я И 1, имеем

Р, Лагсф(р„)

_ Г_____________ \ 1,1' т _ -г

о&ц мим ЛГ А Ґ л« ГаТ~7; 1 им ч’х ■

При использовании в ЭА КРК супергетеродинного или многоканального приемника с полосой пропускания линейного тракта

= ¥Ф=у

* э

а) для обеспечения высокого быстродействия классификатора, когда Тикя = 7’ , необходимо, чтобы

2. РСТЭ *\“ГСФ{РМ)\

8^мш дг0 Аг2 .

2

б) при необходимости обеспечения минимального значения gю имеем

, РТ уІ2игсф( р) ГТ~~

е = —— =-~—- —— при Т < 7 •

дт д Л Т ** гк

ІУ0 ш V 1икя

1И11Р\|УР\

1. Дятлов А.П. Корреляционные устройства в радионавигации: Учебное пособие. Таганрог: ТРТИ, 1986.

2. Дятлов А.П. Обнаружители и измерители параметров сигналов в радиоконтроле: Учебное пособие. Таганрог: ТРТИ, 1993.

УДК 68 1.321

А.М. Макаров, ФА. Мальцев, O.Ю. Евдокимов

ЦИФРОВОЙ АЛГОРИТМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЛЛИНА С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ВЫБОРКОЙ ПО ЧАСТОТЕ

Анализ комплексных спектров (КС) сигналов показывает, что модуль спектра большинства сигналов имеет мультипликативный

1

множитель вида "/ , и ПРИ и ~*00 "хвосты" модуля аппрокси-

+и~

1

мируются функцией вида —. Это обстоятельство приводит к идее использования экспоненциального шага выборки не только по времени, но и по частоте. Было проведено исследование цифрового алгоритма вычисления преобразования Лапласа с экспоненциальным шагом дискретизации в пространстве частот Лапласа. Такой подход позволяет в болыпин-

Секция радиотехнических и телекоммуникационных систем

стве случаев уменьшить число отсчетов и тем самым повысить быстродействие алгоритмов вычисления КС. В случае преобразования Меллина (ПМ) использование экспоненциальной дискретизации затрудняется из-за отсутствия доказательства существования быстрого алгоритма. Положительный ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Если функция M()lk '. принадлежащая 4°. ос], имеет ограниченное изменение, т.е. существует ее преобразование Меллина, то при экспоненциальном шаге выборки по частоте это преобразование представимо в виде свертки .

00

| fit)git + oi)dt,

-СО

для которой существуют быстрые алгоритмы вычисления.

Доказательство: из условия теоремы ПМ функция щ) имеет вид

00

Mis) = jx(t)t*~'dt,

о

после замены переменной t = е аг, где а - коэффициент, определяющий шаг дискретизации во времени, получим

оо

Mis) = a J .y{e-at)eaadT.

-со

„ w -baj

Сделаем замену переменной и = е , предварительно представ-1 .

ляя 5 как S = -^г + JU-, тогда имеем

* ат °°

M(u) = aj >{e-at)e^ е^“ dr = aj x,(e~az)eiaa"\h,

—с© -со

где ^(е'") = у{е~ат)е~Т .

Представим М{и) как сумму двух слагаемых

Мм) = Щи) + М2{и),

OD О

где Ml(a>) = aj\x,(e~ar)e~Ja*b‘“dr, М2(со) = ajxl(e~at)e~Jaie~t‘dz.

О -со

В выражении для М}{и) проведем замену переменной т = е Ь‘, а для М2(и) т — —e bt, после чего получим

M](a)) = a/}je ь'е 2' f[e a,'^c'jr'f''dt,

-00

М2{(о) = abIе~ые 2' /(е"“* yj,a 'dt

-ос-

или окончательно

-СО

Мг(ш)=

—<jO

где f(t) = аЬе-ыеа^‘ /2(?) = “/(-«'“")•

Таким образом теорема доказана.

В цифровом виде алгоритм ПМ запишется как

‘ ат=Ъму]~"'\

n=-Nt

Шк)= . к°VA.......м.

л-- А',

»

Подынтегральные функции в выражениях для Мх{ы) и М,(й)) дают отличный от нуля вклад только на некотором конечном участке, поэтому в суммах стоят конечные пределы. В выражениях для М} участвуют выборки сигналов до моментов времени, превышающих t = 1, в выражении для М7 участвуют выборки сигнала для момента времени, лежащих з интервале от / = О до t — 1. Плотность выборки для вычисления спадает при удалении от / = 1, а для вычисления М2 плотность выборок спадает при приближении к / = 1 слеза. Есть основание полагать, что отсчеты сигнала для 0 < / < 1 дают меньший вклад в результат преобразования, тогда для вычисления М2{к) можно взять меньше отсчетов сигналов, чем для вычислений А/, (к) .

Таким образом, отсчеты сигнала берутся в моменты времени

/д = еа . Отсчет преобразования получается в моменты СО = еЬк. Если

число выборок как сигнала, гак и его преобразования равно N , то число

требуемых комплексных умножений примерно пропорционально N для случая равномерной дискретизации аргументов сигнала и преобразования при прямом методе вычисления. При использовании рассмотренной выше неравномерной дискретизации и одного из быстрых алгоритмов вычисления свертки для реализации преобразования требуется порядка

N log 2 Л комплексных умножений.