Научная статья на тему 'Цифровое дифференцирование измеряемых сигналов с применением интегральных уравнений В. Вольтерра и его регуляризация'

Цифровое дифференцирование измеряемых сигналов с применением интегральных уравнений В. Вольтерра и его регуляризация Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
370
86
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ / ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ / РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ / МАТРИЦА / DIFFERENTIATION / INTEGRATED EQUATION / REGULARIZATION / MATRIX

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Майстренко Андрей Васильевич, Светлаков Анатолий Антонович, Старовойтов Николай Владимирович

В статье предложен и исследован новый оригинальный способ цифрового дифференцирования сигналов, предназначенный для использования в реальном масштабе времени. Способ основан на применении интегральных уравнений Вольтерра I рода. Приведены некоторые результаты экспериментальных исследований, иллюстрирующие его работоспособность и пригодность для использования в системах автоматического управления реального времени.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Майстренко Андрей Васильевич, Светлаков Анатолий Антонович, Старовойтов Николай Владимирович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Digital differentiation of measured signals with application of the integrated equations of V. Volterra and its regularization

In the article new original way of digital differentiation of the signals intended for the use in real time is offered and investigated. The way is based on application of the integrated equations of Volterra I of a sort. Some results of pilot studies illustrating its working capacity and suitability for use in systems of automatic control of real time are given.

Текст научной работы на тему «Цифровое дифференцирование измеряемых сигналов с применением интегральных уравнений В. Вольтерра и его регуляризация»

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013

Библиографический список

1. Зааль, Р. Справочник по расчету фильтров / Рудольф Зааль ; пер. с нем. Ю. В. Камкина. — М. : Радио и связь, 1983. —

752 с.

2. Маттей, Д. Л. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи

связи. В 2 т. Т. 1 / Д. Л. Матей, Л. Янг, Е. М. Т. Джонс. — М. :

Связь, 1971. - 439 с.

3. Романова, М. П. Проектирование полосковых устройств СВЧ : учеб. пособие / М. П. Романова. — Ульяновск : УлГТУ,

2001. — 123 с.

4. Вольман, В. И. Справочник по расчету и конструированию СВЧ полосковых устройств / С. И. Бахарев, В. И. Вольман, Ю. Н. Либ. — М. : Радио и связь, 1982. — 382 с.

5. Романова, М. П. Проектирование гибридно-пленочных интегральных микросхем : учеб. пособие / М. П. Романова. — Ульяновск : УлГТУ, 2006. — 73 с.

6. Inder Bahl. Lumped Elements for RF and Microwave Circuits. Artech House, 2003. — 488 p.

БОРЕЙКО Денис Александрович, аспирант кафедры «Средства связи и информационная безопасность» Омского государственного технического университета, инженер-конструктор 1-й категории ОАО «Омский научно-исследовательский институт приборостроения».

Адрес для перписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 30.01.2013 г.

© Д. А. Борейко

УДК 519653 А. В. МАЙСТРЕНКО

А. А. СВЕТЛАКОВ Н. В. СТАРОВОЙТОВ

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

ЦИФРОВОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ИЗМЕРЯЕМЫХ СИГНАЛОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В. ВОЛЬТЕРРА И ЕГО РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ______________________________

В статье предложен и исследован новый оригинальный способ цифрового дифференцирования сигналов, предназначенный для использования в реальном масштабе времени. Способ основан на применении интегральных уравнений Вольтерра I рода. Приведены некоторые результаты экспериментальных исследований, иллюстрирующие его работоспособность и пригодность для использования в системах автоматического управления реального времени.

Ключевые слова: дифференцирование, интегральное уравнение, регуляризация, матрица.

1. Введение. Бурные темпы развития современной микропроцессорной техники открывают широкие возможности для разработки новых и совершенствования существующих алгоритмов решения прикладных задач в реальном времени. Наглядным примером подобных задач может служить задача цифрового дифференцирования сигналов (ЦДС), измеряемых в реальном времени. С данной задачей приходится сталкиваться в отраслях науки и техники, связанных с математическим моделированием динамических процессов и объектов, описываемых дифференциальными уравнениями, с автоматизацией управления и регулирования данными процессами и др.

Особенность обсуждаемой задачи ЦДС состоит в том, что она относится к классу некорректных задач [1]. Данная особенность и актуальность задачи ЦДС стимулируют проведение дальнейших исследо-

ваний с целью создания таких методов и алгоритмов её решения, которые позволяли бы получать достаточно точные и робастные оценки их производных и были бы доступными для реализации современными средствами микропроцессорной техники.

В данной работе рассматривается один из методов ЦДС в реальном масштабе времени, основанный на использовании интегральных уравнений В. Вольтерра I рода [2], и оригинальный способ его регуляризации, позволяющий существенно повысить устойчивость вычисляемой производной сигнала к ошибкам его задания. Робастность и эффективность предлагаемого способа ЦДС и его регуляризации иллюстрируются результатами численного моделирования.

2. Постановка задачи ЦДС в реальном масштабе времени и укрупненная классификация методов её решения. Математическую постановку задачи ЦДС составляют следующие пять положений.

1. Интересующий нас по каким-либо причинам сигнал 5 является некоторой функцией в времени t, удовлетворяющей равенству

(2.1)

и эта функция является непрерывной и хотя бы один раз дифференцируемой.

2. Измерения сигнала 5 осуществляются в дискретные и равноотстоящие моменты времени tk, связанные рекуррентным соотношением вида

tk =^ к = 1, 2, 3, ..., (2.2)

в моменты времени т, а т — переменная интегрирования.

Полагая в данном уравнении л=1 и учитывая при этом равенства, 0! = 1 и (—т)0= 1, можно видеть, что для производной первого порядка p(t) сигнала s(t) уравнение (3.1) имеет следующий вид:

Юр(т)Л = в^). (3-2)

Дифференцируя обе части данного уравнения по t, получим равенство:

р(^=йв/М, (3.3)

где Дt — некоторый постоянный интервал времени ^ а t0=0.

3. Измеренные значения ~к = ~^к) сигнала 5 удовлетворяют следующим равенствам:

~к = вк +ек, к = 0, 1, 2, 3, ... (2.3)

4. Ошибки измерения ек являются значениями случайных величин ек, к = 0, 1, 2, 3, ..., удовлетворяющих условиям вида

а) М{ек}=0; б) ;

и в) М{ек Ек_1} =0,

(2.4)

где М{ек} и Б{е2к} — математическое ожидание и дисперсия случайной величины ек, соответственно а М{ек ек-1} — ковариация случайных величин ек и ек-1; — некоторое ограниченное число.

5. В каждый момент времени гк у нас имеются т измеренных значений

к-т+1' к -т+2'

-і ^к'

(2.5)

(2.6)

которое является определением производной p(t) сигнала и доказывает адекватность описания свя-

зи между ними с помощью уравнения (3.1).

Очевидно, что в поставленных выше условиях можно вести речь о решении интегрального уравнения (3.2) только численными методами, заменяя при этом уравнение (3.2) некоторой системой линейных алгебраических уравнений, решение которой в каком либо смысле близко к его решению. Учитывая данное обстоятельство, заменим уравнение (3.2) системой линейных алгебраических уравнений, аппроксимируя интеграл суммой по методу прямоугольников. В результате получим следующую систему уравнений:

£ Р(*0 + к )Л* = ^0 + ); к = 1, п,

(3.4)

где ї0 = 0.

Для удобства и упрощения дальнейших исследований приведем получившуюся систему к более компактному векторно-матричному виду:

і

Кр

(3.5)

і

сигнала 5, полученных в моменты времени tk +1, ..., tk-1, tt. Здесь т — некоторое ограниченное натуральное число.

Сущность задачи цифрового дифференцирования сигнала 5 в реальном времени заключается в том, чтобы, используя значения (2.5), вычислить оценку рк его производной pk=ds(tk)/dt, и делать это так, чтобы имело место приближенное равенство

где р — л-мерный вектор-столбец оценок производной p(t) в моменты времени tk; к = 1, л , л — натуральное число удовлетворяющее равенству л=/Д^

К и в — матрица порядка л и л-мерный вектор-столбец измеренных значений сигнала в эти же самые моменты времени tk, определяемые следующими равенствами:

к

и это равенство выполнялось как можно точнее.

Анализ литературных источников, посвящённых различным проблемам и методам ЦДС [3], позволяет видеть, что в настоящее время имеется значительное число подобных методов, базирующихся на различных идеях и подходах к их разработке. Одним из таких методов является метод, основанный на использовании интегральных уравнений, впервые полученных и исследованных итальянским математиком Вито Вольтерра.

3. Метод решения задачи ЦДС с использованием уравнения Вольтерра. Данный метод основан на использовании связи между сигналом s(t) и его производной л-го порядка, которая адекватно описывается интегральным уравнением Вольтерра следующего вида:

10 (л 11)! V - т)л = т, (3.1)

где p(n) (т) — производная л-го порядка от сигнала 5

м м

0

0

0

м

(3.6а)

в =

(3.6б)

Как непосредственно видно из (3.6), матрица К является нижней треугольной матрицей и все её не равные нулю элементы, расположенные на главной диагонали и ниже, равны Д^ Данные особенности матрицы К предельно упрощают операцию её обращения. Воспользовавшись определением матрицы К-1, обратной к матрице К, и составив матричное уравнение КХ=Еп, где Ел — единичная порядка л матрица, а X — искомая нами обратная матрица К-1, непосредственными вычислениями нетрудно убедиться, что

(3.7)

л 1 0 .. 0 і 0

- лг-1 лг-1 .. 0 0

К-1 = 0 7 < - .. 0 0

0 . : О .. -лг-1 лг-1

і=0

и

309

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013

Остановимся теперь на вычислении оценок производной сигнала 5 в соответствии с рассматриваемым нами методом и, прежде всего, заметим, что

решением уравнения (3.5) является вектор p , вычисляемый в соответствии со следующим равенством:

і і Р = К-1 ~,

(3.8)

из которого видно что, процедура дифференцирования сигнала 5 сводится к умножению матрицы -1 ~

К 1 на вектор в . Представим данное векторное равенство в покомпонентном виде, учитывая при этом равенства (3.6б) и (3.8). В результате получим следующие равенства:

Рк = (~

р1 = в1лг1, ~к-і)лг"

к = 2, п.

(3.9)

(3.10)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

= р, + леглг1,

(3.12)

где Де,=е,-е—1. Во-вторых, при достаточно малых значениях Дt и конечном значении Дet второе слагаемое ДеД,-1 может оказаться чрезмерно большим, а оценка pt — не иметь ничего общего со значением pt. В-третьих, оценка pt производной pt, вычисляемая в соответствии с равенством (3.12), оказывается чрезмерно чувствительной к ошибкам задания значения сигнала 5, а задача её вычисления — некорректной задачей.

4. Регуляризация. Для устранения чрезмерной чувствительности алгоритма к ошибкам измерения et и е—1 сигнала 5, данный алгоритм необходимо ре-гуляризировать. Но осуществить данную регуляризацию нужно так, чтобы полученный в результате алгоритм не оказался значительно более сложным и труднореализуемым в реальном времени, чем регуля-ризируемый алгоритм.

Для решения рассматриваемой задачи регуляризации алгоритма можно воспользоваться многими известными в настоящее время методами, предложенными как отечественными [1], так и зарубежными математиками [4]. Рассмотрим один из методов регуляризации, впервые предложенный нами в ра-

боте [5], сущность которого составляют следующие рассуждения и действия.

Представим оценку р,, вычисленную в соответствии с рассмотренным выше алгоритмом, в следующем виде:

р, + л, = pt,

(4.1)

Анализируя данные равенства, можно заметить два факта, представляющие значительный интерес. Во-первых, компонента p1 оказывается явно неверной оценкой производной p1 сигнала 5 и не будет чрезмерно грубой оценкой в единственном случае, когда значение сигнала 5, предшествующее его значению в1, будет равно нулю. Во-вторых, равенства (3.10) являются простейшим методом ЦДС.

Рассмотрим более детально какую-либо одну из оценок pk, вычисляемых в соответствии с равенством (3.10) и заменим у них индекс к на ,, а саму оценку pk обозначим символом pt. Воспользовавшись нашим предположением (2.3), запишем равенство

pt = (5, - ^АГ1 = (-^АГ1 + (е, - вм)АГ\ (3.11)

Из данного равенства можно видеть, что во-первых, при достаточно малых значениях Д, первое слагаемое (в, - в^АГ1 оказывается достаточно точной оценкой производной pt и поэтому можно считать, что имеет место равенство:

где pt — неизвестное, истинное значение производной в момент времени t и Д, неизвестное значение ошибки оценивания значения pt с помощью оценки ^.

Подобное представление вполне адекватно отражает отмеченные в разделе 2 реальные условия, а также то, что данное равенство является уравнением относительно неизвестных нам значений pt и Д (, которое является совместным при любом значении оценки pt и при любом из них имеет множество решений. Одним из этих решений, являются неизвестные истинные значения pt и Д(.

Для удобства и сокращения последующего изложения введём в рассмотрение вектор-строку а, и 4

вектор-столбец X(, определив их следующими равенствами:

а,г = (1 г,),

і

х, = (р, л,)

(4.2)

(4.3)

где г( — некоторое, отличное от нуля число, которое далее будем называть параметром регуляризации рассматриваемого алгоритма; Т — символ операции транспонирования. Используя введённые векторы

. 4

а,г и XI, представим уравнение (4.1) в следующем более компактном виде:

• і ~ а,х, =р,.

(4.4)

Данное уравнение имеет континуум решений, одним из которых является его истинное решение, определяемое из всего этого множества решений равенством (4.4). Всюду далее будем использовать псевдорешение данного уравнения, которое обозначим

4 4

символом х,+. Для вычисления вектора X,+, наиболее целесообразно воспользоваться алгоритмом Гревил-ля [6], так как он является предельно экономичным с точки зрения вычислительных ресурсов.

4-

Легко убедиться в том, что псевдорешение Хь+ может быть вычислено в соответствии с равенством

і і і і ——

х,г + = (1 + г,2)-1 аг,рі, а, = (аг, )т

і

(4.5)

Запишем найденное решение х&- + в развёрнутом виде:

а) р = р,(1 + г,2) и б) л, = р,/(1 + гД

(4.6)

где p и Д, — оценки производной pt сигнала 5 и ошибки Д, её оценивания в момент времени ,. Обе полученные оценки являются явно заданными функциями параметра регуляризации г{ и их точность и устойчивость определяются выбором его значений. Возникает вопрос: каким образом выбирать значение г, и какими критериями при этом необходимо пользоваться?

Как известно, максимальная погрешность измерительного устройства всегда указывается в сопровождающей его документации и при этом для каждого из интервалов значений измеряемой величины, она оценивается в процентах от наибольшего по модулю значения. В нашей ситуации это означает, что нам известны максимальные значения e и s ,

tmax tmax'

удовлетворяющие соотношениям:

а) |St| < Stmax ' б) |St| < St max

и в) Stmax < 0,01g< stmax , (47)

где g — число процентов, указываемое в упомянутой выше документации. Используя приведённые выше характеристики ошибок измерения et и значения st сигнала S, можно вычислить величину

SSL = sLax / Strnax = р"10_4. (4-8)

Очевидно, что значения S;^ и 82, не равны. Однако если речь идёт об измерениях сигнала S с помощью более или менее точного измерительного, устройства, то можно считать, что имеет место приближённое равенство

S2 »smax. (4.9)

Именно это приближённое равенство и является одним из аргументов, оправдывающих замену 82 на

величину Smax .

5. Некоторые результаты экспериментальных исследований. Чтобы избавиться от необходимости учитывать составляющую погрешности оценивания производной, обусловливаемую конечностью приращений Ds и Dt дифференцируемого сигнала и времени, используемых при вычислении оценок производной, во всех проведённых экспериментах предполагалось, что сигнал S являлся линейной функцией времени и его производная p была равной 10.0. Выбор именно этого численного значения производной p дифференцируемого сигнала обусловлен желанием предельно упростить все вычисления, выполняемые в процессе проведения экспериментов и обработки их результатов. Исследование помехоустойчивости алгоритма проводилось в условиях, когда с ошибками задавались только значения сигнала S. При этом в

качестве измеренных значений данного сигнала использовались значения ~ определяемые в соответствии с соотношением

~ = в, +е, , , = 1, 2, 3, ..., (5.1)

где в, — истинное значение сигнала, а е, — некоторое значение ошибки его измерения в момент времени ,. Случайные числа е, получались с помощью стандартной компьютерной программы, генерирующей равномерно распределенные случайные числа Р, из интервала [0,1], и их преобразования в е, в соответствии с формулой:

е, = 2аР, - а. (5.2)

Полученные таким способом случайные числа е, принадлежат интервалу [ — а,а], симметричному относительно нуля, и являются равномерно распределенными на данном интервале. Заметим, что плотность данного закона распределения p(et)=1/2a. Значение а, определяющее границы интервала [ — а,а], задавалось согласно формуле

а = 0,0173 рв, (5.3)

где р — величина среднеквадратической относительной ошибки задания значений в=в(,) сигнала 5, удовлетворяющая равенству

р=стЕ / в, (5.4)

и выраженная в процентах, а в — среднеквадратическое значение сигнала 5.

Как вытекает из соотношений (5.3) — (5.4), для получения случайных ошибок е,, равномерно распределенных в интервале [-а,а], необходимо выполнить следующие действия: 1) вычислить величину в ; 2) задать в процентах необходимое значение отношения р, т.е. положить р = 0,01к, где к — целое число, принимаемое, как правило, равным 1, 3, 5 и 10, что соответствует 1-, 3-, 5- и 10- процентным относительным ошибкам; 3) вычислить значение границы а в соответствии с равенством (5.3) и подставить его в равенство (5.2).

Ниже приведен график, характеризующий поведение исследуемого алгоритма. Все результаты исследований, для большей наглядности, приведены с

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013

уровнем ошибок дифференцируемого сигнала, равного 5 %. На рис. 1 изображена зависимость погрешности оценивания производной дифференцируемого сигнала от значений параметра регуляризации, где в качестве меры погрешности использованы значения среднеквадратических отклонений вычисленных значений производной от их истинных значений. При этом параметр регуляризации г{ изменялся следующим образом:

а) г(=голт(1+0,01л) и б) г,=голт(1—0,01л), (5.5)

где гопт — оптимальное значение параметра регуляризации г,, вычисленное в соответствии с равенством г,=у/10, при котором ошибка вычисления производной является минимальной, а л= 1, 2, ..., 50.

Как видно из рисунка, любое отклонение параметра регуляризации г, от его оптимального значения приводит к увеличению погрешности вычисления производной. Очевидно, что изменяя параметр регуляризации, можно весьма существенно увеличить помехоустойчивость алгоритма. В рассматриваемом случае погрешность вычисления производной уменьшилась приблизительно на 20 %.

Библиографический список

1. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач /

А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. — 2-е изд. — М. : Наука,

1979. — 286 с.

2. Васильева, А. Б. Интегральные уравнения / А. Б. Васильева, Н. А. Тихонов. — 2-е изд. стереотип. — М. : Физматлит,

2002. - 160 с.

3. Васин, В. В. Об устойчивом вычислении производной /

В. В. Васин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1973. — № 6 Т. 13. — С. 1383-1389.

4. Cruceanu S. Regularisation pour les problemes a operateurs monotones et la methode de Galerkine. — Comment Math. Univ. Carol., 1971, 12, № 1.

5. Светлаков, А. А. Нетрадиционный подход к регуляризации плохо обусловленных линейных алгебраических уравнений / А. А. Светлаков // СИБКОНВЕРС'95 : Междунар. конф. по использованию результатов конверсии науки в вузах Сибири для международного сотрудничества. — Томск, 2 — 4 октября 1995 : тр. конф. — Томск : ТАСУР, 1996. — Т. 1. — С. 132 — 133.

6. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М. : Наука, 1967. — 575 с.

МАИСТРЕНКО Андрей Васильевич, кандидат технических наук, доцент кафедры электронных средств автоматизации и управления.

СВЕТЛАКОВ Анатолий Антонович, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры электронных средств автоматизации и управления. СТАРОВОЙТОВ Николай Владимирович, аспирант кафедры электронных средств автоматизации и управления.

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 24.12.2012 г.

© А. В. Майстренко, А. А. Светлаков, Н. В. Старовойтов

УДК 621.391.832.4 а. с. МОЛОДЦОВ

А. В. КОСЫХ

Омский государственный технический университет

АНАЛИЗ РАБОТЫ

ДЕКАРТОВОЙ (CARTEZIAN) СИСТЕМЫ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ В РАДИОЧАСТОТНЫХ УСИЛИТЕЛЯХ МОЩНОСТИ_______________________________________

В статье обсуждаются базовые принципы работы декартовой (картезианской) петли обратной связи. Рассмотрены основные проблемы, которые возникают при создании радиочастотных усилителей с декартовыми обратными связями. Осуществляется детальный анализ декартовой системы обратной связи и показаны условия ее стабильной работы.

Ключевые слова: линеаризация, предыскажения, обратная связь, фазовое смещение.

Разработчики радиочастотных (РЧ) усилителей мощности (УМ) для современных беспроводных систем передачи данных сталкиваются с противоречивыми компромиссами. С одной стороны, УМ потребляет львиную долю мощности в большинстве передатчиков. Например, в сотовом телефоне срок жизни батареи питания во многом определяется энергетической эффективностью УМ. С другой стороны, желательно иметь высокую спектральную эффективность, т.е. способность передавать данные с максимально возможной скоростью и пропускной спо-

собностью для данного канала. Проблемой при разработке УМ является и то обстоятельство, что спектральная эффективность зависит от высокой линейности УМ. Современное состояние дел заключается в разработке УМ с невысокой линейностью и использовании некоторых подходов линеаризации. Усилитель может работать в режиме, близком к насыщению, насколько это возможно и максимально энергетически эффективно, а линеаризация системы максимально использует спектральную эффективность в этом почти насыщенном режиме.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.