CC BY
29
А. Н. Глушков, М. Ю. Калинин,
кандидат технических наук, доцент ООО «Голдекс»
ЦИФРОВАЯ ИМИТАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ С ЗАДАННЫМИ СТАТИСТИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ
DIGITAL IMITATION OF RANDOM SIGNALS WITH GIVEN STATISTICAL PROPERTIES
В статье рассматриваются вопросы разработки алгоритмов цифровой имитации случайных сигналов на основе простой цепи Маркова и их аппаратная реализация.
The article deals with the development of algorithms for digital simulation of random signals based on a simple Markov circuit and their hardware implementation.
Введение. Задача цифровой имитации случайных сигналов с заданными двумерными статистическими, корреляционными, спектральными и структурными свойствами актуальна в различных технических приложениях. Известны [1] алгоритмы формирования случайных чисел с заданными распределениями вероятностей, но они не позволяют отображать сложные двумерные статистические свойства имитируемых процессов.
Целесообразно рассмотреть алгоритмы имитации случайных процессов с заданными свойствами, определяемыми теоретическими моделями с неограниченной продолжительностью реализаций. В качестве универсальной математической модели имитируемого случайного процесса выбрана простая цепь Маркова [2, 3], которая характеризуется большим числом параметров и позволяет отображать разнообразные статистические свойства сигналов, квантованных по уровню и времени. Параметры марковской модели вычисляются по выбранной двумерной плотности вероятностей. Предложенный алгоритм может быть реализован в виде программного датчика случайных процессов или аппаратно на основе микропроцессорных устройств [4] или программируемых логических интегральных схем (ПЛИС) [5].
Простая цепь Маркова. Имитируемый случайный процесс представляет собой последовательность дискретных отсчетов с М = 2т возможными целочисленными
значениями, т — разрядность АЦП, гп = 1, М, п = 1, N — номер отсчета (момента квантования ^ ), N — объем выборки. Для его описания можно использовать дискретный марковский случайный процесс (простую цепь Маркова) [2, 3], для которого вероятности значений ги+1 = ] зависят только от предшествующего значения гп = г и не зависят от
более ранних значений. Марковская цепь описывается матрицей переходных вероятностей вида
"" Р Р 1 11Р 12"
Р Р 1 211 22-
Р - 1 1М
-Р
• ОД//"
Р Р Р
/ М11 М 2-- ММ
(1)
где — вероятность перехода процесса от значения гп = г к гп+1 = ] . Вероятности q
начальных значений ^ = г задаются матрицей
к ]=
ql
к2
Ям^
(2)
Для переходных вероятностей имеет место равенство
М
Ъ
]=1
Р]=1-
(3)
Как видно, марковская модель (1)—(3) имеет М(М — 1) независимых (в рамках условия (3)) параметров, что позволяет с ее помощью отображать разнообразные статистические и корреляционные свойства случайных процессов.
Определение параметров марковской модели. Для заданного двумерного распределения вероятностей w( \х2) значений х и х со средним и уровнями кванто-
вания
§ т
— да
М*
при
т = 0,
т — ^ + хСР при т = 1, (М — 1),
(4)
да при т = М,
где d — шаг квантования по уровню, совместное распределение вероятностей значений дискретного случайного процесса = г, г2 = ] имеет вид
§1 §]
Р(^ = г, ¿2 = ]) = Р(г, ]) = | | w(%х2 )dx2dx1.
(5)
§1—1 ё]—1
Так как Р(гу = 1, ^ = )) = Р(гу = 1) ■ Ру, то для переходных вероятностей Рц можно записать расчетное соотношение
<
^
| | , Х2 >1Х2^1
Р =
Р(21 = 1 >22 =)) _ §1-1
Р( 21 =1)
з
I Iw( Х1, Х2 ,МХ2^1 §1-1
(6)
а для вероятностей начальных значении соответственно
gi <»
P(= г) = | | w(хх )dx2dx1
(7)
gi-1 -
Выражения (6) и (7) позволяют построить марковскую модель случайного процесса с произвольной известной двумерной плотностью вероятностей w(Хl, Х2) . Примером может служить гауссовский случайный процесс [2], для которого
Ч *2> =
1
2паг41-г2
еХр
(Х1 ХСР ) + 2г (Х1 ХСР )(Х2 ХСР ) + (Х2 ХСР )
2(1- г V2
(8)
где хср — его среднее значение, а2 — дисперсия, г — коэффициент корреляции.
Матрицу совместных вероятностей [Р(г,/)] (рис. 1, а) и переходных вероятностей
[р, ] можно отображать графически в виде трехмерных диаграмм, как показано на рис. 1
для гауссовского случайного процесса (8) при М = 32 с различными коэффициентами корреляции.
Рис. 1. Трехмерные диаграммы матриц вероятностей
Как видно, при г = 0 (рис. 1, б) строки матрицы [^ ] одинаковы, а при наличии
корреляционных связей между соседними отсчетами структура матрицы изменяется в зависимости от величины и знака г .
Матрицы совместных и переходных вероятностей [^ ] простой цепи Маркова отражают статистические свойства квантованного случайного процесса и взаимосвязь соседних отсчетов.
зо
Алгоритм цифровой имитации случайного процесса. На основе матрицы [р ] формируется матрица распределений вероятностей
Рг] =£рш . (9)
т=1
Для начальных значений случайного процесса функция распределения вероятностей равна
а = £ Р( ъ = т).
(10)
т=1
Алгоритм цифровой имитации отсчетов случайного процесса по его марковской модели заключается в следующем. Датчик псевдослучайных чисел уп с равномерным распределением вероятностей на интервале от 0 до 1 формирует очередное значение, соответствующее п -му отсчету . Если предыдущее значение 2п-1=г, то величина гп = ] выбирается как минимальное значениеу, при котором выполняется неравенство
К < . (11)
Для первого отсчета 21 его величина 21=1 выбирается как наименьшее значение г, при котором выполняется неравенство
^ < а. (12)
Структурная схема алгоритма показана на рис. 2.
Рис. 2. Структурная схема алгоритма имитации случайного процесса
по его марковской модели
Имитация гауссовского случайного процесса. На рис. 3 представлены результаты работы алгоритма имитации нормального случайного процесса (8) при М = 32 с уровнями квантования (4) при шаге квантования
46
d =
10-а
М
(13)
коэффициенте корреляции г = 0,4 и матрице переходных вероятностей, представленной на рис. 1, б.
На рис. 3, а показана диаграмма распределения вероятностей (9), на рис. 3, б — полученного в результате статистического имитационного моделирования предложенного алгоритма (рис. 2) совместного распределения вероятностей [Р(г,7)] по выборке из 106 отсчетов, а на рис. 3, в — его отклонения от теоретического значения (5).
Рис. 3. Трехмерные диаграммы результатов работы алгоритма имитации
На рис. 4 показаны статистические характеристики полученной в результате имитации реализации отсчетов сигнала (рис. 4, а), его спектра (рис. 4, б), где d = / / /кв — нормированная частота ( /кв — частота квантования) и нормированной корреляционной функции Як (к — величина смещения), пунктиром на рис. 4, в показана теоретическая корреляционная функция Як = гк.
Рис. 4. Результаты работы алгоритма имитации
Как видно, предложенный алгоритм обеспечивает достаточно точную имитацию двумерного гауссовского случайного процесса с заданными статистическими и корреля-
ционными свойствами. На его основе можно реализовать высокоскоростной программный или аппаратный датчик нормальных псевдослучайных чисел, превосходящий по вычислительной эффективности известные алгоритмы [1].
Имитация негауссовского случайного процесса. Используя другие марковские модели, полученные в результате теоретических расчетов, можно имитировать разнообразные случайные процессы.
В качестве примера рассмотрим имитацию случайного процесса с двумерной плотностью вероятностей вида
w(x, у) = ^^(х + у) при 0 < х, у <ж/2, (14)
ее график показан на рис. 5, а. На рис. 5, б представлена трехмерная диаграмма матрицы совместного распределения вероятностей Р(г, у) (5), на рис. 5, в — матрицы переходных
вероятностей (6), а на рис. 5, г — функции распределения вероятностей (9). Как
видно, вероятностные свойства случайного процесса значительно отличаются от нормального.
Рис. 5. Характеристики марковской модели
Результаты моделирования алгоритма имитации показаны на рис. 6: на рис. 6, а — реализация случайного процесса 2п ( п — номер отсчета), на рис. 6, б — гистограмма одномерного распределения вероятностей р значений отсчетов гп = г (пунктиром показана теоретическая зависимость), а на рис. 6, в — нормированная корреляционная функция Як .
Рис. 6. Результаты имитации
На рис. 7 показаны вероятностные характеристики результатов имитации: на рис. 7, а — статистической оценки совместного распределения вероятностей Р(г, у), на
рис. 7, б — переходных вероятностей р, а на рис. 7, в — оценка функции распределения вероятностей ^ .
Рис. 7. Вероятностные характеристики результатов имитации
Заключение. Результаты статистического имитационного моделирования свидетельствуют о высокой точности воспроизведения заданных двумерных статистических характеристик разнообразных случайных процессов в генерируемой выборке отсчетов. Рассматриваемый алгоритм формирования последовательностей отсчетов случайных процессов обладает высоким быстродействием и может использоваться для аппаратной или программной реализации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Литвиненко В. П., Чернояров О. В. Моделирование случайных процессов : учебное пособие. — Воронеж : ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017. — 175 с.
2. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. — М. : Высшая школа, 2000. — 483 с.
3. Казаков В. А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. — М. : Советское радио, 1973. — 232 с.
4. Круг П. Г. Процессоры цифровой обработки сигналов : учебное пособие. — М. : Издательство МЭИ, 2001. — 128 с.
5. Кнышев Д. А., Зотов В. Ю., Кузелин М. О. Современные семейства ПЛИС фирмы Xilinx : справочное пособие. — М. : Горячая Линия — Телеком, 2004. — 440 с.
6. Финк Л. М. Теория передачи дискретных сообщений. — М. : Советское радио, 1970. — 728 с.
7. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. — М. : Бином-Пресс, 2006. — 656 с.
8. Basic Algorithm for the Coherent Digital Processing of the Radio Signals / A. N. Glushkov [et al.]. // Proceeding of the 2015 International Conference on Space Science & Communication. — Malaysia, Langkawi, 2015. — 5 p.
9. Basic Algorithm for the Noncoherent Digital Processing of the Narrowband Radio Signals / A. N. Glushkov [et al.] // Applied Mathematical Sciences. — 2015. — Vol. 9. — No. 95. — P. 4727—4735.
REFERENCES
1. Litvinenko V. P., Chernoyarov O. V. Modelirovanie sluchaynyih protsessov : uchebnoe posobie. — Voronezh : FGBOU VO «Voronezhskiy gosudarstvennyiy tehnicheskiy universitet», 2017. — 175 s.
2. Venttsel E. S., Ovcharov L. A. Teoriya veroyatnostey i ee inzhenernyie prilozheniya. — M. : Vyisshaya shkola, 2000. — 483 s.
3. Kazakov V. A. Vvedenie v teoriyu markovskih protsessov i nekotoryie radiotehnich-eskie zadachi. — M. : Sovetskoe radio, 1973. — 232 s.
4. Krug P. G. Protsessoryi tsifrovoy obrabotki signalov : uchebnoe posobie. — M. : Izdatelstvo MEI, 2001. — 128 s.
5. Knyishev D. A., Zotov V. Yu., Kuzelin M. O. Sovremennyie semeystva PLIS firmyi Xilinx : spravochnoe posobie. — M. : Goryachaya Liniya — Telekom, 2004. — 440 s.
6. Fink L. M. Teoriya peredachi diskretnyih soobscheniy. — M. : Sovetskoe radio, 1970. — 728 s.
7. Layons R. Tsifrovaya obrabotka signalov. — M. : Binom-Press, 2006. — 656 s.
8. Basic Algorithm for the Coherent Digital Processing of the Radio Signals / A. N. Glushkov [et al.]. // Proceeding of the 2015 International Conference on Space Science & Communication. — Malaysia, Langkawi, 2015. — 5 p.
9. Basic Algorithm for the Noncoherent Digital Processing of the Narrowband Radio Signals / A. N. Glushkov [et al.] // Applied Mathematical Sciences. — 2015. — Vol. 9. — No. 95. — P. 4727—4735.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Глушков Алексей Николаевич. Доцент кафедры инфокоммуникационных систем и технологий. Кандидат технических наук.
Воронежский институт МВД России.
E-mail: [email protected]
Россия, 394065, Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (473) 200-52-23.
Калинин Максим Юрьевич. Генеральный директор.
ООО «ГОЛДЕКС».
E-mail: [email protected]
Россия, 109147, Москва, ул. Воронцовская, 35б.
Glushkov Alexej Nikolaevich. Assistant Professor of the chair of Communication Systems and Technologies. Candidate of Sciences (Technical).
Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.
E-mail: [email protected]
Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (473) 200-52-23.
Kalinin Maxim Yurievich. General Director.
«GOLDEKS».
E-mail: [email protected]
Work address: Russia, 109147, Moscow, Vorontsovskaya Str., 35b.
Ключевые слова: случайный сигнал; марковские процессы; гауссовский случайный процесс; имитация.
Key words: random signal; markov processes; gaussian random process; imitation.
УДК 519.217
