Ценовая олигополия с несовершенной эластичностью спроса. Микроэкономическое обоснование Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Филатов А. Ю. УДК 330.45

ЦЕНОВАЯ ОЛИГОПОЛИЯ С НЕСОВЕРШЕННОЙ ЭЛАСТИЧНОСТЬЮ СПРОСА. МИКРОЭКОНОМИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ1

Введение

Рассмотрим модель ценовой олигополии без сговора. Исходный вариант - ценовая война Бертрана [1], в котором олигополисты независимо друг от друга вырабатывают решение об уровне цены, ориентируясь на цены конкурентов, а все потребители приобретают продукцию у олигопо-листа с самой дешевой продукцией - имеет очевидные недостатки. В частности, следствием предпосылок такой модели в случае постоянства и равенства средних издержек является парадокс Бертрана: фирмы поочередно снижают цены до уровня себестоимости и в точке равновесия получают нулевые прибыли, что полностью эквивалентно ситуации совершенной конкуренции.

Решение парадокса Бертрана с помощью модели Эджворта, в которой объем производства каждой фирмы жестко ограничен сверху определенной величиной, или с помощью модели с возрастающими предельными издержками (мягкий вариант модели Эджворта), также не всегда адекватно реальности. В то же время, слишком сильным является предположение о совершенной взаимозаменяемости продуктов и о том, что все потребители делают покупки у продавца, назначившего самую низкую цену.

Действительно, как минимум, различные потребители проживают в разных местах, и расположение продавцов существенным образом влияет на их предпочтения: помимо цены товара потребители оплачивают транспортные издержки, тем

1 Работа поддержана Интеграционным проектом СО РАН «Полиструктурные модели экономики: теория, методы прогнозы»

большие, чем большее расстояние отделяет их от продавца. Именно эта интерпретация была предложена Г.Хотеллингом в модели линейного города [2] и С.Сэлопом в модели кругового города [3]. В другой интерпретации, связанной с качеством товара, обслуживанием и сервисом, потребители, имеющие разнородные вкусы, получают некоторую дополнительную полезность в результате потребления самого предпочитаемого ими блага, и готовы за это платить.

При этом фирмы не могут располагаться в каждом потенциальном месте покупки (в частности, из-за постоянных издержек). Следовательно, они на первом шаге выбирают свое местоположение, а на втором шаге, ориентируясь также на местоположение и цены конкурентов, свою цену продукции.

Можно заметить, что фирмы, продающие одинаковую продукцию, обычно не желают располагаться в одном и том же месте. Причиной это является уже упоминавшийся парадокс Бертрана -производители совершенных заменителей сталкиваются с неограниченной ценовой конкуренцией. В противоположность этому дифференциация (как по расположению, так и качествам продукта) позволяет создать клиентуру (занять «рыночную нишу») и пользоваться некоторой рыночной властью над этой клиентурой.

Простейшая модель

Рассмотрим простейшую модель [4]. Пусть товар, производимый с издержками с, в каждой из двух фирм пользуется спросом, описываемым уравнениями

91{Р\,Рг) = а-ЬР1 + ¿Рг, 9гРРг) = а~^Рг + ¿Р,

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

где 0 < ё < Ъ, а > с (Ъ -ё).

Видим, что прямая ценовая эластичность спроса отрицательна, а перекрестная эластичность - положительна (что следует из знаков коэффициентов при ценах). Если цена в фирме достаточно велика по сравнению с ценой конкурента, то следствием будет отсутствие покупателей. Однако при небольшой разнице цен некоторая часть покупателей остается верной продукции более дорогой фирмы.

Условие ё < Ъ означает, что если цены товаров в обеих фирмах вырастут на одну и ту же величину, объем спроса в обеих фирмах сократится. Условие а > с (Ъ - ё) означает, что если обе фирмы назначат цены на уровне предельных издержек, объемы спроса на их товары будут положительными.

Определим результат такого взаимодействия, то есть найдем набор цен (р *,р2 *), максимизирующий прибыль, каждой из фирм: = (р - с)а - Ър + йр2) ^ тах,

Р1

лг = (р2 - с)а - Ър + ёр) ^ тах.

Р2

Продифференцировав функции прибыли по р и р найдем кривые реакции:

Р1 ="

а + Ъс + йр2

Р2 =

а + Ъс +

2Ъ 2Ъ

Решив данную систему, получим:

. . а + Ъс а - с(Ъ - й) р * = р2 * = —-т = с +--тг^—;—1 > с.

2Ъ - ё

2Ъ - ё

Таким образом, дифференциация товара также смягчает ценовую конкуренцию, то есть соперничество фирм не ведет к полному исчезновению их прибылей.

Однако существенным недостатком простейшей модели является то, что суммарный спрос на рынке одинаково реагирует на снижение цены как в дешевой, так и в дорогой фирме: Q (р^ р2 )= 41 (Рl, р2 ) + 42 ( Рl, р2 )= 2а-(Ъ - ё ) Л -(Ъ - ё ) р2-В то же время интуитивно понятно, что расширение рынка происходит в первую очередь при снижении цены в дешевой фирме, ориентированной на менее обеспеченных людей. Понижение же цены в дорогой фирме приводит в основном к перераспределению покупателей между фирмами.

В связи с этим в [5] была предложена альтернативная модификация модели, в которой

предполагалось, что спрос на продукт зависит именно от «нижней» цены (цены продукта в самой дешевой фирме). В [6] данная модель была обобщена на случай произвольного числа фирм. Попробуем осуществить обоснование сделанного предположения на основе теории пространственной экономики.

Микроэкономическое обоснование модели

Пусть на рынке присутствуют 2 фирмы, расположенные на разных концах (в точках 0 и 1) линейного города. Несмотря на то, что они продают однородный продукт по различным ценам р и р (для определенности примем р < р2), у второй фирмы могут быть рационально действующие покупатели - люди, проживающие неподалеку. Действительно, покупатель оценивает не только стоимость покупки, но и транспортные издержки (в т.ч. затраты времени), необходимые для того, чтобы добраться до места продажи.

Если предположить, что транспортные издержки пропорциональны расстоянию, то клиент, проживающий в точке х е [0; 1] и тратящий в денежном выражении сумму ^ на проезд через весь город (из точки 0 в точку 1) оценивает покупку в первой фирме в сумму

р1 = р1 + К , а во второй фирме в сумму

р 2 = р2 + * (1 - Х) .

Если минимальная из этих величин не превышает тот максимум в, который клиент готов заплатить за продукт, покупка осуществляется. Изобразим на графиках соответствующие зависимости и проинтерпретируем их.

На рис.1а изображена ситуация с невысоким транспортным тарифом. Таким образом, большую

часть рынка, интервал х е 0; х), захватывает

первая фирма, установившая меньшую цену. В то же время даже в этой ситуации более дорогая фирма обслуживает некоторое, пускай и небольшое, количество клиентов х е (х; 1], проживающих рядом с ней. Все люди, оценившие продукт в указанную сумму в, вне зависимости от места проживания, его приобретут.

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫМ ПОДХОД В ИССЛЕДОВАНИЯХ

а)

в

Рг

х

б)

в Рг

0

Х1 X 2

1

лишь те, чье место проживания х е

0; XI

. Более

того, проживающие в интервале х е (х1; хг) вообще откажутся от совершения покупки где бы то ни было, если их максимальная оценка продукта составляет в. Отметим, что для людей с высокой

Рис. 1. Зависимость реальной цены продукта от номинальной цены, места проживания клиента и его транспортного тарифа

На рис.1б транспортный тариф существенно выше. Несмотря на то, что первая фирма очень сильно снизила цену, ее клиентами останутся

оценкой продукта изменение цены в любой из фирм приводит лишь к возможной смене места покупки. В то же время для людей, оценивающих порог в ниже, уменьшение цены может оказаться значимым фактором при принятии решения о покупке. При этом с большой вероятностью критическим окажется снижение цены именно в дешевой фирме.

С помощью метода Монте-Карло попробуем смоделировать влияние на спрос изменения цен в дешевой и дорогой фирме. Пусть для некоторого потребителя проживающего в случайной точке х е [0; 1] максимальная оценка продукта равномерно распределена на отрезке в е [10; 160], а транспортные издержки равномерно распределены на отрезке t е [0; 50]. Исходя из цен р и р2 , потребитель принимает решение о приобретении или неприобретении продукта и возможном месте покупки.

Например, если цены в обеих фирмах составляют 90 руб., потребитель, проживающий в точке х = 0,3 , оценивающий транспортные издержки в t = 30 руб., а продукт в в = 100 приобретет его в первой фирме:

рх = 90 + 0,3*30 = 99 руб.,

р2 = 90 + 0,7*30 = 111 руб.

Заметим, что второй фирме не поможет и снижение цены до 80 руб. Также видим, что повышение транспортных издержек до t = 40 руб., оставляет данного человек вообще без продукта.

Смоделировав в соответствии с указанными законами распределения по 10 тыс. человек для каждой из возможных цен р, = { 60; 70; 80;...; 150 }, установленных в фирмах, получим соответствующие объемы продаж. Сведем данные о спросе 9 в

Таблица 1

Зависимость спроса 9 от цен Р и Р

0

1

РЛ Рг 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

60 3125 4703 5324 5747 5835

70 2742 4147 4740 5038 5184

80 2473 3708 4131 4353 4482

90 2130 3194 3527 3763 3836

100 1807 2651 2940 3076 3153

110 1452 2121 2335 2545 2471

120 1131 1636 1770 1877

130 802 1131 1236

140 474 619

150 187

Таблица 2

Зависимость спроса 42 от цен р1 и р2

рл р2 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

60 3089 1305 594 236 41

70 2775 1185 479 166 36

80 2477 1017 441 155 32

90 2087 829 350 108 23

100 1788 722 253 79 9

110 1446 546 190 42 5

120 1100 362 115 32

130 852 227 44

140 441 84

150 164

Таблица 3

Зависимость суммарного спроса 2 от цен р1 и р2

л\ р2 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

60 6214 6008 5918 5983 5876

70 5517 5332 5219 5204 5220

80 4950 4725 4572 4508 4514

90 4217 4023 3877 3871 3859

100 3595 3373 3193 3155 3162

110 2898 2667 2525 2587 2476

120 2231 1998 1885 1909

130 1654 1358 1280

140 915 703

150 351

первой, более дешевой, фирме, спросе 4 во второй, более дорогой, фирме и суммарном спросе Q = 4 + 4 в таблицах 1-3. Отметим, что нет смысла рассматривать разность цен от 50 руб. и выше, поскольку при данных условиях в более дорогой фирме заведомо не останется ни одного покупателя.

С помощью метода наименьших квадратов найдем наилучшую в классе линейных функций зависимость спроса от установленных цен: Q = 10152-56,5р -9,9р2.

Видим, что спрос гораздо сильнее зависит от цены р , установленной в более дешевой фирме. Еще более ярко выраженным этот факт становится, если учесть наличие положительной корреляции между транспортными издержками ^ и максимальной ценой в, которую человек готов заплатить за данный продукт (большую сумму, как правило, готовы заплатить более обеспеченные люди, которые более высоко ценят свое время), а также вспомнить, что р и р также положительно коррелированны.

Таким образом, вполне соответствующим реальности можно считать предположение, что суммарный спрос на рынке зависит именно от минимальной цены, сложившейся на рынке. Нумера-

цию осуществим так, что эта цена будет наблюдаться в первой фирме:

Л = рг.

При этом понимаем, что все результаты будут выполняться с точностью до нумерации, а значит, в реальности будет не одно, а и равновесий.

Формализация модели и некоторые качественные выводы

Пусть на рынке присутствуют п одинаковых фирм, производящих продукцию с издержками с. Суммарный спрос на рынке составляет Q = а - Ър!.

Если все фирмы устанавливают одинаковые цены, то этот спрос делится поровну между ними. В то же время при повышении цены в /-фирме на каждый рубль объем продаж в ней сокращается на величину ЪА, а у каждого из (п -1) конкурентов увеличивается на

ъа(П -1).

Представленную модель запишем в матричном виде:

я

—а + ъВр

п

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫМ ПОДХОД В ИССЛЕДОВАНИЯХ

где q =

q3

P2

P3

a =

fa> a a

a,

'-a-1

n

A 1

B

A

A

A Ï

n -1 n A1

n -1 n -1 -A A A

n -1 n n -1

a 1 a

n-1 -A

A

v

n -1 n n -1 n -1

n -1 A

n -1 A

n -1 -A

у

Выпишем эти же соотношения покомпонентно:

( .. л n \

qi =■

1

Чг =-

n

a +

a - (nA + фр + -nA ôjj pj

n -1 j=2 J

na -1 |bp1 ^ -na b j Pj - nabp

1 j=2,

n-1

n-1

л

У

/ = 2,...,п .

В условиях данной модели можно исследовать различные стратегии поведения олигополи-стов (максимизация собственной прибыли в зависимости от выбора цен конкурентов, максимизация прибыли с учетом возможной реакции других фирм, стратегии кооперативного взаимодействия и т.д.) и получаемые при этом равновесные ситуации.

Наиболее интересный качественный результат связан с существованием равновесия Нэша при несовпадающих ценах и объемах продаж одинаковых олигополистов. Например, при дуополии одной фирме экономически выгодно установить более низкую цену, увеличив тем самым продажи своей продукции, а второй выгодно поднять цену с целью получения более высокой удельной прибыли. При этом обе фирмы получают положительную экономическую прибыль.

В то же время, при сильной реакции потребителя на разницу цен максимизация прибыли ограничена так называемой «инверсией фирм» - ситуацией, когда одной из дорогих фирм может оказаться выгодно в одностороннем порядке занять место на дешевом ценовом сегменте.

В [7] также построены равновесия Нэша в двухуровневой игре, являющие аналогами равновесия Штакельберга для ценовой олигополии. Изучена ситуация объединения фирм в картель и ситуация максимизации прибыль на основе ценовой дискриминации. Показано, что суммарная прибыль фирм в этом случае может превышать монопольную. Приведены результаты расчетов на численном примере.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Bertrand J. Theorie Mathématique de la Richesse Sociale // Journal des savants. 1883. P. 499-508.

2. Hotelling H. Stability in Competition // Ibid. 1929. V. 39. P. 41-57.

3. Salop S. Monopolistic Competition with Outside Goods // Bell Journal of Economics. 1979. V. 10. P. 141-156.

4. Авдашева С. Б., Розанова Н. М. Теория организации отраслевых рынков. М. : Магистр. 1998.

5. Филатов А. Ю. Развитие модели Бертрана на случай несовершенной ценовой эластичности спроса // Методы оптимизации и их приложения : тр. XIII Байкал. междунар. шк.-семинара. Иркутск, 2005. Т. 6. С. 350-354.

6. Филатов А. Ю. Модель олигополии Бертрана с несовершенной ценовой эластичностью спроса для произвольного числа фирм // Инструменты анализа и управления переходными состояниями в экономике : сб. ст. Екатеринбург, 2008. С. 111-123.

7. Филатов А. Ю. Модель ценовой олигополии с несовершенной эластичностью спроса // Теория и методы согласования решений. Новосибирск : Наука. 2009. С. 130-145.

Р

q

\ у

\i п у

1

n