Триангуляция пространственных элементарных областей Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.volsu.ru

МАТЕМАТИКА

DOI: http://dx.doi.oгg/10.15688/jvolsu1.2015.4.1

УДК 517.951, 519.632 ББК 22.161, 22.19

ТРИАНГУЛЯЦИЯ

_____ ___________О

ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОБЛАСТЕЙ 1

Алексей Александрович Клячин

Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математического анализа и теории функций, Волгоградский государственный университет [email protected], [email protected]

просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

Анжелика Юрьевна Беленикина

Студентка Института математики и информационных технологий,

Волгоградский государственный университет

[email protected]

просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

га к к к ■х к

ч

Аннотация. В работе приводится построение триангуляции пространственных областей специального вида и дается нижняя оценка минимального

§ двугранного угла ее тетраэдров.

Ключевые слова: триангуляция, тетраэдр, двугранный угол, элементарная область, разбиение области, условие Липшица.

Введение

й Пусть задан конечный набор точек {Д}™! в пространстве И3. Триангуляцией

^ данного набора точек называется совокупность невырожденных тетраэдров {Т.,-}м

<

х удовлетворяющих условиям:

? 1) любая точка Рг является вершиной хотя бы одного тетраэдра ^;

3 } = !'

^ 2) каждый тетраэдр Т^ содержит только четыре точки из данного набора, явля-

@ ющиеся вершинами этого тетраэдра.

Пусть П ограниченная область в R3. Триангуляцией области П называется триангуляция произвольного конечного набора точек, лежащего в замыкании области П.

В настоящее время для плоских областей имеется довольно большое число различных алгоритмов триангуляции, описание которых можно найти, например, в работах [1; 5; 8-10]. Многие из приведенных там алгоритмов подходят, после соответствующих изменений, и для трехмерных областей. Описание некоторых прямых и итерационных алгоритмов в пространственном случае имеется в работах [2;3]. Как правило, в перечисленных работах не исследуется математически строго качество построенной триангуляции и не выводится никаких количественных оценок ее числовых характеристик.

В настоящей работе мы описываем достаточно простой в реализации алгоритм триангуляции пространственной области специального вида, который относится к так называемым прямым методам. Для оценки качества построенной триангуляции мы используем минимальный двугранный угол, вычисленный среди всех тетраэдров триангуляции. Именно мы приводим нижнюю оценку этого угла через геометрические характеристики области и параметры ее разбиения на ячейки. Стоит отметить, что условие пустой сферы, то есть условие Делоне, не обеспечивает качественной триангуляции (в отличие от триангуляции на плоскости). Например, в работе [6] строится пример триангуляции пространственной области, удовлетворяющей условию Делоне, но не аппроксимирующей с достаточной точностью градиент гладкой функции. Это ограничивает область применения таких триангуляций в различных вычислительных задачах, например, при численном решении уравнений с частными производными. В то же время более сильные условия на триангуляцию, которые обеспечивают необходимую точность вычисления площади, дают равномерную сходимость приближенных решений уравнения минимальной поверхности [4]. Для пространственных триангуляций (см., например, [7]) отделимость от нуля двугранных углов в тетраэдрах позволяет показать, что погрешность вычисления градиента гладкой функции стремится к нулю при стремлении к нулю максимального диаметра тетраэдров.

1. Основные результаты

Рассмотрим элементарную область П С R3, которая имеет вид

П = {(x,y,z) : а < х < b, с < у < d, <р(х, у) < z < ф(х, у)} ,

где ip(x,y) и ф(х,у) — заданные на прямоугольнике [a,b] х [c,d] функции, удовлетворяющие условию Липшица.

Далее полагаем

Mo = inf (ф(х,у) - <р(х,у)) > 0,

(х,у)£[а,Ь] X [c,d\

Ml = sup (ф(х,у) - (р(х,у)) < ж.

(x,y)£[a,b] X [c,d]

Будем считать, что для функций <р(х,у) и ф(х,у) найдется постоянная L < ж такая, что выполняются неравенства

) - ф",у")| < L^(x> - х'')2 + (у' - у1 ')2, 1Ф(х',у') - ф(х",у")1 < L^j(х' - х")2 + (у' - у'')2 ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2015. № 4 (29) 7

для любых х',х" Е [а,Ь],у',у" Е [с,в\. Далее опишем построение триангуляции области П. Пусть а = хо < х\ < х2 < ... < хп = Ь — разбиение отрезка [а, Ь], с = у0 < у1 < х2 < < ... < ут = в, — разбиение отрезка [с,в\. Положим

¡Т(х,у) = тф(х,у) + (1 - т)p(x,y), т Е [0, 1].

Рис. 1. Пример элементарной области О

Разобьем отрезок [0,1] точками 0 = т0 < Т1 < т2 < ... < тк = 1 ив области П рассмотрим сетку, определяемую системой точек

М]1(хг,Уз) = (хг,Уэ,/тг(х^у^)), г = 0,...,п, ] = 0,...,т, I = 0,...,к.

Ясно, что все точки (х^,у^Е П. Зафиксируем индексы г,],1, где г = 0,...,п — 1, ] = 0,...,га — 1, I = 0,...,к — 1 и рассмотрим ячейку, задаваемую точками А]1, А^^, А^+и, А^+ц, А^+ъ А+щ+ъ А]+п+1, Аг+1^+ц+1. Данная ячейка определяется следующим образом

ПЩ = {(х,У,г) : Хг <х< Хг+и Уз <у< yj+l, /т (х,у) < г < /тг+1 (х,у)}.

В каждой такой подобласти П^г построим триангуляцию, состоящую из шести тетраэдров. Способ выбора этих тетраэдров для параллелепипеда указан в работе [3]. Мы используем ту же схему.

\

1] 1+1

1+1 Рк1 "К

/

ч+11 41

Рис. 2. Схема построения тетраэдров в одной части ячейки Приведем эти тетраэдры, выписав четыре вершины каждого из них. Итак, полагаем

= (А^1, Ащ+ц,Aij+ll+l,Ai+lj+ll), т2з1 = (Aijl+l, Aij+ll+l, Аг+1^+ц+1 ,Ai+lj+ll),

T'iji — {Aiji,Aiß+i,Ai+ij+u,Aij+u+i), T?3l — (Aiji, Ai+ij+u, Ai+iji, Ai+iji+i), Tiji — {Aiji+i, Ai+iji+i, Ai+ij+u+i, Ai+ij+u), Tifl — (Aiji, Ai+ij+u,Aiji+i,Ai+iji+i). Пробегая все допустимые значения индексов i,j,l, получим триангуляцию всего множества точек [Aiji}, г — 0, ...,п, j — 0, ...,т, I — 0,...,к.

Для формулировки основного результата введем следующие обозначения. Полагаем

hi — min (xi+i — Xi), hl — max (xi+i — xi),

x 0<i<n-i fx 0<i<ra-i

hl — ^min !(^j + i — yj), hl — ^maX !(^j + i — yj), 0<]<m-1 " 0<]<m-i

t1 — min (т+i — Tz), t2 — max (т+i — t).

0<l<k-i 0<1<к-Г

Оценка углов будет проводиться одинаково в каждой ячейки П^. Более того, ее достаточно получить только для тетраэдров Tijl,T2jl,T3jl, так как для остальных трех рассуждения будут такими же.

Для начала отметим следующее. Пусть заданы два вектора

vi — (ai, ßi, 1),V2 — (a-2, ß2,1). Тогда синус угла 0 между ними удовлетворяет неравенству

.2 (ai — a2)2 + (ßi — ß2)2 Sin 0 " (1 + a2 + ßi)(1 + a2 + ß2).

Итак, рассмотрим первый тетраэдр Т^. Его грани лежат на плоскостях, нормали которых равны векторам

щ — (1, 0, 0), V2 — (0,1, 0), щ —(Zi+ij+il — Zij+il, Zij+il — Zijl, —Л ,

v Xi+i — Xi Vj+i — yj )

^ _ / zí+1j+1l — Zjj+U+l Zjj+U+l — Zjji — Л

4 V xí+i - xí ' Vj+I - Vi ' )

Обозначим углы между соответствующими векторами 0l2, 0l3, 0l4, 023, 024, 034- Тогда, используя оценку (1), получаем для угла 034 неравенство

sin2 034 >

' Zii + 1l + 1-Zij+1l \ 2 I ( Zjj+1l + 1-Zjjl + 1 N 2

í Zij + 1l + 1-Zjj+1l\ I í Zjj+1l + 1-Zjjl + 1 A

> _y Xi+1-Xi ) У Vj+1-Vj )_ >

( 1 I í Zi+1j+1l-Zij+1l \ 2 I í Zij+1l-Zijl\ j / 1 I í Zi+1j+1l-Zij+1l+1\2 I í Zij+1l+1 -Zijl\ 2 I

^ У Xi+1-Xi ) У Vj+1-Vj ) J y y Xi+1-Xi ) У Vj+1-Vj ) J

(£ )2 M2 + L2

>-T-—-2-Л • (2)

(1 + 2L2^1 + (i + §MX) + (i + §MX) J

Аналогично приходим к нижним оценкам остальных углов

sin2 01 3 > ^ , sin2 014 > ---1--2 , sin2 012 = 1,

1 + L + L)

Sin2 023 > -+-J-2 , Sin2 024 > -у-1-^.

1 + L ^{ч^ + L)

Из углов других тетраэдров отличительными будут углы для граней, находящихся на плоскости, ортогональной вектору v5 = {j^+^^j!., —1, , то есть на диагональной плоскости. Оценка угла 045 между векторами v4 и v5 будет такой

1

2

sin 045 >

й М1 + L) +(Ч М1 + L)

2 •

Остальные углы в оставшихся тетраэдрах оцениваются через те же величины. В итоге приходим к утверждению, которое показывает, что при определенных условиях на разбиения отрезков [а, Ь] и [с, ¿] при измельчении триангуляции двугранные углы построенных тетраэдров будут отделены от нуля некоторым положительным числом.

Теорема 1. Для любого двугранного угла 0 всякого тетраэдра построенной триангуляции выполнено неравенство

mm{ (|У М2 + ^ (|у М2 + ^ 1 + 2L4

sin2 0 > k }

(1 + 2L2)[1 + (IMl + L) 2 + (|M1 + L)

В частности, если n = m = k и Xi = a + i(b — a)/n, yj = с + j(d — c)/m, т = l/k, то

sin2 0

mm{ (&)2 + L2, (Ж)2 + L2,1 + 2b2}

(1 + 2L2)(1 + (^ + L)2 + (^ + L)2) Наконец, для куба имеем sin2 0 > 1/3.

ПРИМЕЧАНИЕ

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 15-41-02517-р_по-волжье_а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алейников, С. М. Алгоритм генерации сетки в методе граничных элементов для плоских областей / С. М. Алейников, А. А. Седаев // Математическое моделирование. — 1995. — № 7 (7). — С. 81-93.

2. Галанин, М. П. Разработка и реализация алгоритмов трехмерной триангуляции сложных пространственных областей: итерационные методы / М. П. Галанин, И. А. Щеглов // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 009. — 2006. — С. 1-32.

3. Галанин, М. П. Разработка и реализация алгоритмов трехмерной триангуляции сложных пространственных областей: прямые методы / М. П. Галанин, И. А. Щеглов // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 010. — 2006. — С. 1-32.

4. Клячин, А. А. О равномерной сходимости кусочно-линейных решений уравнения минимальной поверхности / А. А. Клячин, М. А. Гацунаев // Уфимский математический журнал. — 2014. — № 6 (3). — С. 3-16.

5. Клячин, А. А. Равномерная триангуляция плоских областей / А. А. Клячин // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2011. — № 15 (2). — С. 43-49.

6. Клячин, В. А. О многомерном аналоге примера Шварца / В. А. Клячин // Изв. РАН. Сер. математическая. — 2012. — № 76:4. — С. 41-48.

7. Клячин, В. А. Триангуляция Делоне многомерных поверхностей и ее аппроксима-ционные свойства / В. А. Клячин, А. А. Широкий // Изв. вузов. Математика. — 2012. — № 1. — С. 31-39.

8. Немировский, Ю. В. Автоматизированная триангуляция многосвязных областей со сгущением и разрежением узлов / Ю. В. Немировский, С. Ф. Пятаев // Вычислительные технологии. — 2000. — № 5 (2). — С. 82-91.

9. Скворцов, А. В. Алгоритмы построения триангуляции с ограничениями / А. В. Скворцов // Вычислительные методы и программирование. — 2002. — № 3. — С. 82-92.

10. Скворцов, А. В. Обзор алгоритмов построения триангуляции Делоне / А. В. Скворцов // Вычислительные методы и программирование. — 2002. — № 3. — С. 14-39.

REFERENCES

1. Aleynikov S.M., Sedaev A.A. Algoritm generatsii setki v metode granichnykh elementov dlya ploskikh oblastey [Algorithm of mesh formation in the boundary element method for plane domains]. Matеmatichеskoе modеlirovaniе [Mathematical Models and Computer Simulations], 1995, no. 7 (7), pp. 81-93.

2. Galanin M.P., Shcheglov I.A. Razrabotka i realizatsiya algoritmov trekhmernoy triangulyatsii slozhnykh prostranstvennykh oblastey: iteratsionnye metody [Development and implementation of algorithms for three-dimensional triangulation of complex spatial domains: iterative methods]. P^print IPM im. M.V. ^ldysha RAN, 009, 2006, pp. 1-32.

3. Galanin M.P., Shcheglov I.A. Razrabotka i realizatsiya algoritmov trekhmernoy triangulyatsii slozhnykh prostranstvennykh oblastey: pryamye metody [Development and implementation of algorithms for three-dimensional triangulation of complex spatial domains: direct methods]. P^print IPM im. M.V. ^ldysha RAN, 010, 2006, pp. 1-32.

4. Klyachin A.A., Gatsunaev M.A. O ravnomernoy skhodimosti kusochno-lineynykh resheniy uravneniya minimalnoy poverkhnosti [On uniform convergence of piecewise linear solutions of the minimal surface equation]. Ufimskiy matеmatichеskiy zhurnal [Ufa Mathematical Journal], 2014, no. 6 (3), pp. 3-16.

5. Klyachin A.A. Ravnomernaya triangulyatsiya ploskikh oblastey [Uniform triangulation of planar domains]. Vеstnik Volgogradskogo gosudars^nnogo univеrsitеta. Sеriya 1, Matеmatika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics],

2011, no. 15 (2), pp. 43-49.

6. Klyachin V.A. O mnogomernom analoge primera Shvartsa [A multidimensional analogue of Schwartz example]. Izv. RAN. Sеr matеmatichеskaya [Izvestiya: Mathematics],

2012, no. 76:4, pp. 41-48.

7. Klyachin V.A., Shirokiy A.A. Triangulyatsiya Delone mnogomernykh poverkhnostey i ee approksimatsionnye svoystva [Delaunay triangulation of multidimensional surfaces and its approximation properties]. Izv. vuzov. Matеmatika [Russian Mathematics], 2012, no. 1, pp. 31-39.

8. Nemirovskiy Yu.V., Pyataev S.F. Avtomatizirovannaya triangulyatsiya mnogosvyaznykh oblastey so sgushcheniem i razrezheniem uzlov [Automated triangulation of multiply connected domains with concentration and rarefaction of nodes]. Vychislitеlnyе tеkhnologii [Computational Technologies], 2000, no. 5 (2), pp. 82-91.

9. Skvortsov A.V. Algoritmy postroeniya triangulyatsii s ogranicheniyami [Algorithms for constructing a triangulation with restrictions]. Vychislitеlnyе mеtody i programmirovaniе, 2002, no. 3, pp. 82-92.

10. Skvortsov A.V. Obzor algoritmov postroeniya triangulyatsii Delone [Review of algorithms for constructing Delaunay triangulation]. Vychislitеlnyе mеtody i programmirovaniе, 2002, no. 3, pp. 14-39.

TRIANGULATION OF SPATIAL ELEMENTARY DOMAINS

Alеksеy Aleksandrovich Klyachin

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of Department of Mathematical Analysis and Function Theory, Volgograd State University [email protected], [email protected]

Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Anzhеlika Yuryevna Bеlеnikina

Student, Institute of Mathematics and Information Technologies,

Volgograd State University

[email protected]

Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Abstract. We consider a domain Q c R3 that has the form

Q = {(x,y,z) : a < x < b, c < y < d, <p(x, y) < z < ^>(x, y)} ,

where <p(x,y) and 4>(x,y) are given functions in rectangle [a,b] x [c,d] which satisfy Lipschitz condition. Let a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b be a partition of the segment [a,b] and c = y0 < yi < x2 < ... < ym = d be a partition of the segment [c,d]. We put

fT{x,y) = x^{x,y) + (1 - x)p{x,y), T G [0, 1].

We divide the segment [0,1] by points 0 = t0 < t1 < t2 < ... < Tk = 1 and consider the grid in the domain Q defined points

Aijl(xi,yj,Ziji) = (xi,yj,/t,(Xi,yj)), i = 0,...,n, j = 0,...,m, I = 0,...,k.

In this paper we built a triangulation of the region Q of nodes A^i such that a decrease in the fineness of the partition, and under certain conditions, the dihedral angles are separated from zero to some positive constant.

Key words: triangulation, tetrahedron, dihedral angle, elementary domain, partition of domain, Lipschitz condition.