CC BY
16
УДК 519.6
ТРЕУГОЛЬНЫЕ И ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЕ СГЛАЖИВАТЕЛИ МНОГОСЕТОЧНОГО МЕТОДА ДЛЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА
© 2011 г. Г.В. Муратова1, Е.М. Андреева1, Ж.-Р. Рен2
1Южно-Российский региональный центр информатизации 1Computer Center
Южного федерального университета, of Southern Federal University,
пр. Стачки, 200/1, корп. 2, г. Ростов н/Д, 344090, Stachki Avе, 200/1, B. 2, Rostov-on-Don, 344090,
[email protected] [email protected]
2Китайская академия наук, 2Chinese Academy of Sciences,
а/я 2719, г. Пекин, Китай, 100190 P.O. Box 2719, Beijing P.R. China, 100190
Предложены модификации многосеточного метода решения задач тепломассопереноса. Рассматриваются сильно несимметричные системы линейных алгебраических уравнений, полученные после разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией. Исследуются способы выбора различных сглаживателей из класса треугольных и попеременно-треугольных кососимметричных итерационных методов. Представлены результаты Фурье-анализа данных модификаций многосеточного метода.
Ключевые слова: тепломассоперенос, многосеточный метод, сглаживающие процедуры, Фурье-анализ.
In article modification of a multigrid method of the solution ofproblems of processes heat and mass transfer are offered strongly nonsymmetrical systems of the linear algebraic equations received after difference of approximation of the equation of convection-diffusion with dominant convection are considered. Ways of a choice various smoothing from a class triangular and alternately-triangular skew-symmetric iterative methods are investigated. Results of the Fourier-analysis of the given modification of a multigrid method are presented.
Keywords: heat transfer, multigrid method, procedure of smoothing, Fourier analysis.
Задачи тепломассопереноса являются одними из важнейших задач математической физики, поскольку применимы к любым техническим, природным и живым системам. При численном решении задач возникает проблема выбора эффективного метода решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), возникающих после разностной аппроксимации дифференциальной задачи. Одним из подходов численной реализации задач тепломассо-переноса является многосеточная технология, зарекомендовавшая себя высокоэффективным вычислительным алгоритмом [1].
Алгоритм многосеточного метода позволяет значительно повысить эффективность базового итерационного метода, комбинируя обычный итерационный процесс с приемом, называемым грубосеточной коррекцией - последовательным использованием в вычислениях более грубых сеток. Одна итерация многосеточного метода включает в себя 2 наиболее важных этапа: сглаживание и грубосеточный. В состав итерации входят функции ограничения или проекции, интерполяции или продолжения и корректировка приближенного решения с помощью вычисляемой поправки.
Сглаживающая процедура
Сглаживающий метод - это центральная компонента многосеточного алгоритма. Его роль заключается в том, что он должен не столько уменьшать полную ошибку, сколько сглаживать ее (подавлять высокочастотные гармоники ошибки) так, чтобы ошибка могла быть хорошо приближена на грубой сетке.
Стандартными сглаживающими методами являются линейные итерационные, например, Гаусса-Зей-деля (в8). Выбор итерационных методов, используемых в качестве сглаживателей в многосеточном методе, зависит от свойств решаемой задачи. Вышеперечисленные методы являются достаточно эффективными сглаживателями для решения задач с симметричными матрицами. Для решения сильно несимметричных систем выбор сглаживателя требует особого внимания.
Рассмотрим уравнение, описывающее установившиеся процессы конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией, записанное в симметричной форме и дополненное краевыми условиями:
1 ( 2
2
ZV„ (х) 5UiX> + dV (xM*)^
dx„
5x„
(1)
1 4 5
'Л L 5X7
Гди(х)Л 5x„
' f (x), X eQ, U да= g(s), s edQ,
где х е О, V = (у1 (х), у2 (х)) - вектор скорости движения среды. Ограничиваемся рассмотрением движения неразрывной несжимаемой жидкости, для которой
= Е1=1 дуа/дха= 0.
Объект исследования данной работы - СЛАУ, полученная после разностной аппроксимации задачи (1), в которой конвективные члены аппроксимированы центральными разностями:
Аи = f , (2)
где А - матрица коэффициентов СЛАУ; и, f - неизвестный и известный векторы.
Представим матрицу А в виде суммы симметричной и кососимметричной частей А=А0+А!. Матрицу Аь в свою очередь, представим в виде суммы А1 =Кг+К„, где К/ и К - соответственно нижняя и верхняя треугольные части кососимметричной матрицы А!.
Для решения системы (2) предлагается применить многосеточный метод, в качестве сглаживателей которого используются итерационные методы из класса треугольных и попеременно-треугольных кососим-метричных методов (ТКМ и ПТКМ) [2]. Использование методов из класса ТКМ и ПТКМ для решения СЛАУ не требует диагонального преобладания от исходной матрицы А. Единственным ограничением этих методов является требование диссипативности исходной матрицы.
Рассмотрим структуру методов ТКМ и ПТКМ. Любой итерационный метод можно записать в канонической форме
B
--Au = f, n = 0, 1, 2, ...
(3)
т
Различные способы построения оператора В из (3) определяют разные методы из предложенных классов. Для ТКМ В = Е + 2тК, или В = Е + 2гКш; для ТКМ1 В = оЕ + 2К или В = аЕ + 2Ки ; для ТКМ2 В = В + 2К или В = В + 2К„; для ПТКМ В = (Е + тКг)(Е + тКи) . Здесь т - скалярный итерационный параметр; а = \|м||; В с - диагональная матрица. Её элементы ¡рс,, ^ строятся по формуле
Р,, = Х/=0\ту\, ' = 0,п , где М = ¡ту I - симметричная матрица, которая имеет вид М = А0 + Кш - К1; п - размерность матрицы А.
Поведение методов класса ТКМ аналогично поведению метода в8, который быстро гасит высокочастотные гармоники ошибки, замедляясь в дальнейшем. Поэтому ТКМ могут быть использованы как сглажи-ватели многосеточного метода.
Для предложенных модификаций многосеточного метода с треугольными кососимметричными сглажи-вателями были доказаны теоремы сходимости [3].
Фурье-анализ многосеточного метода
Фурье-анализ является важным инструментальным средством для получения количественных оценок сходимости и оптимизации основных компонент многосеточного метода. Основная идея Фурье-анализа состоит в том, чтобы представить ошибку или невязку в виде суммы некоторых периодических функций, называемых компонентами Фурье или гармониками. При этом появляется возможность оценить воздействие составляющих многосеточного метода на каждый компонент Фурье-разложения.
В работе проведен односеточный локальный Фурье-анализ или анализ сглаживания и двухсеточный
а=1
Фурье-анализ предложенной модификации многосеточного метода [4]. При проведении локального Фурье-анализа для оценки свойства сглаживания базовых итерационных методов были получены коэффициенты сглаживания для ТКМ. Для оценки скорости сходимости двухсеточного метода с треугольными кососимметричными сглаживателями численно получены коэффициенты асимптотической сходимости двухсеточного метода. Проведено сравнение результатов Фурье-анализа многосеточного метода, в котором в качестве сглаживателей выбирались треугольные кососимметричные сглаживатели с многосеточным методом со стандартными сглаживателями - методами в8 и Якоби (1АС) [5, 6].
Проведенные исследования показали, что ТКМ обладают хорошим сглаживающим свойством. Для эффективной работы метода в качестве сглаживателя коэффициент сглаживания ц1ос должен быть меньше
единицы. Чем меньше /и1ос, тем быстрее метод подавляет высокочастотные компоненты ошибки. В табл. 1 представлены результаты Фурье-анализа сглаживающих методов для чисел Пекле (Ре) и коэффициентов при конвективных членах v-i = 1 и v2=1 в (1). Поскольку используемая методика предполагает «замораживание» переменных коэффициентов, то построение вспомогательного оператора методов ТКМ1 и ТКМ2 одинаково. Поэтому результаты представлены только для одного случая ТКМ1-ТКМ2.
Таблица 1
Коэффициент сглаживания ^¡ос итерационных методов
В работе проведен двухсеточный Фурье-анализ, позволяющий выбрать оптимальное число сглаживающих итераций для эффективного решения задачи с большими Ре. Результаты численных экспериментов двухсеточного Фурье-анализа представлены в табл. 2. В ней для различных Ре представлены коэффициенты асимптотической сходимости. Как показали расчеты, число сглаживающих итераций для несамосопряженных задач должно быть больше 2^3 (количество итераций, обычно используемых для самосопряженного случая), но вычислительные затраты на проведение сглаживающих итераций намного меньше, чем на многосеточный цикл.
Таблица 2
Коэффициент асимптотической сходимости двухсеточного метода р1ос (проводилось 15 сглаживающих итераций)
Численные эксперименты
Для численного исследования эффективности предложенных модификаций многосеточного метода рассматривалось уравнение (1), правая часть и краевые условия которого выбирались таким образом, чтобы аналитическим решением была функция и(хг,х2) = ъ1п(ях1)ът(ж2)ехр(хх2) ■ Для аппроксимации (1) использовался метод конечных разностей с центрально-разностной аппроксимацией первых производных на различных сетках от 33x33 до 512x512.
Проведены вычислительные эксперименты для 4 модельных задач с различными векторами скорости движения среды (табл. 3), постоянными, разделяющимися переменными, линейными и быстроменяющимися коэффициентами. Исследовалось поведение метода для Ре=103, 104, 105. Итерации останавливались при уменьшении относительной невязки до 10-6.
Таблица 3
Варианты задания коэффициентов при конвективных членах
Задача vi(xi, x2) v2(xb x2)
1 1 -1
2 1-2x1 2x2-1
3 xj+x2 xj-x2
4 sin(2^Xj) —2лх2 cos(2;x )
На рис. 1 представлена зависимость времени счета многосеточного метода от количества сглаживающих итераций для 2-й задачи при Ре=103. Полученные результаты говорят о том, что существует некоторое оптимальное количество сглаживающих итераций, превышение которого ведет к увеличению времени счета многосеточного метода.
t, мс
Рис. 1. Зависимость времени счета многосеточного метода от количества сглаживающих итераций ТКМ при Ре = 1 000
В табл. 4 представлены результаты расчетов многосеточного метода с различными сглаживателями: ТКМ и ПТКМ на сетке 512*512. Указано Ре, количество итераций и время счета, с, многосеточного метода с исследуемыми сглаживателями (проводилось 15 итераций сглаживающим методом) и число кососиммет-рии К = Pe•h• |у|/2, где h - шаг по сетке;
IV = ,у2 )| = Ну2)(у2 )2 - модуль вектора скорости.
Pe TKM1-TKM2 TKM JAC GS
1000 0,2035 0,1844 2,5895 >>1
10000 0,8582 0,8397 3,7207 >>1
100000 0,9970 0,9164 3,762813 3,6897
Pe TKM1-TKM2 TKM JAC GS
1 000 0,8875 0,8762 0,9983 0,9999
10 000 0,9876 0,9873 0,9999 0,9999
100 000 0,9987 0,9987 0,9999 0,9999
Предложенные модификации многосеточного метода могут быть использованы для разных классов задач, в результате аппроксимации которых получаются сильно несимметричные системы линейных алгебраических уравнений, обладающих свойством дис-сипативности.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ №09-01-00420-а и №11-01-91150-ГФЕН а.
Литература
1. Hackbusch W. Multigrid method and application. Berlin, 1985. 378 р.
2. Крукиер Л.А. Кососимметричные итерационные методы решения стационарной задачи конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной // Изв. вузов. Математика. 1997. № 4. С. 77 - 85.
3. Андреева Е.М., Муратова Г.В. Многосеточный метод решения сильно несимметричных систем // Вычислительные технологии. 2005. Т. 10, № 5. С. 12 - 18.
4. Trottenberg U., Oosterlee C.W., Schuller A. Multigrid. N.Y., 2001. 631 р.
5. Андреева Е.М., Муратова Г.В. Фурье-анализ многосеточного метода // Современные проблемы математического моделирования : сб. тр. XI всерос. школы-семинара. Ростов н/Д, 2005. С. 66 - 74.
6. Muratova G.V., Andreeva E.M. Multigrid method for solving convection-diffusion problems with dominant convection // J. of Computational and Applied Mathematics. 2009. № 226. Р. 77 - 83.
Поступила в редакцию_15 марта 2011 г.
Таблица 4
Количество итераций (верхняя строка) и время счета (нижняя) с различными сглаживателями
Задача № 1
Ре ТКМ ТКМ1 ТКМ2 ПТКМ Feh^ / 2
1 000 82 1:7:110 56 0:50:31 56 0:47:609 59 0:56:625 0,9765625
10 000 62 0:51:265 36 0:34:984 36 0:30:703 35 0:33:750 9,765625
100 000 119 1:38:109 110 1:38:844 110 1:33:781 49 0:47:438 97,65625
Задача № 2
1 000 408 5:12:953 251 3:48:234 153 2:10:407 245 3:55:859 0,9765625
10 000 345 4:23:187 149 2:11:78 49 0:41:828 116 1:52:266 9,765625
100 000 221 2:54:422 189 2:46:250 67 0:57:157 120 1:55:968 97,65625
Задача № 3
1 000 153 1:59:953 98 1:26:94 67 0:57:141 142 2:17:718 1,953125
10 000 138 1:48:422 72 1:3:320 17 0:14:532 75 1:23:78 19,53125
100 000 177 2:18:984 86 1:15:531 59 0:50:438 84 1:30:393 195,3125
Задача № 4
1 000 242 3:15:734 158 2:24:625 83 1:13:703 129 2:11:157 6,135923152
10 000 240 3:13:765 157 2:23:844 56 0:49:750 124 2:2:906 61,35923152
100 000 349 4:41:938 333 4:40:0 79 1:10:328 163 2:54:31 613,5923152
