CC BY
21
Тренажер по нахождению первообразной функции для интеграла
С ДРОБНО-ИРРАЦИОНАЛЬНЫМ ВЫРАЖЕНИЕМ
Попов Александр Александрович ([email protected])
ГОУВПО «Марийский государственный университет», г. Йошкар-Ола
Обсуждаются составленные автором две компьютерные программы. Программа-тренажер генерирует решение со всеми промежуточными действиями и проверяет правильность каждого введенного символа при сведении интеграла к первообразной функции. Иллюстрирующая программа при посимвольном выводе сгенерированного решения сопровождает каждую группу символов составными комментариями.
В настоящее время компьютерные технологии в образовании используются в большей степени для контроля знаний студентов. Успешное тестирование не всегда отражает качество полученных знаний, особенно, когда речь заходит о точных науках. В этом случае кроме получения необходимых знаний студент должен приобрести навыки при решении задач, т. е. успешно применять свои знания на практике.
Интегральное исчисление является одним из наиболее сложных разделов математики. Сложность раздела определяется неумением студентов, успешно осваивающих сложные дисциплины, выполнять элементарные преобразования. Действительно, дифференцирование и интегрирование являются взаимообратными операциями, и, казалось бы, что задачи по этим разделам математики должны иметь одинаковый уровень сложности, но это не так. При определении производной сложной функции достаточно знать таблицу производных. При нахождении первообразной недостаточно знать таблицу интегралов. Необходимо уметь преобразовывать подынтегральную функцию, сводя исходный интеграл к табличному интегралу.
Под интегралом с дробно-иррациональным выражением здесь понимается интеграл вида:
I
(С0 + С1 х + С2 х2 + к + Спхп )ёх у/х2 + рх + д
где Со, С1, С2, ..., Сп — известные коэффициенты. При сведении интеграла к первообразной функции требуется выполнить обширный набор элементарных преобразований. Решение для интеграла записывается в виде:
/-
(А0 + А1 х + А2 х2 + к Ап-1 хп-1 Д/х2 + рх + д + В | -,
ух2 + рх + д
где А0, А1, А2, ..., Ап-1 и В являются неопределенными коэффициентами. Интегральное выражение, левой и правой частью которого соответственно являются исходный интеграл и решение с неопределенными коэффициентами, дифференцируется и умножается на радикал. Далее в полученном выражении раскрываются скобки и приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях х. В итоге получается система линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов А0, А1, А2, ..., Ап-1 и В. Матрица системы является ленточной матрицей, значащие элементы которой локализованы вблизи главной диагонали. Причем последняя строка матрицы имеет один элемент, отличный от нуля, а предпоследняя строка имеет два значащих элемента. Коэффициент Ап-1 может быть найден сразу, а после его исключения из уравнений системы вновь получается матрица с одним элементом в последней строке. Далее алгоритм определения очередного коэффициента и его исключения из системы уравнений повторяется. Последним определяется коэффициент В, для которого остается одно уравнение. Кроме многочлена с неизвестными коэффициентами в записанном
ёх
решении содержится интеграл | , который преобразуется к табличному интегралу путем
д/х2 + рх + д
выделения полного квадрата в радикале.
Для данных задач окончательное решение существенным образом связано с промежуточными результатами. Например, неправильно перемноженные числовые коэффициенты или потеря показателя степени приводит к неверно составленным уравнениям, что перечеркивает дальнейшее решение
задачи. Проверка таких решений достаточно сложна для преподавателя. Казалось бы, уже первая ошибка приводит к ошибочности всего дальнейшего решения и проверку можно прекратить. С другой стороны, последовательности ошибочных числовых коэффициентов могут включать еще ошибку в алгоритме задачи, на которую преподаватель должен каким-то образом отреагировать, но он не может оперировать ошибочными числовыми коэффициентами для указания систематической ошибки. Исправление же всех допущенных студентом ошибок эквивалентно решению задачи самим преподавателем, что тоже не является правильным. Именно для подобного типа задач и необходимы в первую очередь тренажеры.
Составной частью тренажера является правильное решение, составленное компьютером согласно алгоритму задачи. Причем запрограммированный процесс решения может быть использован не только в тренажере. Если последовательность действий в решении снабдить комментариями, то оно может стать электронным решебником или, по крайней мере, его разделом.
Рассмотренный выше алгоритм решения для этих задач реализован на языке Java[1]. Для случайно сгенерированных коэффициентов A0, Ль Л2, ..., An-1, B и p, q найдены коэффициенты Co, Cb C2, ..., Cn для исходного интеграла. Такой подход и выбор p четным числом дает возможность определить коэффициенты C0, Ci, C2, ..., Cn в области целых чисел. В рассматриваемых компьютерных программах показатель степени многочлена n может принимать значения 2, 3 или 4. Значению n = 4 соответствует система из 5 линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов А0, ..., Л3 и B.
Набору известных коэффициентов C0,..., C4, p и q соответствуют наборы целых чисел, полученных для промежуточных формул в результате реализации алгоритма задачи. Для исключения возможных ошибок наборы целых чисел сгруппированы в строки или массивы строк. В них представлено аналитическое решение задачи со всеми промежуточными результатами. Каждая строка является или многочленом степени x с известными или неизвестными коэффициентами, или уравнением, в которое входят неизвестные коэффициенты. В строки также заносятся обозначения неопределенных коэффициентов, связанные равенствами с соответствующими числовыми значениями.
При иллюстрации решения каждая строка выводится на экран посимвольно. Символ строки предварительно запоминается в массиве char cM[], в массивы int xM[], yM[] заносятся координаты символа на экране. Массив int fM[] содержит порядковый номер шрифта из перечня шрифтов, используемых в программе. Горизонтальная координата очередного символа с учетом размера предыдущего символа определяется автоматически с помощью метода char Width класса FontMetrics[1]. Различные группы символов выводятся разными цветами, поэтому номер цвета символа заносится в массив int colM[]. Чтобы вместить весь процесс решения задачи на один экран, необходимо промежуточные формулы, ставшие уже ненужными, сделать невидимыми. Для этого используется логический массив boolean bM[]. Например, после раскрытия скобок приравниваются коэффициенты при соответствующих степенях x. Формулы, полученные после дифференцирования интегрального выражения и после умножения на радикал, делаются невидимыми, а на их месте выводится система линейных алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов. Такой подход дает возможность представить всю динамику решения в одном окне, не содержащем полос прокрутки.
Компьютерная программа, соответствующая электронному решебнику, построена таким образом, что посимвольный вывод всех формул осуществляется нажатием любой буквенной клавиши и сопровождается комментариями. Каждый комментарий соответствует своему фрагменту решения задачи. Если это необходимо, то комментарий может быть составным. Например, при выдаче большой группы символов, связанной с дифференцированием левой и правой частей исходного интегрального выражения, основной комментарий дополняется формулами для производной от интеграла, производной от произведения двух функций, производной от радикала. Подобные иллюстрирующие программы содержат всю теоретическую информацию, необходимую для освоения данной темы, и могут использоваться для самостоятельной работы студентов.
При создании компьютерной программы-тренажера на базе полученного решения приходится сталкиваться с дополнительными трудностями. Основной из них является существование многих пра -вильных решений. Эти решения отличаются от решения, сгенерированного компьютером, порядком следования символов или групп символов. Для правильной идентификации вводимых символов решение, сгенерированное в памяти компьютера, разбито на блоки. Как правило, каждый блок соответствует
строке текста на экране. Символы текущего блока могут вводиться в любой последовательности. На каждом шаге может быть выдана ошибка, если введен символ, не принадлежащий блоку. Для образования дроби курсор можно переводить в числитель или в знаменатель. В тренажере для каждого символа используется дополнительная характеристика в виде массива int posM[], который фиксирует принадлежность символа дроби. Если i-й символ не принадлежит дроби, то его позиция posM[i] = 0, если символ принадлежит числителю или знаменателю, то posM[i] = -1 или posM[i] = 1 соответственно. Если текущий символ вводится в числитель вместо знаменателя, то программа фиксирует ошибку. Однако в программе обработаны все исключения, когда допускаются использования текущего символа и в числителе, и вне дроби. Например, в решении, сгенерированном компьютером, неопределенный коэффициент B расположен перед интегралом, а дифференциал dx записан в числителе. Однако правильными являются также выражения:
Если текущий блок не содержит дроби, то для всех позиций символов posM[i] = 0. Перевод курсора в рамках данного блока в числитель или знаменатель является ошибкой, поскольку тренажер не может найти символы с позициями posM[i]^0.
При вводе каждого символа с клавиатуры проверяется, есть ли он в текущем блоке. Если ответ положительный, то при выводе символа на экран для него используется вся информация, занесенная в массивы, кроме массива xM[]. Горизонтальная координата для вывода очередного символа не связана со значениями массива xM[] и должна быть вычислена. Использование заранее определенной ординаты символа (yM[]), и заранее выбранного размера символа (fM[]) позволяет выводить в нужное место экрана индекс и показатель степени без каких-либо дополнительных действий, которые используются, например, в Microsoft Word. Для вывода на экран знака интеграла, знака радикала, дробной черты и вертикальной черты перепрограммированы клавиши I, R, F, M. Информация соответствия выбранных клавиш указанным символам представлена в нижней части экрана.
При дифференцировании радикала образуется дробь, в знаменателе которой находится удвоенный радикал, в числителе выражение 2x + p. Не нарушая общности задачи, значение p при генерации можно выбрать четным числом. Пусть для определенности сгенерировано p = 4. Тогда выражение 2x + 4 лучше записывать в виде 2(x + 2). Именно таким образом оно представлено в решении. В результате видно, что коэффициенты 2 в числителе и знаменателе можно сократить, т. е. не учитывать в дальнейших преобразованиях. Если пользователь набирает выражение 2x + 4, которое тоже является правильным, то программа автоматически преобразует его к нужному виду 2(x + 2).
Если введены все символы текущего блока, то курсор автоматически переходит на начало новой строки, т. е. к началу нового блока. Все введенные ранее символы до текущего блока выводятся на экран согласно информации, расположенной в массивах xM, yM, fM, colM и bM и уже недоступны для пользователя. К очередному блоку можно перейти досрочно, нажимая клавишу PgDn. Все недостающие символы блока выводятся на экран красным цветом. Количество недостающих символов фиксируется в блоке контроля. В результате тренажер обрабатывает два вида ошибок : лишние символы и недостающие символы. Ошибки первого вида могут возникнуть при каждом нажатии клавиши. Ошибки второго вида возникают в том случае, когда пользователь досрочно переходит к новому блоку.
После выбора неопределенных и числовых коэффициентов из степенного выражения для системы линейных алгебраических уравнений цвет фона под выбранными коэффициентами изменяется. Таким путем моделируется процесс вычеркивания выбранных коэффициентов при решении задачи на бумаге. Изменение фона под коэффициентами исключает их повторный выбор.
После нахождения очередного неопределенного коэффициента, его необходимо исключить из оставшихся уравнений и получить систему с меньшим количеством уравнений. Если в новой системе какое-либо уравнение или левая часть уравнения остались без изменений, то они переписываются программой автоматически.
При генерации исходного интеграла выводится комментарий, в котором указывается количество символов в решении, а также максимально возможное количество допущенных ошибок. После ввода всех символов на экран выводится комментарий о зачете или незачете.
B
Bdx
В заключение можно отметить, что в данной работе рассмотрено два вида программ. Одна из них дает полное представление о практической реализации решения для интеграла с дробно-иррациональным выражением и может быть использована для самостоятельной работы студентов. Другая программа является тренажером и предназначена для выработки у студентов практических навыков по нахождению первообразной функции для интеграла с дробно-иррациональным выражением, и может также служить средством контроля.
=10- Литература
Ноутон Н., Шилдт Г. Java™ 2: пер. с англ. СПб.: БХВ-Петербург, 2003. 1072 с.
Использование свободно распространяемого
РЕДАКТОРА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Сафонова Людмила Анатольевна ([email protected])
ГОУВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева», г. Саранск
Аннотация
В статье рассматриваются возможности свободно-распространяемого графического редактора Tux Paint. Представлены достоинства и недостатки данного редактора.
Одно из самых популярных направлений использования персонального компьютера - работа с компьютерной графикой. В связи с этим современные графические средства разрабатываются с таким расчетом, чтобы не только дать удобные инструменты профессиональным художникам и дизайнерам, но и предоставить возможность для продуктивной работы и тем, кто не имеет необходимых профессиональных навыков и врожденных способностей к художественному творчеству.
Для обработки изображений на компьютере используются специальные программы - графические редакторы. Графический редактор - это программа, предназначенная для автоматизации процессов построения на экране дисплея графических изображений.
Tux Paint - свободно распространяемая программа для рисования, ориентированная на детей. Эмблемой программы является пингвин - Tux символ операционной системы Linux. Отсюда первая часть названия программы. Второе составляющее названия - слово Paint (английского «рисовать красками») указывает на принадлежность программы к растровым графическим редакторам.
Графический редактор Tux Paint позволяет создавать изображения, сохранять их в собственном формате, печатать. Данный редактор содержит большой набор кистей, линий, форм, шрифтов, штампов, эффектов. Рассмотрим некоторые инструменты рисования:
1. Краска - доступны различные кисти; можно добавлять свои кисти; кисти могут быть анимиро-ванными и менять форму в зависимости от направления рисования.
2. Штамп - доступны фото- и рисованные штампы, которые также можно добавлять. К штампам можно присоединять текст с описанием (имена, факты и т. д.) и звуковые эффекты.
3. Линии - используются кисти инструмента «Краска». Во время протаскивания мыши контур предварительно показывает, где будет проведена линия.
4. Формы - рисование различных закрашенных и незакрашенных многоугольных форм. Возможен поворот фигур.
5. Ластик - удаление фрагмента изображения.
6. Откат - отмена последнего действия пользователя.
Программа Tux Paint может служить замечательным средством развития изобразительных способностей детей, выполнять роль небольшой энциклопедии (прописано название каждого штампа), да и просто являться прекрасным способом организации досуга.
Данный редактор может быть полезным и преподавателям в качестве средства организации внеклассной работы и разработки дидактических материалов. Для примера рассмотрим технологию создания в графическом редакторе Tux Paint таблицы умножения и расписания уроков.
