CC BY
36
Трехмерное моделирование распространения полос Людерса в сталях
P.P. Балохонов, В.А. Романова
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
В работе представлены результаты трехмерного моделирования распространения полос Людерса в стали в условиях растяжения, с учетом реальной геометрии экспериментального образца. Для описания процесса формирования и распространения фронтов макролокализованной пластической деформации использовался континуально-дискретный подход, основанный на комбинации моделей механики сплошных сред с элементами метода клеточных автоматов. Численно исследованы стадии формирования и распространения фронтов Людерса в сопоставлении с макроскопическим откликом образца — кривой нагружения. Проанализировано влияние параметра модели — деформации зарождения пластических сдвигов — на характеристики развития макролокали-зованной пластической деформации.
Three-dimensional modeling of Luders band propagation in steels
R.R. Balokhonov, V.A. Romanova Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
The paper contains 3D simulation results on Lbders band propagation in steel under tension, with regard to the real geometry of the test specimen. The deformation process and propagation of macrolocalized plastic deformation fronts are described with the use of a discrete-continuous approach which is based on a combination of continuum mechanics models with elements of the cellular automaton method. The stages of Lbders band formation and propagation in comparison to the macroscopic response of the specimen, i.e. loading curve, are studied. We analyze how such model parameter as the strain of plastic shear generation influences the characteristics of macrolocalized plastic deformation development.
1. Введение
Традиционная формулировка континуальной механики [1] не позволяет, без введения дополнительных допущений, описать «медленные» течения типа зарождения и распространения полос локализованной пластической деформации. В работах [2, 3] был предложен подход, позволяющий учесть особенности микро-и мезоуровня путем сочетания строгого математического описания механического поведения деформируемой среды с элементами имитационного моделирования. В частности, для описания процессов пластической деформации на макро- и мезоуровнях использовался математический аппарат и численные методы континуальной механики [4]. Для учета процессов пластического течения на микроуровне, дискретных по своей природе, авторы прибегли к приемам имитационного моделирования — элементам метода клеточных автоматов [5],
основное назначение которых заключается в формировании условий упругопластического перехода.
В [6, 7] комбинированный дискретно-континуальный подход был применен для моделирования в двумерной постановке распространения полос Людерса в сталях при разных скоростях деформирования. В настоящей работе этот подход распространен на случай трехмерного моделирования с учетом реальной геометрии экспериментального образца.
2. Модель зарождения и развития полос локализованной деформации на основе комбинированного подхода
Традиционно эффект Людерса-Пиоберта относят к явлениям пластической нестабильности, проявляемой на макроскопическом уровне — уровне образца в целом. Захваты испытательной машины представляют
© Балохонов P.P., Романова В.А., 2007
собой границу раздела на макроуровне, которая является мощным концентратором напряжений и может служить источником зарождения полос локализованного сдвига. В экспериментах (например [8, 9]) обычно наблюдается полоса Людерса в виде зоны локализованной пластической деформации, которая формируется вблизи базового концентратора напряжений (как правило, захвата испытательной машины) и распространяется через весь образец с определенной, характерной для данной марки стали скоростью. Дальнейшее пластическое течение материала соответствует классической схеме деформационно-упрочняющейся кривой. Как только полоса Людерса начинает формироваться, происходит резкое падение напряжения — релаксация. На кривой напряжение - деформация образуется так называемый зуб текучести. Его величина определяет верхний предел текучести, а напряжение, соответствующее плато Лю-дерса, принято называть нижним пределом текучести.
Для математического описания зарождения и распространения полос Людерса предлагается использовать модель [6, 7] перехода из упругого в пластическое состояние, основанную на экспериментальных представлениях о формировании и развитии макролокализации в металлах. Классический критерий пластичности для среды с упрочнением имеет вид:
СТеЧ( X■ > *) X, *)), (1)
где ^ — интенсивность напряжений;
= 2/3^ёр£р~ — интенсивность накопленной пластической деформации; х{ — декартовы координаты (в трехмерной постановке - = 1, 2, 3); t — время. Критерий (1) определяет связь между текущим сопротивлением деформированию и накопленной пластической деформацией в локальной точке материала х{. Для учета процессов формирования и распространения фронта Людерса критерий (1) для точек, находящихся в объеме образца, дополнен условием наличия критического уровня пластической деформации в окрестности данной локальной области:
еР,(х- ±Дх) = е*, (2)
где е* — критическое значение пластической деформации в окрестности точки х1. Далее будем называть этот параметр деформацией зарождения. Таким образом, критерий перехода из упругого состояния в пластическое материала в объеме предполагает одновременное выполнение соотношений (1) и (2): пластическое течение начинается при условии, что интенсивность напряжений в точке Х{ превысит критический уровень о* и пластическая деформация в окрестности х- достигнет величины е*. Отметим, что на поверхности критерий пластического перехода определяется единственно соотношением (1). После перехода в пластическое состояние дальнейшее поведение описывается уравнениями
Прандтля-Рейсса для упругопластической среды [4], согласно которым напряжения сносятся на поверхность текучести, ограниченную в пространстве напряжений величиной o*(ePq(xt, t)). Предложенный критерий позволяет описать распространение пластических сдвигов от границ раздела в объем образца как медленные течения.
3. Результаты расчетов
Расчетный образец, дискретизированный сеткой 150x30x8, и схема приложения нагрузки приведены на рис. 1. На поверхностях xj = 0 и xj = L, где L — длина образца, задавались постоянные смещения со скоростью Uten, имитирующие растяжение в направлении оси Xj. Для минимизации волновых эффектов, связанных с динамической постановкой задачи, скорости смещений плавно наращивались до величины Uten, после чего поддерживались постоянными. Остальные поверхности образца были свободны от внешней нагрузки, т.е. напряжения здесь принимались равными нулю.
Система уравнений [1], дополненная граничными условиями, решалась конечно-разностным методом [4], адаптированным для трехмерных сред с внутренними границами. В расчетах задавались следующие константы, соответствующие свойствам стали: плотность — 7.9 г/см3, модуль сдвига — 80 ГПа, модуль объемного сжатия — 133 ГПа. Для учета упрочнения введена функция следующего вида:
а* = 713-291exp(-4.5783epq) [МПа]. (3)
Проанализируем процессы формирования и распространения полос локализованной деформации и их влияние на вид а-е-диаграммы при деформации зарождения е* = 0.12 %. Интегральная кривая нагружения, отражающая макроскопический отклик образца,
приведена на рис. 2. Здесь (о) = — J oeqdv — среднее
V у
по объему напряжение; E = (L - L0)L0J -100 % — относительное удлинение; L0 и L — начальная и текущая длина образца соответственно. Картины интенсивности пластической деформации и поля скоростей, соответ-
Рис. 1. Расчетный образец (размеры в см) и схема приложения нагрузки
ствующие разным моментам нагружения, приведены на рис. 3 и 4.
Процесс формирования фронта полос Людерса продемонстрирован на рис. 3 (кадры 1-4). Первоначально зоны пластического течения зарождаются на поверхности вблизи захватов, которые являются мощными геометрическими концентраторами напряжений (рис. 3, кадр 1). Объемная доля пластически деформированного материала на этой стадии настолько мала по сравнению с объемом образца, что практически не влияет на отклонение интегральной кривой нагружения от линейного поведения (рис. 2, точка 1 на кривой нагружения). По мере нарастания внешней нагрузки вблизи закруглений лопатки формируются V-образные пластические области (рис. 3, кадры 2, 3), которые постепенно распространяются навстречу друг другу под некоторым телесным углом, величина которого зависит от толщины лопатки, и сливаясь образуют фронт полосы Людерса, направленный перпендикулярно к оси растяжения (рис. 3, кадр 4). Прохождение пластических потоков через поперечное сечение образца обуславливает появление зуба текучести на макроскопической кривой нагружения (см. участок кривой между точками 2-5, рис. 2). Фронт Людерса является своеобразной границей раздела, образование которой сопровождается генерацией и распространением волн разгрузки в упруго-деформированном материале (рис. 4, кадры 2- 8). Распространение упругих волн в направлении, совпадающем с направлением растяжения (рис. 4, кадры 5, 7), вызывает рост средних напряжений (см. точки 5 и 7 на
кривой нагружения, рис. 2). При распространении волн в противоположном направлении (рис. 4, кадры 6, 8) на кривой нагружения, напротив, наблюдается ниспадающий участок. Отметим, что процессу локализации деформации на макроуровне предшествует квазиодно-родное пластическое течение на поверхностях образца, которое прекращается, как только фронт полосы Людерса начинает распространяться по образцу (рис. 4).
Следующая стадия нагружения характеризуется распространением фронтов пластической деформации от захватов к середине образца. Этот процесс соответствует плато на кривой нагружение - деформация Людерса. Скорость пластической деформации максимальна во фронтах полос и существенно снижается за фронтом. Структура фронта имеет форму песочных часов, где интенсивное движение материала происходит перпендикулярно оси растяжения, вызывая утонение образца (рис. 4, кадры 6-9).
После того как полосы локализованной деформации проходят через весь образец, начинается стадия квазиравномерного деформирования, характеризующегося макроскопическим деформационным упрочнением (участок кривой правее точки 10, рис. 2).
Для исследования влияния деформации зарождения на характеристики напряженно-деформированного состояния была проведена серия расчетов, в которых величина Е* варьировалась от 0.08 до 0.36 %. Расчеты показали, что величина Е* существенно влияет на количественные характеристики зарождения и распространения полос Людерса, тогда как качественная картина
ж*
10
Рис. 3. Интенсивность пластической деформации на поверхности образца на различных стадиях распространения полосы Людерса. Удлинение образца соответствует точкам 1-4, 9, 10 на рис. 2
процесса не меняется. Величина зуба текучести линейно зависит от деформации зарождения (рис. 5, 6), соответственно таким же образом е* влияет на скорость формирования фронта полосы Людерса (рис. 3, кадры 1-4). В процессе моделирования было получено следующее выражение:
ав = 379 + 881.5е* [МПа], (4)
где ов — напряжение на вершине зуба текучести.
Рис. 4. Поля векторов скоростей на боковой поверхности образца на различных стадиях распространения полосы Людерса. Деформация растяжения соответствует точкам 2-9 на рис. 2
Длина плато текучести связана со скоростью распространения полос Людерса по образцу: чем медленнее распространяются фронты локализованной деформации, тем больше деформация Людерса EL. Зависимость EL от деформации зарождения проявляет нелинейный характер (рис. 6) и описывается экспоненциальным законом:
0.20 0.25 0.30 0.35 0 40 0.45 0.50
Удлинение образца Е. %
Рис. 5. Зуб текучести при различных значениях деформации зарождения е* = 0.08 (1); 0.12 (2); 0.18 (3); 0.24 (4); 0.30 (5); 0.36 % (6)
щ Деформация зарождения с*. %
Рис. 6. Зависимость верхнего предела текучести (1) и деформации Людерса (2) от величины деформации зарождения
^ = 1.41 - 1.13ехр(-(е* - 0.08) • 4.166) [%]. (5)
Таким же образом уменьшается скорость распространения фронтов Людерса с ростом деформации зарождения.
4. Заключение
В работе предложена трехмерная модель, описывающая медленные течения типа зарождения и распространения полос локализованной пластической деформации
в металлах. Выполненные расчеты показали, что предложенный критерий упругопластического перехода позволяет описать основные экспериментально наблюдаемые эффекты, связанные с процессом распространения полос Людерса [8, 9]. Проведен параметрический анализ относительно нового параметра модели — деформации зарождения е*. Установлено, что величина верхнего предела текучести и деформация Людерса зависят от величины е* линейно и экспоненциально соответственно. Следует отметить, что важную роль в корректном описании процесса зарождения и развития полос Людерса играет учет реальной геометрии образца.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 06-01-00592а) и проектов СО РАН 2.11 и 28.
Литература
1. СедовЛ.И. Механика сплошной среды. В 2-х т. - М.: Наука, 1983. -
528 с.
2. Makarov P. V, Romanova VA. Mesoscale plastic flow generation and development for polycrystals // Theor. Appl. Frac. Mech. - 2000. -V. 33. - P. 1-7.
3. Макаров П.В., Pоманова В.А., Балохонов P.P. Моделирование неод-
нородной пластической деформации с учетом зарождения локализованных пластических сдвигов на границах раздела // Физ. мезо-мех. - 2001. - Т. 4. - № 5. - С. 29-39.
4. Уилкинс М. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике / Под ред. О. Олдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. - М: Мир, 1967. - С. 212-263.
5. Фон Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. -М.: Мир, 1971. - 284 с.
6. Balokhonov R.R., Romanova VA., Schmauder S., Makarov PV Simula-
tion of meso-macro dynamic behavior using steel as an example // Comp. Mat. Sci. - 2003. - V. 28. - P. 505-511.
7. Балохонов P.P. Иерархическое моделирование неоднородной деформации и разрушения материалов композиционной структуры // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - № 3. - С. 107-128.
8. Цигенбайн А., ПлессингЙ., НойхойзерX. Исследование мезоуровня
деформации при формировании полос Людерса в монокристаллах концентрированных сплавов на основе меди // Физ. мезомех. -1998. - Т. 1. - № 2. - С. 5-20.
9. Дударев Е.Ф. Микропластическая деформация и предел текучести
поликристаллов. - Томск: Изд-во ТГУ, 1988. - 256 с.
Поступила в редакцию 28.09.2006 г.
