Трехмерное моделирование методом сосредоточенных деформаций Текст научной статьи по специальности «Физика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2008, том 51, №5________________________________

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

УДК 624.042

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомов, И.Каландарбеков, А.А.Ходжибоев, О.А.Ходжибоев ТРЕХМЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДОМ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ

Исследование пространственных систем связано с требованием более надежного и экономичного проектирования. Развитие современной техники и проектирование конструкций зданий и сооружений тесно связаны с разработкой и совершенствованием моделей механики деформируемого твердого тела, созданием эффективных численных методов. Построение общих сложных моделей, как правило, сочетается с необходимостью разработки простых, но в то же время эффективных моделей описания процессов с требуемой точностью, выделением главных факторов рассматриваемых процессов деформирования и созданием программ их численной реализации.

Трехмерные динамические модели, состоящие из системы твердых тел, в отличие от трехмерной модели, состоящей из материальных точек, позволяют проводить исследования при многокомпонентных сейсмических воздействиях.

При решении задач механики сплошных сред и деформирования элементов конструкций достаточно универсальными и широко распространенными являются метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ), вариационно-разностные методы (ВРМ), метод конечных разностей (МКР). В основу этих методов положено дискретное представление функций непрерывного аргумента и областей их определения, ориентированное на использование современной вычислительной технологии.

Методы дискретизации охватывают широкий спектр численных методов, в которых системы с бесконечным числом степеней свободы аппроксимируются системой, обладающей конечным числом степеней свободы. Поэтому в таких методах дифференциальные и интегральные уравнения непрерывной задачи сводятся к конечному числу алгебраических уравнений. Во всех этих методах дискретизацию подвергается не сама среда на этапе ее моделирования, а уже созданная континуальная модель среды.

Моделирование сооружений упрощенными континуальными моделями дает ориентировочную оценку напряженно-деформированного состояния объекта. Возможности современной вычислительной техники позволяет решать сложные задачи на основе дискретного моделирования. Дискретные расчетные динамические модели, по определению [1], представляют собой систему материальных точек или систему твердых тел и комбинацию материальных точек и тел, соединенных деформируемыми связями.

Например, бескаркасное здание можно смоделировать множеством элементов, состоящих из твердых тел, соединенных между собой упругими или упругопластическими свя-

зями, что дает возможность исследовать влияние податливости связей, учитывать их упругопластические свойства, а также включить в работу основания. При этом предполагается, что единственными причинами, вызывающими движение, являются внешние динамические нагрузки, внутри системы отсутствуют источники тепла. При быстро меняющихся во времени нагрузках обмен тепла за счет теплопроводности происходит очень медленно и термодинамический процесс близок к адиабатическому процессу, энтропия имеет постоянное значение.

Наиболее общей, но и наиболее сложной является расчетная модель, при которой учитывается конечная жесткость пластинок и связей между ними, а характер расположения связей соответствует реальным связям в здании [2].

Компонентами систем несущих конструкций с пластинчатым каркасом являются стены и перекрытия. С помощью плоских элементов создается пространственная система пластинок, соединенных между собой тем или иным способом. Несущие конструктивные элементы объединяются в единую пространственную конструктивную систему с помощью связей. Внешнее воздействие может быть кинематическое или силовое.

Моделирование. Моделирование трехмерной системы методом сосредоточенных деформаций (МСД) сводиться к следующему. Несущие конструктивные элементы системы плоскостями сосредоточенных деформаций разбиваются на конечные элементы е;. При этом каждый конечный элемент может иметь шесть степеней свободы. Несущие конструктивные элементы соединяются между собой при помощи шпонок, выпуска арматуры или закладных деталей, создавая, тем самым вертикальные и горизонтальные швы. Плоскостями Г2г отмечаются комплексные швы, состоящие из реальных и собственных (фиктивных) связей. На торцевых гранях элемента е; концентрируются деформации данного элемента. Эти деформации могут быть выражены через податливости упругих связей, распределенные по граням элемента. В результате пересечения плоскостей £2 со срединными плоскостями конечных элементов е;, е^ образуются линии , в которых стекаются деформации смежных элементов. Два смежных элемента, в силу своих физико-механических данных, могут иметь различные характеристики податливости, сконцентрированные на линиях . В пространственной модели на линиях могут быть сосредоточены деформации двух, трех и четырех

элементов, а также одного обобщенного реального шва. Предполагается, что реальный шов между элементами является непрерывным и его податливость (жесткость) равномерно распределена по граням элементов. Для определения деформации реальный шов рассматривается как невесомый элемент с заданными размерами поперечного сечения. Стеновые панели могут быть установлены на ленточном фундаменте или на фундаментной плите. Ленточный фундамент, в зависимости от податливости основания, моделируется либо как отдельный элемент с упругоподатливыми опорами, либо заменяется невесомыми опорными стержнями.

В случае фундаментной плиты учитывается упругое основание с двумя коэффициентами постели.

Применительно к промышленным и гражданским зданиям, также можно рассмотреть каркасные системы, в которых несущими конструкциями являются колонны, ригеля, плиты перекрытия, диафрагмы или ядра жесткости. Тремя взаимно перпендикулярными плоскостями несущие конструкции разбиваются на конечные элементы МСД. Колонны и ригеля аппроксимируются пространственными призматическими стержнями, в которых внутренние усилия являются функциями продольной оси. При этом каждый элемент, как твердое тело, имеет шесть степеней свободы. Элементы плит перекрытия и диафрагм жесткости рассматриваются как пластины, каждая из которых деформируется как в своей плоскости, так и из плоскости. Эти элементы также имеют по шесть степеней свободы. Навесные стеновые панели учитываются как присоединенная масса к несущим конструкциям. В каркасном здании разнообразие элементов и их соединения между собой приводит к более сложной модели, по сравнению с бескаркасным зданием.

В рамках трехмерной модели МСД можно также рассматривать массивные системы (толстые пластины, массивные фундаменты, плотины и др.). Поверхностями сосредоточенных деформаций, которые могут иметь любое очертание, массивное тело разбивается на конечные элементы. Каждый элемент МСД, как твердое тело, независимо от его формы, будет иметь по шесть степеней свободы. Если тело разбивается на тетраэдры, то деформации сосредотачивают на четырех гранях, а в случае призматического прямоугольного элемента таких граней будут шесть.

Особенности модели. Метод сосредоточенных деформаций допускает переменное поле перемещений, деформаций, напряжений и модулей упругости. Например, для четырехугольного плосконапряженного элемента прямоугольной формы, поле перемещений от действия нормальных сил (рис.1) определяется перемещениями не только центра элемента щ, но и перемещениями его граней . Перемещения на грани элемента связаны с перемещениями

его центра простыми соотношениями. В плосконапряженном состоянии поле перемещений в пределах каждого элемента допускает разрывы по линиям локальных координат по смежным граням между соседними элементами. Для сравнения можно отметить, что в МКЭ поле перемещений задается в форме линейных функций локальных координат и имеет непрерывный характер изменения. Вместе с тем поле деформаций, постоянное в пределах каждое конечного элемента, имеет разрывы по линиям контакта между смежными элементами. Следовательно, в МКЭ и поле напряжений имеет разрывный характер изменения. В МСД поле деформаций в пределах каждого элемента предполагается переменным по линейному закону, согласно гипотезе плоских сечений. Это позволяет вести расчет с переменными жесткост-ными характеристиками материалов в пределах каждого элемента. Кроме того, в МСД учитываются взаимные повороты элементов в их плоскости, что повышает точность метода [3].

Г--'Ч- \} ¡к

1 '“1 ^

М у\ 1 9 \Ц т 1 N т Ь Не

1 V |

1 1 е* 1 . J Ь 1т

АЬА а# & т V-

Рис.1. Поле деформаций элемента МСД.

Алгоритм численного решения. Рассмотрим пространственную систему, состоящую из множества элементов, соединенных между собой и работающих в условиях плоского напряженного состояния. Такое напряженное состояние могут испытать, как правило, крупнопанельные здания при сейсмическом воздействии. Моделирование такой задачи на основе МСД сводится к составлению общей матрицы жесткости с учетом податливости реальных связей. Система состоит из типовых элементов, в которых кроме нормальных и сдвигающих усилий учитываются изгибающие моменты, возникающие вследствие неравномерности эпюр нормальных напряжений. Предполагается, что элементы соединяются между собой с помощью комплексного шва, в котором сосредотачиваются деформаций собственных швов, а также реального шва.

Матрица внешней жесткости пространственной системы выражается формулой

Я (о

где I: - общая матрица коэффициентов системы уравнений равновесия, 13=13 для всех О" - транспонированная матрица |4_ размера рхэ ,р - общее число неизвестных внутренних усилий, 5 - степень свободы системы, (¡Г _ - квадратная матрица внутренней жесткости порядка р. Матрица ¡4 _ в случае плосконапряженных элементов формируется из элементарных матриц, соответствующих сечениям 1,2,3 и 4 элемента е; (рис.2):

'-1 0 0 '

ап = 0 1 а ; ап =

0 0 1

0 0 1 0 -1 -Ъп

-10 0

'0 0 -1 ■ '1 0 0 1

; агъ = 0 1 -Ъ1к ; = 0 -1 агп

1 0 0 0 0 -1

(2)

Элементы матриц (2) являются коэффициентами при неизвестных в уравнениях равновесия сил в направлениях осей х1, у локальной системы координат и моментов сил относительно

оси г", проходящей через центр масс элемента. Если в пластинке, наряду с мембранными

напряжениями, возникают и изгибные напряжения, в зависимости от характера внешней нагрузки, то матрицы типа (2) записываются в виде

"-1 0 0 0 0 0 " ■ 0 0 1 0 0 0 "

0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1

0 0 0 0 1 0 ; «¿2 = 0 0 0 -1 0 ЬіШ

0 0 0 1 0 а 0 0 0 0 -1 0

0 1 0 0 0 0 -1 -к 0 0 0

"0 0 -1 0 0 0 ■ '1 0 0 0 0 0 "

1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 ; аі4 = 0 0 0 0 0 -1

0 0 0 1 0 Ьік * 14 0 0 0 0 -1 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 аіп

0 1 Ьік 0 0 0 0 -1 аіп 0 0 0

(3)

При соответствующем выборе систем локальных координат формирование матрицы [1 в (1) можно осуществить на основе фундаментальных матриц (2) или (3). Матрица внутренней жесткости формируется на основе матриц жесткости элементов. Матрица жесткости элементов ^fi _ вычисляется исходя из зависимостей, выражающих закон Гука для плоского напряженного состояния

сгх=Е{єх+/иєу)І{\-/л2), сту=Е{єу+/иєх)/{\-/л2), тху = Еуху/2{\ + /и) , согласно которых вектор внутренних усилий элемента Єі записывается в виде

і 1 в Л

где и - вектор перемещений граней / -го элемента.

(4)

(5)

ип

аі3

Матрицу в (5) можно представить как квазидиагональную матрицу

Ь 3= 2 ЬгМ 2 I

(6)

где §Г;лг _, , ^(Л. _ - матрицы жесткости элемента МСД соответственно от действия

нормальной силы, изгибающего момента и сдвигающего усилия. Например, для элемента е; (рис.2), в соответствии с (5) и с учетом (4), главные коэффициенты матрицы §Г;лг записываются в виде

кп =

Г ел ^ -1 Г е,л-1 -1 £<Л -1

1 1 1 1 д 1 1 1 . *0 .

к -

22

Е,Р,т

Е F

т тг

(1-Ит)ашг.

+

ЕоЕо

дп

-1

(7)

к33

ЕЛ

¡к

(1 ~М?)Ь1к

ЕкЕк

-1

ЕоЕоз

з,

03

Г ад, " -1 ЕпЕпг -1 Е0Е04 -Г

[а-//г2к_ _(!- /'«К. _ ¿04 _

^44

где Е ■, - модуль упругости и площадь поперечного сечения грани элемента, Е0, Р0., д0. -

модуль упругости, площадь поперечного сечения и ширина моделируемого реального шва между элементами. Кроме главных коэффициентов (7), от действия продольных сил возникают ещё и побочные коэффициенты, учитывающие поперечные расширения элементов. Аналогично (7) записываются коэффициенты других матриц в (6). Полученные таким образом матрицы типа (6) для всех элементов системы позволяют сформировать общую матрицу внутренней жесткости (Г_. Согласно (1) формируется матрица |?_ и из решения системы уравнений

где 4 - вектор внешних сил, определяется вектор перемещений, а затем вычисляются векторы деформаций и внутренних усилий

■! ! |Г/{ О

1

-1

-1

-1

1

1

Численные примеры. В качестве первого иллюстративного примера рассмотрим пространственную систему, состоящую из плосконапряженных элементов, соединенных между собой в ребрах с помощью реальных связей. В ребрах сосредотачиваются собственные деформации элементов, а также деформации реального шва. Реальный шов моделируется как невесомый призматический элемент. Если мысленно отделить этот элемент от ребра, то на его взаимно перпендикулярные грани будут действовать внутренние силы от двух элементов Єі, еп (рис. 3,а). Из статического равновесия элемента связи (рис. 3,б) при условии, что на ребро не действует внешняя нагрузка, получим

Нгп = Нт = 0, Бія = Яп<, Мт = / 2, Мт = ЗД, / 2, (7)

где 8Х, 8 - размеры поперечного сечения шва относительно локальной системы координат.

Рис.3. Угловой комплексный шов.

Предполагая, что поперечные размеры реального шва значительно меньше, чем размеры элементов, можно считать, что в ребрах изгибающие моменты также равняются нулю. Следовательно, в ребрах пространственной системы из плосконапряженных элементов отличными от нуля будут только сдвигающие усилия - 5'пг. Исходя из этого условия, была

разработана программа и получены результаты расчета системы от действия горизонтальной

статической нагрузки при следующих данных: пластинки размерами 3х3 м, толщина - 0.2 м,

6 2

модуль упругости £’ = 2-10 т/м , коэффициент Пуассона ¡л — 0.2. В табл. 1 приведены результаты расчета системы, состоящая из пяти элементов с шарнирно неподвижными опорами, установленные в серединах нижней грани вертикальных элементов (рис.4). Внешняя горизонтальная нагрузка Р - 10 т действует в центре пятого элемента. Опорные связи модели-

руются упругоподатливыми элементами, установленными в плоскости пластинок и препятствующими двум линейным и одному угловому перемещениям с коэффициентами жесткости

\У

X

Ьі

Рис. 4. Пятиэлементная система из плосконапряженных элементов.

Таблица 1

Перемещения и усилия в пятиэлементной системе при сх = су = 2 • Ю10т/м и различных зна-

х У

чениях с.

Vх их -104, м г;т • 104, м иъ -104,м , т/м М2 ,тм/м

2-1СГ10 0.3492 -0.1200 0.7775 -1.666 -1.666 0.000

2-Ю10 0.2306 -0.0681 0.5404 -0.946 -1.666 2.161

Как следует из полученных результатов (табл. 1), максимальное горизонтальное перемещение возникает в центре пятого элемента, а максимальное вертикальное перемещение соответствует центру второго элемента. Погонные сдвигающие усилия в вертикальных ребрах, в зависимости от граничных условий, уменьшаются, а в горизонтальных ребрах остаются без изменения.

Во втором примере рассматривается шестиэлементная пространственная система, опирающаяся на упругом основании (рис. 5). Здесь, в отличие от первого примера, элементы деформируются как в своей плоскости, так и из плоскости. В этом случае на взаимно перпендикулярных плоскостях элемента реального шва будут действовать по шести неизвестных усилий (рис.3,в). Тогда из условия статического равновесия элемента получим:

0,=ЛГ,г; А^.=а,; 5>=Я/Г;

•\/п, -//,: Я^=М°; Л/,-Л/,.

где <2ІГ, Міг, Иіг - поперечная сила, изгибающий и крутящий моменты, возникающие в результате изгиба пластинки.

Чо 1 о 1 и? ч , р

3 ОІ (Г) 4< 2 6 • ® 7 5 9 * (З) 10 8 12 (4) р 13

8 І11 К 0)2 о @2 вз О4

Рис. 5. Шестиэлементная система с учетом изгибных деформаций.

В табл. 2 представлены результаты расчета шестиэлементной системы от действия горизонтальной нагрузкиР = Ют при различных значениях коэффициента постели

К=ку = V 1)с1Х2 ~(Р /П + с/Х2 Ър) ^ 2,

где = Е№ /12(1-/и2) - цилиндрическая жесткость плиты на упругом основании, <р - параметр упругого основания.

Таблица 2

Перемещения и усилия в шестиэлементной системе при ср- я 13 и различных значениях

коэффициента постели кг.

кг, т/м3 их -104, м V, • Ю4, м и5 -104,м и6 -104,м 53 ,т/м N ,т/м

4-Ю10 0.2428 -0.4176 0.8117 -0.02595 -1.636 1.622

4-Ю3 0.1393 -11.09 11.34 -10.89 -1.294 0.9306

4-Ю2 0.1289 -12.15 12.40 -11.98 -1.260 0.8616

Сравнение результатов (табл. 2) показывает, что с уменьшением жесткости основания значительно увеличиваются вертикальное перемещение второго элемента и горизонтальное перемещение пятого элемента. При этом незначительно уменьшаются сдвигающее усилие в горизонтальном ребре и нормальная сила в вертикальном.

В таблицах 3 и 4 приводятся результаты решения первой задачи при разбивке 3х3 каждого элемента (рис.6).

V7!

Зм

/

062 43 9$> 44 9(Р Щ 7&>

~$Ь Й-

064 40 9Р 41 93Р 42 7&>

~$Г

066 37 8(Р 38 8#> 39 74°

г

& &

% ^ $

@ 7# @ 77? @ ТРЙ

^--------------ЗЭ 3/9 5Р----------@> 5?>---@ 55?

(7) 22> © 2$> © 28$

л° Ъ

¿ь

810 35 83$ 36 61Ф

64

4Ь

62

$61 @ 63$

1%

$37 @39^

$1 (Т) 4^ @71> © 10$'

-Л-

8

66

6# @ 67$

-

41$ @ 430

68 70

@691 29 7Р

@45? @47$

-Й--------#

© 75? 5 /<Р

-У-

72

759

©

-4£

^Г

57= (23) 590 24 37$

£

@34§

Ж-

¿ь

19$

1 31$

М-

Ж-

36

Ж-

1$

Рис. 6. Дискретизация пространственной системы.

Таблица 3

Горизонтальные перемещения в средних элементах первой и пятой грани

при различных опорных закреплениях (сх - с =2-Ю10т/м).

х У

С<г и2 ■104,м и14 ■ 104,м и26 • 104 ,м и38 • 104, м и41 -10 4, м и44 ■ 104 , м

2-1СГ10 0.07095 0.2290 0.4140 0.6614 0.7205 0.6614

2-Ю10 0.06127 0.2071 0.3881 0.6338 0.6928 0.6338

Таблица 4

Сдвигающие усилия в вертикальном и горизонтальном ребрах системы при различных опорных закреплениях (сх =су = 2 • Ю10т/м ).

15 , т/м /м оз ^62 ,т/м ^64 ,т/м ^ 66,т/м

2-Ю“10 -1.174 -1.215 -0.9984 -1.563 -1.864 -1.563

2-Ю10 -0.9365 -1.169 -0.9834 -1.561 -1.865 -1.561

Сравнение результатов по перемещениям (табл. 1 и 3) показывает достаточно их близкое совпадение. Попутно отметим, что решение данной задачи методом конечных элементов с аналогичной разбивкой (рис. 6) дает максимальное перемещение в элементе 41, равное порядка 0.07 мм, что практически совпадает с результатами табл. 3.

На основе изложенного можно сделать вывод, что предлагаемая модель и алгоритм решения трехмерной задачи методом сосредоточенных деформаций на основе принятых

предположений о взаимодействии элементов в реальных связях позволяют проводить исследования напряженно-деформированного состояния зданий и сооружений с учетом их пространственной работы при различных воздействиях.

Институт сейсмостойкого строительства и сейсмологии Поступило 24.04.2008 г.

АН Республики Таджикистан

ЛИТЕРАТУРА

1. Николаенко Н.А., Назаров Ю.П. Динамика и сейсмостойкость сооружений. - М.: Стройиздат, 1988, 312 с.

2. Лишак В.И. Расчет бескаркасных зданий с применением ЭВМ. - М.: Стройиздат, 1977, 176 с.

3. Додонов М.И. - Строительная механика и расчет сооружений, №6, 1984, с.65-69.

Ч,.Н.Низомов, ИДаландарбеков, А.А.Х,очибоев, О.А.Х,очибоев МОДЕЛ^ОИ СЕЧЕНАКАИ МЕТОДИ ЦАМЪКУНИИ ДЕФОРМАТСИЯ^О

Яке аз проблемами умумй ва дар навбати худ мушкилтарини халли масъалахои ба заминчунбй тобовар намудани бинохо - ин бо истифода аз модели сеченака (3D) пайдо намудани холати деформатсионии онхо мебошад. Дар мак;ола хдлли чунин масъ-ала пешниход карда шудааст.

J.N.Nizomov, I.Kalandarbekov, A.A.Hojiboev. O.A.Hojiboev THREE-DIMENSIONAL MODELING BE MEANS OF LUMPED DEFORMATIONS

An application of three dimensional models (3D) to the investigation of strain-deformation state of buildings is one of the basic problems and is the most

One of the important problem and in one's turn complicated for decision task of earthquake-proof construction is use three-dimensional model for definition mode of deformation. In the article introduce to solve such problem.