CC BY
67
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2008. № 2
ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ
СЛ. Катречко
ТРАНСЦЕНДЕНТАЛЬНАЯ ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ1
Математика и трансценденталный метод
Прежде всего определим, что мы будем понимать под трансцендентальной философией математики, основания которой заложил И. Кант. Во Введении к своей «Критике чистого разума» он дает следующее итоговое определение трансцендентального: «Я называю трансцендентальным всякое познание, занимающееся не столько предметами, сколько видами нашего познания предметов, поскольку это познание должно быть возможным a priori. Система таких понятий называлась бы трансцендентальной философией»2.
Из первой части данного определения следует, что предметом трансцендентальной философии математики является анализ такого «вида познания», как математическое познание. Вторая его часть ставит задачу подобного анализа как выявление априорных оснований математического познания, т.е. таких оснований, которые придают математике характер аподиктичности (необходимости). Целью же трансцендентальной философии математики выступает построение связанной системы априорных понятийных оснований, или «категориального каркаса» математической деятельности.
Введенное выше общее понимание трансцендентальной философии математики нуждается в некоторых уточнениях. Первое уточнение связано с общей интенцией кантовского подхода, а именно с его критическим подходом. В нашем случае это преломляется так: необходимо осуществить построение такого онтологического категориального базиса математики, который будет опираться на реальную — гносеологическую — практику математической деятельности, осуществляемую реальным субъектом. То есть, во-первых, это должна быть не какая-то «искуственная» система понятий, а система, соотносимая с реальным опытом работы математика, за счет чего удастся избежать «выходящей за рамки опыта метафизической спекуляции». Во-вторых, кантовское указание на опыт трансцендентального субъекта говорит о том, что в нашем анализе мы должны избегать излишнего психологизма или субъективизма и заниматься не описанием работы какого-либо крупного математика (например, описание математического твор-
чества А. Пуанкаре), а опираться на идеализированную (типичную) модель математической деятельности, осуществляемую универсальным — трансцендентальным — математиком. В частности, сам Кант описывает математическую деятельность (с чем, разумеется, можно не согласиться, предложив другую модель) как «познание посредством конструирования понятий», что предполагает совместную работу рассудка и воображения: «Математическое знание есть знание посредством конструирования понятий. Но конструировать понятие — значит показать a priori соответствующее ему созерцание. Следовательно, для конструирования понятия требуется не эмпирическое созерцание, которое, стало быть, как созерцание есть единичный объект, но тем не менее, будучи конструированием понятия (общего представления), должно выразить в представлении общезначимость для всех возможных созерцаний, подходящих под одно и то же понятие. Так, я конструирую треугольник, показывая предмет, соответствующий этому понятию, или при помощи одного лишь воображения в чистом созерцании, или вслед за этим также на бумаге в эмпирическом созерцании, но и в том и в другом случае совершенно a priori, не заимствуя для этого образцов ни из какого опыта. Единичная нарисованная фигура эмпирична, но тем не менее служит для выражения понятия без ущерба для его всеобщности, так как в этом эмпирическом созерцании я всегда имею в виду только действие по конструированию понятия, для которого многие определения, например величины сторон и углов, совершенно безразличны, и потому я отвлекаюсь от этих разных [определений], не изменяющих понятия треугольника»3.
Ниже мы еще вернемся к интерпретации этого важнейшего для определения специфики математической деятельности кантов-ского фрагмента. Здесь же ограничимся лишь одним кантовским примером. Для раскрытия сути своего подхода Кант приводит известную геометрическую теорему о 180-градусной сумме углов треугольника и показывает, что доказательство этого «рассудочного» результата было бы невозможно без соответствующих геометрических построений (проведения дополнительной прямой через одну из вершин треугольника и продолжения через эту же вершину двух его сторон), которые в данном случае выполняют роль сконструированного «созерцания».
Еще одно уточнение имеет более тонкий характер и связано с кантовским различением априорного и трансцендентального, которое восходит к общей установке (к «эпистемологическому повороту») философии Нового времени. Суть этого различения в том, что не любое априорное понятие является трансцендентальным, и поэтому мы должны критически ограничить область априорно-спекулятивного только теми понятиями, которые получили транс-
цендентальную проверку, т.е. соотносятся с познавательными действиями трансцендентального субъекта. В этой связи приведем сокращенный фрагмент начального кантовского определения трансцендентального, «влияние которого простирается на все дальнейшие рассуждения»: «Трансцендентальным (т.е. касающимся возможности или применения априорного познания) следует называть не всякое априорное знание... а только знание о том, что те или иные представления вообще не имеют эмпирического происхождения, и о том, каким образом они тем не менее могут a priori относиться к предметам опыта»4.
Существенным для различения между априорным и трансцендентальным здесь является вторая часть определения, где вводится требование ограничения сферы неэмпирического знания путем ее соотнесения с «предметами опыта», что как раз и осуществляется в ходе познавательного акта. Это можно называть трансцендентальным в слабом смысле, поскольку на той же странице Кант дает более «сильную» (на наш взгляд, ключевую) характеристику трансцендентального как «действий чистого рассудка» (ср. с «действиями по конструированию понятия» из приведенного выше фрагмента)5. Тем самым трансцендентальным, по Канту, является только то, что обеспечивает «встречу» в познавательном акте имеющего априорные формы знания субъекта и объекта («предмета опыта») познания, а таковыми могут быть только познавательные «действия рассудка». Только в акте познания и осуществляется подобная «встреча», а все остальное априорное (спекулятивное), не имеющее прямого или косвенного отношения к «действиям рассудка», в ходе познания должно быть исключено как нерелевантное.
Следующее уточнение связано с тем, что трансцендентальная философия математики должна учитывать то обстоятельство (которое, как правило, игнорируется самими математиками и обычной философией математики), что математика является неоднородной областью. Она включает в себя разные типы математических объектов и связанные с ними особые способы «работы» — математические операции. Здесь можно выявить неоднородность двух типов. С одной стороны, есть горизонтальная неоднородность различных областей математики, к которым можно отнести «топологию и абстрактную алгебру как два способа понимания в математике»6. В работе Н. Бурбаки7 выделены три базовые математические структуры: алгебраические структуры, топологические структуры и структуры порядка8. С другой стороны, это вертикальная неоднородность, связанная с тем, что в математике используются абстракции разной степени общности. Поэтому в общем случае философия математики должна учитывать эту неоднородность различных сфер математического, поскольку в каж-
дой из них, возможно, будет свой, отличный от других набор (математических) «действий рассудка», что с необходимостью приведет к выявлению различных трансцендентальных оснований для разных областей математики.
С учетом сделанных уточнений можно выделить следующие философские основания математического знания: априорные, априорно-трансцендентальные, трансцендентальные, трансцендентально -материальные1.
Априорные основания: теоретико-множественная парадигма математики
Нашей первой задачей выступает выявление онтологических и гносеологических допущений, лежащих в фундаменте современной математики, что соответствует концепту относительного кан-товского a priori10 При этом надо учесть, что математика, как отмечалось выше, представляет собой иерархию структурных уровней. Следуя Н. Бурбаки11 и положив в основание выразительные возможности языка, иерархия математического знания представи-ма (сверху вниз) следующим образом.
А Язык, общая картина мира В. Логические теории
1. Исчисление высказываний: введение символов логических связок &, V, =>.
2. Исчисление предикатов первого порздка: введение логических кванторов 3, з.
3. Эгалитарные теории, или исчисления предикатов с равенством.
С. Теоретико-множественный язык математики
4. Наивная и аксиоматические теории множеств: введение основной теоретико-множественной операции принадлежности элемента множеству (е)
D. Предматематика (основные математические структуры)
5. Алгебраические, топологические структуры, структуры порядка (см. выше; Н. Бурбаки).
Е. (собственно) МАТЕМАТИКА (математические теории)
6. Сложные математические структуры: как комбинация основных математических структур.
Каждый из уровней А — Е имеет свой набор онтологических и гносеологических допущений (это mutatis mutandis должно учитываться и при выявлении других трансцендентальных оснований). Причем поскольку математика развивалась стихийным образом, в современной математике сложилась ситуация, когда отдельные онтологические и гносеологические основания как внутри уровней, так и относящиеся к разным уровням не полностью совместимы друг с другом. Именно это и является глубинной основой для существующих и возникающих в математике парадоксов («кризисов») математики, для преодоления которых необходимо провести не только внутриматематическую работу, но и приложить специальные философско-методологические усилия.
Не развивая эту тему подробно, заметим, что на нижних этажах иерархии (А — В) господствует номиналистический подход, задаваемый критерием У. Куайна: «Существовать — значит, быть значением подкванторной переменной», который признает существование лишь индивидов. Но начиная с уровня теории множеств (особенно это видно на примере «наивной теории множеств» Г. Кантора), предшествующий номинализм пытается тем или иным образом сосуществовать с реализмом: этот симбиоз привел к кризису в основаниях математики начала XX в. и все еще продолжает действовать в современной математике.
По сути, онтология (математики) должна ответить на вопрос, какие типы «математических объектов» допустимы в математических рассуждениях, а гносеология — на вопрос о том, какие (гносеологические) операции/процедуры допустимы с подобными объектами? Например, к гносеологическим допущениям относится финитная установка Д. Гильберта, запрещающая использовать в математических доказательствах любые не-финитные (бесконечные) способы рассуждения, или как «ослабленная» модификация этого запрета трансфинитная индукция Г. Генцена, что позволило ему доказать непротиворечивость чистой теории чисел. Надо отметить и наметившееся начиная с середины XX в. изменение онтологического базиса математики, который связан с переходом от теоретико-множественного языка к теории категорий, которая претендует сейчас на роль альтернативного языка математических рассуждений. В философском плане это связано с переходом от классической аристотелевской «вещной онтологии» (resp. в теоретико-множественном языке исходными математическими объектами являются элементы, из которых строятся более сложные объекты — множества) к «функциональной онтологии» Л. Витгенштейна12, где вещам отводится роль лишь «вторичных» объектов, а первенство принадлежит «отношениям», математическим аналогом которых выступает «функция».
На самом деле логико-математические формализмы с разными типами онтологии имеются на любом уровне введенной иерархии. Например, уже на уровне исчисления высказываний таковыми выступают паранепротиворечивые и релевантные логики или восходящие к идеям Витгенштейна, ситуационные логики Р. Сушко. Представляет интерес подход Ст. Лесьневского, который в последовательности своих формальных систем (прототетика — онтология — мереология) предложил отличную от общепринятой логико-математическую иерархию. К сожалению, факт онтологического дрейфа часто не учитывается самими математиками, а ведь это делает невозможным простую замену одного формализма другим без перестройки всей последующей иерархии.
Интерес же самих математиков (что связано с кризисом в математике начала XX в.) прикован к проблеме нахождения надежного фундамента теории множеств. Для этого предложены различные аксиоматизации теории множеств (речь идет о теории типов Рассела, аксиоматиках Цермело—Френкеля (ZF) и Неймана— Бернайса—Геделя (NBG), New Foundation Куайна). Представляет интерес и «альтернативная теория множеств», предложенная во второй половине XX в. П. Вопенкой. Но и здесь, как правило, игнорируется тот факт, что различные аксиоматизации теории множеств основаны на различных онтологиях, и это необходимо учитывать при их сравнительном анализе в метаматематике.
В качестве интересной альтернативы теоретико-множественному подходу на достаточно «низком» уровне нашей иерархии, на уровне исчисления предикатов, выступает тернарный подход А. Уе-мова13, который наряду с индивидуальными и универсальными вводит неопределенные объекты, соответствующие грамматическим конструкциям с неопределенным артиклем. Отличие тернарной онтологии можно показать на примере фразы «Какой-то саксонский король был разгромлен при Гастингсе». В стандартной логике предикатов это выражение формализуется с помощью квантора существования (т.е. цельное выражение «какой-то король» разлагается на конкретного «короля» — индивидную переменную и «какой-то» (некоторый) — квантор существования), предполагая, согласно критерию Куайна, что в реальности могут существовать только индивидуальные объекты, грамматически выражаемые с помощью определенного артикля. В онтологии Уемова выражение «какой-то саксонский король» понимается как цельное выражение14, указывающее на неопределенного короля. Заметим, что интуиция «хорошо определимых и отличимых предметов», положенная в основу теории множеств, перестает работать в области объектов микромира, которые уже не так хорошо «различимы» (здесь намечаются параллели с принципом неопределенности В. Гейзенберга). То
есть область микромира выступает как один из «фальсификаторов» теоретико-множественного подхода. Более того, даже в нашем среднем мире строгая (чистая) математика, построенная на базе теории множеств, реализуется лишь приблизительно — как теория вероятностей.
Априорно-трансцендентальные основания.
Идея трансцендентальной логики
Этот тип оснований, с которых начинается собственно трансцендентальная философия математики, соотносится со «слабым» пониманием трансцендентального. В первом приближении они являются конкретизацией априорных оснований, о которых мы говорили выше. В философии математики анализу априорно-трансцендентальных оснований уделялось незаслуженно мало внимания, но этот недостаток частично компенсировался их разработкой в работах по логической семантике и метаматематике.
По Канту, выявлением этих оснований должна заниматься трансцендентальная логика. В отличие от общей (формальной) логики (allgemeine Logik), которая «отвлекается от всякого содержания познания... [и изучает] одну лишь форму познания в понятиях, суждениях и умозаключениях»15, т.е. исследует формальные законы универсума рассуждений, «трансцендентальная логика имеет дело с определенным содержанием» (выделено мной. — К. С.)16. Чем важно это кантовское различение для математики? По своей сути математика тяготеет к работе с однородным количественным универсумом, отвлекаясь от качественной неоднородности моделируемой реальности. Математику в отличие от «физики» не интересует «природа» (фюзис) изучаемых объектов, поскольку она сосредоточивает свое внимание на исследовании количественных форм (абстракций). Например, если мы возьмем аристотелевский «медный шар», то геометр будет исследовать закономерности, связанные с «шарообразностью» этого объекта, отвлекаясь от его «медности», — именно это и позволяет говорить об универсальности выявляемых математикой законов, применимых в нашем примере к любому шару вообще.
С нашей точки зрения, идея трансцендентальной логики может быть интерпретирована так, что при разработке синтаксических формализмов необходимо учитывать семантику универсума, в частности его структурную и качественную разнородность, что ведет к необходимости вводить определенные семантические («содержательные») ограничения на формальные (синтаксические) логические выводы путем трансцендентальной разметки объектов и областей математического рассуждения. Достаточно
показательным примером такой разметки служит теория типов Б. Рассела, которая за счет этого позволила «заблокировать» возникающие в теории множеств парадоксы (заметим, что подобные ограничения, хотя и менее «слабые», вводятся во всех последующих аксиоматиках теории множеств). Элементарным примером подобного семантического ограничения является запрет деления на ноль, хотя чисто синтаксически (формально) «О» ничем не отличается от других чисел.
Суть кантовской трансцендентальной логики (силлогистики) изложена в его «Аналитике понятий»17. Анализируя суждение «Все тела делимы», Кант замечает, что формально-логически функции субъекта и предиката в данном суждении не зафиксированы. Это, например, позволяет совершить «обращение» данных понятий и построить суждение «Некоторое делимое есть тело». Трансцендентальная логика, «имея дело с определенным содержанием», маркирует понятие «тело» как субстанцию, что запрещает его использование в качестве предиката. Как отмечает В.Н. Брю-шинкин18, учет этих соображений приводит к тому, что (1) из четырех возможных суждений допустимы только суждения «Тело есть (не есть) делимое», в которых субстанциальное понятие является субъектом; (2) субстанциально-субъектные суждения не допускают обращения; (3) суждение «Все тела делимы» не может использоваться как большая посылка первой фигуры силлогизма (так как в меньшей посылке понятие «тело» — уже предикат). Из-за подобных трансцендентальных ограничений будет неправомерно следующее формально правильное рассуждение: «Все тела делимы. Все атомы есть тела. Следовательно, все атомы делимы».
Кантовский подход необходимо распространить и на современные логические формализмы, которые еще в большей степени отвлекаются от содержательной грамматики естественного языка (здесь будет уместно сравнение с подходом А. Уемова). То есть необходимо учитывать семантические соображения при переводе фраз естественного языка на язык логики19. Например, суждение «Некоторые S суть Р» записывается в логике предикатов как формула (3x(S(x) & Р(х)), которая в силу коммутативности конъюнкции тождественна формуле (Зх(Р(х) & S(x)), что некорректно с «содержательной» точки зрения — ведь мы не имели в виду фразу «Некоторые Р суть S». Соответственно, потеря в синтаксисе логики предикатов семантической информации о субъекте и предикате суждения может привести к «парадоксальным» с содержательной точки зрения результатам из-за введения универсалии Р, связанной с функционированием Р в качестве субъекта, в номиналистический универсум логики предикатов. Заметим при этом, что введенный семантический запрет имеет локальный характер и не ре-
шается формально-синтаксическими методами, например лишением конъюнкции свойства коммутативности.
В частности, за счет учета (сложно-) сочиненности/подчиненности предложений решаются расселовские парадоксы20, поскольку расселовские противоречия типа а & ~а на самом деле являются выражениями типа а & ~f(a), которые формально непротиворечивы из-за отнесения противоречивых свойств к разным онтологическим уровням универсума.
Отметим, что подобным образом может быть решен и известный парадокс Бурали—Форти, если мы учтем онтологическое соображение о единственности «множества всех множеств» как «the— объекта» (ср.: «самая высокая гора»). Уникальный характер этого объекта не позволяет обращаться с ним как с обычным множеством. Понятно, что после образования из этого единственного объекта нового объекта старый объект уничтожается и процедуры их «сравнивания» (соотнесения) имеют лишь виртуальный характер. Нельзя, например, говорить, что новый объект, полученный путем уничтожения старого, «содержится» в старом, т.е. во «множестве всех множеств», хотя именно это утверждение, точнее, «сравнение» (мощностей) нового и старого объектов, и приводит к парадоксу21.
Подведем итог. Кантовский трансцендентальный подход может, в частности рассматриваться как развитие средневековой теории суппозиций, которая получила дальнейшее развитие в теории пресуппозиций22: семантические соображения о структуре универсума должны учитываться при работе на уровне синтаксиса. С формальной же точки зрения кантовскую трансцендентальную логику можно рассматривать как переход на метауровень с более богатым языком, что позволяет модифицировать — ограничить или расширить — применение формальных синтаксических правил вывода нижнего уровня.
Трансцендентальные основания математики: трансцендентальный конструктивизм
В отличие от первых двух типов оснований, которые имели преимущественно «объективный» (онтологический) характер, данный тип оснований связан с тем, что математическое рассуждение осуществляет не рассудок вообще (например, Божественный разум), а человеческий рассудок, хотя и взятый в модусе всеобщности, т.е. принадлежащий трансцендентальному субъекту. В силу этого любое математическое рассуждение и выполняющая его семантическая модель должны быть соотнесены с «устройством» (структурой) познавательного аппарата, проводящего это
рассуждение трансцендентального субъекта. В отношении математики можно выделить два основных положения подобного (гносеологического) рода.
Во-первых, любое рассуждение осуществляет конечный субъект, который в силу этого не имеет возможности совершать бесконечные «действия чистого мышления» (выше мы уже говорили об этом, когда обсуждали восходящую к Канту финитную установку Гильберта). В этом смысле математика является «искусством» работы с «прирученной бесконечностью», или, как сказал Хао Ван, математики могут работать с бесконечным лишь с помощью созданных конечных методов23. Понятно, что это требование не ведет к полному изгнанию из математики потенциальной и даже актуальной бесконечности, если найдены средства (способы) ее «приручения». Однако любая бесконечная математическая процедура должна быть подвергнута серьезной проверке на совместимость с нашей конечностью и принята только тогда, когда найдено соответствующее «действие чистого мышления» по ее осуществлению. В этом смысле кантовская прагматическая установка предвосхитила развитие такого направления, как конструктивная математика.
Во-вторых, трансцендентальная философия должна предложить такую модель познания, которая отвечает на вопрос: как возможна математическая деятельность?
Прежде всего имя Канта связывают с его концепцией априорных форм, постулирующей «непустоту» сознания познающего субъекта. В силу этого любое знание, в том числе и математическое, помимо онтологических (объективных) содержит еще и гносеологические (субъективные) характеристики, что необходимо четко различать. По Канту, мы смотрим на мир через систему «фильтров» (априорных форм), которые предопределяют наше видение действительности. И одной из главных задач трансцендентальной философии как раз и является выявление имеющихся у трансцендентального субъекта набора этих априорных форм (ср. с итоговым кантовским определением трансцендентального, приведенным вначале). Для математики таковыми формами являются пространство, лежащее в основании геометрии, и время, лежащее в основании арифметики. Современная парадигма математического знания кладет в основание математики концепт множества. Однако это не противоречит кантовскому подходу, а скорее является его развитием, так как множество в определенном смысле является пространственно-временной сущностью: в нем можно выделить пространственную и временную смысловые «составляющие». С одной стороны, любое множество мыслится как набор со-существующих элементов, т.е. как некоторое объемлющее свои
7 ВМУ, философия, № 2
97
элементы «пространство». С другой стороны, элементы множества определенным образом упорядочены, и соответственно каждое множество обладает своей счетной «мощностью» (ординальные и кардинальные числа): это указывает на время, которое лежит в основе любого порядка и пересчета (числа). Более того, концепт множества выполняет роль кантовской априорной формы (пресуппозиции) для остальных математических концептов современной математики, что предопределяет как перспективы, так и возможные ограничения ее развития. Соответственно уточнение концептуального (смыслового) содержания концепта множества — одна из задач трансцендентальной философии математики24.
Тема априорных форм получила серьезную проработку в пост-кантовскую эпоху, поэтому ограничимся здесь вышесказанным и перейдем к менее разработанным, но не менее значимым вещам, ведь трансцендентальный субъект, являясь активной стороной познавательного акта, не сводится только к набору априорных форм, а представляет собой систему познавательных способностей, «двумя основными стволами» которой являются чувственность и рассудок. Соответственно каждая развитая познавательная деятельность представляет собой их определенное соотношение. Как уже отмечалось, Кант определяет математику как «познание посредством конструирования понятий», что означает, что в математической деятельности задействован не только дискурсивный рассудок, ответственный за работу с понятиями, но и «дающие» созерцания интуитивные способности, к которым Кант относит чувственность и воображение. Более того, поскольку наш (человеческий) рассудок, по Канту, не является интуитивным (каков, например, Божественный разум), то любой дискурс в математике должен быть дополнен «созерцанием» {моделью): понятие должно быть сконструировано, т.е. переведено в соответствующее созерцание, без чего математические концепты представляют собой, может быть, и красивые, но лишь пустые фикции. Именно в этом и заключается специфика человекоразмерной математики, а никакой другой математики, по Канту, быть не может.
Развитие современной математики ставит перед трансцендентализмом новые задачи. Кажется, что в случае работы с абстракциями высокого уровня более точным представляется подход Декарта, который отдавал предпочтение пониманию перед созерцанием, поскольку наши возможности наглядных представлений ограниченны. Человек способен и понять рассудком, и образно созерцать, например, треугольник, но не может представить тысяче-угольник, хотя понимает, что это такое. Попробуем показать, что кантовская концепция математической деятельности вполне при-
менима к ненаглядным абстрактам математических рассуждений, если ее трактовать не столь примитивно.
Обратимся к анализу приведенного в начале статьи кантов-ского текста. В нем Кант вводит важное для понимания сути его концепции различение между «эмпирическим созерцанием», например, вот этого нарисованного треугольника, и «общезначимым созерцанием» как «действием по конструированию [данного] понятия [треугольника]». Понятно, что математика не может ограничиться лишь единичными созерцаниями, так как это лишило бы ее важнейшего свойства аподиктичности. Математическая теорема, например о 180-градусной сумме углов треугольника, верна не только для используемого в доказательстве экземпляра треугольника, но для любого треугольника вообще. По существу, Кант принимает здесь основополагающую характеристику математической деятельности, данную еще Платоном в книге 6 «Государства», который пишет по этому поводу следующее: «Те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее... [И] когда они пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит [чертеж же является «образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором» (там же. — К.С.)]. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном...» (Платон. Государство. Кн. 6, 510d—е; вставки и выделение шрифта сделаны мной. — К.С.).
Платон (Кант), безусловно, прав в том, что математик делает свои «выводы» не для какого-то единичного созерцания, каковым, например, является нарисованный на бумаге треугольник. Более того, математическая теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180, для «эмпирического» квазитреугольника вообще неверна (resp. рисунок вообще не является треугольником), поскольку математик «работает» с (идеальным) «треугольником самим по себе», или с платоновской «идеей» треугольника. Трансцендентализм должен ответить на вопрос: откуда у нас берется «идея» треугольника, т.е. какие «действия чистого мышления» приводят к ее образованию (resp. можно поставить и более общий вопрос о генезисе других математических идей)? Платон отвечает на этот вопрос просто: идеи существуют сами по себе, а наша душа каким-то образом причастна к «миру идей» и «припоминает» их (концепция анамнезиса). Понятно, что этот простой ответ не может удовлетворить последующую философию. Это, скорее, констатация факта (что является безусловной заслугой Платона!), а не ответ на
вопрос о генезисе (математических) идей. На этот вопрос попытался ответить Аристотель. Суть его подхода такова. Реально существуют лишь единичные вещи, например единичные конкретные треугольники, а наш ум посредством отвлечения (абстрагирования) сначала от материальных факторов (образование математических количественных форм; см. выше анализ аристотелевского примера с «медным шаром»), а потом от несущественных характеристик (для треугольника вообще таковым является, например, его размер или величина его углов) может образовать общую идею треугольника. В Новое время концепция генезиса путем абстрагирования получила развитие в работах непосредственного предшественника Канта — Дж. Локка. Но подобная концепция сталкивается с двумя серьезными трудностями. Первая из них состоит в том, что в природе вообще нет никаких треугольников, кругов, прямых линий и других идеальных математических предметов. Онтологический статус математических «предметов» отличен от физических: числа, в отличие от камней, на дороге не валяются. Поэтому для объяснения генезиса математических концептов помимо абстрагирования необходима также и процедура идеализации. Вторая трудность была впервые выявлена Дж. Беркли, который напрямую полемизирует с Локком по вопросу о возможности абстрактных (общих) представлений. Дело в том, что любое созерцание имеет единичный характер (заметим, что для Канта это выступает уже как безусловная аксиома, с которой он начинает свою «Критику чистого разума»). Мы не можем созерцать треугольник вообще! Вот что пишет об этом Беркли: «Что может быть легче для каждого, чем немного вникнуть в свои собственные мысли и затем испытать, может ли он достигнуть... общей идеи треугольника, который ни косоуголен, ни прямоуголен, ни равно-сторонен, ни равнобедрен, но который есть вместе с тем всякий и никакой из них»25.
Тем самым Канту предстоит решить следующую дилемму: с одной стороны (вслед за Беркли), любое созерцание имеет единичный характер; с другой стороны (вслед за Платоном), математика работает с «идеями», или общими представлениями, отражением которых выступают как единичные эмпирические созерцания (рисунки), так и единичные сознательные образы. Кроме того (это выступает как третья трудность), в математике встречаются концепты типа декартовского хилигиона, которые хотя и представимы единичными созерцаниями, но непредставимы наглядно, причем в современной математике удельный вес подобных абстракций значителен. Насколько правомерно использование этих рассудочных концептов (в математике) и как отличить (критерий?) «хорошие» понятия от спекулятивных фантазий, ко-
торые должны быть изгнаны из серьезной науки?26 Какой тип созерцаний будет соответствовать подобного рода рассудочным концептам?
Кант дает элегантное решение этой дилеммы (трилеммы). Он утверждает, что математика работает не с эмпирическими единичными, а с «общезначимыми созерцаниями», которые он также называет «чувственными понятиями». (Следует заметить, что в рамках его же аксиоматики кантовский термин «чувственное понятие» выглядит как оксюморон, так как Кант резко разграничивает чувственные созерцания, которые по определению единичны (это относится и к априорным пространству и времени), и рассудочные понятия, которые по определению общи: см. его классификацию типов представлений27.) Тем самым он вводит своеобразное связующее звено между «стволами познания», некоторые общие представления, с которыми соотносятся и рассудочно-дискурсивно-идеальные математические концепты, и чувственно-единично-эмпирические созерцания. Чем являются кантовские «общезначимые» представления? И как преодолеть критику Беркли против (не)допустимости общих созерцаний — ведь мы на самом деле не можем созерцать треугольник вообще. Конечно, мы видим вот этот нарисованный на доске мелом, конкретный (единичный) треугольник, но вместе с этим «созерцаем» идею «треугольника самого по себе». Как это возможно? Суть трансцендентального подхода заключается в том, чтобы обратить более пристальное внимание на «действия» нашего сознания в ходе акта познания. В частности, мы должны задаться вопросом: каким образом происходит восприятие нарисованного треугольника? А каким образом он обрел статус реального существования (на доске)? Путем рисования! Судя по всему, в нашей душе он возникает аналогичным образом, т.е. если мы его «нарисуем». Эту процедуру Кант называет фигурным синтезом воображения.
Конечно, в своей трактовке воображения Кант неявным образом опирается на платоновский «Филеб», где проводится различие между «писцом», который делает записи в книге (кантовский рассудок), и «другим мастером» — живописцем, «который вслед за писцом чертит в душе образы [e^,%ovaq] названного»28 (фигурный синтез воображения)29.
Итак, единичный треугольник образуется в нашей душе путем его рисования. А как же образуется идея треугольника? Трансцендентальная философия призывает нас обратить внимание на «действия» нашего сознания в ходе акта «рисования». А частичный ответ на этот вопрос содержится в кантовском учении о схематизме30, хотя для этого нам придется его несколько модифицировать за счет привлечения более позднего кантовского учения о рефлек-
сиеной способности суждения из «Критики способности суждения». Одним из существенных «действий чистого рассудка», в каком-то смысле самым сокровенным истоком сознания, является процедура рефлексии, которая позволяет изменять направленность сознания. Здесь она (рефлексия) выступает как процедура рефлексивного переключения, которая «переключает» внимание нашего сознания с результата рисования единичной (геометрической) фигуры (треугольника) на (общий) способ его построения51, т.е. алгоритм рисования, который Кант эксплицирует термином «трансцендентальная схема»32. В нашем случае построения треугольника это «действие по конструированию понятия» (это выражение из приведенного выше кантовского фрагмента!) состоит приблизительно33 в том, что мы совершаем двойной излом с замыканием при проведении прямой линии (для четырехугольника — тройной излом)34. А если мы попробуем отрефлексировать (= обобщить) этот способ рисования данного конкретного треугольника, то окажется, что он приложим к построению любого треугольника вообще, поскольку для него «многие определения, например величины сторон и углов, совершенно безразличны, так как они не изменяют общее понятие треугольника» (см. кантовский фрагмент35). Тем самым алгоритм (схема) рисования и есть кантовское «общезначимое созерцание», приложимое к целому классу единичных созерцаний, или искомая нами (платоновская) «идея»! Но это уже не статичная идея, полученная путем интуитивного прозрения (Платон, Декарт) или абстрагирования (Аристотель, Локк), а динамичный эйдос как принцип (способ) построения (конструирования) треугольника.
Поясним, почему кантовская схема (гевр. алгоритм) является созерцанием, хотя и особого типа. В общем виде познавательный процесс, по Канту, представляет собой иерархию синтезов, каждый из которых является «надстройкой» над результатом предыдущего. Кантовский схематический синтез является «надстройкой» над фигурным синтезом воображения. Понятно, что фигурный синтез воображения — это пространственный синтез. Рефлексивное переключение же на способ рисования этой фигуры является временным метасозерцанием, которое выступает как временная «надстройка» над фигурно-пространственным созерцанием, точнее, это временной момент фигурного синтеза, в котором фиксируется способ («как») его осуществления. Понятно, что такого рода временные метасозерцания ненаглядны, хотя они «вычиты-ваются» из любой «картинки». При этом мы решили и проблему декартовского хилигиона, который мы не можем созерцать воочию, но способ построения которого вполне представим36.
Подведем общий итог. Кантовское понимание математики как дискурсивно-интуитивной деятельности созвучно основным тенденциям развития современной математики и выступает как богатый источник методологических эвристик. В современной математике кантовская концепция «слабого» трансцендентального получила свое развитие в теории моделей как важнейшего раздела математики/логики и необходимого компонента любой математической деятельности. Отстаиваемая Кантом необходимость опоры любых математических рассуждений на интуитивные созерцания получила свое воплощение в таком направлении философии математики, как математический интуиционизм. Кантовская концепция схематизма (resp. «сильное» понимание трансцендентального) по сути предвосхитила современный (математический) конструктивизм, который признает в качестве полноценных математических объектов, какими бы абстрактными они ни были, лишь те, которые могут быть заданы алгоритмически, т.е. сконструированы.
ПРИМЕЧАНИЯ
1 Данное исследование поддержано грантом РГНФ № 06-03-00197 и № 08-03-00193. Оно суммирует результаты докладов на московском семинаре по философии математики в 2004—2007 гг. и является прикладной частью нашего проекта трансцендентальной метафизики (см.: Катречко СЛ. Как возможна метафизика? // Вопросы философии. 2005. № 9.
^ Кант И. Критика чистого разума. М., 1994. С. 44.
3 Там же. С. 423.
4 Там же. С. 73.
5 Там же Кант определяет и науку о «действиях чистого рассудка» как трансцендентальную логику (Кант И. Указ. соч. С. 74).
6 Заглавие одноименной статьи Г. Вейля.
7 См.: Бурбаки Н. Архитектура математики // Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963.
8 Заметим, что две первые структуры Бурбаки совпадают с классификацией Вейля и соответствуют еще античному различению в сфере математического арифметики и геометрии. Структуры же порядка занимают как бы промежуточное положение между ними. Онтологически это различение можно пояснить так: топологические структуры «работают» с безлично-неопределенными объектами типа точек, алгебраические — с конкретно-индивидуальными объектами типа чисел (каждое число как бы имеет свое имя), «объекты работы» структур порядка могут быть сравнимы (упорядочены), т.е. они не полностью безличны, как точки, но и не индивидуальны, как числа.
9 Этот тип оснований, восходящий к кантовской концепции «косвенного явления» из «Opus postumum», мы в силу ограничения объема статьи здесь рассматривать не будем.
10 Концепт относительного а priori Кант вводит в самом начале «Критики чистого разума», когда обсуждает пример с подкапыванием фундамента дома. Далее он эту тему не развивает, сосредоточив свое внимание на развитии формального а priori: априорных формах чувственности и чистых понятиях (категориях) рассудка. Подробнее о разных типах априорности см.: Катречко С.Л.
К вопросу об «априорности» математического знания // Математика и опыт. М., 2003.
11 См.: Бурбаки Н. Теория множеств. М., 1965.
12 Подробнее интерпретация онтологии «Логико-философского трактата» дана в: Катречко С.Л. Функциональная онтология «Логико-философского трактата» // Рационализм и культура на пороге третьего тысячелетия: Материалы Ш Российского философского конгресса (16—20 сентября. 2003): В 3 т. Т. 1. Ростов н/Д, 2002.
13 См.: Уемов А.И. К проблеме альтернативы теоретико-множественному подходу к построению логических систем // XI Международная конференция «Логика, методология и философия науки». М.; Обнинск, 1995. Т. 2. С. 80—85.
14 Как отмечает А. Уемов, именно так понимает это выражение нормальный человек в отличие от «логика».
1 э Кант И. Указ. соч. С. 121.
16 Там же. С. 120.
17 Там же. С. 98.
18 См.: Брюишнкин В.Н. Трансцендентальная модель интеллекта: моделирование рассуждений // Гуманитарная наука в России: соросовские лауреаты. М., 1996.
19 На наш взгляд, в русле кантовского трансцендентализма движется и программа ультраинтуиционизма А. Есенина-Вольпина (см.: Есенин-Волыгин A.C. Об антитрадиционной (ультраинтуициииионистской) программе оснований математики и естественно-научном мышлении // Вопросы семантики. 1993. Вып. 33. С. 13—68), который призывает к более аккуратному использованию синтаксических конструкций в ходе математического рассуждения, в частности к более точному учету модальности наших рассуждений. Интерес представляет его идея о различении формул и формулоидов, что позволяет подвергнуть сомнению правомерность процедуры геделизации, т.е. истинность теоремы Геделя о неполноте.
20 В моей работе (см.: Катречко С.Л. Расселовский парадокс брадобрея и диалектика Платона^Аристотеля // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. СПб., 2002. С. 239^242) предложено чисто семантическое (философское) решение парадокса Рассела, не требующее сложной математической техники.
21 На самом деле можно предложить и еще более «сильное» философское решение парадокса, если привлечь для этого рассуждения неоплатоников: Прокла о Едином и Николая Кузанского об абсолютном максимуме. Ведь Единое (resp. абсолютный максимум) в каком-то смысле может рассматриваться как аналог «множества всех множеств». Тогда, как только мы построили более «мощный» объект, именно он, по определению абсолютного максимума, и станет этим абсолютным максимумом, или множеством всех множеств (понятно, что здесь отрицается неявно принимаемое математиками и неочевидное допущение о неизменяемости характеристик математических объектов при осуществлении над ними каких-то действий).
22 См.: Катречко С.Л. Как возможна метафизика? // Вопросы философии. 2005. №9.
23 Ван Хао. Процесс и существование в математике // Математическая логика и ее применение. М., 1965.
24 www. philosophy.m/Libraiy/Katr/logic/mathlek.html
25 См.: Берюги Дж. Трактат о принципах человеческого знания. М., 1978. С. 159. Сходным образом рассуждает Л. Витгенштейн, замечая, что никто никогда не видел листа бумаги вообще (см.: Витгенштейн Л. Философские работы. М., 1994).
26 Последний вопрос в каком-то смысле является главным для кантов-ской «Критики чистого разума».
27 Кант И. Указ. соч. С. 229.
28 Платон. Филеб//Платон. Соч.: В 4 т. Т. 3. С. 42^43. 38е^39с.
29 Платоновская метафора «живописца» прочно закрепилась в культуре на уровне обыденного сознания. Например, в русском языке есть выражение «представьте себе» (resp. «вообразите себе»). Что делает человек, когда слышит эти слова? «Живописец», обитающий в душе человека, начинает рисовать картину (образ) того, что надо представить. Причем это удобно делать с закрытыми глазами.
30 На релевантность схематизма указывает здесь уже сама этимология греческого термина «ах"ПЦа», который помимо значения «наглядный вид, образ» имеет значение «математическая фигура», что напрямую отсылает нас к специфике математической деятельности как работе со схемами.
31 Как таковая эта процедура, явным образом отсутствующая у Канта в «Критике чистого разума», вводится нами, но весь контекст кантовской главы о схематизме рассудочных понятий в свете его более позднего учения о рефлексивной способности суждения неявно ее предполагает. Собственно, сутью этой процедуры является переключение с вопроса типа «что (это нарисовано)?» на вопрос: «как (это что получается)?». Несколько подробнее мы говорим об этом в: Катречко С.Л. Трансцендентальная (кантовская) модель сознания как новая парадигма «искусственного разума» // Искусственный интеллект: междисциплинарный подход / Под ред. В.А. Лекторского, Д. И. Дубровского. М., 2006. С. 276^289.
32 Кант И. Указ. соч. С. 123.
33 По сути дела, никакая схема как действие не может быть абсолютно точно выражена дискурсивным образом (ведь схема — это нечто среднее между чувственным созерцанием и рассудочным понятием). Перефразируя Витгенштейна, можно сказать, что схема, скорее, не «сказывается», а «делается» (показывается). Например, мы (или учебник по механике) не можем объяснить ребенку, как кататься на велосипеде, используя для обучения этому навыку максиму «делай, как я (или другой, уже умеющий кататься, мальчик)».
34 Отметим здесь еще одно совпадение кантовского подхода с античной (платоновской) философией математики. В «Началах» Евклида помимо аксиом и определений, которые ничего не говорят о существовании определяемых с их помощью объектов, присутствуют также и постулаты (требования), задача которых, по Проклу, — построить, т.е. сконструировать введенные математические предметы (концепты).
35 В дополнение и для пояснения вышесказанного приведем еще один фрагмент Канта из главы о схематизме КЧР с некоторыми нашими поясняющими вставками: «В действительности в основе наших чистых чувственных понятий [т.е. математических предметов] лежат не образы предметов, а схемы. Понятию о треугольнике вообще не соответствовал бы никакой образ треугольника. В самом деле, образ [например, остроугольный или тупоугольный прямоугольник] всегда ограничивался бы только частью объема этого понятия и никогда не достиг бы общности понятия, благодаря которой понятие приложимо ко всем треугольникам — прямоугольным, остроугольным и т.п. Схема треугольника не может существовать нигде, кроме как в мысли, и означает правило синтеза воображения в отношении чистых фигур в пространстве» (Кант И. Указ. соч. С. 125).
36 Вот что пишет по сходному поводу представления числа 1000 Кант: «Если же я мыслю только число вообще [например, тысячу]... то такое мышление есть скорее представление о методе [или общем способе, т.е. схеме], каким представляют в одном образе множество... чем сам этот образ, который в последнем случае, когда я мыслю тысячу, вряд ли могу обозреть и сравнить с понятием» (Кант И. Указ. соч. С. 124).
