CC BY
88
ter for Fundamental and Applied Research. 2015. Vol. 3. Is. 1. P. 34-42.
26. Цветков В.Я. Основы теории предпочтений.- М.: Макс Пресс, 2004. 48 с.
27. Васютинская С.Ю. Пространственные отношения в кадастре // Образовательные ресурсы и технологии. 2015. № 4 (12). С. 91-96.
28. Савиных В.П. Информационные пространственные отношения // Образовательные ресурсы и технологии. 2017. № 1 (18). С. 79-88.
Сведения об авторе
Владимир Петрович Кулагин
Д-р техн. наук, проф., лауреат премии Президента РФ в области образования (2003 г.), лауреат премии Правительства РФ в области образования (2009 г.), член-корреспондент Российской академии естественных наук, действительный член Академии информатизации образования. Заведующий кафедрой РТУ МИРЭА
119454, Проспект Вернадского, 78
Москва, Россия
Эл. почта: vpkulagin@mail.ru
About the author
Vladimir Petrovich Kulagin
Doctor of Technical Sciences, Professor. Winner of the Prize of the President of the Russian Federation in the field of education (2003), winner of the RF Government Prize in Education (2009), Corresponding Member of the Russian Academy of Natural Sciences, member of the Academy of Informatization of Education Head of the chair RTU MIREA
119454, Vernadsky Prospekt, 78
Moscow, Russia
E-mail: vpkulagin@mail.ru
УДК 519.852.3, 519.83 Р.Г. Болбаков1, В.Я. Цветков2
1РТУ МИРЭА 2НИИАС
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА СПРОСА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Статья исследует новый тип транспортных задач спроса и предложения. Статья констатирует недостаток классической транспортной задачи. Классическая транспортная задача выражает интересы одной стороны - поставщика товара. В реальных условиях рынка существует спрос и предложение. Классическая транспортная задача отражает только предложение. Статья предлагает новую постановку транспортной задачи. Статья вводит новое понятие двойная транспортная задача. Новая постановка транспортной задачи включает интересы поставщика и потребителя. Такая задача называется двойной, поскольку дает два решения. Статья анализирует разные критерии решения теоретико игровых задач и выбирает подходящий метод для решения транспортной задачи. Статья дает решение транспортной задачи на основе чистых стратегий с использованием критерия минимакса. Решение двойной транспортной задачи позволяет находить седловую точку. Седловая точка определяет точку равновесия между спросом и предложением и является рыночным решением транспортной задачи. Новый подход расширяет возможности решения транспортных задач в рыночных условиях.
Ключевые слова: транспортная задача, теория игр, спрос, предложение, точка равновесия, двойная транспортная задача.
R.G. Bolbakov1, V.Ya. Tsvetkov2
1RTU MIREA 2NIIAS
THE TRANSPORT PROBLEM OF SUPPLY AND DEMAND
The article explores a new type of transport problems of supply and demand. The article states the lack of a classical transport problem. The classical transport problem expresses the interests of one party - the supplier of the goods. In the real market conditions, there is demand and supply. The classical transport task reflects only the offer. The article suggests a new formulation of the transport problem. The article introduces a new concept of a double transport task. The new formulation of the transport task includes the interests of the supplier and the consumer. Such a problem is called double, because it gives two solutions. The article analyzes different criteria for solving game-theoretic problems and chooses a suitable method for solving the transport problem. The article provides a solution to the transport problem based on pure strategies using the minimax criterion. The solution of
the double transport problem allows us to find the saddle point. The saddle point defines the point of equilibrium between supply and demand and is a market solution to the transport problem. The new approach expands the possibilities of solving transport problems in market conditions. Keywords: transport problem, game theory, demand, supply, equilibrium point, dual transport problem.
Введение
Транспортной задачей (Монжа — Канторовича) [1] называют математическую задачу линейного программирования, в которой ищется оптимальный плане перевозок грузов из пунктов отправления в пункты потребления, с минимальными затратами на перевозки. Если суммарный объём предложений не равен объёму спроса, который необходим для пунктов потребления, транспортная задача называется несбалансированной или открытой. Для классической транспортной задачи выделяют два типа критериев оптимального решения: критерий стоимости (минимум затрат на перевозку) или расстояний и временной критерий (минимум времени на перевозку). Названием транспортная задача охватывают широкий круг задач с общей математической моделью [2-4]. Этот круг задач относится к области линейного программирования [5, 6]. Такие задачи могут быть решены с применением методов оптимизации. Специальные методы решения транспортной задачи позволяют упростить её решение. Классическую транспортную задачу можно решить симплекс-методом [7, 8], но при учете особенностей её можно решить иначе. Общим недостатком постановки и решения транспортной задачи в ее многочисленных вариантах является то, что она не является рыночной, так как учитывает интересы только одного участника рынка. Фактически в классической постановке транспортная задача представляет интересы одного участника рынка и характеризует предложение. На рынке кроме предложения существует спрос, который является не менее важным самостоятельным фактором. Этот фактор в решении транспортных задач не учитывается. Поэтому есть основания рассмотреть транспортные задачи, учитывающие спрос и предложение. Такую транспортную задачу можно назвать двойной, поскольку она дает два решения: одно для поставщика, другое для потребителя.
Теоретико игровой подход при решении транспортной задачи
Для анализа возможных решений транспортной задачи спроса и предложения целесообразно применить теоретико игровой подход [9, 10], поскольку он учитывает интересы двух сторон. Теория игр для поддержки принятия решений использует набор математических моделей и правил их применения в условиях неопределенности. Лицо, принимающее решение, (ЛПР) в теории игр представляет одну сторону и является активным участником моделирования и выбора альтернатив. Наряду с правилами игра может характеризоваться целями, которых стремиться достичь каждый участник игры. Для достижения целей игрок применяет стратегию, тактику и оперативные действия. Такой подход сближает теорию игр и управление.
Стратегия в теории игр определяется как некий обобщенный план достижения одной (главной) или нескольких целей. В решении транспортной задачи это опорный план [8]. Тактика определяется набором возможных решений и обозначается термином выбор. Оперативные действия являются реализацией тактических и стратегических замыслов.
Технология принятия решений в теории игр рассматривается как аналитический подход к выбору наилучшей альтернативы или последовательности действий [12]. В решении транспортной задачи это называется оптимальный план.
Транспортная задача описывается на основе модели матрицы. В теории игр такие задачи описываются матричными играми. Матричная игра [13] - это модель, отображающая игру двух игроков с нулевой суммой. В ней стратегии одного игрока А отображаются в виде строк, а стратегии другого игрока В в виде столбцов. Применительно к транспортной задаче рассмотрим вариант, когда игрок А представляет спрос, а игрок В представляет предложение. Элементы матрицы ay называются выигрышами или платежами, отчего матрицу отношений между игроками называют матрицей платежей (рис.1). В дальнейшем будем обозначать матрицу платежей через АА. Кроме того, эту матрицу называют также матрицей решений.
В1 Вп
А1 an Яп1
aij
Ат am1 amn
Рис.1. Матрица решений
На рис. 1 показана матрица решений со вспомогательным столбцом слева и вспомогательной строкой вверху. В этих столбце и строке показаны интересы потребителей А и интересы поставщиков В.
В теории игр стратегия А рассматривается как действие, другая стратегия В как противодействие. Иногда каждая клетка матрицы или столбец характеризуется неким возможным состоянием, которое называют внешним состоянием. В этом случае дополнительно к выигрышу для каждой клетки матрицы появляется еще одна характеристика - вероятность внешнего состояния. Обозначим через qi - вероятность появления внешнего состояния Fj (рис.2). На рис. 2. показана матрица платежей с состояниями и стратегиями.
В1 Fl В, Fj Вп Fn
А1 all ql ап1 qn
a1j q1
Ат aml ql атп qn
Рис. 2. Матрица выигрышей со значениями платежей и состояний
Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение. Такое решение может быть найдено путём сведения модели игры к задаче линейного программирования. Транспортная задача также решается методами линейного программирования, поэтому в рассмотренной ситуации имеется алгоритмическое сходство, но различие в постановке задачи.
Нахождение компромиссных решений
Нахождение решения в матрице решений (рис.1) осуществляется на основе определенных правил или критериев. В теории игр существует несколько апробированных критериев, которые используются при принятии решений. При этом каждый критерий основан на определенной стратегии и применим при конкретных условиях. Для упрощения в дальнейшем анализ проводится за стратегию А, в то время как стратегия В считается противодействующей. Стратегия А включает выплату денежных средств и ими располагает, в то время как стратегия в может только соглашаться или не соглашаться с данным платежом. Существует ряд критериев нахождения решения матрицы рис.1. отметим некоторые.
Принцип минимакса (ММ) [11, 14]. Согласно этому критерию в качестве оптимальной стратегии выбирается стратегия А, при которой минимальный выигрыш максимален. Потребители чаще всего используют этот критерий
Критерий Байеса - Лапласа [11, 15]. Данный критерий основан на вычислении среднего выигрыша для каждой строки матрицы платежей и выборе максимального из них. Потребители не используют этот критерий при возможности полного удовлетворения спроса
Критерий Севиджа [11, 16]. В теории статистических решений вводится понятие риска. Критерий Сэвиджа называют также критерием минимаксного риска Сэвиджа. Потребители не используют этот критерий при возможности полного удовлетворения спроса
Критерий Гурвица [11, 17, 18]. Гурвицем предположен критерий в точке, которая находится между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма
Критерий Ходжа-Лемана [11, 19]. Этот критерий опирается одновременно на ММ-критерий и критерий Баеса-Лапласа. С помощью параметра V выражается степень доверия к используемому распределению вероятностей. Если доверие велико, то доминирует критерий Баеса-Лапласа, в противном случае - ММ-критерий
Применение принципа минимакса для решения двойной транспортной задачи
Правило нахождения решения транспортной задачи в соответствии с данным критерием можно интерпретировать следующим образом:
Матрица решений дополняется ещё одним столбцом из наименьших результатов аг каждой строки. Необходимо выбрать те варианты в строках которых стоят наибольшее значение аг этого столбца.
При использовании данного критерия стратегия при выборе решения строится на том, что игрок А старается как можно меньше проиграть, то есть исключить риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Это определяет название данного критерия как максиминный. Применимость максиминного (ММ) критерия целесообразна, если имеют место следующие условия:
1. О возможности появления внешних состояний Fj ничего не известно;
2. Приходится считаться с появлением различных внешних состояний;
3. Решение реализуется только один раз (возврат хода невозможен);
4. Необходимо исключить какой бы то ни было риск (точнее его минимизировать).
Применение данного критерия основано на предположении потребителем А того, что на
каждый его ход поставщик ответит ходом, при котором выигрыш минимален. Это определяет такую точку зрения как пессимистическую. Технология применения критерия включает анализ матрицы выигрышей АА. Для каждого значения i (i=1,m - количество строк) определяется минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий поставщика В
а= mini aij (i=1,m).
Индекс i в описании функции mini определяет диапазон поиска. В данном случае i меняется по строкам и поиск производится по строкам. Этим определяется минимальный выигрыш для игрока А при условии, что он примет свою i-ю чистую стратегию, затем из этих минимальных выигрышей отыскивается такая стратегия i = io, при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т.е. находится
maxi minj aij = aj = а (1).
Число а, определённое по формуле (1) называется нижней чистой ценой игры или максимином. Оно показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе потребитель А, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях поставщика В. Величина а в выражении (1) называется также максиминным выигрышем. При использовании этой стратегии гарантирован выигрыш не менее а.
Можно выбрать сторону поставщика В и рассуждать за него. Поставщик В должен стремится по возможности за счёт своих стратегий максимально уменьшить выигрыш игрока А. Поэтому для игрока В отыскивается
а = maxj aij
т.е. определяется max выигрыш игрока А, при условии, что игрок В применит свою j-ю чистую стратегию, затем игрок В отыскивает такую свою j = ji стратегию, при которой игрок А получит min выигрыш, т.е. находит
minj maxi aij = aiji = а (2).
Число а, определяемое из выражения (2), называется чистой верхней_ценой игры или минимаксом. Оно показывает, какой максимальный выигрыш за счёт своих стратегий может себе гарантировать поставщик B. Другими словами, применяя свои чистые стратегии потребитель А может обеспечить себе выигрыш не меньше а, а игрок В за счёт применения своих чистых стратегий может не допустить выигрыш игрока А больше, чем а.
Принцип, диктующий игрокам выбор соответствующих стратегий (максиминной и минимаксной), называется принципом минимакса.
Решение двойной транспортной задачи в чистых стратегиях
Проанализируем основы решения двойной транспортной задачи в чистых стратегиях. Матричная игра двух игроков A, B с нулевой суммой может рассматриваться следующим образом. Потребитель A имеет m стратегий i = 1,2,...,m, поставщик B имеет n стратегий j = 1,2,...,n. Каждой паре стратегий (ij) поставлено в соответствие число aj, выражающее выигрыш игрока A за счёт игрока B, если первый игрок примет свою i-ю стратегию, а B - свою j-ю стратегию. На рис.3 дана матрица платежей.
АЛ =
an an1
aij
am1 amn
Рис.3. Матрица платежей
Если рассмотреть платежную матрицу АА рис.3, то проведение каждой партии матричной игры с матрицей АА сводится к выбору потребителем А 7-й строки, а поставщиком В /-го столбца и получения потребителем А (за счёт В) выигрыша ау. В такой трактовке если а< 0, то это значит, что потребитель А платит поставщику В сумму | ац |. Если а7}> 0, то это значит, что
поставщик В отпускает продукцию потребителю А на сумму | а^ |. На этом игра заканчивается. Каждая стратегия игрока / = 1,т; ] =1, п называется чистой стратегией. Главным в исследовании игр является нахождение оптимальных стратегий игроков. Стратегия игрока считается оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока. Рассмотрим реализацию стратегии на примере.
Пример. Нахождение верхней и нижней цены игры. На рис.4 дана матица платежей, необходимо найти нижнюю и верхнюю чистую цену игры
АА=
Bi В2 Вз В4 а
Ai 0,5 0,7 0,8 0,9 0,5
А2 0,9 0,8 0,7 0,8 0,7
Аз 0,8 0,6 0,5 0,7 0,5
а 0,9 0,8 0,8 0,9
Рис.4. Пример матрицы платежей
Используя принцип минимакса находим а = 0,7 ; а = 0,8. Для данного примера верхняя и нижняя цены игры различны. Если в игре с матрицей платежей а= а, то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры.
и =а = а.
Седловая точка - это пара чистых стратегий (io,jo) соответственно игроков А и В, при которых достигается равенство а = а. В рыночной интерпретации это означает нахождение точки равновесия между спросом и предложением. В решении транспортной задачи в это понятие вложен следующий смысл: если потребитель придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то поставщик не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке. Математически это можно записать и иначе:
ajjo < Oiojo ^aioj (3)
где i, j - любые чистые стратегии соответственно игроков А и В; (iojo) - стратегии, образующие седловую точку. Согласно (3), седловой элемент aiojo является минимальным в 1о-й строке и максимальным в _)о-м столбце в матрице АА. Отыскание седловой точки происходит путем последовательного нахождения в каждой строке матрицы платежей минимального элемента и проверки его на максимальность в своём столбце. Если да, то он - седловой элемент, а пара стратегий, ему соответствующая, образует седловую точку, то есть точку равновесия между спросом и предложением.
Пару чистых стратегий (iojo) потребителя А и поставщика В, образующая седловую точку и седловой элемент aiojo, называют равновесным решением транспортной задачи. При этом io и jo называются оптимальными чистыми стратегиями потребителя А и поставщика В.
Заключение
Учет интересов не только поставщика, но и потребителя приводит к необходимости решения транспортной задачи нового типа: «Транспортной задачи спроса и предложения». Такую транспортную задачу можно назвать двойной транспортной задачей, поскольку она дает два решения: одно для поставщика, другое для потребителя. Для решения этой задачи применимы теоретико игровые методы. Использованием минимаксного принципа при чистых стратегиях для решения транспортной задачи позволяет находить решение транспортной задачи в виде седловой точки. Седловая точка соответствует точке рыночного равновесия между спросом и предложением и является равновесным решением транспортной задачи, в то время как классическое решение транспортной задачи представляет только интересы одной стороны и не дает равновесное решение.
Литература
1. Rachev S.T. The Monge-Kantorovich mass transference problem and its stochastic applications //Theory of Probability & Its Applications. 1985. V. 29. № 4. P. 647-676.
2. Гольштейн Е.Г., Давид Б.Ю. Задачи линейного программирования транспортного типа. - М.: Наука, 1969.
3. Миловидов С.П., Козлов П.А. Динамическая транспортная задача с задержками в сетевой постановке // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1982. № 1. С. 211-212.
4. Бородинова И.А., Сараев Л.А. Стохастическая транспортная задача //Вестник Самарского государственного университета. 2010. № 81. С. 16-23.
5. Dantzig G. Linear programming and extensions. - Princeton university press, 2016.
6. Gass S.I. Linear programming //Encyclopedia of Statistical Sciences. 2004. V. 6.
7. Nelder J.A., Mead R. A simplex method for function minimization // The computer journal. 1965. V. 7. № 4. P. 308-313.
8. Цветков В.Я. Математические методы анализа в экономике. - М.: МАКС Пресс, 2001.
56 с.
9. Friedman J. W. Game theory with applications to economics. - Oxford University Press, USA, 1990.
10. Camerer C.F. Behavioral game theory: Experiments in strategic interaction. - Princeton University Press, 2011.
11. Тихонов А.Н., Цветков В.Я. Методы и системы поддержки принятия решений. - М.: Макс Пресс, 2001. 312 с.
12. Trizano-Hermosilla I., Alvarado J.M. Best alternatives to Cronbach's alpha reliability in realistic conditions: congeneric and asymmetrical measurements // Frontiers in psychology. 2016. V.7. Р. 769.
13. Vijay V., Chandra S., Bector C.R. Matrix games with fuzzy goals and fuzzy payoffs // Omega. 2005. V. 33. № 5. P. 425-429.
14. Lehmann E.L., Romano J.P. The minimax principle // Testing Statistical Hypotheses. 2005. С.319-347.
15. Aldrich J. et al. RA Fisher on Bayes and Bayes' theorem // Bayesian Analysis. 2008. Т. 3. № 1. С. 161-170.
16. Лемешко Б. Теория игр и исследование операций. Конспект лекций. - Новосибирск, НГГУ, 2013. 167 с.
17. Лабскер Л.Г., Айбазова С.Х. Оптимизация издержек в транспортном аспекте логистической системы на основе синтетического критерия Гурвица // Управление риском. 2013. № 2. С. 52-72.
18. Gil J.J. et al. Stability analysis of a 1 dof haptic interface using the routh-hurwitz criterion //IEEE transactions on control systems technology. 2004. V.12. № 4. Р. 583-588.
19. Лабскер Л.Г., Клюев А.Н. Выбор инвестиционного проекта по критерию Ходжа-Лемана. Часть 2.(Математическая формализация и решение задачи) // Инновации и инвестиции (научно-аналитический журнал). 2005. № 6. С. 29-44.
Сведения об авторах
Роман Геннадьевич Болбаков
Доц., канд. техн. наук, доц. каф.
инструментального и прикладного
программного обеспечения, Институт
информационных технологий.
Московский технологический университет
(МИРЭА)
Москва, Россия
Эл. почта: antaros05@ya.ru
Виктор Яковлевич Цветков
Проф., д-р техн. наук, Центр
фундаментальных и перспективных
исследований, заместитель руководителя
Научно-исследовательский и проектно
конструкторский институт
информатизации, автоматизации и связи на
железнодорожном транспорте (НИИАС)
Москва, Россия
Эл. почта: cvj2@mail.ru
Аbout authors
Roman G. Bolbakov
Associate Professor, Ph.D. Assistant professor. Institute of Information Technology Moscow Technologies University (MIREA). 119454, Prospect Vernadskogo, 78, Moscow, Russia E-mail: antaros05@ya.ru
V.Ya. Tsvetkov
Professor, Doctor of Technical Sciences. Center fundamental and advanced research, the deputy head.Research and Design Institute of design information, automation and communication on railway transport, JSC NIIAS Moscow, Russia E-mail: cvj2@mail.ru
