Транспортная задача по критерию времени с учётом затрат на обработку ресурсов в пунктах назначения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 65.012.122

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ПО КРИТЕРИЮ ВРЕМЕНИ С УЧЁТОМ ЗАТРАТ НА ОБРАБОТКУ РЕСУРСОВ В ПУНКТАХ НАЗНАЧЕНИЯ

© 2007 г. Н.М. Нечитайло

Unlike classical transport problem on criterion of the minimum of the general time, is expected that facility not only must be delivered from source points in points of destination, but also are subject to additional processing in these points. The problem is considered executed only after deliveries and completions of the processing all resource, participating in transportation. Is it herewith expected that time of the processing resource in any point of destination depends on volume processed to parties. Thereby, like problems are a generalization classical minimax transport problem. For decision of the problem is used a hungarian method. For reduction of the number step algorithm is offered procedure of revision of the bottom edge to target function.

В отличие от классической транспортной задачи по критерию минимума общего времени [1, 2] предполагается, что ресурсы не только должны быть доставлены из исходных пунктов в пункты назначения, но и подвергнуты в них дополнительной обработке. Задача считается выполненной только после доставки и окончания обработки всех ресурсов, участвующих в транспортной операции. При этом предполагается, что время обработки в любом пункте назначения зависит от объёма обрабатываемой партии. Подобные задачи являются обобщением классической минимаксной транспортной задачи [1, 3].

Задачи транспортировки с дополнительной обработкой ресурсов в пунктах назначения могут быть разделены на подвиды в зависимости от характеристик обрабатывающих органов. К наиболее простому случаю приводит допущение о том, что время обработки партии полуфабриката в любом пункте назначения линейно зависит от объёма поступившей партии. При этом считается, что обработка начинается по прибытии в пункт назначения (обработки), независимо от того, закончена ли обработка полуфабриката, прибывшего ранее из какого-либо другого исходного пункта. Такое допущение вполне оправдано в случае существенного превышения времени доставки грузов между пунктами сети над временем обработки ресурсов. Иными словами, предполагается, что обработка каждой партии ресурса последовательно ведётся отдельным каналом обслуживания, при этом число таких каналов не ограничено (при прибытии партии полуфабриката из другого исходного пункта включается новый канал обслуживания).

В случае соизмеримости временных затрат на транспортировку и обработку ресурсов появляется необходимость учёта очередей на обслуживание в пунктах обработки. В свою очередь такие модели можно разделить на модели с одним каналом обслуживания на каждом из пунктов обработки и многоканальные. При таком подходе возникает необходимость учёта очередей, образующихся как при обработке одной партии полуфабриката, так и в случае обслуживания на одном пункте обработки нескольких партий, прибывших из разных исходных пунктов.

Сформулированная задача имеет много общего с

транспортной задачей с фиксированными доплатами [4], для решения которой используются либо приближённые методы (за счёт линеаризации целевой функции), либо достаточно трудоёмкие комбинаторные методы поиска точного решения (например метод ветвей и границ). Для поставленной задачи ввиду минимаксного характера целевой функции удалось свести поиск точного оптимального решения к решению конечной последовательности задач, вычислительная сложность которых не выше полиномиальной.

Модели без учёта очередей на обработку

Задача заключается в определении такого плана перевозок Ц ху ||, при котором выполняются ограничения

Zxa < a, ' =

j=i

ZXj < bj, j = l..n;

xj > 0, i = 1..m; j = l.n.

(1)

При этом должно быть достигнуто минимально возможное значение функции

^ = тах t (ху ) , (2)

где ^хф определяется следующим образом:

t(xj) =

jV + tjXij, 1 0,

если Xij > 0; и

если Xij = 0 и

(3)

j -

^ - время доставки ресурсов по маршруту А, ^ Ву время, затрачиваемое в пункте Ву на обработку единицы ресурса; а^ - величина ресурса в исходном пункте А,-; Ьу - потребности в ресурсе в пункте назначения Ву; ху - количество ресурсов, перемещаемых по маршруту А, ^ Ву.

Предлагается, определив нижнюю границу Г„ целевой функции, вычислить ограничения на величину перевозимого продукта по каждому маршруту ёу и свести решение задачи к решению конечной последовательности подзадач о максимальном транспортном потоке в сети с ограниченными пропускными способностями коммуникаций. Для решения задачи о мак-

i=i

симальном транспортном потоке чаще всего используются методы последовательного улучшения плана (метод потенциалов) либо последовательного сокращения невязок (венгерский метод) [1, 2]. В рамках предлагаемой статьи ограничимся применением венгерского метода, поскольку для его реализации нет необходимости ни в сведении задачи к сбалансированному виду, ни в принятии мер борьбы с вырожденностью, что существенно сокращает потребности в машинной памяти и время получения решения. При этом, как и при решении классической транспортной задачи по критерию минимума общего времени венгерским методом [2], на каждом шаге осуществляется переход от решения с наилучшим значением целевой функции, не удовлетворяющего всем ограничениям, к решению с худшим значением целевой функции, но удовлетворяющему большему числу существующих ограничений. То есть осуществляется переход из точки, лежащей вне области допустимых решений, к такой угловой точке области допустимых решений, где целевая функция достигает своего экстремума. Решение заканчивается на шаге, в ходе которого достигнуто решение, удовлетворяющее всем ограничениям. При этом значение целевой функции полученного оптимального решения будет равно текущему значению её нижней границы. Реализация указанного алгоритма может привести к решениям, содержащим замкнутые циклы, избавиться от которых можно за счёт процедур перераспределения пере-возЕкли в результате решения задачи о потоке все столбцы матрицы перевозок окажутся закрытыми (потребности пунктов назначения удовлетворёны), либо будут вывезены все ресурсы из исходных пунктов, то оптимальное решение найдено. Если же закрытыми окажутся не все столбцы, то значение нижней границы целевой функции Е„ необходимо увеличить на величину АР. Исходя из этого нового значения нижней границы произвести пересчёт пропускных способностей маршрутов и снова решить задачу о максимальном транспортном потоке. При отрицательном итоге снова увеличивается значение нижней границы целевой функции и повторяются указанные шаги алгоритма.

Процедуру определения нижней границы целевой функции рассмотрим на примере, представленном в виде сети на рис. 1 и в виде матриц перевозок (табл. 1-4), где имеются 6 пунктов: 3 исходных и 3 назначения. Цифры над линиями, соединяющими пункты сети, и цифры в правых верхних углах клеток матриц перевозок представляют собой времена движения между соответствующими пунктами. Цифры в окружностях на рис. 1 - ресурсы и потребности соответствующих пунктов. В В1, В2 , В3 в окружностях цифры в знаменателе указывают время обработки единицы полуфабриката в соответствующем пункте.

Используя (2), (3), найдем достаточно обоснованное значение нижней границы целевой функции

Еп = тах{шт[/гу + тш(аг- ,Ъ]) * ]}. (4)

} '

Для иллюстративного примера нижняя граница целевой функции, определённая в соответствии с (4),

равна (11+В1*(1= 6,7. В табл. 1 представлена матрица, в правых верхних углах ячеек которой проставлены времена движения по соответствующим маршрутам, а в левых нижних - пропускные способности маршрутов при условии, что Рп=6,7.

Полученная нижняя граница может быть уточнена

Рис. 1. Сеть иллюстративного примера

следующим образом. Вычислим ограничения на величины перевозок по каждому маршруту (1=1...т, ]=1...п) по следующему правилу:

dij -

min{ai, bj,(Fn -tj ) div(tj)}, если tj >0, tj <Fn;

i,j J J

min{ai, bj},

i, J

если tj - 0,

0,

если

tij

> Fn

tij < Fn;

(5)

где - операция целочисленного деления (с отбрасыванием остатка).

Таблица 1

bi b2 Ьз

a1 5 17 6 3 7 0

a2 7 0 2 12 3 20

a3 8 0 4 10 5 10

Затем проверим выполнение условий разрешимости задачи:

2dij>ai, i=1...m,

j-i

2dj>bj, j=1...n.

(6)

Невыполнение первого неравенства свидетельствует о невозможности вывоза разрешёнными маршрутами всех грузов, имеющихся в исходных пунктах, невыполнение второго - о невозможности удовлетворения потребностей всех пунктов назначения. Из табл. 1 видно, что установленные пропускные способности маршрутов делают невозможным вывоз имеющихся ресурсов из первого исходного пункта. При невыполнении хотя бы одного из неравенств (6) необходимо увеличить значение нижней границы целевой функции ¥п на величину АР. Затем, исходя из этого нового значения нижней границы, произвести

j-i

пересчёт пропускных способностей маршрутов в соответствии с (5) и вернуться к проверке выполнения условий (6). В итоге этой процедуры уточнённое значение нижней границы целевой функции будет удовлетворять всем неравенствам (6). Для иллюстративно -го примера нижняя граница целевой функции после уточнения стала равна 7,4.

Затем составляется исходный план перевозок одним из известных методов, например, методом северо-западного угла или по правилу: маршруты с наименьшим временем использовать в первую очередь. При этом назначение величины перевозки Хц для очередной клетки матрицы перевозок должно производиться по правилу хц = тт(аг-, Ьу, ёу), где а/, Ьу -

ч

ресурсы и потребности соответствующих исходных пунктов и пунктов назначения с учётом уже назначенных перевозок. Исходный план иллюстративного примера представлен в табл. 2. В центре каждой клетки проставлены величины перевозок. В правом верхнем углу - времена движения по соответствующим маршрутам. В левом нижнем - ограничения на величины перевозок по соответствующим маршрутам, вычисленные при текущем значении нижней границы целевой функции. Полученный план не является решением задачи, так как остались вывезенными 6 единиц груза из первого исходного пункта и на такое же количество груза остались неудовлетворёнными потребности третьего пункта назначения. В табл. 2 в соответствующих строках и столбцах проставлены знаки «-».

Таким образом, закрытыми оказались только первый и второй столбцы табл. 2, а поскольку среди чисел а' есть отличные от нуля, транспортный поток может быть увеличен. Построение цепочки для увеличения транспортного потока начинается с ячейки незакрытого столбца (для плана иллюстративного примера - третий в табл. 2), через которую возможны перевозки.

Поскольку в плане перевозок иллюстративного примера х13=ё13 и х33=ё33 , единственной подходящей является ячейка, соответствующая маршруту Л2^Б3.

Для иллюстративного примера построенная цепочка обозначена знаками «+» и «-», расположенными в правых нижних углах клеток табл. 2. Перераспределение перевозок заключается в изменении величины перевозок хц на величину Ах в соответствии со знаком цепочки для соответствующей ячейки.

Таблица 2

bi b2 Ьз

a1 5 17 17 6 7 + 7 4 4 -

Ü2 7 4 2 12 12 - 3 8 20 +

a3 8 0 4 10 5 10 10

--

При перераспределении перевозок в клетках построенной цепочки следует учитывать дополнительное ограничение, накладываемое на величину Ах: Ах = тт{ттхг ,-.,тт[(аЬ * ,*),(ёг* ,* -х/* у*)]} ,

где а**, Ь*ц* - ресурсы и потребности исходных пунктов и пунктов назначения, относящихся к ячейкам, помеченным знаками «+» с учётом уже назначенных перевозок; (¡*Ц*) - ячейки цепочки, помеченные знаками «+»; (/'У') - ячейки цепочки, помеченные знаками «-».

Такое перераспределение не нарушает ни одного из ограничений задачи. В то же время транспортный поток в результате перераспределения возрастает (в любой цепочке клеток, помеченных знаками «+», на одну больше, чем «-»). Матрица перевозок после перераспределения представлена в табл. 3. Новый план перевозок удовлетворяет ограничениям (1), и следовательно, является оптимальным.

Анализ полученного плана перевозок показывает, что маршрутом с наибольшим суммарным временем (транспортировка + обработка) является маршрут Л1^Б3 , поскольку х13=ё13 , а значит для него ¥=¥„.

Особенность полученного решения - число базисных переменных (в которых хц>0) в отличие от задач, учитывающих только затраты на перемещение ресурсов по маршрутам, превышает т+п-1. Можно попытаться избавиться от замкнутого цикла, образованного переменными х12, х13, х22 и х23, например, путём построения цикла перераспределения перевозок, используемого при решении линейной транспортной задачи методом потенциалов. Однако любая такая попытка неизбежно приводит к недопустимому увеличению (превышающему Еп) либо переменной х12, либо х13, т.е. к увеличению времени реализации плана перевозок. Максимальное значение величины перераспределения перевозок (Ах) по замкнутому циклу в этой задаче равно 1. Результат перераспределения представлен в табл. 4. При этом переменной, определяющей значение целевой функции, становится перевозка по маршруту Л1^Б2 (переменная х12).

Таким образом, существуют, по крайней мере, два оптимальных решения иллюстративного примера. План, представленный в табл. 4, мог быть получен в соответствии с основным алгоритмом, рассмотренным в настоящей главе, в случае, если бы начальный план строился по методу северо-западного угла.

Таблица 3

bi b2 Ьз

a1 5 17 17 6 6 7 7 4 4

a2 7 4 2 6 12 3 14 20

a3 8 0 4 10 5 10 10

Таблица 4

bi b2 Ьз

a1 5 17 17 6 7 7 7 3 4

Ü2 7 4 2 5 12 3 15 20

a3 8 0 4 10 5 10 10

Модели с учётом очередей на обработку

Рассмотрим одноканальную модель, т.е. ситуацию, когда во всех пунктах назначения имеется всего по одному каналу обслуживания, каждый из которых характеризуется временем, затрачиваемым на обработку единицы ресурса. При этом время обработки первой прибывшей в пункт назначения партии ресурса линейно зависит от её объёма. Ресурсы, доставленные позже из других исходных пунктов, в зависимости от времени окончания обработки предыдущих партий ресурсов либо сразу принимаются на обработку, либо становятся в очередь. Задача заключается в определении такого плана перевозок Ц Х/ ||, при котором выполняются ограничения (1) и достигает своего минимально возможного значения функция (2), в которой ((х/ определена следующим образом:

tj + tj * Xj +t04 (tij), если Xj > 0

t(x¡.) =

'J I 0:

(7) где

если Xij = 0, и

t04(tjj)

t.,. +t *x.,. —f..

'j j 'j 'j'

если

Xj'j >0,

0, если tj =min tj либо tj <tf j +tj *xj,

(8)

% - время доставки ресурсов по маршруту Л, ^ Б/, - время, затрачиваемое в пункте Б/ на обработку единицы ресурса.

Ввиду того, что сформулированная задача является обобщением задачи без учёта очередей, представляется целесообразным использовать после определённой доработки разработанный алгоритм решения частной задачи для более общего случая.

Значение целевой функции при решении без учёта очередей не превышает ее величины в случае их учёта. В этой связи оптимальное решение такой задачи может быть получено на основе решения задачи без очередей с последующим пересчётом времён движения ресурсов до пунктов назначения и их последующей обработкой в этих пунктах с

учётом очередей. Затем следует попытаться уменьшить (в предельном случае - исключить из плана перевозок) критическую перевозку, перераспределив ресурсы по маршрутам, и тем самым уменьшая значение целевой функции. Такая цель может быть достигнута за счёт уменьшения пропускной способности критического маршрута до величины =х*/—1 (где х*/ - критическая перевозка) и повторного решения задачи.

Если значение целевой функции нового решения после пересчёта времён с учётом очередей не превышает значения предыдущего плана, то уменьшение величины критической перевозки прошло успешно и процедуру следует продолжить. В противном случае либо в случае отсутствия допустимого решения следует вывод о невозможности уменьшения критической перевозки и о том, что на предыдущем шаге получен оптимальный план.

Процедуру определения нижней границы целевой функции рассмотрим на примере, представленном в виде сети на рис. 2 и в виде матриц перевозок (табл. 5-7), где имеются 5 пунктов: 3 исходных и 2 назначения. Цифры над линиями, соединяющими пункты сети, и в правых верхних углах клеток матриц перевозок представляют собой времена движения между соответствующими пунктами. Цифры в окружностях на рис. 5 - ресурсы и потребности соответствующих пунктов. В Б¡, Б2 в окружностях (цифры) в знаменателе указывают время обработки единицы полуфабриката в соответствующем пункте.

Используя (7), (8), найдем достаточно обоснованное значение нижней границы целевой функции

Fn = max{min tj + bj * tj } .

(9)

Для иллюстративного примера нижняя граница целевой функции, определённая в соответствии с (9), равна ?22+Б2*?2=44. В табл. 5 представлена матрица, в которой в правых верхних углах ячеек указаны времена движения по соответствующим маршрутам, в левых нижних - пропускные способности маршрутов при условии, что ^„=44. В этой же таб-

лице дается допустимым план перевозок для задачи без учёта очередей (в центре каждой клетки - величины перевозок).

Для случая учёта очередей на обработку ресурсов рассчитаем времена движения ресурсов по каждому маршруту: ?(х11)=?11+?1*х11=5+16=21;

^х21)=тах^21, Цхц)} *х21 =21+20=41;

Г(х32)=Г32+Г2*х32=4+20=24;

Г(х12)=тах{(12, t(xз2)}+t2*Xl2=24+22=46.

Таким образом, время реализации плана перевозок, представленного в табл. 5, составляет 46 единиц (¥=1(х12)). Поскольку ¥>¥п , следует попытаться улучшить решение за счёт уменьшения пропускной способности критического маршрута (для иллюстративного примера - маршрута А1 —*Б2).

Установим й*12 =х*12-1=10 и вновь решим задачу без учёта очередей. Полученный план перевозок представлен в табл. 6.

Таблица 5

t(x32)= maxfe, t(x22)}+t2*X32=24+20=44.

bi b2

a1 5 16 27 6 11 19

Ü2 7 20 20 2 20

a3 8 10 4 10 10

Таблица 6

bi b2

a1 5 17 27 6 10 10

a2 7 19 20 2 1 12

a3 8 10 4 10 10

Таблица 7

bi b2

a1 5 27 27 6 0

a2 7 9 20 2 11 12

a3 8 10 4 10 10

И, наконец, в общем случае каждый пункт назначения (обработки) должен рассматриваться как многоканальная система обслуживания, характеризуемая не только суммарными возможностями по переработке ресурсов (Б}), прибывающих из исходных пунктов, но и временем tj, затрачиваемым одним каналом на обработку единицы ресурса, не зависящим от пункта его отправления, и числом таких каналов 2]. Иными словами, 2] - количество ресурса, которое способен одновременно обработать ]-й пункт за время

Таким образом, задача заключается в определении такого плана перевозок Ц х] ||, при котором выполняются ограничения (1) и достигает своего минимально возможного значения функция (2), в которой ЦХ[) определена следующим образом:

t(xij) =

где

Itj + tj *(xij + Zj -1) div(zj) + t04(tij), если Xj >0 I 0, если Xj = 0,

4(tj) =

tj +tj *(xfj + Zj -1) div (Zj ytjj,

если xij >0, v

t,-,- >Uu, tu >tf j +t

tj tj' ij ij j

i ^i

0,

если tij =min ij i

tij либо

tj <t? h +t h

Для нового плана перевозок рассчитаем времена движения ресурсов по каждому маршруту: t(x11)=t11+t1*x11=5+17=22; t(x21)=-max{t21,

*х21 =22+19=41; t(x22)=t22+t2*X22=2+2=4; Ц.хз2)= max{tз2, t(x22)}+t2*Xз2=4+20=24; ^х12)=шах{^2, ^хз2)} +t2*х12=24+10=44. Поскольку в полученном плане Г=44=Гп, можно сделать вывод о его оптимальности. Тем не менее для избавления от замкнутых циклов процедуру уменьшения количества ресурсов, перебрасываемых по критическому маршруту, можно продолжить. Так, в табл. 7 представлен план перевозок, в котором й*12 =0. Для этого нового плана перевозок рассчитаем времена движения ресурсов по каждому маршруту:

t(x11)=t11+t1*x11=5+27=32; Кх21)=тах^21, *х21 =32+9=41;

t(x22)=t22+t2*X22=2+22=24;

Из этого следует, что решение задачи с многоканальным характером обработки может быть сведено к решению задачи, имеющей по одному каналу обработки в каждом из пунктов назначения. При этом в простейшем случае можно считать, что время на обработку единицы ресурса в многоканальном пункте обработки в х^ раз меньше времени, затрачиваемого одним каналом, и равно 1)=1/Х].

Литература

1. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Задачи линейного программирования транспортного типа. М., 1969.

2. Триус Е.Б. Задачи математического программирования транспортного типа. М., 1967.

*

х

х

3. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое 4. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное про-программирование. М., 1969. граммирование. М., 1969.

Ростовский государственный университет путей сообщения_7 ноября 2006 г.