CC BY
22
7. Куро, Ж. Современные технологии повышения качества электроэнергии при ее передаче и распределении [Электронный ресурс] / Ж. Куро. — Новости электротехники. - 2005. - № 1 (31). -http://news.elteh.ru/arh.
8. Котельников, А.В. Энергетическая стратегия железных дорог России [Электронный ресурс] / А.В. Котельников // Железные дороги мира. - № 2. - 2005. -http://www.css-mps.ru/zdm/index.html.
9. Василянский, А. М. Совершенствование системы тягового электроснабжения железных дорог, электрифицированных на переменном токе 27,5 кВ, 50 Гц [Текст] / А.М. Василянский, Р.Р. Мамошин, Г.Б. Якимов // Железные дороги мира. - 2002. -№ 8. - С. 40-46.
10. Бородулин Б. М. Симметрирование токов и напряжений на действующих тяговых подстанциях переменного тока [Текст] / Б.М. Бородулин // Вестник ВНИИЖТ. 2003. №2.
11. Бардушко, В.Д. Режимы работы системы тягового электроснабжения напряжением 94 кВ с симметрирующими трансформаторами [Текст] / В.Д. Бардушко, В.П. Закарю-кин, А.В. Крюков // Вестник ВНИИЖТ. -2005. - №3. - С. 44-47.
12. Закарюкин, В.П. Имитационное моделирование системы тягового электроснабже-
ния 94 кВ с симметрирующими трансформаторами [Текст] / В.П. Закарюкин, А.В. Крюков // Вестник ВНИИЖТ. - 2005. -№5. - С. 12-17.
13. Марквардт, К.Г. Электроснабжение электрифицированных железных дорог [Текст] /К.Г. Марквардт. — М.: Транспорт, 1982. — 528 с.
14. Поплавский, А.Н. Электроэнергетика предприятий железнодорожного транспорта [Текст] / А.Н. Поплавский. — М.: Транспорт, 1981. — 264 с.
15. Поплавский, А.Н. Стационарная электроэнергетика железнодорожного узла [Текст] /. А.Н. Поплавский, Б.Д. Краснов, В.В. Не-дачин. — М.: Транспорт, 1986. — 279 с.
16. Закарюкин, В.П. Имитационное моделирование систем тягового электроснабжения [Текст] / В.П. Закарюкин, А.В. Крюков — Иркутск: ИрГУПС, 2007. — 124 с.
17. Свидет. об офиц. регистр. программы для ЭВМ №2007612771 (РФ) «Fazonord-Качес-тво — Расчеты показателей качества электроэнергии в системах электроснабжения в фазных координатах с учетом движения поездов» / Закарюкин В.П., Крюков А.В. — Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. — Зарегистр. 28.06.2007.
Зоркальцев В.И., Медвежонков Д.С. УДК [51.001.57 + 519.853]:656
ТРАНСПОРТНАЯ МОДЕЛЬ C НЕЛИНЕЙНЫМИ ЗАТРАТАМИ НА ПЕРЕВОЗКУ
Введение. В статье рассматривается математическая модель транспортной системы, осуществляющей транспортировку однородной продукции из одних пунктов в другие. Особенностью модели является нелинейность зависимости между объемами перевозок и издержками.
Можно выделить два подхода к исследованию транспортных задач. Первый основан на построении оптимизационной задачи и поиске экстремального решения [2], второй — на составлении условий равновесия и определе-
нии значений показателей экономической системы, удовлетворяющих этим условиям [10,11]. Рассматриваемая модель, в некоторой степени, сочетает оба подхода. Модель описывается исходной задачей оптимизации и дополняется двойственной к ней. Рассматривается система условий, решение которой соответствует точке равновесия (оптимума) двойственных задач.
По традиции, восходящей к пионерным работам в математической экономике, транспортная задача часто рассматривается в ли-
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
неинои постановке, только с линеиными зависимостями издержек от объемов перевозок [3,9]. Вместе с тем есть работы, например [2], в которых вводятся нелинейные зависимости затрат на перевозки от их объемов. Нелинейные затраты точнее описывают ситуации, возникающие в реальных транспортных системах. И этот факт важно учитывать как при выборе оптимальных планов перевозок и при формировании тарифов на перевозки, так и при экономической интерпретации получаемых решений и свойств транспортной задачи.
В данной статье рассматривается наиболее простой случай нелинейной транспортной задачи, когда предельные затраты на перевозки являются для каждой дуги непрерывной монотонно возрастающей функцией, что, в частности, исключает многоэкстремальность задачи. Исследование такой транспортной задачи было начато в работе [6] в связи с изучением электрических и гидравлических цепей [4,7]. Существует аналогия между техническими системами потокораспределения и нелинейной транспортной задачей, что полезно учитывать. В частности здесь, также как и в книге Денниса [4], посвященной электрическим цепям, при формулировке транспортной задачи в виде двойственной задачи оптимизации будем использовать свойства сопряженных функций Лежандра и их обобщения в виде сопряженных функций Фенхеля [8].
Конечно, изучаемым в данной статье случаем не исчерпываются все возможные формулировки нелинейных транспортных задач. Вместе с тем, изучение этого случая необходимо для прояснения более общих ситуаций. Исследуемая здесь модель может быть полезна для описания функционирования различных систем надземного, подземного, водного и воздушного транспорта (в которых перевозчик может распределять объемы перевозок по ветвям сети). Она может быть полезна для изучения проблем и механизмов управления железнодорожными перевозками, системами транспорта тепла, электроэнергии, воды, природного газа. Особенно в связи с осуществляемыми в этих системах реформами. В частности, важной проблемой для этих систем является формирование рациональных транспортных тарифов, которые должны с одной стороны покрывать издержки и, с другой стороны, стимулировать пользователей трубопроводных, электрических сетей и железных дорог к рационализации перевозок.
1. Постановка нелинейной транспортной задачи. Опишем транспортную систему с помощью направленного графа, имеющего т узлов (транспортные развязки), и п ветвей (транспортные связи). Положительное направление ветвей будет показывать, в какую сторону осуществляется неотрицательная по объему транспортировка груза. Будем считать, что все объемы перевозок неотрицательны. Если транспортировка между какими-то двумя узлами может осуществляться в обе стороны, то на графе задается отдельная ветвь для каждого направления. Матрицу инциденций узлов и ветвей графа размера тп обозначим А, её элементы имеют значения:
0, если узел г не связан с ветвью у, — 1, если узел г является началом дуги у,
+ 1, если узел г является концом дуги у.
Обозначим Ьг > 0 — количество груза, выходящего из сети к потребителю в узле г. При Ь{ < 0 будем считать, что груз в г-м узле поступает в сеть из источника в количестве\Ьг |. Считаем, что суммарный объем поставляемых в транспортную систему грузов равен объему выходящих из системы грузов,
ть = о.
(1)
Обозначим искомый план перевозок век-
T
тором x = (x 1,...,xn ) где Xj - количество груза,
которое необходимо перевезти по ветви j. Пусть G j (Xj) — функция издержек на перевозки по ветви j, значение которой зависит от объемов перевозок по данной ветви. Будем считать, что эта функция является суммой нелинейной и линейной функций
G (x ) = F (x.) + s x. (2)
¡\ j I ¡\ j i j j \ i
где Sj — заданный коэффициент при линейной функции. Считаем, что функция Fj равна нулю в нуле. Из чего следует, что Gj равна нулю в нуле. Это означает, что функция Gj выражает только переменные издержки, зависящие от объемов перевозок. Постоянные издержки, не зависящие от объемов перевозок, здесь не учитываются, поскольку их значение не влияет на выбор оптимального плана перевозок.
Обозначим Z — множество непрерывно дифференцируемых функций вещественного аргумента, равных нулю в нуле, производные которых монотонно возрастают, равны нулю в
=1
нуле и принимают значения от 0 до при изменении аргумента от 0 до
В данной статье ограничимся случаем, когда все функции Fj находятся в Z. Это, в частности, означает, что предельные издержки на каждой ветви будут монотонно возрастающими функциями от объемов перевозок по этим дугам. Эти предельные издержки, определяемые согласно экономической теории как частные производные функции переменных издержек, будут в данном случае суммой значений производной функции Fj и величины Sj. Величину Sj можно назвать постоянной (не зависящей от объема перевозок) составляющей предельных издержек. Производную функции Fj можно назвать переменной (зависящей от объема перевозок) составляющей предельных издержек.
Введем сепарабельные функции вектора х е R+n
n n
G(x) = £ G} (Xj), F( х) = £ F} (Xj).
j=1 j=i
Здесь Rn — множество векторов Rn с неотрицательными компонентами. Пусть s е Rn — вектор-столбец, составленный из величин Sj, а sT — его транспонирование. Согласно (2))
G( х) = F( х) + sTx. (3)
Исходная задача оптимизации. Рассматривается задача поиска такого плана перевозок, при котором суммарные издержки минимальны
G(x) ^ min (4)
и выполняются ограничения
Ах = b, х > 0. (5)
Первое условие в (5) выражает баланс входящих и выходящих потоков в каждом узле, аналог первого закона Кирхгофа. План перевозок х е Rn, удовлетворяющий условиям (5), будем называть допустимым. План перевозок, при котором достигается решение задачи (4), (5) будем называть оптимальным планом перевозок.
Из условия Fj е Z, j =1,...,n следует, что при любом s е Rn определяемая по правилу (3) функция G будет строго выпуклой и будет иметь ограниченное множество Лебега, т.е. при любом а множество
Xа={х е Rn :G(х) <а}
будет ограниченным, возможно пустым.
Теорема 1. Для существования решения задачи (4), (5) необходимо и достаточно непротиворечивости ограничений (5). Причем если у данной задачи имеется оптимальный план, то он единственный.
Доказательство. Ограниченность множества Лебега при а, равном значению целевой функции G при каком-то допустимом плане, означает существование оптимального решения у задачи. Строгая выпуклость G и выпуклость множества допустимых по условиям (5) решений означают, что решение у задачи (4), (5) может быть только единственным.
Теорема 1 доказана.
Замечание. Отметим, что для существования допустимого плана перевозок необходимо выполнение условия (1). Это условие становится достаточным, если граф транспортной сети является связным. Связным будем называть такой граф транспортной сети, при котором из любого узла можно доставить груз в любой другой узел: для любых двух номеров узлов I,Л е{1,...,т} при векторе в"1 е Ят таком
что в? =1, вЛ =-1, в1Л =-1, / ф I, / ф Л, должна иметь решение система линейных уравнений и неравенств Ах = вш, х > 0. 2. Представление транспортной задачи в виде системы уравнений. Нелинейную транспортную модель можно представить не только в виде задачи оптимизации, но и в виде системы уравнений, опираясь на необходимые и достаточные условия оптимальности для задачи минимизации дифференцируемой выпуклой функции при линейных ограничениях.
В данном разделе приведем несколько систем уравнений с такими же как у исходной задачи оптимизации (4), (5) составом исходных данных. Все рассматриваемые здесь системы уравнений, как будет показано, являются равносильными задаче (4), (5): либо все рассматриваемые здесь задачи и задача (4), (5) не имеют решения, либо все они имеют решение. Причем решение любой из этих задач является решением остальных.
Сопряженные функции. Для каждой функции V из Z существует и единственна функция Шиз Zтакая, что производные функций Vи Шявляются взаимно обратными функциями на множестве неотрицательных чисел. Такие пары функций V и Ш из Z будем называть сопряженными. Это понятие сопряженных функций является частным случаем сопряженных функций Лежандра и Фенхеля [4,
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
6, 8]. В частности, для них выполняется условие сопряженности Фенхеля [8]:
W(а) = а^шах{аР-У(Р)}, а>0.
(6)
Обозначим Ф у функцию из Z, сопряженную к , т.е. Иу и Ф у составляют пару сопряженных функций. Обозначим
А (х,) =
ёИу (Ху) dФ у (Уу)
, Ф у(Уу) = "
dxу
производные функций И у и Фу. Они заданы на множестве неотрицательных вещественных чисел, Ху > 0, у у > 0. Введенные функции являются взаимно обратными в силу условия сопряженности:
у Фу( Уу)) = Уу, Фу( у Ху)) = Ху, (7)
для любых у у > 0, Х у > 0.
Из условия сопряженности Фенхеля (6) следует, что при Ху > 0, у у > 0 если у у = Ау (Х у), то
Иу (Х }) + Фу (Уу) = Х.уу, (8)
если у у ф у Х у), то
Иу(Ху) + Фу(уу) >Ху.уу. (9)
Введем сепарабельную функцию от вектора у е Я'П. Пусть
п
Ф(у) = £фу(уу).
у=1
Обозначим /(х), ф(у) вектор-функции с компонентами /у(Ху )и фу(уу )для у=1,...,п.
Исходная система уравнений. Рассматривается задача поиска векторов х е Яп, у е Яп, и е Ят, удовлетворяющих условиям
Ах = Ь, х > 0, (10)
у =(АТи -5)+ , (11)
у = а(х). (12)
Здесь символом (-)+ обозначена неотрицательная срезка вектора: для х е Яп выражение х + соответствует вектору из Я11 с компонентами
(Х + )у = шах(0,Ху), у =l,...,п.
Теорема 2. Система (10) — (12) имеет решение в том и только том случае, если имеет решение исходная задача оптимизации (4), (5). Причем для всех решений системы (10) — (12) векторы Х и у имеют единственное значение, вектор Х совпадает с оптимальным планом исходной задачи оптимизации (4), (5). Вектор и состоит из множителей Лагранжа балансовых ограничений задачи (4), (5) и имеет неединственное значение в решении системы (10) (12).
Доказательство. Из условия оптимальности для задачи минимизации дифференцируемой выпуклой функции при линейных ограничениях (см, например, [6, стр. 121]) следует, что вектор будет решением задачи (4), (5) в том и только том случае, если этот вектор удовлетворяет условиям (10) и при некотором выполняются соотношения
/(х) + я > Ати, (13) Ху(/ (Ху) + 5. -(Ати)у)= 0, у= 1.....п. (14)
Отметим, что в приведенных условиях вектор /(х) + я является градиентом целевой функции С(х) в точке х. Соотношение (14) принято называть условием дополняющей нежесткости.
Докажем, что условия (10) — (12) и условия (10), (13), (14) равносильны. Условие (12) можем рассматривать как определение вектора у. Согласно (12) векторы /(х) и у совпадают. Требуется доказать, что при выполнении условия (10) равносильными являются условие (11) и условия (13), (14). Поскольку А — производная функции Иу из ^ то в силу постулированных свойств функций множества Z возможны только два случая при выполнении (12): либо Ху > 0 и у у > 0, либо Ху = 0 и у у = 0.
Из условия дополняющей нежесткости (14) следует, что если Ху > 0, то уу =( АТи - 5),
Поскольку в этом случае у у > 0, то справедливо равенство
у у = шах{ 0, (Ати - я) }.
Из условия дополняющей нежесткости и
неравенства (13) следует, что если Ху = 0 , то у у >(АТи - 5)у.
Поскольку в этом случае у у = 0 , то опять-таки выполняется соотношение (15).
Выполнение для всех у'=1,...,п соотношения (15) означает справедливость (11). Итак, доказано, что из выполнения условий (10), (13), (14) для векторов х, и следует выполнение для этих же векторов и вектора у, определяемого по правилу (12), условий (10), (11).
Осталось доказать обратное — если векторы х, у, и удовлетворяют условиям (10) — (12), то векторы х, и удовлетворяют условиям (13), (14). Действительно, согласно (11)
у у >( АТи - 5) ,
что в силу (12) означает выполнение неравенства (13). Поскольку y j > 0 при xj > 0, то в этом случае из (11) следует, что
yj = ( ATu - s) j.
Следовательно,
xj(f(xj) + sj -(ATu);)= 0.
Поэтому выполняется условие (14). Очевидно, что это условие выполняется и при xj = 0.
Итак, эквивалентность системы (10) — (12) системе ограничений (10), (13), (14) и, следовательно, исходной задаче оптимизации (4), (5) доказана. Все эти три задачи либо не имеют решения, либо имеют решение. Причем в силу теоремы 1 вектор x будет иметь единственное значение среди решений системы (10) — (12). В силу (12) вектор y также может иметь только единственное значение в решении системы (10) (12).
Вектор u может иметь неединственное значение среди решений системы (10) — (12), в том числе, если rank A < m. Именно такой случай имеет место в рассматриваемой транспортной задаче, поскольку сумма строк матрицы А равна нулю.
Теорема 2 доказана.
Экономическая интерпретация. Компоненты вектора (y+s) можно рассматривать как значения тарифов на перевозки грузов по отдельным ветвям, если считать, что тарифо-образование осуществляется по предельным издержкам. Часть тарифа на ветви j, равная sy, не зависит от объема перевозки по ветви. Часть тарифа на ветви j, равная yj, в силу (12) зависит от объема перевозки по ветви. С ростом объема перевозки на любой ветви предельные издержки и, следовательно, тариф для этой ветви возрастают.
Компоненты вектора u можно с некоторой условностью интерпретировать как значения цен на транспортируемую продукцию в отдельных узлах. Условность, в частности, вызвана тем, что этот вектор имеет неединственное значение среди решений системы (10) — (12). Добавление ко всем компонентам вектора u е Rn из решения системы (10) — (12) любой константы X е R приведет к вектору u с компонентами и = ut +X, который также будет удовлетворять условиям системы (10) — (12). Поэтому более точно будет интерпретировать разницу значений (ATu) компонент вектора
u как относительное приращение цены транс-
портируемой продукции в конечном узле по сравнению с начальным для дугиу=1, ..., п. Это приращение цены согласно условию (11) не превышает величину полного тарифа у у + я у на перевозки из одного узла в другой узел ветви у.
Из свойств функций множества Z следует, что если в оптимальном плане по ветви у осуществляется транспортировка (т.е. х>0), то у>0. Согласно (11) в этом случае выполняется равенство
уу + 8у =(АТи)у .
Это значит, что тариф на транспортировку по ветви у равен разнице цен в конечном и начальном узле ветви.
Если х = 0, то у=0 и условие (11) приобретает вид
5у >(АТи)у .
В этом случае тариф на транспортировку равен и он не меньше разницы цен в конечном и начальном узлах ветви.
Уместно отметить, что величина постоянной составляющей предельных издержек в рассматриваемой здесь постановке транспортной задачи может иметь как неотрицательное, так и отрицательное значение. В случае яу<0 при некоторых объемах перевозок по данной ветви будем иметь отрицательное значение тарифа, т.е. доплаты. На первый взгляд такая ситуация кажется парадоксальной. Вместе с тем, она вполне реальна. Например, некоторые западноевропейские страны в прошлые годы возвращали часть денег за купленную у них сельскохозяйственную продукцию при перевозке её в Россию. Это делалось под предлогом, что в цене этой продукции содержатся налоги, которыми не пользуются покупатели в России. На самом деле это была скрытая форма протекционизма.
Согласно условию дополняющей нежесткости (14)
ХТ (у + я - АТи) = 0 ^ ХТ (у + я) = хТАТи.
Так как
хТАТи = (Ах)Т и = ЬТи , то получаем соотношение
хТ(у + я) = ЬТи. (16)
Это соотношение означает, что для оптимального плана перевозок сумма произведений предельных издержек на объемы перевозок по всем ветвям сети должна быть равна суммарной выручке от перевозки. Последняя величина равна стоимости продукции, выхо-
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
дящей из сети в узлах-потребителях, за вычетом стоимости продукции, входящей в транспортную систему в узлах-источниках.
Модификации исходной системы уравнений. Кроме (10) — (12) могут быть предложены и другие формы представления нелинейной транспортной задачи в виде системы уравнений. Разные формы записи системы уравнений могут быть применены, в частности, для разработки алгоритмов поиска решения нелинейной транспортной задачи.
1. Согласно (7) уравнение (12) можно заменить следующим:
X = ф(у). (17)
2. Из свойств сопряженных функций (8), (9) следует, что условие (12) можно заменить ограничениями
(х}) + Ф.(у }) -х}у} = 0, . = 1.....л, (18)
Причем эти п ограничений можно представить в виде одного нелинейного ограничения
Д х) + Ф у)-хту = 0. (19)
3. Из (16), (19) следует, что условие (12) равносильно следующему ограничению при выполнении условий (10), (11):
Дх) + Ф у)-Ьти + втх = 0. (20)
4. Добавим и вычтем в.х. в левой части.-го равенства (18):
х}) + в }х} +Ф7( у }) - х.( у } + б }) = 0,7=1.....л.(21)
Из условия дополняющей нежесткости (14) следует, что
х.(у. + б. ) = х.(АТи)..
Значит условие (12) в системе (10) — (12) можно заменить также на ограничения
Рис. 1. Взаимосвязь объема перевозкиx по ветви/ и тарифа y. + s . Здесь X . - оптимальный объем перевозки, y. + s. - тариф на ветви j, равный
f (X ) + s. J J
j' J ' J
Fj(x}) + s }x } + Ф7(Yj) -ATu)j = 0,j = 1.....n. (22)
5. Используя специфику системы (10) — (12), её можно свести к проблеме решения системы уравнений с меньшим количеством переменных. Так, выразив из (11), (17) вектор x через вектор и, придем к следующей системе из m нелинейных уравнений относительно m-мерного вектора переменных и:
Аф( ATu - s)+ = b. (23)
Вычислив вектор и в результате решения данной системы, прямым счетом из (11) найдем вектор у, а из (17) найдем вектор x.
Замечание. На рис. 1 проиллюстрировано равенство (21) для ветви j. Считаем, что тари-фообразование осуществляется по предельным издержкам. Тогда величина xj (у j + sj) соответствует стоимости перевозки груза в объеме Xj по ветви j. Из рис. 1 видно, что площадь прямоугольника со сторонами длиной Xj и у j + sj является суммой площадей двух фигур. Площадь фигуры, расположенной под графиком функции предельных издержек fj (xj) + sj, равна величине Fj (xj) + Sjxj. Это соответствует переменным затратам на перевозку по ветви j. Площадь фигуры, расположенной над графиком функции fj (xj) + sj, равна Ф j (yj). Эту величину в соответствии с терминологией принятой в экономической теории [4], можно назвать дополнительным доходом перевозчика (surplus).
3. Эквивалентные задачи оптимизации, двойственная задача оптимизации. Рассмотрим задачу минимизации дифференцируемой выпуклой функции при линейных ограничениях: найти векторы у е Rn, и е Rm из условия
фу) -bTu ^ min (24)
при ограничениях
у - ATu >-s, у > 0. (25)
Теорема 3. Задача оптимизации (24), (25) имеет решение в том и только том случае, если имеет решение система (10) — (12). Причем если векторы x, у, и составляют решение системы (10) — (12), то векторы у, и будут составлять решение задачи (24), (25), а вектор x будет состоять из множителей Лагранжа для первого ограничения в условии (25). И наоборот, если векторы у, и составляют решение задачи (24), (25), а вектор x состоит из множителей Лагранжа ограничений в первом условии из (25), то векторы x, у, и составят решение системы (10) (12).
Доказательство. Из условий оптимальности для задачи минимизации дифференцируемой выпуклой функции при линейных ограничениях [6, стр. 121] следует, что векторы у е Яп, и е Ят, удовлетворяющие условиям (25), будут решениями задачи (24), (25) в том и только том случае, если при некотором х е Я11 выполняются соотношения
Ф( у) > х, (26) х > 0, -Ь =-Ах (27) уу (Ф( уу) -х} ) = 0, у = 1.....п. (28)
Необходимо доказать, что условия (25) — (28) и условия (10) — (12) равносильны.
Пусть выполняются условия (25) — (28). Из (28) следует, что при у у > 0
Ф у(уу) = Ху, у =1,...,п.
Если у у = 0,то Ф у (у у) = 0и из (26) и первого условия в (27) следует, что Ху = 0. Итак, доказано, что соотношение (12) выполняется.
Согласно первому условию в (25) у > АТи - я.
Производная Ф у (у у )функции Ф у (у у )явля-ется монотонно возрастающей при любом у у > 0. Поэтому если величина (АТи - я) положительна для решения задачи (24), (25), то с ней будет совпадать оптимальное значение у у. Итак,
уу =(АТи - я) , если (АТи - я) > 0.
В силу того, что у > 0
уу = 0, если (АТи - я) < 0.
Эти соотношения означают выполнение (11). Условия (27) совпадают с (10).
Докажем теперь обратное, т.е. то, что из выполнения условий (10) — (12) следует выполнение условий (25), (26), (28). Условие (26) вытекает из (12). Из (12) следует, что ф(у) = х и поэтому выполняется (28). Условия (25) являются следствием условия (11).
Теорема 3 доказана.
Замечания. 1. Из теорем 1, 2 следует, что исходная задача оптимизации (4), (5) и приведенная здесь двойственная задача оптимизации (24), (25) равносильны. Возможны только два случая: либо обе задачи не имеют решения, либо обе имеют решение. Если решения есть, то они совпадают — расширенное решение одной из этих задач является расширенным решением другой (условимся, что расширенное решение включает три вектора: х, у, и — не
только оптимальные значения переменных, но и множители Лагранжа ограничений задач).
2. Необходимо отметить, что исходный состав переменных двойственных задач различен. В первом случае исходными переменными являются только объемы перевозок по ветвям, составляющие вектор x. В двойственной задаче переменными являются только цены в узлах (компоненты вектора u) и переменные составляющие тарифов на перевозки по ветвям (компонентами вектора у).
3. Условия (25) можно заменить выражением (11). Задача минимизации функции (24) при ограничениях (11) равносильна приведенной двойственной задаче оптимизации (24), (25) (в том смысле, что они имеют одинаковые решения). С учетом этого двойственную задачу можно представить в виде задачи безусловной оптимизации выпуклой функции с m переменными:
ATu -s)+-bTu ^ min, и е Rm.
Необходимым и достаточным условием существования решения является равенство нулю градиента целевой функции. Это условие совпадает с системой (23). Это совпадение можно рассматривать в качестве еще одного способа доказательства эквивалентности системы (10) — (12) и задачи (24), (25).
4. Задача (24), (25) всегда имеет допустимое решение. Например, допустимое решение составляют вектор и = 0 и вектор у - -s +. Эта задача может не иметь решения в том и только том случае, если её целевая функция не ограничена снизу на области допустимых решений. А это возможно в том и только том случае, если при некотором и е Rm выполняются неравенства
ATu < 0, bTu>0.
Данный факт по теореме об альтернативных системах линейных неравенств [6] возможен в том и только том случае, если не существует вектора x е Rn, удовлетворяющего условиям
Ax - b, x > 0.
5. Двойственная задача имеет нетривиальную экономическую интерпретацию. Эта задача посвящена формированию рациональной системы тарифов. Причем в ней в явном виде никак не используются значения оптимальных объемов перевозок.
Двойственную задачу можно интерпретировать как поиск таких цен на перевозимую продукцию в отдельных узлах (составляющих
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
вектор и) и таких тарифов на перевозки (составляющих вектор у+s), при которых максимальна выручка от транспортировки (величина (b, и)) без дополнительного дохода перевозчика (величина Ф(у)). Минимизация дополнительного дохода считается важнейшей целью антимонопольного регулирования [1]. Максимизация выручки от транспортировки груза — вполне естественная цель, но с учетом двух ограничивающих обстоятельств: исключение из максимизируемой выручки дополнительных доходов и выделение ограничивающих правил на ценообразование — разница цен в конечном и начальном пунктах данной ветви не должна превышать тарифа на перевозку по ней.
Приведенную экономическую интерпретацию выражает следующая форма записи задачи (24), (25):
bTn-фу) ^ max, (29)
у + s > Atu, у >0. (30)
Самосопряженная задача оптимизации.
Найти векторы x е Rn, у е Rn, и е Rm, доставляющие минимум дифференцируемой выпуклой функции
F(x) + фу) + sTx-bTn ^ min (31)
при линейных ограничениях (5), (25).
Данная задача представляется в виде формального соединения исходной и двойственной задач оптимизации. Целевая функция (31) является суммой целевых функций (4) и (24). Ограничения представляют собой объединение ограничений указанных двух задач. Ограничения, связывающие вектор x и векторы у, и, отсутствуют. Вместе с тем самосопряженная задача представляет собой самостоятельный интерес, в том числе в вычислительном отношении.
Отметим, что самосопряженная задача имеет решение в том и только том случае, когда имеет решение исходная задача оптимизации (4), (5). Заранее известно оптимальное значение целевой функции самосопряженной задачи. Оно равно нулю в силу (20).
Рассматриваемая задача интересна в том плане, что двойственная к ней совпадает с ней же. Оптимальные значения векторов x и и будут одновременно составлять множители Лаг-ранжа ограничений этой задачи. Этим объясняется ее название.
Симметричная задача оптимизации. Найти векторы х е Rn, у е Rn, u е Rm, являющиеся решением экстремальной проблемы
F(х) + ф y) -хту ^ min (32)
при условиях (5), (25).
Отметим, что целевая функция данной задачи на множестве допустимых по ее ограничениям решений является выпуклой, поскольку на этом множестве значения данной целевой функции совпадают со значениями целевой функции самосопряженной задачи оптимизации.
Симметричную задачу оптимизации можно рассматривать как непосредственное воплощение экстремальной проблемы, соответствующей системе (10), (11), (19). Допустимые, но не оптимальные решения симметричной задачи дают положительные значения целевой функции. Заведомо известно, что оптимальное решение будет доставлять нулевое значение целевой функции. Также известно, что множители Лагранжа всех ограничений симметричной задачи оптимизации равны нулю. Эти факты могут эффективно использоваться в алгоритмах решения задачи.
4. Иллюстративный пример: обсуждение возможных вариантов тарифообразования. Рассмотренную модель можно интерпретировать как описание поведения транспортной компании (электросетевой, газотранспортной, теплоснабжающей, водоснабжающей, железнодорожной и др.), которая перевозит от пунктов производства к пунктам потребления некоторую продукцию (электроэнергию, газ, горячую или холодную воду, уголь). Причем модель нацелена на решение двух взаимосвязанных, но не совпадающих в содержательном плане проблем.
Во-первых, эта модель оптимизирует план перевозок — распределяет потоки по ветвям в целях минимизации затрат (переменных и одновременно полных) на перевозки. Эта проблема непосредственно представлена в виде исходной задачи оптимизации (4), (5).
Во-вторых, модель позволяет формировать систему тарифов, "зовущих к оптимуму". Получаемые в результате решения двойственной задачи оптимизации (24), (25) тарифы по предельным издержкам позволяют оценивать, к каким приращениям затрат приведут изменения в небольших масштабах заданий на перевозки (т. е. небольшие изменения компонент вектора b). Принципиально важно, что
эти тарифы могут использоваться самими клиентами для выбора ими маршрутов перевозок дополнительных грузов. Минимизация платы за перевозки дополнительных объемов грузов будет соответствовать минимизации полных издержек транспортной системы.
Недостатки тарифообразования по предельным издержкам. Многие приводимые в данной статье в качестве примеров транспортные системы являются естественными монополиями, тарифы для которых должны устанавливаться директивно государственными органами. По сложившейся в России и других странах практике установление цен и тарифов на продукцию естественных монополий осуществляется на основе не предельных, а средних издержек. Недостатком этого подхода является то, что объемы перевозок, формируемые по таким тарифам, не соответствуют минимуму суммарных издержек транспортной системы.
Отметим некоторые недостатки тарифо-образования по предельным издержкам.
1. Указанная стимулирующая роль тарифов по предельным издержкам действует лишь только для относительно малых изменений объемов перевозимых грузов с малыми изменениями самих предельных издержек. При больших изменениях объемов перевозок, ведущих к большим изменениям предельных издержек, изначальные предельные издержки уже не будут играть роль цен, "зовущих к оптимуму". В этом случае требуется пересмотр тарифов.
2. Предельные издержки гораздо труднее подсчитывать на практике, чем средние издержки. Только в математических условно-иллюстративных моделях можно легко определять затраты на дополнительную единицу продукции. В бухгалтерской практике выделение такого показателя является сложным делом.
Рис. 2. Транспортная сеть между двумя узлами из двух дуг
Подсчет же средних затрат путем деления всех понесенных затрат на объем перевозок — более простая и более естественная для бухгалтерских расчетов операция (впрочем, и здесь имеются некоторые проблемы).
3. Плата за перевозки по тарифам, отражающим предельные издержки, может существенно отличаться от величины затрат, понесенных на эти перевозки транспортной компанией.
Пример, в котором сравниваются варианты тарифообразования по предельным и по средним издержкам.
Рассмотрим для примера транспортную систему представленную на рис. 2.
Необходимо из узла 1 в узел 2 перевезти груз объемом 12 единиц. Имеется две ветви, соединяющие эти узлы. Пусть x 1 и x2 — объемы перевозок по этим ветвям. Переменные затраты на перевозки выражаются квадратичными зависимостями
G1 (x 1 ) = 0,2xf + 2x 1, G2 (x2 ) = 0,5x2 + 4x2.
Исходная задача оптимизации перевозок имеет вид:
G1 (x 1)+G2 (x2 ) ^ min, x 1 + x2 =12, x 1 > 0, x 2 > 0.
В табл. 1 представлены оптимальные для исходной задачи объемы перевозок x., пред-
dG1 (xi)
ельные издержки MC j =
dx
, средние из-
G. (xi)
держки ACj = — _ , общие переменные из-x .
Таблица 1
Оптимальные по затратам перевозки при тарифообразовании по предельным издержкам
Ветвь, j Объемы перевозок, x. j Предельные издержки, MCj Средние издержки, ACj Переменные издержки, ГС. Плата за перевозки, PM j Дополнительный доход, ф(у.)
1 10 6 4 40 60 20
2 2 6 5 10 12 2
Всего 12 6 4,17 50 72 22
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ЙЩ®
Таблица 2
Равновесные перевозки при тарифообразовании по средним издержкам
Ветвь, ) Объемы перевозок, х ) Предельные издержки, МС. 1 Средние издержки, АС 1 Переменные издержки, УС 1 Плата за перевозки, РМ ) Дополнительный доход, ф(у;)
1 2 11,43 0,57 6,57 4,57 4,29 4,29 49 2,44 49 2,44 0 0
Всего 12 6 4,29 51,44 51,44 0
держки УС] - С] (х]) ,плата за перевозки при тарифах по предельным издержкам РМ ] - МС] • х], дополнительный доход ф( у.) - РМ] - УС] для ветвей ] = 1, 2, ..., п.
Из табл. 1 видно, что плата за перевозки при тарифах по предельным издержкам (равная 70 денежным единицам) существенно превышает величину издержек (равную 50 единицам). Это превышение совпадает с суммой величин дополнительных доходов Ф ] (у ]) по обоим дугам.
В табл. 2 представлены результаты расчетов плана перевозок при тарифообразовании по средним издержкам. Эти расчеты являются решением системы (10) — (12), когда в ней вместо функций ^ (х}) используются зависимости
- С, (х1)
f] (х] ) = -^1 - .
х]
В этом случае величина fj (Х]) + в] будет соответствовать средним издержкам. Плата за перевозки выражается величиной
РМ] - АС] ■ х], поэтому решение х названо равновесным при тарифообразовании по средним издержкам. Плата за перевозки существенно ниже, чем для варианта из табл. 1. Эта плата совпадает с издержками, и поэтому дополнительный доход — нулевой. При этом общие издержки на перевозку выше, чем при оптимальном плане. 5. Развитие исследований. Можно выделить следующие направления развития рассмотренной здесь нелинейной транспортной модели.
1. Отказ от условий монотонного возрастания функций предельных затрат. Не только теоретический, но и практический интерес представляет случай со снижающимися предельными издержками при увеличении объемов перевозок до некоторого уровня с последующим возрастанием. В этом случае возмож-
на многоэкстремальность — наличие нескольких допустимых планов перевозок, доставляющих локальный экстремум целевой функции.
2. Отказ от жесткой фиксации заданий Ь на перевозку в узлах путем введения функций спроса и предложения, описывающих зависимость между объемами потребления и производства в узлах сети от цен в этих узлах.
3. Рассмотрение случая, когда удельные издержки на перевозки зависят не только от объема, но и от расстояния транспортировки.
4. Изучение ситуации с ограниченным числом клиентов транспортной сети, каждый из которых может выбирать маршруты перевозок своих грузов и воздействовать тем самым на тарифы. Это включает в т. ч. изучение возможности получения равновесий Нэша, Штакельберга.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Айзенберг Н. И. Теоретические основы регулирования естественных монополий. — Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2006. - 29 с.
2. Васильева Е.М., Левит Б.Ю., Лившиц В.Н. Нелинейные транспортные задачи на сетях. — М: Финансы и статистика, 1981. — 105 с.
3. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. — М: Изд-во иностранной литературы, 1963. — 419 с.
4. Деннис Дж. Б. Математическое программирование и электрические цепи. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1961, — 216 с.
5. Зоркальцев В. И. Модели рыночной экономики: Учеб. пособие. — Иркутск: Иркут. ун-т, 1993. — 144 с.
6. Зоркальцев В. И., Хамисов О. В. Равновесные модели в экономике и энергетике. — Новосибирск: Наука, 2006. —221 с.
7. Меренков А.П., Сеннов Е.В., Сумароков С.В. и др. Математическое моделирование и оптимизация систем тепло-, водо-, нефте-и газоснабжения. — Новосибирск: Наука, 1992. — 407 с.
8. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973. — 470 с.
9. Форд Л. Р., Фалкерсон Д. Р. Потоки в сетях. — М: Мир, 1986. — 276 с.
10. Шамрай Н. Б. Применение вариационно-подобных неравенств для решения задач транспортного ценового равновесия // Информатика и системы управления. — 2006. - №1(11). - С. 62-72
11. Nagurney A. Network Economics: A Variational Inequality Approach (second revised edition). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999.
Пержабинский С.М. УДК 519.83 + 621.311:51.001.57
АЛГОРИТМ ВНУТРЕННИХ ТОЧЕК, ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ КВАДРАТИЧНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ
В работе представлен алгоритм решения (xt) \ +1 gr s +
задач выпуклой оптимизации, основанный на \ 0 '2
алгоритме линеаризации и применении мето- ^ n (s )2 ^ т , .2
дов внутренних точек для решения линеаризо- +—£—+—£--—-t—^ ^ min,
ванной задачи. Для сокращения погрешности 2 j=1 (dj) 2 -=1 (q- ~f-(x )) линеаризации при решении вспомогательной при условии
задачи поиска направления корректировки у, =(vf. (xt),sj, i =1,..., т. (5)
(4)
Здесь
предлагается применять энергетическую норму. Приводятся результаты эксперименталь- , _ ,_ , , ных исследований предлагаемого метода. ^] -т1п|х] -х],х] -х] |,]' -1,..., n, (6)
обозначает квадрат евклидовой нормы век-
Постановка задачи. Рассматривается за- тора 8. дача поиска вектора х е Яп
f0(х)^ т*п, (1) Решение задачи поиска направления
fi(х) < ,1 -1,^.., т, (2) корректировки. Учитывая выражение (5), воз-
х < х < х. (3) ьмем производную функции (4) по 8 и прирав-
Предполагается, что все функции няем ее к нулю. Тогда задача поиска направле-
fi (х),г -0, . ..,т выпуклые. ния корректировки сведется к решению системы линейных уравнений с симметрической
Метод внутренних точек, базирующийся положительно определенной матрицей:
на линеаризации. Итеративный процесс мето- с + 8 +(^ )-18 + - 0. (7)
да внутренних точек проходит внутри области допустимых решений, т.е. на каждой итерации í -1,2,... выполняются неравенства
,/,42
Г, (хг )< д, I -1.....т, °1 - (а ]) -1.....-
Здесь
c' =V/o(x'),
X< x' < x.
З D t _m Vf (x' <Vf(x' 0 Задача поиска направления улучшения D2
решения s g R имеет вид:
(q " f (x' ))2
Решив систему (7), получим направление корректировки
