CC BY
36
ПЕРЕДАВАЛЬНА ФУНКЦІЯ ПНЕВМАТИЧНОЇ ПІДВІСКИ
А.М. Туренко, професор, д.т.н., В.О. Богомолов, професор, д.т.н., В.І. Клименко, професор, к.т.н.,
А.І. Шилов, доцент, к.т.н., ХНАДУ
Анотація. Отримано передавальну функцію пневматичної підвіски при припущенні, що стінки пневматичного пружного елемента абсолютно нерозтяжні; відсутні гумові буфери стиснення і відбою; характеристика амортизаторів лінійна, симетрична; процеси стиснення і розширення повітря носять адіабатний характер; рух коливальної системи відбувається без відриву колеса від дороги.
Ключові слова: пневматична підвіска, передавальна функція, ефективна площа, об’єм, апроксимація.
Вступ
Методи функціональних перетворень є достатньо потужним засобом дослідження динамічних систем, але без обмежень застосовувати їх можна тільки за умови відсутності суттєвих нелінійнос-тей у диференціальних рівняннях. Для того щоб уникнути нелінійностей, приймають ряд припущень. Наприклад, при дослідженні систем підресорювання автомобіля характеристику амортизаторів приймають лінійною симетричною, вважають, що гумові буфери стиску та відбою відсутні та ін. У даній роботі завдяки певним припущенням вдалося отримати передавальну функцію пневматичної підвіски, яка є суттєво нелінійною, за умови руху по дорозі синусоїдального профілю.
У роботі [5] модель пневматичного пружного елементу представлена у вигляді залежності жорсткості від деформації, що приводить до різних моделей для статичного та динамічного режимів.
Мета і постановка задачі
Існуючі аналітичні методи моделювання пневматичної підвіски не враховують особливостей пневматичного пружного елементу, характеристика якого значно залежить від його типу та конструкції. Крім того, неможливо оцінити вплив змінення характеристики пружного елементу на параметри коливань. Тому необхідно виробити інший підхід до моделювання пневматичної підвіски.
Математична модель
Аналіз публікацій
У сучасній нелінійній механіці існує велика кількість різноманітних методів дослідження окремих нелінійних динамічних систем. Для квазілінійних систем існують загальні методи кількістного розв’язання задач - Пуанкаре, Ван-дер-Поля, метод асимптотичних розкладань Боголюбова та Мит-ропольського, метод Галєркіна та ін. [1, 2, 3].
У [4] пропонується представити пружну характеристику пневматичного елемента у вигляді, який дозволяє отримати передавальну функцію:
P = c • (f + Y • f3).
(1)
де с - жорсткість, Н/м; f - деформація пневматичного елемента, м; y - параметр нелінійності, м-2.
Розглянемо модель пневматичної підвіски, яка складається з непідресореної тнп і підресореної Мп мас, пов’язаних між собою пневматичним пружним елементом 1 і амортизатором 2 з коефіцієнтом опору кр (рис. 1). Непідресорена маса опирається на дорогу через шину, яка в моделі представлена пружним елементом 2 з жорсткістю Сш і амортизатором 4 з коефіцієнтом опору кш, які характеризують радіальну жорсткість шини і загасання в ній.
мп Fun
Мп' х t
1 Fe •> 6 (
t х\X
Рис. 1. Розрахункова схема коливальної системи
Приймемо такі припущення:
1) стінки пневматичного пружного елементу абсолютно нерозтяжні;
2) у пневматичному пружному елементі відсутні гумові буфери стиснення і відбою;
3) характеристика амортизаторів лінійна, симетрична;
4) процеси стиснення і розширення повітря у пневматичних пружних елементах відбуваються без теплообміну з навколишнім середовищем, тобто носять адіабатний характер;
5) рух коливальної системи відбувається без відриву колеса від дороги.
Тоді рух коливальної системи буде описуватися такою системою диференціальних рівнянь:
-тп • х"- тпп • я + F(х у) - Клм (У, у') = 0,
-пнп • У"- пнп • Я - F (x, У) + (1)
+РАМ (Х , У ) + РШ (у, Ч) — РАМШ (у , Ч ) = 0.
Зусилля у підвісці визначається за формулою, Н: Р (х, у) = Р • £ (х - у), (2)
де Р - тиск повітря у пневмобалоні, Па; £(х - у) -ефективна площа пневмобалона залежності від деформації, м2.
Тиск повітря з умови адіабатного протікання процесів стиснення і розширення, Па:
Р = Р0 • (——)к V(x - у)
(3)
де Р0, У0 - відповідно тиск повітря, Па, і об’єм пневматичного балона, м3, е стані статичної рівноваги; У(х - у) - об’єм пневмобалона залежно від деформації, м3; к - показник адіабати, к = 1,41.
Тоді формула (2) набуде такого вигляду:
Р = Ро Vк • ^ - У) к.
0 0 (V(х - У))к
(4)
Точність виконаної апроксимації для пневматичного балона типорозміру Н - 48 320 х 200 представлена на рис. 2. Значення коефіцієнтів апроксимації підібрані методом найменших квадратів.
.м_
1 1 8
\ 6
V \ 4
к к к к 2 * -К *•
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15
И, м ---►
£
Рис. 2. Апроксимація залежності у^ (х - у) пневматичного пружного елементу типорозміру Н - 48 320 х 200 (к = х-у).
Сила опору амортизаторів, Н:
Рап = кр • (Х ' - У ') .
Сила пружності шини, Н:
рш = Сш • (/0 - (У - Ч)).
(6)
(7)
Сила, що імітує амортизуючі властивості шини, Н:
рамш = кш (У' - Ч0.
(8)
Система диференціальних рівнянь, що описують пневматичну підвіску, набуде такого вигляду:
-Мп • х" - Мп • я + Р0 V • — (х - у) -
-кр • (X - у ') = 0,
-пнп • У " - пнп • Я + кр • (х' - У ') -- Р, • ¥0к • — (х - У) + Сш • (/0 - (У - Ч)) -
-кш • (У '- Ч') = 0.
(9)
Залежності -(х - у) і У(х - у) є геометричними характеристиками пневматичного пружного елементу, оскільки прийняте припущення про не розтяжність стінок. Виконаємо апроксимацію залеж-
ності
-
-(х - у)
(V (х - у))к
залежністю вигляду
уГ(х - у) * а0 + еа^~у) • (х - у) + а2(х - у) - (5)
-е
аз Сх-у)
(х - у),
Підставивши вираз (5) і враховуючи, що висота пружного елементу к = х - у, одержимо:
-Мп •(к" + у ") - Мп • g - кр •к' +
+Р0 • У0к • (а0 + є“1* • к + а2 • к - вагк • к) = 0,
-тнп • У - тнп • g + кр •к" + сш • (Л - у + Ч)- (10)
-Р0 • У0к • (а0 + єа1'к • к + а2 • к - вагк) --кш •(у'-ЧГ) = 0 Введемо таке позначення:
де а0, а1, а2, а3 - коефіцієнти апроксимації.
ь = Р0 V.
10
Після перетворень система рівнянь (10) набуде такого вигляду:
(-Mn-h"-kp'h' + b-a2-h + b-h-eaa' --b-h-earh) —Mn-y"-Mn -g + b - a0 = 0,
(kp *h' + b-a2 -h + b-h-eayh - b-h-eayh) + +(-wHn - y" - кш - y' - Сш - y) +
+(кш -q' + Сш -q) - ^нп - g + b-ao - Сш - fo = 0.
(ii)
Застосувавши до системи (ii) перетворення Лапласа, одержимо:
(-M п - s2 - к- s + Ь - a2 +
ь
(s + a1)
(s + a3)2
+ b-ao - M n- g s
(kp s - b-a2
x(s) - M n-s2- y(s) +
= o,
(12)
-)- x(s)-
(s + a1) (s + a3)'
+(-тнп-s2 -кш *s-Сш)-y(s) +
+(кш-s + Сш)-q(s) + Сш-fo -g -Ь'Яо = 0.
де х($), у($) і ц($) - лапласові зображення відповідно функцій х(ї), у(ґ) і д(ї); 5 = ю + і• ю - комплексна частота.
Припустимо, що мікропрофіль дороги описується функцією
q(t) = q0 -sin(o -t),
(13)
де Чо - амплітуда висоти нерівностей, м; ю - час-
_і 2 • П У тота обурюючої дії, с (ю =-------------- , де Уа -
Іь
швидкість автомобіля, м/с; /ь - довжина нерівностей, м); ґ - ч, с.
Тоді зображення функції:
q(s) = q0 ■
2 2 ' s + ш2
(14)
Підставляючи вираз (14) в систему рівнянь (12), одержимо
2 Ь
(-Mn -5 - kp-s + Ь - a2 + ---------2
(s + a1)
Ь 2
----------г)- x(s) - Mn-s -y(s) =
(s + a3)
= M n -g - b-a0
s
(kp - s - Ь - a2 -
Ь
b
(s + a1)2 (s + a3)'
-)- x(s) +
(15)
q»-“-s-k-s+Сш)
s- (s2 +Ю2)
(s2 + Ю2)(Сш - f0 - m„- g - Ь - a0)
s - (s2 + Ю2)
Розв’язуючи одержану систему рівнянь щодо х^)
і у($), одержимо передавальні функції
W (X) = -(S2 +Ю2);
q(S) q0-ш ' '
W (y) = I®. = KS>-(S 2 +ш2).
(16)
(17)
q(S) q0-ш
Висновки
Одержаний розв’язок дозволяє заздалегідь оцінювати такі параметри пневматичної підвіски, як амплітуда коливань підресореної і непідресореної мас, швидкість і прискорення підресореної і не-підресореної мас, а також проводити аналіз впливу параметрів пневматичної підвіски на вказані вище величини.
Недоліком такого підходу є припущення, що автомобіль рухається по дорозі синусоїдального профілю, а також неможливість врахування про-боїв підвіски та відривів колеса від дороги. Тому дану модель при дослідженні підвіски доцільно використовувати у сполученні з чисельними методами.
Література
1. Прикладные задачи теории нелинейных коле-
баний механических систем: Учеб. пособие для вузов / Гуляев В.И. и др. - М.: Высш. шк., 1989. - 383 с.
2. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асим-
птотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974. - 503 с.
3. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А.
Введение в теорию нелинейных колебаний. - 2-е изд. - М.: Наука, 1987. - 387 с.
4. Силаев А.А. Спектральная теория подрес-
соривания транспортных машин. - М.: Машиностроение, 1972. - 192 с.
5. Акопян Р. А. Пневматическое подрессоривание
автотранспортных средств. - Львов: Вища школа, 1984.- ч. 1 - 3.
Рецензент: О.В. Бажинов, професор, д.т.н.
ХНАДУ.
Стаття надійшла до редакції: 20 вересня 2006 р.
s
+ (-m»n 's - V s - Сш )-y(s) =
