Трансформация волн на проницаемом волноломе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 004.94:532.59

Р.И. ДЕМЧЕНКО, П.С. КОЛОМИЕЦ

ТРАНСФОРМАЦИЯ ВОЛН НА ПРОНИЦАЕМОМ ВОЛНОЛОМЕ

Abstract: The modification basis of the “miid slope” equation describing the surface waves transformation in the coastal zone with dissipation region of porous rubble-mound breakwater type has been done. The tests have been fulfiled for given breakwater characteristics.

Key words: rubble-mound breakwater, “mild slope'' equation, surface waves, dissipation region.

Анотація: Представлено обґрунтування щодо модифікації рівняння “положистих схилів”, що описують розповсюдження поверхневих хвиль у прибережній зоні, яка містить область дисипації хвильової енергії у вигляді насипної конструкції. Проведені тести, пов'язані з характеристиками конструкції.

Ключові слова: насипна конструкція, рівняння „положистих схилів”, поверхневі хвилі, область дисипації.

Аннотация: Дано обоснование модификации уравнения “пологих склонов”, описывающих распространение поверхностных волн в прибрежной зоне с областью диссипации волновой энергии в виде волнолома насыпной конструкции. Проведены тесты для заданных характеристик волнолома.

Ключевые слова: насыпная конструкция, уравнение „пологих склонов”, поверхностные волны, область диссипации.

1. Введение

Влияние диссипации энергии на распространение поверхностных волн представляет собой один из важных объектов исследования для практических инженерных задач в прибрежной зоне шельфа. Диссипация волновой энергии может быть вызвана такими факторами, как донное трение, волновое обрушение, насыпные волноломы вблизи берега.

Согласно экспериментальным работам Мадсена и Уайта, Соллита и Кросса, упомянутым в [1], насыпные волноломы можно рассматривать как область диссипации волновой энергии, резко изменяющейся от нуля в области, удаленной от волнолома, до некоторого конечного значения внутри последнего. В статье [1] рассмотрено аналитическое решение для уравнения «пологих склонов» [2], модифицированное в области диссипации энергии на основе предположения Бойа [3]. В настоящей работе дано обоснование такой модификации уравнения «пологих склонов» с учетом медленно изменяющегося течения (что не нарушает общности вывода) и рассмотрены тесты для заданных коэффициентов отражения поверхностной волны, проходящей через волнолом насыпной конструкции.

2. Уравнение Навье-Стокса

Уравнение Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости в поле силы тяжести запишем в виде [4] (ось z направлена вертикально вверх):

(1)

divv = О ,

(2)

p = Р-Pgz .

(3)

Будем предполагать, что

v = U + и

(4)

© Демченко Р.И., Коломиец П.С., 2008

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2008, № 3

есть векторная сумма, представляющая линейное взаимодействие поля течения б = \б1,и2}

и

волнового поля. При этом

и = а[и0 + -1 и(У)] , (5)

где

и0 = gradФ, (6)

1 V

Я еЬ0

(7)

Здесь Ф = Ф(х,у,г) - потенциал скорости, а - параметр крутизны волны, с = 4ф -фазовая скорость, Ь0 - характерная длина волны, п - кинематическая вязкость,

и(п) = и(п)(х,у, г) - слагаемое, связанное с вязкостью жидкости. Т.е. будем предполагать, что в

основном слое жидкости —к + 8 < 2 <С, где 8 ® 0 при К , волновое движение описывается функцией, удовлетворяющей условию (6), а для функции и(п) выполняются соотношения

и(У') ® 0, г , (8)

(и'Г)ху. = О(е), «’); = О(1/К), (9)

где е- уклон дна.

Для искомой функции и выполняется условие прилипания на дне

и = 0, г = —к( х, у). (10)

Кроме того, будем предполагать, что

р = Ро +ар1 , (11)

и1Х,и» = О(е), кх,ку = О(е).

Подставляя разложение искомых функций и,р в (1) и собирая коэффициенты при степенях параметра а, получим в приближении О(а0)

2 дХ и2)+р Ьр° = ли' + (и2- х - иь. и, (12)

11Т ('й2)+1 ^ Ро =уАи2 - и х - иі., б, (із)

2 ду рду у

1 д р дг

——Ро = 0 . (14)

При этом уравнение неразрывности для вектора б имеет вид

(Ч-б)И + б УИ = 0 . (15)

Т.к. из соотношения (14) следует, что функция р0 не зависит от координаты г , представим ее в виде

Ро = р%Со>, (16)

где £0 - изменение уровня свободной поверхности, обусловленное течением и , причем

(„ х у = О(е) .

Из условия линейности взаимодействия поля течения и(х,у) и волнового движения, описываемого функцией (5), из уравнения неразрывности (2) с точностью до членов порядка

О(ае,а-1-) следует, что К

У2Ф + Э-Ф- = о . (17)

дг

Тогда, для коэффициентов порядка О(а1), принимая во внимание уравнение (17) и

отбрасывая слагаемые порядка О(ае,а~т), а также (ввиду малости коэффициента

К2

кинематической вязкости п) слагаемые порядка О(у2), система уравнений (1) будет иметь следующий вид:

1

Уз(Ф, + иф + и2Фу + -Р1) = 0 , (18)

у Р

ддд где У3 = —,—, —. дх ду дг

В полученных уравнениях компоненты поля течения входят как известные параметры, и движение волнового поля, описываемого функцией Ф(х,у, г, ^) , предполагается потенциальным, тогда для системы уравнений (18) интеграл Бернулли можно записать в виде

-Р1 =—(Ф( + ихФх + и2Фу) . (19)

Р

На поверхности

С = С0 +аг/ , (20)

где г - возвышение свободной поверхности, соответствующее волновому движению, функция давления Р с точностью до членов порядка О(а2) будет записана следующим образом:

1 (

-Р=( = —а(Ф + и1Фх + и2Фу ) — а8Г . (21)

Р

Поток импульса через поверхность г = £ в направлении оси г есть

^ ^ .

[П• Пз)]2=( = [Р-Пз — аък • пк + (УзУк)• пк]г=(,к =1,2 . (22)

Так как вектор нормали к поверхности г = £ ,

П ={п1, П2П3} = < ,-?- ,1 > , (23)

то выражение (22) с точностью до членов порядка О(ае,а2) перепишется:

^ ^ .

[Пз1=с= [(Р —^зз)Пз]г=£ , (24)

где с точностью до членов порядка О—2)

ди ди д2Ф

<гзз = -р(

С другой стороны, т.к.

< = -Р(+^з) = -Р(2а^г). (25)

дг дг дг

[П\=-£ = [Ратм • (—Пз)1==С , (26)

где Ратм - атмосферное давление, получим из равенств (21) - (26), полагая Ратм = 0,

выражение для возвышения свободной волновой поверхности г:

1 ( ( ( — д (Ф

г = — -[ф + иФх + и2Фу + 2-—1=с . (27)

£ £ дг

Кинематическое условие для частиц жидкости на поверхности г = £ с учетом условия (8)

запишется:

гдС д£ д£

Г—+ V — + у7 — дt дх ду

Тогда, для членов порядка О(а) условие (28) будет иметь вид

Ги1 Ги5г

дt дх ду

Подставляя выражение (27) для г в (29), получим

1 Б2 ( 1 В ^ дФ

-----7 Ф +--------(2-—-

£ Dt £ Dt дг

где

[^Г + Ъ д- — Уз]^= 0 . (28)

Ьб + и^ + и2 д- — Фг ]=_?= 0 . (29)

Ф +~ Ф + ~~рг: (- )],=£ = 0, (30)

В = д+и-V. Dt дt

3. Уравнения «пологих склонов» в основном потоке вязкой несжимаемой жидкости

Так как толщина придонного слоя 8 ® 0 при К ® ¥ , заменим условие прилипания на дне (10) для функции и условием непроницаемости на дне:

дФ (

Ь----Vк VФ]2=—к . (31)

д

Ниже, в Приложении А, будет показано, что решение в слое 8 непрерывно связано с решением в основном слое потока жидкости: —к + 8 < г < £ .

Так как трансформация волн рассматривается в области с пологими неоднородностями дна кх,ку = О(е) и медленным изменением течения на расстояниях порядка длины волны

ихи □ с/Ь0, г = 1,2, будем искать функцию Ф в виде [1], [5]:

Ф = Ф( х, у, г, t) • / (г ),

Ф(^, у, z, t) = ф(x, у, t) + е2г2(~1(x, у, t) + О(£л\ /(г) = + ? . ( )

скк (к + £0)

Отметим, что представленная в виде разложения (32) функция Ф удовлетворяет условию прилипания на дне только в направлении оси г .

Применяя формулы Грина для функции Ф, удовлетворяющей уравнениям (17), (30), (31), и к функции /, удовлетворяющей задаче Штурма-Лиувилля [5], аналогично [5], [6], с точностью до

членов порядка О(£2), получим уравнение «пологих склонов» для случая вязкой несжимаемой жидкости:

В ~ В уй~ )+(а2 — к 2Ъ)~ = 0, (33)

Dt2 ' Dt

1[ ^+и 1 ^+и 2 ^

Я дt дх ду

г = — [^7 + и^ + и^ + Гй~], (34)

где волновые параметры определены как

Я 1апЬ(к • к), сЯ = 1 с • (1 + О), О = ——т , Ъ ° с • с , (35)

\к V ' Я 2 V ' ъЩ2кк) Я

2

(0=0 + к • и , а = якк(кк). (36)

Здесь ул = 2—к2, и граничные условия для уравнения (33) нарушаются в придонном слое на поверхности г = —к(х, у) в случае Г* * 0.

4. Модифицированные уравнения «пологих склонов»

На основании вышеизложенного и обоснования, приведенного в Приложении А, можно предположить, согласно [3], что в случае идеальной несжимаемой жидкости уравнения «пологих склонов» (33), (34), описывающие распространение гармонических волн на медленно

изменяющихся течениях, в области, имеющей зоны диссипации волновой энергии, имеют вид

D2 D

ф + — Жф — V•(ЪVф) + (а2 — к2Ъ~)ф = 0 , (37)

Г = —-[дj% + и ^ + и2 ^ + Ж%] , (38)

Я дt дх ду

где коэффициент Ж - функция рассматриваемой области пространства и, согласно

определению [3], представляет собой скорость изменения диссипации энергии на единицу

интенсивности волновой энергии.

с

Если представить решение уравнений (37), (38) в виде гармонических функций

ф = ф( х, у) ещ>(-1ал), Т~ = г]( х, у) ещ>(-1ал), (39)

то полученное уравнение (37 - 39) в случае и = 0 совпадает с волновым уравнением «пологих

склонов», приведенным в [1], [7].

V • (ЬУ ф) + Ь

к2 +

с„

ф = 0.

(40)

5. Тестирование полученной модели

В [1] в случае постоянной глубины получено аналитическое решение для прохождения гармонической волны через область диссипации конечной длины. При этом коэффициент трансмиссии Т получен для различных волновых чисел, длин волнолома и параметра Ж [1]:

2 - Г

Т =

1 -

к

к

1+

к

к

+ Гв

-I (к+к)/

(41)

где

( к

к = к2

1+

, Г =

(к к

+1 I в

к

-Ик1

(к к

(42)

-1

В настоящей работе с помощью процесса итераций по формулам (41), (42) решена обратная задача нахождения коэффициента диссипации Ж по заданному коэффициенту трансмиссии ТК, волновому числу к и длине волнолома I, а также проведено тестирование полученной модели уравнений (37 - 39), (38 - 40). Для этого рассмотрен одномерный случай распространения на постоянной глубине к = 5м гармонической волны высотой Ин’ = 1м, с периодом Т = 2с , подходящей к волнолому насыпной конструкции под прямым углом. Параметры длины и соответствующие коэффициенты диссипации, рассчитанные по формулам (41), (42), приведены в табл. 1 для заданного коэффициента трансмиссии Тн = 0.5 .

Таблица 1. Зависимость коэффициента диссипации от параметров волнолома

в

2

1

2

2

Длина волнолома (м) Ж (1/с)

0.5 6

1 2.75

2 1.2

6 0.37

12 0.18

Ниже показаны результаты численного моделирования волновых высот с помощью уравнений (37), (38).

Wave Heights

meters

Рис. 1. Волновые высоты для прямоугольного волнолома различной длины

Как видно из рис. 1, длина зоны диссипации l = 0.5м дает несколько завышенный коэффициент Tw » 0.6. В остальных случаях проходящие в область за волноломом высоты волны

очень близки к заданному коэффициенту трансмиссии Tw = 0.5.

Wave Heights

meters

Рис. 2. Волновые высоты для прямоугольного волнолома с разной формой распределения коэффициента W

На рис. 2 показано сравнение волновых высот для длин волнолома l = 6м , l = 12м с соответствующим значением коэффициента W из табл. 1 и распределением его в форме синуса с максимальным значением в середине области диссипации и нулевыми значениями на концах этой области. Для l = 12м и случая сглаженной формы W можно видеть отсутствие отраженной волны.

6. Выводы

Дано обоснование модификации уравнения “пологих склонов”, описывающих распространение поверхностных волн в прибрежной зоне, содержащей область диссипации волновой энергии в виде волнолома насыпной конструкции. Проведены тесты для заданных характеристик волнолома.

Полученная модель (37), (38) может быть использована для инженерных задач прибрежной зоны шельфа.

Авторы благодарят к.ф.-м.н. М.И. Железняка за консультации при выполнении работы.

Приложение А

Покажем, что решение в придонном вязком слое толщины d при удалении от донной поверхности z = —h(x, у) будет асимптотически приближаться к решению в основном потоке —h + d< z <Z.

Для этого перепишем уравнение движения жидкости (1) для функции v = U + au (вектор au = a{u,v,w} соответствует компоненте волнового движения). Учитывая, что

(W)V = 1 grad(v)2 — [vrotv] , (А.1)

получим

где

dv 1 s

----+ (vV)v =--------------gradP + g + vD v , (А.2)

Эt p

Pd = pSo + apf — pgz . (А.3)

Для коэффициентов O(a )

Эи, Эи, 1 Эр0

Ui ^ + U2-^ + —^ = vDUi, (А.4)

Эх Эу p Эх

s

тт ЭU2 ЭU2 1 Эр0

U,------2 + U2—2 +----------------— = vDU2, (А.5)

1 -ч 2 -ч -ч 2 ’ v '

Эх Эу p Эу

1 ЭР,

= 0. (А.6)

р

Так как для поля течений = О(е) , то, пренебрегая слагаемыми в правых частях (А.4), (А.5),

имеем

р- = р-( х у) . (А.7)

С точностью до членов порядка О(а2) уравнение (А.2) и уравнение неразрывности (2) запишутся:

г г 1 О г

----+ (иV)U +—V.р, =уА3й , (А.8)

Э/ р

Э2 Э2 Э2 где 3 = Эх2 ’ Эу2’ Эz2 '

Эи Эv Эw

— + — + — = 0 . (А.9)

Эх Эу Эz

Граничные условия на поверхности г = —к удовлетворяют условиям прилипания:

[и, V, н]г=—к = 0. (А.10)

В придонном пограничном слое вертикальная компонента скорости н мала по сравнению с компонентами скорости и, V, которые медленно изменяются в горизонтальном направлении по

сравнению с вертикальным (их1,vxj □ иг,vz). Тогда, учитывая (А.9), из уравнения (А.8) получаем

Эр- = 0, (А.11)

Эг

т.е. в пограничном слое - градиентом давления по вертикали можно пренебречь, или, что то же, в придонном слое жидкости давление равно давлению в основном потоке жидкости. В силу (21), с

точностью до членов порядка O(a2,ae,a-1-,V2) , можно записать

R

[р- ]—й<г=—й+- = — р[Ф( + ифх + и2Фу ]==—,- . (А.12)

Таким образом, система уравнений (А.8) - (А.9) для пограничного придонного слоя - имеет заданную функцию давления (А.12), а искомые функции скорости и, V, н, удовлетворяющие

условию прилипания на дне (А.10), при удалении от точек поверхности г = —к(х,у) будут асимптотически приближаться к скорости основного потока, описываемого функцией Ф( х, у, г, /) в слое —к + -< г . Следовательно, при уменьшении толщины вязкостного слоя - будет уменьшаться погрешность, вносимая заменой условия прилипания на дне условием непроницаемости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Liu P., Yoon S., Dalrymple R. Wave reflection from energy dissipation region // J. Waterway, Port Coastal and Ocean Engineering. - 1986. - Vol. 112, N 6. - P. 632 - 644.

2. Berkhoff J.C. Computation of Combined Refraction-Diffraction // Proc. 13th Coastal Eng. Conf. - Vancouver, ASCE. - New York, 1972. - Vol. 1. - Chapter 24. - P. 471 - 490.

3. Booij N. Gravity waves on water with non-uniform depth and current // Dissertation, Delft Univ. of Tech. - Holland, 1981.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. - М.: Наука, 1986. - Т. VI: Г идродинамика. - 736 с.

5. Liu P. Wave-current interaction on a slowly vatying topography // J. Geophysical Research. - 1983. - N C7, Vol. 88. - P. 4421 - 4426.

6. Демченко Р.И. Математическая модель рефракционно-дифракционной трансформации волн на течениях прибрежной зоны с помощью гиперболической аппроксимации “уравнения пологих склонов”// Математические машины и системы. - 1999. - № 3. - С. 1 - 13.

7. Jing L., Ridd P, Mayocchi C., Heron M. Wave-induced benthic velocity variatios in shallow waters // Estuarine, Coastal and Shell science. - 1996. - Vol. 42. - P. 7В7 - В02.

Стаття надійшла до редакції 01.04.2008