CC BY
26
УДК 629.7.015.4
ТОНКОСТЕННЫЕ ОБОЛОЧКИ С НЕСКВОЗНЫМИ ТРЕЩИНОВИДНЫМИ ДЕФЕКТАМИ В ПРИБЛИЖЕНИИ ДАГДЕЙЛА
В работе рассматривается определение области возможных предельных состояний тонкостенных оболочек из идеального упругопластичного материала с несквозным трещиновидным дефектом (царапиной). Рассматриваются области возможных предельных состояний для царапин переменной глубины. Приводится сопоставление экспериментальных и теоретических данных. Решается задача определения предельных размеров дефектов, которые при заданном уровне эксплуатационных нагрузок могут привести к катастрофическому разрушению всей конструкции.
Ключевые слова: тонкостенные оболочки, нагрузки, упругопластический материал, краевая задача, поверхностная трещина, сквозная трещина, модель Даг-дейла, утечка перед разрушением.
На основании решения краевой задачи для поверхностной трещины (царапины) постоянной глубины в приближении Дагдейла [1] были установлены области предельных состояний тонкой пластины с такой царапиной и определена граница между ними. Однако в процессе эксплуатации на тонкостенные элементы конструкций действуют внешние нагрузки, циклически изменяющиеся около номинальных значений. Вследствие этого изначально прямолинейный фронт царапины искривляется и возникает усталостная царапина с переменной глубиной.
В случае плоского напряженного состояния можно считать, что длина царапины 21 много больше толщины пластины Н (21 >> к), и с достаточной степенью точности аппроксимировать глубину царапины кривой второго порядка:
Тогда на контуре царапины х ^ I будут действовать сжимающие усилия с интенсивностью
а на берегах пластических зон I ^ х ^ с — с интенсивностью р(х) = а8. Соответствующая краевая задача запишется следующим образом:
1 Яковлев Александр Степанович ([email protected]), кафедра теоретической механики Самарского государственного аэрокосмического университета (Национального исследовательского университета), 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34.
© 2013 А.С. Яковлев1
(1)
(2)
{
p(x), -р + (i - h + h • , М <l;
-P + aa, l < \x\ < c; (3)
v(x) = 0, \x\ > c.
где P — внешняя нагрузка, v(x) —раскрытие берегов царапины.
Очевидно, что к условиям (3) необходимо добавить условие, определяющее однозначность смещений:
lim v'(x) = 0. (4)
x^c
Следуя результатам, полученным в задаче для царапины с постоянной глубиной, решение (3) запишется в виде
i
v(x) = -ПЕ I (-P + *s)J Г(с, x,
l l
-asbJr(c,x,^)d^ + ashp f ^^^ • dw, \x\ ^c. (5) -l -l ) Сделаем замену переменных t = x/c; ф = £/c; y = l/c. Тогда:
v(t) = - ПЁ1 w
-1
1
(i - £) /ixm^-
7 7
-+ -±¡1 ф2г(М,ФМФ }, \г\ < 1. (6)
—г —г
Последний интеграл в этом выражении после интегрирования по частям сводится к табличным интегралам и берется в явном виде. Обозначим
7
1
j (t, y ) = y2 j ф2г(1,^ф)аф
и запишем уравнение (6) в виде
y
—Y
c
{1 7
(l - P) ! Г(1, t, Ф^Ф + h J(t, Y) -J Г(1, t, ф)сф>
S -1 L —7
(7)
Взяв в (7) производную по £ и приравняв ее нулю, получим выражение для определения неизвестного параметра Y:
О- Ш dt г(1,^ф+h(Р (t,Y) -] it г(1,^\ =0.
(8)
Тогда предельное состояние для царапины (начальное состояние) определяется из условия -у(0) = VФ или
nE
—Г1 asl
1
(' - Ш
r(i, о, фуф + -h
Y
J(0,7) - J Г(1,0, ф)йф
(9)
Здесь VФ — предельное значение критического раскрытия берегов царапины.
Таким образом, уравнения (8) и (9) определяют начальное состояние пластины с царапиной переменной глубины. Конечное состояние определяется следующим выражением:
п Р
Yk = cos - — 2 as
(10)
На основании полученных результатов и при равенстве левых частей уравнений (9) и (10) строится вычислительная процедура. Численные результаты в виде зависимости представлены на рис. 1.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение полученных результатов для оценки несущей способности тонкостенного элемента конструкции. Пусть номинальная эксплуатационная нагрузка Po/as = 0,4, толщина элемента конструкции равна 1 мм. Материал — стареющий алюминиевый сплав Д16АТ, для которого параметр Л = ат/Е = 0,008. Здесь E — модуль упругости. Необходимо сделать оценку критической длины повреждения, при котором наступает катастрофическое разрушение элемента конструкции. Примем, что предельная величина раскрытия vФ для Д16АТ равна 0,1 мм.
*
а
С. 1
0,8
0,6
0,4
0,2
и 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Ь/Н
Рис. 1. Области определения предельного состояния пластины с царапиной: А — область разрушения, определяемая царапиной; В — область разрушения, определяемая трещиной
При анализе поставленной задачи возможны 2 случая: первый случай определяется возможностью оценки глубины несквозной трещины, во втором случае будем считать, что глубина неизвестна.
При известной глубине b/h по результатам, представленным на рис. 1, можно определить вид предельного состояния; пусть b/h = 0, 8. В этом случае предельное состояние определяет сквозная трещина. По формулам для предельного состояния B определяем значение:
п P
Y= cos--= cos 0, 2п = 0, 809.
2 as
Из формулы (10) определяем длину трещины, при которой наступает нестабильное состояние элемента конструкции:
Ь = 21
2А 1п1/7к
92, 5 мм.
Для второго случая принимаем запас несущей способности Ь = Н и проводим расчеты по формуле (10).
При введении замены переменных в уравнениях предельных состояний, полученных в [1]:
Ро Рк а
— = Уо; —= Ук; 7= х; Чк = сов вк; 70 = сов во,
их можно преобразовать к следующему виду:
п п о
агсвт 70 = — — агссов 70 = — — в0;
п5с = Пс_
8А1 8а2Г
(11)
(12)
учитывая:
1п1 + = 1п!1_+^)'
1 —
7о
2]п1^/Е1 = 21п!+81п во
7о
сов в0
Тогда предельные кривые для поверхностной и сквозной трещины в безразмерных переменных можно записать в виде
2
где
во 1 — 2 1 +
1 — Уо = х ^ 1 — Пво(х, 5,
(1 х) ■
Ук = — вн(5*), сов ви = е п
— 5*
(13)
2 вк
1- е—
(2 4
у = тге—57 = 1Ч§5-
Графики функций уо(х,5*) и ук(5*) изображены на рис. 2 ук\
0,01 0,25 0,49 0,73 х
Рис. 2. Графики функций уо(х,5*) и ук(5*)
(14)
5
или
5
Из соотношений (13) и (14) видно, что уо(1,5*) = п^о(1,5*) < Ук(5*) = п®к(5*), т. е. линия у0(х,5*) при заданном 5* обязательно пересечет линию ук(5*) при каком-то х:
1 2 Vк(
1 - уо(х, 5*) = 1 - Ук(х, 5*) ^ х
1 - пвк(5к)
1 - пвк(х, 5к)
(15)
Таким образом, при распространении полученных результатов с пластин на цилиндрические оболочки под внутренним давлением (с учетом поправки Фолиа-са [2] на кривизну оболочки) можно сделать вывод, что при х = а/к <х проросшая на всю глубину поверхностная трещина далее не будет распространяться по всей длине стенки оболочки, находящейся под внутренним давлением (возникает "течь"), а при х > х продолжит свое развитие, что в итоге может привести к катастрофическому разрушению всей конструкции при напряжениях ниже предела текучести материала. Данное обстоятельство определяется критерием "утечка перед разрушением".
В трубопроводных системах наиболее часто встречаются несквозные поверхностные трещиноподобные дефекты, форма которых близка к полуэллиптической (рис. 3).
Рис. 3. Виды трещин в трубопроводах: а — осевая наружная трещина; б —осевая внутренняя трещина; в — окружная наружная трещина; г — окружная внутренняя трещина
Переход от пластин к оболочкам осуществляем с помощью следующего уравнения:
I2
I = Ыр а^П = Р— к
(1 + 1' 61 —к)*1
(16)
Ыр = л/1 + 1, 6112/(—к) (17)
— поправка Фолиаса, где р — внутреннее давление в оболочке, — — радиус кривизны оболочки, I —длина трещины, к — толщина стенки оболочки.
Используя экспериментальные данные [3] испытаний труб диаметром 762 мм с толщиной стенки 9,5 мм при наличии поверхностных дефектов, полученные в работе (см. табл.), и перенося их на график, получим следующую картину.
б
а
в
г
Таблица
Экспериментальные данные А.Р. Даффи, Дж.М. Мак Клур и др.
Длина Глуби- Относи- Предел Интег-
Обозна- трещи- на тре- сительная теку- ральная
чение ны, щины, глубина чести P/Vs безраз- Кри-
трубы мм (L) мм (а) трещины (кг/мм2) мерная терий
(ж = а/К) ы * хар-ка а
RR8 370,84 3,78 0,398 52,14 0,72 0,006 разрушение
222,25 0,398 0,78 0,028
83,82 0,398 0,94 0,413
RR5 369,82 5,69 0,599 50,17 0,50 0,007
219,2 0,599 0,57 0,031
RR9 83,82 0,599 47,18 0,92 0,504
RR7 370,84 7,72 0,813 49,66 0,22 0,007
RR4 224,03 0,813 49,89 0,32 0,030 течь
RR7 86,36 0,813 50,66 0,77 0,405
RR5 224,03 8,51 0,896 50,17 0,17 0,030
Как видно из рис. 4, те значения функции, которые лежат выше кривой х(6), интерпретируются как "течь", т.е. поверхностная трещина проросла в сквозную и "остановилась" (есть время для оценки ситуации и принятия необходимых мер по восстановлению конструкции), а те значения функции, которые лежат ниже кривой, сигнализируют о том, что поверхностный дефект пророс в сквозной и продолжил рост на поверхности тонкостенной оболочки, что в результате привело к катастрофическому разрушению всей конструкции.
Рис. 4. Сопоставление экспериментальных и теоретических данных: х'(а) — сплошная линия х — разрушение, о — "течь"
Литература
[1] Яковлев А.С. Оценка влияния несквозных трещин на прочность конструкций при проектировании летательных аппаратов // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. 2012. № 4(35). С. 193-196.
[2] Folias E.S. A finite crack in a pressured cylindrical shell // Int. J. Fract. Mech. 1965. Vol. 1. P. 104-113.
[3] Даффи А., Эйбер Р., Макси У. Практические примеры расчета на сопротивление хрупкому разрушению трубопроводов под давлением // Разрушение. Расчет конструкций на хрупкую прочность. Т. 5. М.: Машиностроение, 1977. С. 146-210
Поступила в редакцию 18/XI/2003; в окончательном варианте — 19/XII/2003.
THIN-WALLED COVERS WITH SURFACE CRACK DEFECTS IN DUGDALE APPROXIMATION
© 2013 A.S. Yakovlev2
In the work definition of area of possible limiting conditions of thin-walled covers from an ideal elastoplastic material with not through blind fractured defect (scratch) is considered. Areas of possible limiting conditions for scratches of variable depth are considered. Comparison of experimental and theoretical data is given. The problem of determination of limiting extent of defects which at the set level of operational loadings can lead to catastrophic destruction of all construction is solved.
Key words: thin-walled covers, loadings, elastic-plastic material, boundary-value problem, surface crack, through crack, Dugdale model, leak before break.
Paper received 11/VT/2013. Paper accepted 15/VI/2013.
2Yakovlev Alexander Stepanovich ([email protected]), the Dept. of Theoretical Mechanics, Samara State Aerospace University, Samara, 443086, Russian Federation.
