электронное научно-техническое издание
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эя №<К! 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025.155И 1994-0406_
Томографические методы в теории вторичного квантования
# 09, сентябрь 2011
авторы: Федоров А. К., Юрченко С. О.
УДК 530.145.1
МГТУ имени Н.Э. Баумана alesha.fedorov@gmail.com st.yurchenko@mail.ru
Одним из наиболее активно развивающихся направлений в нерелятивистской квантовой механике является квантовая томография [1-3]. Квантовая томография использует для описания квантовых состояний неотрицательные функции распределения вероятностей - симплектические томограммы. В обзоре [1] рассмотрены основные соотношения, связывающие симплектическую томограмму с волновой функцией, матрицей плотности, функцией Вигнера [4]. Интересным является тот факт, что томограммы могут быть измерены в квантово-оптических экспериментах [5].
Целью настоящей работы является установление связи томографического представления квантовой механики с методами вторичного квантования. Показано, что при построении вторичного квантования в рамках квантовой томографии оператор плотности частиц является многочастичным эквивалентом одночастичного выражения для симплектической томограммы. Обобщены результаты [2] и показано, что преобразования Боголюбова не сводятся к симплектическим преобразованиям, использующимся в квантовой томографии. Предложенные методы квантовой томографии во вторичном квантовании использованы для решения задачи о квантовой цепочке осцилляторов, вычислен спектр фононов и найдена энергия нулевых колебаний.
Томографическое представление квантовой механики использует линейное каноническое преобразование фазового пространства - действие симплектической группы 8Р2(Я):
е (
и л
V д ^
^ р)
где д - координата, р - импульс, а /л, / , щ, щ - вещественные числа.
Поскольку (1) является каноническим преобразованием, сохраняется структура фазового пространства с невырожденными кососимметрическими билинейными формами: скобкой Пуассона в классическом случае и коммутатором - в квантовом. Также канонические преобразования сохраняют вид уравнений движения. Частным случаем (1) является действие матриц группы 802(Я). В таком случае (1) является поворотом фазового пространства на некоторый угол. Тогда симплектическая томограмма превращается в маргинальное распределение гомодинной переменной в квантово-оптических схемах томографии [4]. В общем случае (1) - это поворот фазового пространства с взаимным масштабированием по осям р и д.
Симплектическая томограмма Т(е,/,щ) наблюдаемой е, которая является линейной комбинацией квадратурных компонент:
е=цд+ лр
определяется через волновую функцию следующим образом:
т(е ц,л) = Иа)|2
р [ф)]
(2)
где Р - линейный унитарный оператор.
Можно показать, что этот оператор - дробное преобразования Фурье:
т(е ил) =
1
2ж
\щ(д)
ехр
ги 2 ге
л — д
2л л
йд
(3)
Из определения симплектической томограммы (3) следует, что она представляет собой нормированную, положительную и однородную функцию:
|т(а, ц,л)йе = 1 Т(е, ¡и,л)^ 0 Т(е, ц, л) = |\Т(АеДиДл)
В случае квантового фазового пространства (1) задает преобразование операторов координат и импульса. Хорошо известно, что системы, состоящие из большого числа частиц, удобно рассматривать при помощи методов вторичного квантования [6]. Операторы координаты и импульса связаны с операторами рождения и уничтожения следующим преобразованием:
л
2
(а л
а
Vа У
1 (1 , л
Г А Л
42
V1
где а , а - операторы рождения и уничтожения.
Не нарушая общности, будем рассматривать случай бозе-частиц. Для операторов рождения и уничтожения справедливы коммутационные соотношения:
а а
а,, а]
а а
а,, а]
а, , а]
= 0
Таким образом, можно ввести операторы поля:
Т(е) = Х.а^г (е) Т+(е) = 2¿V (е)
волновые функции образуют полную ортонормированную систему; справедливы следующие коммутационные соотношения для операторов поля:
а а
Т(е),Т И)
= б(е-е')
а а
т(е), ти
а 1 а
Т (е),Т (е')
= 0
Вторично квантованный оператор плотности частиц:
р(е) = Т (е)Т(е)
является многочастичным эквивалентом одночастичного выражения для симплектической томограммы (2). Как известно, в классическом случае оператор плотности соответствует обычной плотности вероятности в координатном или импульсном представлении.
По определению интеграл от оператора плотности, взятый по всему пространству, есть оператор полного числа частиц в системе:
а с а ^
/\ С
N = |Т (е)Т(е)^3е
Мощным инструментом вторичного квантования является использование канонических преобразований. В частности семейства симплектических преобразования Боголюбова могут быть использованы для диагонализации гамильтонианов. Структура преобразований Боголюбова близка к (1): они задаются матрицами групп БР2(Я) и БР2(С) и соответствуют псевдоевклидовым вращениям в
двумерном пространстве-времени (преобразования Лоренца) в случае бозе-частиц, вращению евклидового пространства для ферми-частиц.
В общем виде линейные канонические преобразования - действия группы
8Р2(С):
( а >
ь
V Ь у
и V
( а л
а
VV и У
(4)
Vа У
где и и V - комплексные числа, удовлетворяющие соотношению:
I 12 I 12
и - V = 1
Можно утверждать, что не существует таких комплексных чисел и и V, которые могли бы задавать преобразование вида (1). Эквивалентно утверждение, что элементы матрицы:
1
(
42
и + V 1
1 (и - V)
(; * \ и - V )
Л
V +и ци -
V V > У
удовлетворяют следующей системе:
1 (V* - и*) (и + V) -1 (и - V) (и * + V*) = 2
|и|2 - VI2 = 1
(5)
Система (5) не имеет решений. Поэтому преобразования Боголюбова не являются более общим случаем (1).
Теперь рассмотрим задачу о взаимодействии нескольких частиц в томографическом представлении и используем полученные методы вторичного квантования. Можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая, что взаимодействие N соседних частиц, описывается гамильтонианом:
а ^
н=2
а а
/и <71 -ц'е, 2т1
К 2
а а \ /а а
/\ е1 -е 1+1 1-^1 71 -<1+1
где К - параметр.
Учитывая (1) перейдем к операторам рождения и уничтожения:
1=1
Si ^ai
<Jt = —;=\ai
V2
V ,
ivjhr*
- ivJ nmpi
л + h
+ ai
_ V m0,
¡V^h,
+ mJ hm, 0,
mt 0
i/u'Jhmj 0
- ai
m
2m.0 i
Запишем гамильтониан при помощи операторы рождения и уничтожения:
1
н=£■
i=1
2m
ai + ai
' v
K 2
л л 1 л л
ai + ai — ai+1 — ai+1
Диагонализуем гамильтониан при помощи канонического преобразования (4) и приходим к виду:
л N (Л+ л 1 Л
H = )
лт л 1
Ь, Ь, + — 2
где частота колебаний (рис. 1):
0
(q ) = s,„ [q ^
(6)
Найдем энергию нулевых колебаний, приходящуюся на одну частицу (рис. 2):
Й
E =
4л
| 0 (q^)dq
I K f sin (i) dq=2 K
m ^ l 2I m
(7)
На рис. 1 представлен график частоты как функции координаты q и отношения K/m. На рис. 2 представлен график энергии нулевых колебаний как функции параметра K/m.
Таким образом, установлена связь томографического представления квантовой механики с методами вторичного квантования. Показано, что при построении вторичного квантования в рамках томографического представления оператор плотности частиц является многочастичным эквивалентном одночастичного выражения для симплектической томограммы.
Рис. 1. Частота колебаний (6)
1=1
Обобщены результаты [2] с учетом канонического определения матриц группы 8Р(Я) и показано, что преобразования Боголюбова не обобщают симплектическое преобразование, применяемое в квантовой томографии.
Рис. 2. Энергия нулевых колебаний (7) Предложенные соотношения для построения вторичного квантования в томографическом представлении опробованы на задаче о квантовой цепочке осцилляторов, вычислен спектр фононов и найдена энергия нулевых колебаний (7).
Библиографический список
1. Ibort A., Man'ko V.I., Marmo G., Simoni A., Ventriglia F. An Introduction to the Tomographic Picture of Quantum Mechanics // arXiv:0904.4439v1[quant-ph], (2009)
2. Федоров А.К., Юрченко С.О. Вторичное квантование и томографическое представление квантовой механики // Студенческий научный вестник, 2011, 217-218.
3. Федоров А.К., Юрченко С.О. Томографическое представление в квантовой механике // Физическое образование в вузах (приложение). Труды конференции-конкурса молодых физиков, XVII (2011), №1, 23.
4. Wigner E.P. On the Quantum Correction for Thermodynamic Equilibrium // Phys. Rev., 40 (1932), 749-759.
5. Beck M., Smithey D.T., Raymer M.G. Experimental Determination of Quantum-phase Distribution Using Optical Homodyne Tomography // Phys. Rev. A., 48 (1993), 890-893
6. Левитов Л.С. Функции Грина. - М.: Физматлит. 2002 - 352 с.