CC BY
32
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2009, том 52, №4___________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, С.Б.Вакарчук , Р.Мамадов ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СРЕДНИХ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
В работе найдены точные значения средних у -поперечников для некоторых классов целых функций, определяемые модулями непрерывности т -го порядка.
Для любого неотрицательного вещественного а через Нст обозначим множество всех целых функций степени не более а. Множество всех целых функций /(2) е На таких, что /(л) е £2 (Ш),М = (—»,+») является линейным нормированным подпространством с нормой
Л» V72
\\Д = I 11 /(л) 12^
V—» у
рассматривалось Винером-Пэли [1] и обозначается через .
Известно [1], что любая функция вида
1 а
/(2) =-= Г ё™ф(и)йи,
Ы2ж —а
где ср(и) е Ь2 (—а,а), принадлежит подпространству , причем
Щ(М) II' Щ(-а,а)
Символом
Аа (f) = Аа (f, Ь,(Щ) = inf И f - g*||: g„ є Waj
обозначим наилучшее приближение функции f (x) є Ь2 (М) целыми функциями gCT (z) є Wa .
До недавнего времени подпространство W было изолированным и в некотором смысле единственным аппаратом приближения в L2 (М). Введение Г.Г.Магарил-Ильяевым [24] определения средней размерности, явившейся определенной модификацией соответствующего понятия, данного ранее В.М.Тихомировым [5], позволило определить асимптотическую структуру подпространств, подобную поперечникам, где роль размерности выполняет средняя размерность.
В результате этого оказалось возможным сравнивать аппроксимативные свойства подпространств Wa с аналогичными характеристиками других подпространств из L2 (М) той же
средней размерности и решать в L2 (М) экстремальные задачи теории приближения, имеющие оптимизационные содержания.
Прежде чем ввести необходимые характеристики, приведем ряд определений из работ [7], [2-4]. Пусть ВЬ2(Ж) есть единичный шар в £2(Ж): ВЬ2(Ж) = {/ є £2(Ж) :||/|| < 1};
Ьіп(Ь2 (Ж)) является совокупностью всех линейных подпространств в £2 (Я);
Ьіпп(£2 (Ж)) = {^ є Ьіп(Ь2 (Ж)) : йіт^ < п}, п є Ж;
й (А, С, Ь2(Ж)) = 8ир{іпГ {I х - у||: у є А}: х є с}
есть наилучшее приближение множества С с £2 (Ж) множеством А с £2 (Ж). Под А, Т > 0, понимаем сужение множества А с Ь2 (Ж) на отрезок [-Т, Т], а через Ьіпс (Ь2 (Ж)) обозначим совокупность таких подпространств ^ є Ьіп(Ь2 (Ж)) для которых множество (^ П ВЬ2 (Ж))т предкомпактно в £2 ([-Т, Т]) при любом Т > 0.
Если ^ є Ьіпс (£2(Ж)) и Т,є > 0, то существуют такие п є Ъ+ и М є Ьіпп(Ь2 (Я)), для которых
й((^ П В12 (Ж))Т,М, Ь2 ([-Т, Т])) < є.
Пусть
Б (Т ,^, Ь2(Ж)) =
= тіп{п є Ъ+ : ЗМ є Ьіпп (£2(Ж), й((^П ВЬ2(Ж))т,М, Ь2([-Т, Т])) < є}.
Данная величина, как доказал Г.Г.Магарил-Ильяев [2], не убывает по Т и не возрастает по є. Величину
Шт(7, Ь2(Ж)) = Нт{Нт т£{ВЕ(Т, 7, Ь2(Ж))/(2Т): Т ^ : е ^ 0},
где 7 е Ьтс (Ь2 (Ж)), называют средней размерностью подпространства 7 в £2 (Ж). В работе [3] показано, что
йіт(Жа; Ь2 (Ж)) = —.
п
Пусть М - центрально-симметричное подмножество из £2 (Ж) и V > 0 является произвольным числом. Тогда под средним V-поперечником по Колмогорову множества М в £2 (Ж) понимают величину
йv(, ^2(Ж)) =
= inf{sup{inf{||/-р\:ре7}: / е M}: 7 е Linc (Ь2(М), dim(7, L2(E)) <v}.
Подпространство, на котором достигается внешняя точная нижняя грань, называется экстремальным.
Средним линейным v -поперечником множества M в L2 (М) называют величину
г,№, L(M)) = inf {sup § / -/: / е m}: (X ,Л)}, где точная нижняя грань берется по всем парам (Х,Л) таким, что X есть нормированное пространство, непрерывно вложенное в L М) M с X; Л: X---------> L2 (М) является непрерыв-
ным линейным оператором, для которого ImЛеLinc (L2 (М)) и dim(ImK,L2 (М)) <v. Здесь 1тЛ есть образ оператора Л. Пару, на которой достигается нижняя грань, называют экстремальной.
Величину
bv(M, L2(M)) =
= sup{sup{p > 0: 7 П pBL2(М) с M}: 7 е Linc(L2(М), dim(7, L2(М)) > v,
dv(7 П BL2(R\ l2(R)) = 1}
называют средним v -поперечником по Бернштейну множества M в L2 (М). Последнее условие, налагаемое на 7 при вычислении внешней точной верхней грани, означает, что рассматриваются только те подпространства, для которых справедлив аналог теоремы В.М.Тихомирова о поперечнике шара. Этому требованию удовлетворяет, например, пространство Wa, если <j>vn [4].
Между перечисленными экстремальными характеристиками множества M имеют место следующие неравенства
bv(M,L2(E)) <dv(M,L2(E)) <Sv(M,L2(R)). (1)
Точные и асимптотически точные значения средних поперечников некоторых классов функций вычислены, например, в работах [1-4] и [6-7].
Через L2 \М) обозначим множество функций /(х) е L2 (М), у которых (г -1) -я производная /(г-1\х) локально абсолютно непрерывна и /(г\х) е L2 (М) . Нам понадобится следующее утверждение
Теорема 1 [5]. Пусть <у > 0 и m,г е N. Тогда для любого h е (0,kIg\ и произвольной не эквивалентной нулю функции /(х) е L\М) справедливо неравенство
(и Л — 1 Г и Л 1/2
2та2 } (1 — сова/ I -Ц аЦГ'; !)й[ .
Пусть Ф(/), / > 0 — произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0. Символом г)(Ф), г еМ, обозначим множество функций / е }(Ж), г-ые производные /(г) (/) которых удовлетворяют условию
к
ж
f',t)sin-tdt <Ф2(Н)
0
для любого к є (0, п].
Теорема 2. Пусть для заданного Лє (0,1) и для всех чисел л є (0,ю), к є (0,п] функция Ф(/) удовлетворяет условию
Ф2
где
( 7 \мж Лл
—h || (І - cos v)m sin vdv<&1 (h) J (І - cos v)m sin vdv, (2)
Jо № о Л
(1 — cosу)» = {(1 — cosу), если 0 <у<ж; 2 если у> ж}. Тогда для любого у > 0 имеют место следующие равенства
жужт, гг=л„(жг(ф))=
' — v . \
-r| Г Ґ* Л т -vt
І/2
= TmnKr If (1 - cosvt)m sin—dt ■ vr Ф (Л/v), (3)
l о Л J
где nv - любой из средних v-поперечников: бернштейновский bv(■), колмогоровский dv(■) или линейный §v(■);
aawd=suprw): / е wm.
При этом пара (L2 (М),\л/), где Лул/ определяется из условия
,■) = Хул (Ж/,■)
( 3- преобразование Фурье в L2 (М), %vn - характеристическая функция интервала (-vtt,w) ), будет экстремальной для среднего v-поперечника gv(■), а подпространство WVJl является экстремальным для среднего v-поперечника по Колмогорову dv(').
Доказательство. Из результатов [3,4], следует, что средняя размерность пространства
Wv* равна
ё1т(Жу„; Ь2(Ж)) = у. (4)
Полагая к = жЛ/а, для произвольной функции / е Кг)(Ф), из теоремы 1 получаем
жЛа
Ает (/) < 2~т/ 2а— | — (1 — сова/)т Бт й/ Ф(жЛ/а).
\
1/2
-т/2 — г
I 0 Л ,
Полагая в этом неравенстве а = ж и учитывая (4), запишем
&(Ж,Г) (Ф), Г(Ж)) < А,, (Г (Ф)) <
ч— 1/2
Л у
<
2—т/2ж г| — (1 — совжу/)т Бту~гФ{Л/у).
(5)
Вычислим оценку снизу для среднего у-поперечника по Бернштейну класса Кг)(Ф).
йё/
Для этого полагаем ах = уж(1 + е), где е > 0 есть произвольное число, и рассмотрим шар
Ва„л = К, Пр,ВЬ2(Щ = д е Жа : ||д|| < р
радиуса
жЛа
—1/2
р = 2 т/2а1ГI — (1 — сова-)т Бт
Л
V 0 У
При этом [3]
СуК П М12(Ж), 12(Ж))=1.
Согласно теореме Винера-Пэли произвольный элемент д е К представим на Ж в следующем виде
1 а
д (х)=-^= — ё'Х-)с,
где (ре Ь2[—а^аЦ.
Учитывая, что
Ат (д,л) =
1 а
-= — ёгх/ (ёг/к — 1)тр(/)й/ уг^—а
получаем
А т (д ,-)|| = 2т — \р(/) \2(1 — сов к-)тС-
(6)
Далее положим
а
—а
(1 -cos —h\ = {1 -cos —h, если 0 < h <л/а1;2, если h >л/а1}.
Из геометрических соображений следует, что при 11 \< — имеет место неравенство
1 - cos ht < (1 - cos —h)„.
Используя данное неравенство и соотношение (6), из определения модуля непрерывности m -го порядка получим
am(g, t) < 2m(І - cos—і-)” ||#|| . (7)
В силу неравенства С.Н.Бернштейна для целых функций g є Wa запишем
||g'r II IH |. (8)
Из (7)-(8) имеем
<($"),t) < 2m(1 - cos—.!):—; Wf. (9)
Покажем справедливость включения В с W(r) (Ф). Для этого умножим обе части
ж
неравенства (9) на sin—t и проинтегрируем по t в пределах от О до h і
h
h
f®l(g(r), t)sin ж tdt <
О h
h
< I”—2 hi|2 f (1 - cos—t): sinжtdt. (10)
О h
Учитывая принадлежность элемента g шару Ва , из (10) получаем
аі ,p'
h
,2(r,(r )
f®:(g(r), t )sin—tdt
О h
<
f (1 - cos—t): sin ж tdt
Ф
пЛ
f (1 - cos— t)m sinпtdt о Л
Сделаем в правой части (11) замену переменной <Jxt = v :
h
f®l(g(r),t)sinжtdt <
О h
\—1 J
(11)
сг, h
— v
f (1 -cosv)m sin---------dv , x
J V '* h rr f
\G1 J
„ h d1 I —Л
<—>--------------------1----Ф
—Л
f (1 -cosv)m sinVdv
о Л
Полагая —h— = 1 /р, из (12) и ограничения (2) получаем
h
(12)
f®l(g(r),t)sin—tdt < 0 h
—
Г V
f (1 - cos v)m sin — dv
<—x---------------—Ф( h )•
f (1 - cos v)m sin — dv
о Л
Воспользовавшись определением v-поперечника по Бернштейну, запишем
b v(WmГ }(Ф), Ь2т — 2 v(/2 ,Л’ l2
> .................. \ 1/2 • (13)
2 т/ 2 г
—
Ф(Л/ v(1 + s))(v(1 + s))
fx (v(Us)) ( v ^
f (1 -cosvn(1 + s)t)m sin—(----------------— dt
^ о Л
Левая часть неравенства (13) не зависит от е> 0, которое в силу нашего выбора является произвольным числом. Учитывая сказанное и устремляя е к нулю, из (13) имеем
ЪЖ,' ’(ф), ^г(Я)) >
v-r Ф(ЛУ)
'' Xv / ^
2m2 — |^ f (1 - cos nvt)m sin 7—v- dt
Сопоставляя неравенства (5) и (14) и учитывая соотношение (1), получаем требуемое равенство (3). Теорема 2 доказана.
Теорему 2 в определенном смысле можно рассматривать как распространение благодаря понятию средней размерности результатов Н.Айнуллоева [9] с 2— -периодического случая на случай аппроксимации на всей числовой прямой R . Н.Айнуллоевым [9] было показано, что при m = 1 ограничению (2) удовлетворяет степенная функция ф (t) = tа, где —
— +1 < а < 3• Из доказанной теоремы 2 вытекает
Следствие. Пусть т = 1,Xg (0,1), v > 0, г g N - произвольные числа. Тогда справедливы следующее равенство
Kv(W(r)r l2(M))=rrr
(І -Л2)Л2а-1
І
.r+a-1/2 ’
где - любой из средних v-поперечников bv('), dv(О или §v(■).
Институт математики АН Республики Таджикистан,
*
Днепропетровский университет экономики и права, Украина,
Н«Н«
Канибадамский технологический техникум им. А.Кахорова
Поступило 27.01.2009 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Винер Н., Пэли Н. Преобразование Фурье в комплексной области, М., 1967.
2. Магарил-Ильяев Г.Г. - Успехи матем.наук, 1990, т.45, 2, с.211-212.
3. Магарил-Ильяев Г.Г. - Матем.сборник, 1991, т.182, 11, с.1635-1656.
4. Магарил-Ильяев Г.Г. - ДАН СССР, 1991, т.318, 1, с.35-38.
5. Тихомиров В.М. - Теория кубатурных формул и вычислительная математика. / Труды конференции по дифференциальным уравнениям и вычислительной математике, Новосибирск, 1978 - Новосибирск, 1980, с.183-188. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976, 304 с.
6. Вакарчук С.Б. - Изв. вузов. Математика, 1996, 1, с.1-4.
7. Vakarchuk S.B. - East Journal of Approximation, 2004, v.10, 1-2, p.27-39.
8. Мамадов Р. - Вестник ХоГУ, 2000, серия 1, 2, с.70-75.
9. Айнуллоев Н. - В сб.: Применение функционального анализа в теории приближений, 1986, 143 с.
М.Ш.Шабозов, С.Б.Вакарчук, Р.Мамадов ЦИМАТИ АНИЦИ ЦУТР^ОИ МИЁНАИ БАЪЗЕ СИНФ^ОИ ФУНКСИЯ
Дар макола кимати аники v-кутрхои миёна барои баъзе синфх,ои функсиях,ои бу-тун, ки ба воситаи модулх,ои бефосилагии тартиби m -ум муайян карда мешаванд, ёфта шудааст.
M.Sh.Shabozov, S.B.Vakarchuk, R.Mamadov EXACT VALUES OF MEAN WIDTHS OF SOME CLASSES OF FUNCTIONS
In this article was found the exact value of mean v-widths for some classes of entire functions, determined by modulus of continuity of да-order.
