Точные решения для скалярного поля в однородных изотропных космологических моделях и рождение частиц Текст научной статьи по специальности «Математика»

_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 153, кн. 3 Физико-математические пауки

2011

УДК 524.8

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ В ОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ

Представлен обзор точных решений для скалярного поля в задаче о рождении частиц в однородных изотропных космологических моделях.

Ключевые слова: скалярное поле, точные решения, рождение частиц.

1. Скалярное поле в однородном изотропном пространстве

Теория рождения частиц активно развивается с 70-х годов прошлого столетия и может иметь актуальные приложения к космологии и астрофизике [1]. В настоящей статье дан обзор случаев, допускающих точные решения задачи о рождении скалярных частиц в однородных изотропных космологических моделях. Используется система единиц, в которой Н = с = 1.

Рассмотрим комплексное скалярное поле ^(ж) массы т с уравнением движения

где V* — ковариаптпые производные в N-мерном пространстве-времени с метрикой дм, д = ёе^д*к), К - скалярная кривизна, £ = сош^ Значение £ = £с = = (Ж — 2)/ [4 (Ж — 1)] соответствует конформной связи с кривизной (£с = 1/6 при N = 4). Уравнение (1) конформно январиантно, если т = 0 и £ = £с.

Для однородного изотропного пространства-времени с метрикой вида

где й/2 - метрика (М — 1) -мерного пространства постоянной кривизны К = 0, ±1, полная система решений уравнения (1) может быть найдена в форме

J _ набор индексов (квантовых чисел), нумерующих собственные функции оператора Лапласа-Бельтрами _і в (М — 1)-мерном пространстве.

В соответствии с методом диагонализации гамильтониана [1] функции #а(п) должны удовлетворять следующим начальным условиям [2|:

МОДЕЛЯХ И РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ Ю.В. Павлов

Аннотация

(УгЧ + т2 + £Д) <£>(ж) = 0,

(1)

(в2 = (і2 — а2 (і) (И2 = а2(п) ((щ2 — (И2),

(2)

¥>(ж) = а (№ 2)/2(п) £а(п)Ф/(х),

(3)

где

£А/(п) + ^2(п) £а(п) = 0.

(4)

(5)

£А(По) = Мпо) £а(По). |5а(П0)| = ^ 1/2(По)-

(6)

Если квантованное скалярное поле находится в вакуумном состоянии для момента времени no j то плотность числа пар частиц, рожденных к моменту времени п > может быть вычислена (для N = 4и K = 0, — 1) по формуле [1]

= jSx^ д2 dA’ Sx^ = I^a(??) - ^9хШ2 / (4w). (7)

o

Как показано в [2], S\ ~ А-6 и интеграл в (7) сходится.

Заметим, что уравнение (4) с помощью подстановки g(n) = exp z(n) сводится к следующему уравнению относительно функции v(n) = Z(n)

v'(n) + v2 (n) + w2 (n) = 0, (8)

являющемуся одним из уравнений Риккати общего типа, решения которого, как правило, не могут быть выражены в конечном виде через элементарные функции. Поэтому число масштабных факторов а(п), допускающих точные решения, относительно невелико. В случаях, когда точное решение все же может быть найдено, оно выражается, как правило, через специальные функции: гипергеометрические, функции Бесселя и т. д.

2. Точные решения в космологических моделях с p = we

Уравнения Эйнштейна

Rik ~ \gikR = -87гGTik, (9)

с тензором энергии-импульса фоновой материи Tk = diag (e, —p,..., —p) в метрике (2) принимают вид

с2 + К 167rGt 1

a2 =(N-l)(N-2у ~^2

N3

где штрих обозначает производную по «конформному» времени п и c = a,/a.

Из (10) следует, что для p = we, ще w = const, плотность энергии фонового вещества изменяется по закону e ~ a-(1+w)(N-1), то есть уменьшается с ростом a при w > — 1, постоянна при w = — 1 и возрастает с увеличением ^ щ)и w < — 1. При K = 0 и w > — (N — 3)/(N — 1) из (10) получим

a = a0tq = a1if, q = "---—, /3=—^—, q Є (0, 1).

(N — l)(w + 1) 1 — q

Выражение для числа пар частиц Na(t) = n(t)a3(t), рожденных в объеме a3(t) tq

N-1

где і с = 1/т - комптоновское время. Тогда Ь(°) (і)/(1 — ?)№-1 - коэффициент пропорциональности между количеством рожденных пар частиц и числом причинно несвязанных областей Мс(і) = ((1— д) а(і)/і)№-1 в комптоновекпй момент времени после Большого взрыва. При 0 < д < 1 коэффициент 6(,0)(і^и ті ^ 1 не зависит от времени. В данном интервале д следующие два случая допускают точные решения уравнений для скалярного поля.

2.1. Точное решение для а(і) = ао\Д = а її). Модель с таким масштабным фактором является исключительно важной с точки зрения приложений, так как при К = 0 в четырехмерном пространстве-времени она соответствует радиационно-доминированной вселенной. Начальные условия для скалярного поля с конформной связью с кривизной могут быть поставлены при п ^ 0, то есть вбли-а=0

Решение уравнения (4) с условиями (11) может быть записано в форме [3]:

где Ф(а, Ь; г) - вырожденная гипергеометрическая функция Куммера, 6 = = А/(та(£с)) имеет смысл физического импульса в комптоповский = 1/т момент времени в единицах т, ао - произвольная вещественная постоянная. Представление (12) через функции параболического цилиндра дано в [4]. Асимп-

2.2. Точное решение для а{і) = ао#1/3 = Модель с таким мас-

штабным фактором при К = 0и N = 4- это вселенная с предельно жестким р = є уравнением состояния. Решение уравнения (4) с £ = £с и начальными условиями (11) при таком масштабном факторе [3. 4] есть

2.3. Точное решение для а(£) ~ £. При т = — (Ж — 3)/(Ж — 1) из уравнений Эйнштейна (10) следует, что а = ао£ = ахв00^. Если ао = 1 и К = — 1, то е = 0, и метрика (2) с таким масштабным фактором является плоской, а соответствующие координаты жй описывают часть пространства Минковского (см. в [5, § 113]). Четырехмерное гиперболическое пространство-время с а (4) = £ известно как вселенная Милна.

В метрике (2) с а = ао£ решение уравнения (4) с £ = £с и начальными условиями (6), заданными при т£ ^ 0, имеет вид

где Г(г) — гамма-функция, ао _ произвольная вещественная постоянная. Независимо от ао и К асимптотическое при т£ ^ 1 значение плотности рожденных квазнчастпц для N = 4 равно п(£) « т/(512п£2). Таким образом, отличный

Ы°)1 = І/'/А, д[(0) = гЛдА(0).

(Н)

тотическое значение

ЬІ/2 « 5.3 • 10-4 [4].

дх^ = \/Ы)2/3 + 62 СЛ6) Л/З ((М)2/3 + й'2)3/2) +

+ с2(5) 7_1/э (((ті)2/3 + ^2)3/2)] , (13)

где 7 (ж) - функции Бесселя,

<?і(<*) = Л/з (й'3) + г7_1/3 (й'3) , С2(6) = 7_2/з (<53) - М1/3 (<53) ,

Асимптотическое значение 61/3 « 8.1 • 10 4 [3].

от нуля результат имеет место даже для вселенной Милна, где гравитационное поле отсутствует и рождения реальных частиц происходить ие должно!

Действительно, пространственно-временной анализ рождения частиц с помощью корреляционной функции, проведенный в [6], показывает, что соответствующая корреляционная функция пары рожденных частиц экспоненциально мала на расстояниях, превышающих комптоиовскую длину волны частицы. Это свидетельствует о том, что рожденные квазичастицы в данном случае представляют собой виртуальные пары с характерной длиной корреляции 1 /т.

2.4. Пространство-время де Ситтера это четырехмерное пространство-время постоянной кривизны. Оно является решением уравнений Эйнштейна в пустом пространстве с космологической постоянной и обладает 10-параметрпческой группой симметрии 0(4,1), если скалярная кривизна Д > 0 (пространство де Ситтера 1-го рода), или 0(3, 2), если Д < 0 (пространство де Ситтера 2-го рода).

Выбирая специальным образом системы координат в пространстве де Ситтера, его метрику можно записать, например, в виде (2) с масштабными факторами 1) 3) для пространства де Ситтера 1-го рода и 4) для пространства де Ситтера 2-го рода:

Во всех этих случаях уравнение для скалярного поля (4) имеет точное решение. В случае 1), £ € (—те, +те) п € (—те, 0), решение уравнения (4) с условиями (6)

при по ^ — те имеет вид

Как показано в [7] методом пространственно-временной корреляционной функции, при m2 > (£c — £)Д рождающиеся пары квазичастиц следует интерпретировать как пары виртуальных частиц. Отсутствие рождения реальных частиц в пространстве де Ситтера подтверждается локальным характером вакуумного тензора энергии-импульса и равенством нулю мнимой части эффективного лагранжиана [1].

В случаях 2) 4), а также для аналогичных масштабных факторов, но с заменой п ^ 7П; Y = const, решение может быть выражено через гипергеометрические функции (см. в [1, § 9.5]). При y = 1 подобные масштабные факторы уже не описывают пространство де Ситтера. Так, например, пространство-время с масштабным фактором а(п) = 1/(H ch Yn) = sin(Y-H"t)/H эволюционирует между двумя сингулярностями.

2.5. Рождение частиц в космологии с фантомной материей. При

w < — 1 точное решение уравнения (4) существует для значения w = — (N + 1)/(N —

— 1) (w = —5/3 при N = 4). Масштабный фактор метрики в этом случае есть

а = aa/(—t) = а\/,J—ц. При t —*■ —0 имеется сингулярность Большого разрыва. Решение уравнения (4), удовлетворяющее условиям (6) при по ^ —те, имеет вид

Hn H H sin n

(2)

где HV (z) — функция Ханкеля, ao _ произвольная вещественная постоянная.

2 2 -22 / ч ~. /— / 7Г т а л ,/л д т / %т ал л _ \

9x(v) = -2^?vA exp^-—-1- г(Хг] + a0)J Ф(1 H-^— , 2 ; —2гХг/J,

где Ф(а, Ь; г) - вырожденная гипергеометрическая функция Трикоми, ао — произвольная вещественная постоянная. Для плотности числа рожденных частиц в N = 4 при і ^ —0 можно получить получим (см. [8]) п = т3/24п2. Несмотря па то что общее число рожденных частиц N^2) = п(і)а3(і) в лагранжевом объеме а3(і) неограниченно возрастает при і ^ —0, их обратным влиянием на метрику пространства-времени, как показано в [8]. можно пренебречь.

3. Точные решения в космологических моделях с р/є = const

Приведем краткий обзор масштабных факторов, допускающих точные решения уравнения для скалярного поля (4). Решения для метрик с

a(i]) = А + В th y?7, a(i]) = \]А + В А, В, 7 = const

выражаются через гипсргсомстрические функции (см. [1, § 9.5]. [9. § 3.4] ).

Метрика с масштабным фактором a(tj) = \]сщ2 + Ьц в четырехмерном пространстве-времени при n ^ b/a соответствует предельно жесткому уравнению состояния р = є. При n ^ b/a (K = 0) такой масштабный фактор соответствует радиационно-доминированной вселенной р = є/3. Решение уравнения (4) с £ = = £с для такого масштабного фактора может быть выражено через вырожденную гииергеометрическую функцию Куммера.

Однородная изотропная метрика с масштабным фактором

°(??) = °і tg7,? = °іу ехр і Є (0, +оо)

при малых временах описывает радиационно-доминированную вселенную а (і) « ~ у/2'уаіі, при больших временах вселенную де Ситтера о(#) « оі ехр7#/оі. Решение уравнения (4) для скалярного поля с конформной связью и начальными условиями при п ^ 0 выражается через гииергеометрическую функцию ^(а, Ь, с; г):

,, С °, Л 1+ л/1—4m2af / 72 )/2 т-,/ э 1 .9 Л . А .

<?(??) = —^(cos7?y)' v ; М а, Д о; sm“ 7J? + *—sm7?7x

VA V 2 / Y

Y

l3

X ^(«+^/3+^ ^;sin2 7»?)

,

где

a, /3 = 4

1^1 —

— ± у A2 — /7?2a2

Заметим, что если найдено общее решение уравнения (4) для скалярного поля.

a(n)

из него переопределением А может быть получено и общее решение для масштабного фактора о = -у/о2(»у) + b2. где b = const. Для примера рассмотрим модель с масштабным фактором

г(?;) = \Ja2?y2 + Ь2, —оо < < оо,

(15)

которая в асимптотических областях п ^ ±те соответствует (при N = 4) ради-ациоиио-домииироваииой космологии. Пространство сжимается до минимального масштабного фактора а(0) = Ь, «отражается» и вновь расширяется. Решение уравнения (4) с начальными условиями (6). определяемыми требованием

N/Nq

Рис. 1. Отношение числа рожденных частиц в модели (15) с параметром Ь по отношению к радиационно-доминированному случаю (Ь = 0)

диагональности гамильтониана в момент времени п = 0, подобно (12) и имеет

exp i («о + main2/2)

(A2 + m2b2)

2b2)1/4

где

+ hj\JA2 + m2b2 Ф I — — — d'2, — ; —vmaiif"

, (16)

A2

г262

2шо1

Влияние параметра Ь та интенсивность рождения частиц для случая т = 1, а = 1/2 показано та рис. 1. Видно, что при Ь ^ 0 число рожденных частиц

Ь=0

на возможность постановки начальных условий (6) при Ь = 0, п ^ 0, то есть в сингулярности для радиационно-доминированной модели.

Summary

Yu. V. Pavlov. Exact Solutions for a Scalar Field in Homogeneous Isotropic Cosmological Models, and Particle Creation.

The article presents a review of exact solutions for a scalar field in the problem of particle creation in homogeneous isotropic cosmological models.

Key words: scalar field, exact solutions, particle creation.

Литература

1. Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаиеико В.М. Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях. М.: Эпергоатомиздат, 1988. 288 с.

2. Павлов Ю.В. Некопформпое скалярное поле в однородном изотропном пространстве и метод диагопализации гамильтониана // Теор. и матем. физика. 2001. Т. 126,

1. С. 115 124.

3. Павлов Ю.В. Рождение частиц в космологии: Точные решения // Квантовая теория и космология: Сб. ст., поев. 70-летию проф. А.А. Гриба / Под ред. В.Ю. Дорофеева, Ю.В. Павлова. СПб.: Изд-во Лаборатории им. А.А.Фридмана, 2009. С. 158 171.

4. Мамаев С.Г., Мостепаиеико В.М., Старобииекий А.А. Рождение частгщ из вакуума вблизи однородной изотропной сингулярности // Жури, эксперим. и теор. физики. 1976. Т. 70. С. 1577 1591.

5. Ландау Л.Д., Лифттц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1988. 510 с.

6. Мамаев С.Г., Трупов Н.Н. Прострапствешю-времешюе описание рождения частиц в гравитационном и электромагнитном полях // Ядерпая физика. 1983. Т. 37.

С. 1603 1612.

7. Pavlov Yu. V. Space-time description of scalar particle creation by a homogeneous isotropic

gravitational field // Grav. Cosmol. 2008. V. 14, No 4. P. 314 320.

8. Pavlov Yu. V. On particles creation and renormalization in a cosmological model with

a Big Rip // Grav. Cosmol. 2009. V. 15, No 4. P. 341 344.

9. Биррелл H., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени.

М.: Мир, 1984. 356 с.

Поступила в редакцию 19.06.11

Павлов Юрий Викторович кандидат физико-математических паук, старший научный сотрудник Института проблем машиноведения РАН, г. Санкт-Петербург.

Е-шаіІ: yuri.pavlovemail.ru