CC BY
58
УДК 517.956
DOI: 10.18698/1812-3368-2016-5-4-17
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ НА ГРАНИЦЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ТРИКОМИ — КЕЛДЫША В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
О.Д. Алгазин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
Аннотация
Методом преобразования Фурье и методом подобия решена краевая задача Дирихле для многомерного обобщения уравнений Трикоми, Геллерстедта и Келдыша в полупространстве, в котором это уравнение эллиптично с краевым условием на граничной гиперплоскости, где уравнение вырождается. Решение представлено в виде интеграла с простым ядром, являющимся аппроксимативной единицей и автомодельным решением уравнения типа Трикоми — Келдыша. В частности, эта формула включает в себя и формулу Пуассона, дающую решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в полупространстве. Если заданное граничное значение является обобщенной функцией медленного роста, то решение задачи Дирихле можно записать в виде свертки этой функции с ядром (если свертка существует)
Ключевые слова
Преобразование Фурье, уравнение Трикоми, задача Дирихле, аппроксимативная единица, автомодельное решение, метод подобия, обобщенные функции медленного роста
Поступила в редакцию 20.03.2016 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016
Введение. Рассмотрим многомерное эллиптическое уравнение в полупространстве
утДхи + иуу = 0, m>-2, у>0, (1)
где я = ( хь ..., %п )е Мп , у > 0; u = u ( х, у ) — функция переменных ( x, у )е Ж"+1; д2 д2
Дх = —- +... +--2--оператор Лапласа по переменным ж.
дх1 дХп
При п = 1, т = 1 получаем уравнение Трикоми уихх + Ыуу = 0, при п = 1, т > 0 — уравнение Геллерстедта утихх + иуу = 0, т > 0. При п = 1, т < 0 уравнение (1) можно записать в виде
ихх + у-тиуу = 0, 0 < -т < 2,
что представляет собой частный случай уравнения Келдыша [1]. Эти уравнения применяют в трансзвуковой газовой динамике и в математических моделях холодной плазмы [2, 3]. При т = 0 получаем уравнение Лапласа Ди (х, у) = 0.
Ограниченное (при у ^<х>) решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в полупространстве
Ди (х, у) = 0, х е Ж", у > 0, и(х,0) = у(х), хеЖп, представим интегралом Пуассона [4, 5]
Г((п+1)/2) г г)
(( - А2+у2)
u (x y )= _(n+i)/2 j 7---r^nrivt dt■
_ ' шп л2 , ..2 \v '
Аналогичную формулу можно вывести при решении задачи Дирихле для уравнения типа Трикоми — Келдыша (1) с помощью преобразования Фурье по переменным в граничной гиперплоскости у — 0 в случае т — 1 и методом подобия при т > -2. В такой формуле в частности содержится интегральная формула Пуассона (т — 0), которую также можно получить с помощью преобразования Фурье. Для -2 < т < 0 ранее эта формула была получена методом преобразования Фурье в работе [6] Л.С. Парасюком. В случае т > 0 при вычислении многомерных преобразований Фурье возникают большие трудности (кроме случая т — 1, рассмотренного далее). В связи с этим применим метод подобия. С его помощью найдем автомодельное решение уравнения (1) для любого т > -2, которое является аппроксимативной единицей в пространстве интегрируемых функций. Решение задачи Дирихле представим в виде свертки этого автомодельного решения уравнения (1) с граничной функцией (если свертка существует). Из общих свойств аппроксимативной единицы следует, что в случае ограниченной кусочно-непрерывной граничной функции эта свертка записывается в виде интеграла и дает классическое решение задачи Дирихле. В случае, например, граничной функции, являющейся обобщенной функцией медленного роста, свертка позволяет найти обобщенное решение задачи Дирихле. В частности, ядро представляет собой решение задачи Дирихле, где граничной функцией является дельта-функция Дирака.
Отметим, что методом подобия получены фундаментальные решения для оператора Трикоми (т — 1, п — 1) в работах Х. Баррос-Нето и И.М. Гельфанда [7-9] и методом преобразования Фурье (т — 1, п > 1) в работе Х. Баррос-Нето и
Ф. Кардозо [10]. Методом преобразования Фурье в работах [11, 12] были решены задачи Дирихле и Дирихле — Неймана для уравнения Лапласа и Пуассона в многомерном бесконечном слое.
Постановка задачи. Обозначения. Введем следующие обозначения:
х = (хь...,хп)еЖ", (х,у) = (хь ..., хп, у) е Ж-1, у е Ж; х — х | +... + х2 > хг — х^! + ... + х^п > ^х — йх1 ... йхп >
Р (£ ) = Т [/](£ ) = | / (х )ешйх.
к«
Здесь Р (£) — преобразование Фурье суммируемой функции / (х). Если суммируемая по х функция / (х, у) зависит от переменных х и у, то ее преобразование Фурье по х обозначим как
Тх [/](,у)= I/(х,у)е^х.
л"
Аналогично определяем обратное преобразование Фурье суммируемой функции Р ( )
/(х) = т-1 [Р](х) =-1- I Р(£)е (2я) Кп
и суммируемой по £ функции Р (t, у)
ТГ1 [Р](х,у)= | Р(,у)е. (2п) кп
Определение преобразования Фурье обобщенных функций медленного роста приведено в работе [13].
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения типа Трикоми — Келдыша
утДхи + иуу = 0, т>-2, хеЖп, у>0; (2)
и(х,0) = у(х), хе!п; (3)
и (х, у) ограничена при у (4)
Решение задачи Дирихле для уравнения типа Трикоми при т = 1 методом преобразования Фурье. Имеем
у Дхи + иуу = 0, х е Жп, у > 0; (5)
и(х,0) = у(х), хе!п; (6)
и (х, у) ограничена при у (7)
Применим преобразование Фурье по х к уравнению (5), обозначив и(у) = Тх [и](у), ¥(£) = Т[у](£). Получим краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения с параметром £ е Жп:
-у\£\2 и(,у) + иуу (,у) = 0; и (£,0) = ¥( £); и (у) ограничена при у ^оо.
Это уравнение Эйри, общее решение которого запишем через функции Эйри:
U (t, y) = ci (t) Ai (|t|2/3 y) + C2 (t) Bi (|t|2/3 y).
Поскольку
lim Bi (|t|2/3 y) = » и Ai (0) = —-1--,
y^» V 1 У> У) 32/3Г (2/3)
с учетом граничных условий получим решение краевой задачи
U (t, y) = 32/3Г (2/3)Т (t) Ai (|t|2/3 y).
Применив обратное преобразование Фурье, найдем решение исходной задачи Дирихле для уравнения типа Трикоми (5)-(7) в виде свертки (если свертка существует)
u(x,y) = y(x)*kn (x,y), (8)
где kni (x,y) = 32/3Г(2/3^ [Ai(|t|2/3 y)](x,y) - ядро.
Обозначим |x| = r, | t| = p, an_1 — площадь единичной сферы в пространстве
Жп. Для вычисления обратного преобразования Фурье перейдем к сферическим координатам и учтем, что для положительных значений аргумента функция Эйри выражается через функцию Макдональда
Ai(p2/3y) = -Lp1/3 yfy K1/3 (2/3y3/2p), y > 0.
_v 3
Имеем
kn1 (x,y) = 32/(Г(2п/3) J Ai(t|2/3 y)xtdt =
(2n) Kn
_ J _
= 32/3Г (2/3)^n_1n jAi (p2/3y) pn/2dp J e->rPcos 0 sinn_2 9d9 = (2_) 0 0
=77)^ J Ai (p2/3 y )pn/2 /n/2 _1 (rp)dp = (2_) r 0
= 32/3Г (2/3 ^ » K1/3 (2/3 y 3/2p)p1/3 +n/2 /n/2 _1 (Ф )dp,
(2_)n/2 rn/2 _W3
где ]п/2 -1 (гр) — функция Бесселя первого рода порядка V — п/2 -1. Приведенная формула справедлива и при п — 1, что легко проверить. Последний интеграл выражается через гипергеометрическую функцию Р [14]:
\Km (2/3 у3/2р)р1/3+п/2]пП(rp)dp_
3п+1/3Г (п/2 +1/3 W п 1 n п 9r2 4 Fl —+ -, —; —; --
2п/2+1 у 3n/2+1/2 ^ 2 3 2 2 4 у3 _ 3п+1/3Г(п/2 +1/3)) + 9т_
~ 2п/2+1 у 3п/2+1/2 I 4 у 3
Окончательно получаем выражение для ядра
кп1 (Х, у )_ сп1--у п/2+1/3 , x е к, у > 0
(4у3 + 9 |x| )
_ 3п+1/2Г(2/3)Г(п/2 +1/3)
Сп1 _ 2Ш Лп/2+1 .
Ядро имеет следующие свойства при у > 0:
1) кп1 (x, у )> 0;
2) J кп1 (x,у)dx _ 1;
кп
3) для V6 >0, lim supкп1 (x,у)_0.
у^+0 |x| >8
Свойство 1 очевидно. Свойство 2 следует из того, что преобразование Фурье от кп (x,у) есть 32/3Г(2/3)Ai(|t\2/3 у),
J кп1 (x,у)e'xtdx _ 32/3Г(2/3) Ai(|t|2/3 у).
Полагая £ = 0, получаем
| кп1 (х, у) йх = 32/3Г (2/3) А1 (0) = 1.
К"
Свойство 3 вытекает из того, что кп\ (х,у) монотонно убывающая функция |х|.
Перечисленные свойства означают, что кп\ (х,у) — аппроксимативная единица, или б-образная система функций х (с параметром у), при у ^ +0, кп1 (х, у) слабо сходящаяся к б-функции б (х).
Если х) является ограниченной кусочно-непрерывной функцией, то свертка (8) существует и записывается в виде интеграла
и (х,у) = с"1 I -¥(£) у2, п/2+1/3 л.
кп (4у3 + 91 х - £ | )
к
Поскольку ядро интеграла — аппроксимативная единица, запишем равенство lim u(x,y) = y(x) в точках непрерывности y(x), которое означает, что
y^+0
интеграл представляет собой классическое решение задачи Дирихле.
В случае обобщенных функций медленного роста x) е для кото-
рых свертка существует, функция u(x,y) = у(x)*kn1 (x,y) является обобщенным решением задачи Дирихле:
lim u(x,y) = y(x) в 5'.
y^+0
Например, если x ) = 5( x), то решением задачи Дирихле будет ядро интеграла
u (x, y ) = 5(x )*kn1 (x, y) = kn1 (x, y), lim kn1 (x,y) = 5(x) в 5'.
y^+0
Если x )е Lp ( Mn ), 1 < p <», то согласно свойствам аппроксимативной единицы [5] имеем lim u(x,y) = v(x) для почти всех x, если p <», то u(x,y)
y^+0
сходится к x) по норме Lp (Mn ) при y ^ +0.
Для n = 1 интеграл, дающий решение задачи Дирихле для уравнения типа Трикоми (5)-(7), имеет вид
) = 33/2Г(2/3)Г(5/6) » yу(t)
l\x, у>~ _3/221/3 j / , / ,4 5/6 al ■
_ 2 » (4y3 + 9 (x _ t)2)
Ядро интегрального представления решения задачи Дирихле для многомерного уравнения типа Трикоми, которое является аппроксимативной единицей:
> / \ у 1 ( |х|
кп1 (х, у ) — Сп1~-_ .п/2+1/3 —-п/7 ф| -73/2-
/ , ,, \ n/2+1/3 .,n3/2 ■ .,
(4y3 + 9|x| ) y V y
где
( \ Сп1
ф(г)—(¡С)13,
т. е. ядро кп\ (х, у) — автомодельное решение уравнения типа Трикоми, которое можно найти методом подобия [15, 16]. Решим указанным методом задачу Дирихле для уравнения типа Трикоми — Келдыша.
Решение задачи Дирихле для уравнения типа Трикоми — Келдыша при т > -2 методом подобия. Найдем ядро интегрального представления решения
задачи Дирихле (2)-(4), являющееся аппроксимативной единицей, в виде автомодельного решения уравнения типа Трикоми — Келдыша (2)
u (x, y) =—ф| — | , a> 0, ß> 0, (9)
1 I г — ф| ~
уа I у
где г = |х|, т. е. ищем сферически симметричное решение, зависящее только от |х| = г. Уравнение типа Трикоми — Келдыша (2) для сферически симметричной функции принимает вид
ут | игг + п—— иг | + иуу = 0, у > 0, т >-2. (10)
Для определения констант а и р выполним в уравнении (10) замену переменных и = С1и, г = СкТ, у = Су, С > 0, и потребуем, чтобы уравнение перешло само в себя. Получим уравнение в новых переменных
Ст+1-2к | игг + йт ^ + С1-2иуу = 0.
Для того чтобы последнее уравнение совпало с уравнением (10), примем т +1 - 2к = I - 2. Откуда
к _ т + 2, I — любое. 2
В новых переменных автомодельное решение должно иметь тот же вид (9)
и =—Ф| —Р
уа | ур
Возвращаясь к старым переменным, получаем
c a+i u =-ф
Сa+l i c-k
у- I ур
Для совпадения этого выражения с выражением (9) примем
о 1 т + 2 ,
р = к =-, а = -/,
2
т + 2
т. е. любое. Возьмем а = кп = п—-— . Из условия а>0, р>0 следует, что т > -2.
Будем искать решение уравнения (10) в виде
1 I г т + 2 „
и = уп Ф|уг) , к =— , т >-2. (11)
Точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения. Подставив функцию (11) в уравнение (10), запишем уравнение
(1 + к2г2) ф" (г) + ( п—1 + 2к2пг + к2г + кг Ц ф' (г) + кп (кп + 1)ф(г) — 0.
Выполнив в этом уравнении замену переменной 1 + к2г2 — для функции ф(^) найдем гипергеометрическое уравнение
№чмЦ 2+1+п+1+)>(«-( т+4п ]ф(^)—0
которое запишем в виде
^(1 -^)ф"(^) + (сЧ(а + Ь + 1))ф'(^)-аЬф(^) — 0, (12)
где
п , 1 п , п 1
с — — +1 +--; а — —; Ь — — +--.
2 2к 2 2 2к
Общее решение гипергеометрического уравнения (12) имеет вид
ф(^) — Ср (а, Ь; с; + С2^1-сР (Ь - с +1, а - с +1; 2 - с; —
— СрР(п, пп +1 ^ + С2^-п/2-1/2кр(0, 1 +1+-1; Л — 1 Г 2 2 2к 2 2к ) Г 2к 2 2к V
— С1РГп, п+ —п +1 +Л + С2^-п/2-1/(т+2) . ^ 2 2 т + 2 2 т + 2 )
Здесь Р (а, Ь; с; — гипергеометрическая функция. Возьмем частное решение (обозначим константу С как Спт)
С
— ^п/2+1/(т+2) .
Возвращаясь к старым переменным, получаем
С
, 2 ч n/2+1/(m+2) '
1+i mH1 r 2
Ф(г ) =
Константу Спт выберем такой, чтобы интеграл ф(|х|) по всему пространству Жп был равен единице. Переходя к сферическим координатам и обозначая через сп-1 площадь единичной сферы в пространстве Жп, находим
Cnm = Cnm /ф(x|)dx = ^n-1 J"
rn-1dr
On-1
t
n/2-1
-dt =
^n-12
n—1
2 \ n/2+1/(m+2) -2
riniri 1
m + 2
m + 2Y 0 (1 +1)n/2+1/(m+2^ (m + 2)n ^ n. 1
Г1 --
Здесь выполнена замена переменной
m + 2
2 m+2
r I = t и использована формула
7 ta—1 , Г (a) Г (b)
J-г— dt = V ч , a > 0, b > 0,
J /. ,\b+c ' 4
0 (1 +1)
Г (a + b)
где Г — гамма-функция Эйлера. Таким образом, имеем
(m + 2)n Г[- 1
C --
nm
2 m + 2
тсп/2 2n Г
1
m + 2
(13)
Автомодельное решение уравнения типа Трикоми — Келдыша, которое получено по формуле (11), обозначим как
knm (x, y )- уП(m+2)/2 ф Cnm y
г IX ^
У
(m+2 )/2
1(m+2
У +
2 \ n/2+1/( m+2)
Г m + 2 ^ | |2
, m > -2,
(14)
I 2
где Спт — константа, определяемая по формуле (13). При т = 0 получаем ядро Пуассона
Здесь
kn0(x, y) = --Cn°yi
(У2 + |х| ) Г((n+1)/2)
2\ (n+1)/2 '
Cn0 =
(n+1)/2
При т = 1 получаем ядро интегрального представления решения задачи Дирихле (5)-(7), найденное выше методом преобразования Фурье:
n
0 . Г m + 2
к
2
71
где
k ( )__C„iy__ 2"+2/3C„iy
knl{ X, y) _ ч n/2+1/3 _/ , и/2+1/3'
(y3 +9|x|2] (4У3 + 9|x| )
n+2/3 _ 22/33nГ(n/2 +1/3) _ 3и+1/2Г(2/3)Г(n/2 +1/3) _ C
2 Cn1 _ znttttm _ tt« _ c«1 •
л"/2Г (1/3 ) 21/3 Лп/2+1
Покажем, что функция knm (x, y), определяемая по формуле (14), является аппроксимативной единицей в пространстве интегрируемых в Жn функций, т. е. обладает следующими свойствами при y > 0:
1) knm ( x, y )> 0;
2) J knm ( X, y ) dx _ 1;
К"
3) для VS>0 , lim supknm (x,y)_0.
y^+° |x| >8
Свойства 1 и 3 доказывают так же, как и для m _ 1. Докажем свойство 2. Имеем
1 Г ы }
J knm (x, y)dx _ J „n (m+2 )/2 ф dx _ J^(l a )dt _ 1
y
y
Следовательно, решение задачи Дирихле для уравнения типа Трикоми может быть записано в виде свертки граничной функции x) с ядром knm (x,y) (если свертка существует)
u (x, y ) = y(x ) * knm (x, y ).
Если x) — ограниченная кусочно-непрерывная функция, то свертка существует и записывается в виде интеграла
u(x,y) = Cnm J --y 2)n/2.1/(m.2, dt.
Rn (ym+2 + (— + 2)/2)2|x_t| )
В точках непрерывности функции x) lim u (x, y) = v(x), т. е. интеграл
y^+0
представляет собой классическое решение задачи Дирихле.
Для обобщенных функций медленного роста x )е 5'(Mn), для которых свертка существует, функция
u (x, y ) = y(x ) * knm (x, y ) является обобщенным решением задачи Дирихле, lim u (x,y ) = v(x) в 5'.
y ^+0
Например, если x ) = S( x), то решением задачи Дирихле будет ядро интеграла
u (x, У ) =5(x )*knm (x, У ) = knm (x, y ), lim knm ( x, У ) = 5 ( x ) в S'.
У ^+0
Если x)e Lp (Kn ), 1 < p <7, то из свойств аппроксимативной единицы [5] следует, что lim u (x, У) = v(x) для почти всех x, если p <7, то функция
У^+0
u (x, У) сходится к x) по норме Lp (Kn ) при у 0.
Пример. В случае n = 1, m = -1 имеем задачу Дирихле для уравнения Келдыша
uxx + yuyy = 0, -7 < x <7, y > 0;
u(x,0) = y(x), 7 < x <7;
u (x, y) ограничена при y ^7.
Если x) — ограниченная кусочно-непрерывная функция, то решение этой задачи представим интегралом
.(x, у)_
-®|4у + (x-1) )
Возьмем
тогда
Г a, x < 0;
V(x Mb, x > 0,
и(x, у)_ 2ау j--dt /2 + 2Ьу j- dt
(4у + (x -1)2 )3/2 0 (4у + (x -1)2 )3/2
a + b b - a x ,,.-4
-+--1 . (15)
2 2 ^4у + x2
Легко проверить, что функция (15)
1) удовлетворяет уравнению Келдыша uxx + уиуу _ 0, у > 0;
2) ограничена |u(x,у)|<max(|а|, |b|), у > 0;
3) удовлетворяет краевому условию
, ч а + b b - a x Га, x < 0 lim и (x, у)_--1---.—¡- _ < _w(x).
у^+0 У П 2 2 x lb, x>0
В точке разрыва
a-
Нт и(0,у) =
у^+0 2
Заключение. Найдено точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения типа Трикоми — Келдыша в полупространстве. Решение записано в виде интеграла, обобщающего известную формулу Пуассона для уравнения Лапласа.
ЛИТЕРАТУРА
1. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. 1951. Т. 77. № 2. С. 181-183.
2. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: Изд-во Иностранной литературы, 1961. 208 с.
3. Otway T.H. Dirichlet problem for elliptic-hyperbolic equations of Keldych type. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2012. 214 p.
4. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 296 с.
5. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. 344 с.
6. Парасюк Л.С. Граничш задачi для елштичних диференщальних рiвнянь, що виро-ждуються на границ обласл // Украшьска академiя друкарства. Науковi записки. 1961. № 13. С. 65-75.
7. Barros-Neto J., Gelfand I.M. Fundamental solutions for the Tricomi operator // Duke Math. J. 1999. Vol. 98(3). P. 465-483.
8. Barros-Neto J., Gelfand I.M. Fundamental solutions for the Tricomi operator, II // Duke Math. J. 2002. Vol. 111 (3). P. 561-584.
9. Barros-Neto J., Gelfand I.M. Fundamental solutions for the Tricomi operator, III // Duke Math. J. 2005. Vol. 128(1). P. 119-140.
10. Barros-Neto J., Cardoso F. Bessel integrals and fundamental solutions for a generalized Tricomi operator // Journal of Functional Analysis. 2001. Vol. 183. P. 472-497. DOI: 10.1006/jfan.2001.3749
11. Алгазин О.Д., Копаев А.В. Решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в многомерном бесконечном слое // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2015. № 1. С. 3-13. DOI: 10.18698/1812-3368-2015-1-3-13
12. Алгазин О.Д., Копаев А.В. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в многомерном бесконечном слое // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 4. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812943 URL: http://mathmjournal.ru/doc/812943.html
13. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.
14. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.
15. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 256 с.
16. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005. 256 с.
Алгазин Олег Дмитриевич — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5).
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Алгазин О.Д. Точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения типа Трикоми — Келдыша в полупространстве // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5. С. 4-17. БО!: 10.18698/1812-3368-2016-5-4-17
EXACT SOLUTION TO THE DIRICHLET PROBLEM FOR DEGENERATING ON THE BOUNDARY ELLIPTIC EQUATION OF TRICOMI — KELDYSH TYPE IN THE HALF-SPACE
O.D. Algazin [email protected]
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation
Abstract
In the paper we solve the Dirichlet problem for a multidimensional equation by means of Fourier transform method and similarity method. The problem is a generalization of the Tricomi, Gellerstedt and Keldysh equations in the half-space, the equation is of an elliptic type with the boundary condition on the boundary hyperplane where equation degenerates. We present the solution in the form of an integral with a simple kernel. It is an approximation to the identity and self-similar solution of Tricomi type equation. In particular, this formula contains a Poisson's formula, which gives the solution of the Dirichlet problem for the Laplace equation for the half-space. If the given boundary value is a generalized function of slow growth, the solution of the Dirichlet problem can be presented as a convolution of this function with the kernel (if a convolution exists)
Keywords
Fourier transform, Tricomi equation, Dirichlet problem, approximation to the identity, self-similar solution, similarity method, generalized functions of slow growth
REFERENCES
[1] Keldysh M.V. On some cases of degenerate elliptic equations on the boundary of a domain. Dokl. Akad. nauk USSR [Proc. Acad. Sci. USSR], 1951, vol. 77, no. 2, pp. 181-183 (in Russ.).
[2] Bers L. Mathematical aspects of subsonic and transonic gas dynamics. N.Y., Wiley, 1958.
[3] Otway T.H. Dirichlet problem for elliptic-hyperbolic equations of Keldych type. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 2012. 214 p.
[4] Bitsadze A.V. Equations of mathematical physics. Moscow, Mir Publ., 1980. 318 p.
[5] Stein E. Singular integrals and differentiability properties of functions. N.J., Princeton University Press, 1970.
[6] Parasyuk L.S. Boundary problems for elliptic differential equations that degenerate on the boundary of domain. Ukrainska akademia drukarstva. Naukovi zapysky, 1961, no. 13, pp. 6575 (in Ukrainian).
[7] Barros-Neto J., Gelfand I.M. Fundamental solutions for the Tricomi operator. Duke Math. J. 1999, vol. 98(3), pp. 465-483.
[8] Barros-Neto J., Gelfand I.M. Fundamental solutions for the Tricomi operator, II. Duke Math. J., 2002, vol. 111(3), pp. 561-584.
[9] Barros-Neto J., Gelfand I.M. Fundamental solutions for the Tricomi operator, III. Duke Math. J., 2005, vol. 128(1), pp. 119-140.
[10] Barros-Neto J., Cardoso F. Bessel integrals and fundamental solutions for a generalized Tricomi operator. Journal of Functional Analysis, 2001, vol. 183, pp. 472-497. DOI: 10.1006/jfan.2001.3749
[11] Algazin O.D., Kopaev A.V. Solution to the mixed boundary-value problem for Laplace equation in multidimentional infinite layer. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2015, no. 1, pp. 3-13 (in Russ.). DOI: 10.18698/1812-3368-2015-1-3-13
[12] Algazin O.D., Kopaev A.V. Dirichlet problem solution for Poisson equation in a multidimensional infinite layer. Mat. i mat. model. MGTU im. N.E. Baumana [Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU. Electron. Journ.], 2015, no. 4. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812943 Available at: http://mathmjournal.ru/en/doc/812943.html
[13] Vladimirov V.S. Obobshchennye funktsii v matematicheskoy fizike [Generalized functions in mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1979. 320 p.
[14] Ryshik I.M., Gradstein I.S. Tables of integrals, series, and products. N.Y., Academic Press, 2007.
[15] Barenblatt G.I. Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics. Cambridge University Press, 2002.
[16] Polyanin A.D., Zaytsev V.F., Zhurov A.I. Metody resheniya nelineynykh uravneniy matematicheskoy fiziki i mekhaniki [Methods for solving nonlinear equations of mathematical physics and mechanics]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2005. 256 p.
Algazin O.D. — Cand. Sci. (Phys.-Math.), Assoc. Professor of Computational Mathematics and Mathematical Physics Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation).
Please cite this article in English as:
Algazin O.D. Exact Solution to the Dirichlet Problem for Degenerating on the Boundary Elliptic Equation of Tricomi — Keldysh Type in the Half-Space. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2016, no. 5, pp. 4-17. DOI: 10.18698/1812-3368-2016-5-4-17
