Точечные модели многомерных линейных динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517:519.71; 62.50

ТОЧЕЧНЫЕ МОДЕЛИ МНОГОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В. В. Осипов

POINT MODEL OF MULTI-DIMENSIONAL LINEAR DYNAMICAL SYSTEMS

V. V. Osipov

Применяя метод точечных представлений, строится точечная модель многомерной линейной нестационарной динамической системы, имеющая вид блочного векторно-матричного уравнения, в котором системная матрица играет роль передаточной.

Using the method of point representations, the point model is constructed multivariate linear nonstationary dynamic system, having the form of block vector-matrix equation in which the system plays the role of the transfer matrix.

Ключевые слова: метод точечных представлений, точечное моделирование, многомерные нестационарные динамические системы.

Keywords: method of point representations, the point modeling, multidimensional nonstationary dynamical systems.

Рассмотрим линейную нестационарную динамическую систему [1]:

оХ(т)

dx

■ + Т • А(т)Х(т) = Т • K(t)U(т);

(1)

tn =

(v = 1, N)

У (т) = С (т) Х (т) + Б(т)и (т), б^

приведенную к отрезку [0, 1] безразмерного времени т с параметром Т и имеющую q входов, г выходов и п фазовых переменных. Дифференциальное уравнение в (1) может быть заменено эквивалентным интегральным:

т т

Х (т) + Т | А( т) Х (т)Л = Т | К (т)П (т)с!т + Х0. (2)

0 0

Матричные функции А(т), К(т), С(т) и В(т) имеют размерности (пхп), (nхq), (гхп) и (rхq) соответственно, а

Х (т) = Со1оп[ х1(т),..х1. (т),.. хп (т)] есть п-вектор состояния (п-вектор - функция фазовых переменных); Х0 = Х(0) - вектор п начальных условий.

и (т) = Со1оп[и1 (т), ..и, (т),. ид (т)]

есть q-вектор входных сигналов (q-вектор - функция входа).

У (т) = Со1оп[ у1(т),..у (т),.. уг (т)] есть г-вектор выходных сигналов (г-вектор - функция выхода), причем, в общем случае, q Ф п, г Ф п и

q Ф г.

Будем предполагать, что все координаты векторов функций и элементы матриц в (1) как непрерывные (и, возможно, кусочно-непрерывные) функции определены при любых N в узлах чебышевских Ы-сеток I и II рода:

0(N) = — v N

б

(3)

т. е. это функции из М (0,1). Таким образом, будут определены все их точечные представления, в частности, на Ж-сетке I рода (3 а). Это будут блочные представления с элементами - блоками соответствующей размерности.

Для вектор-функций будем иметь:

Х(т) —^Хп = Соіоп [х( х[т?> ) • • )];

Цт)--Ц = Шоп[и()]; б (• (4)

7(т) —иУи =шоп[у( У- • ;у(Ж У- • )].

Векторные блоки-компоненты этих точечновекторных изображений будут элементами алгебр ЛЯЖ„, АЯщ и ЛЯЖг соответственно [2], изометрически изоморфных соответствующим алгебрам А8рт А8рд и А8Рг сплайновых (ступенчатых) представлений, возникающим в результате гомоморфных пдтотображений функциональных алгебр АМИ, АМЦ и АМГ.Существуют, очевидно, и инволютивные элементы как элементы соответствующих алгебр:

X (т) и *(т)

Y *(т)«

еАМп

,ам q

: АМ *

-> Х„ є AR,

U„ є AR

Y ті є AR,

Точечные модели матричных функций представятся в виде блочных (квазидиагональных) матриц:

А( т) dn [А (т N) 1 = £>'аМИ«)!"-И«)!"-И«)р?

K (т)- dn [K (т N) (5)

С (т)- dn [с (t N); ] и £>(т)-£->£>„ [£>(<)].

а

Найдем точечную модель нашей динамической системы (1).

Имея в виду точечные представления интегральных преобразований вида

X

Т | Л(х)Х (х)ёх—— [ JN (г)® Еп ] Бк [ Л(< )]• Хп,

0

где [JN (і) ® Еп ] - блочная матрица реализующая

операцию интегрирования в векторном пространстве точечно-векторных отображений вектор - функции из Мп(0,1) [2,4,5], будем иметь:

Хп + [ JN (г) ® Еп ] • DN [А (т^} )] • Хп =

= [[N (г)® ЕП ]DN [К (т^>)) йп, а

Гп = DN [С (т^>)]•Хп + DN [D (т^})] йп. б

Первое из этих векторно-матричных уравнений есть точечная модель рассматриваемой линейно -динамической системы в важном частном случае, когда вектор Х(т) ее фазовых переменных оказывается и ее вектором выхода, т. е. когда С(т) = Еп, а D(т) = 0 и 7(т) = Х(т). В этом случае получаем точечную модель задачи Коши, при нулевых начальных условиях и К(т) Ф Еп. Это модель вида:

{£ ш +[JN (г) ® Е п ]DN [ АУ ]} Хп =

= [JN(г) ® Еп ]• DN [КV ]• йті, где для сокращения записи обозначено:

DN [А] = DN [Л(т™)] и DN [К ] = DN [К(тЩ1)).

Умножая обе стороны уравнения (6) на блочную теплицеву матрицу [(Еп -і) ® Еп], получим:

{ - г) ® Еп]+X0 [(ЕN+г) ® Еп] • DN [Аv ]}ХтI =

= ^0 [([ + г) ® Еп ]• [ ]ТІ.

А последующие преобразования [2] приводят модель к виду:

DN [ЕN + X0 А ]• ТN [Вv ] ХтІ =

= X0 [(ЕN + г)® Еп]• DN [ ]• йТІ, где

Ау = А(т N); К = К (С) (V = Щ;

(6)

(7)

Вv = (X 0 Аv+1 + Еп)-1 • (X 0 Аv - Еп) = = Х0Л - Еп (V = 1, (N - 1);

(8)

ТN [ ВV ] = ЕМп + (г ® Еп) • DN [ ] =

[ Е п

В, Еп

В.. Еп

В N-1 Е п

(9)

Необходимо иметь в виду, что запись матричного произведения (8) в виде дроби сделано ради его сокращения. Матрицы в произведении неперестановочны.

Из равенства (7) следует представление для

Хті :

Хті = Т¿[Б] • DN [(Х0Аv + Еп)-1 ]

•X 0 [(ЕN + г) ® Еп ]• DN [ ] ті.

Введем блочную матрицу WN(АviKv), полагая ^ А; К) = ^т ¿[ Bv ] •

^ [(Xo Л + Еп )-1 )• (10)

X [(ЕN + г )®Еп ]• DN [ ].

Тогда представление (9) запишется в виде Хті = WN (Л; К) йті = (Л) • DN [Kv ]-йп (11)

и, следовательно, матрица WN(АV; К,) (10), связывающая точечные изображающие вектора входа и ті и выхода Хті динамической системы, оказывается передаточной матрицей в пространстве точечных представлений временных сигналов, действующих в рассматриваемой динамической системе (рис. 1).

и ті

WN (Л; КV)

Хті

Рис. 1.

Обратные блочные матрицы в (10) имеют явные представления:

тN [ ву] =

DN [(Л + Ек )-1) = Diag [(Л + Ек )-1 ;• • •; (XoАv + Ек )-1 і - • - і (X0+ Ек )-1)

Еп

-В,

Е_

(-і)1' п« : (-іг2Пд

-в^

Е„

N-1 N-1 ■

(-і^-'П^ і= 1 (-і^Пд :••• ¿= 2 : О ф о : N-2 'ПЫ-\ : _5іу-і І Е”

(12)

(13)

і=1

1=2

Представление (9) для Хп (или (11)) есть решение уравнения (7), являющееся точечной моделью интегрального уравнения (2) (при х'0 = 0) - ее гомоморфным алгебраическим образом и, следовательно, оказывается точечным отображением решения этого интегрального уравнения, ассоциированным с чебышевской Ж-сеткой I рода (3а), при выбранных значениях параметров П и Х0 = Т/2Ы > 0.

Это, в частности, означает, что если существует хотя бы одно решение функционального уравнения (2) (и соответствующей задачи Коши), то будет существовать (при заданных N и П) соответствующее решение точечного уравнения (7) - его гомоморфного отображения, в силу отображения алгебр —^АБр„ ——АЯШ [2].

АМж-

Очевидно, будет верным и обратное утверждение: существование решения точечного уравнения (7) (при всяком конечном Ж, заданном П > 0 и заданной правой части) будет означать существование и его гомоморфного прототипа - решения интегрального уравнения (2), которое затем, по его точечному изображению, может быть представлено приближенно, в частности, в виде сплайновой (ступенчатой) модели [2].

Но существование решения точечного уравнения (3), т. е. представление (11) для Хп, означает существование и самой точечной модели интегрального уравнения (1), т. е. существование передаточной матрицы Щч(Ау; К) (10) рассматриваемой динамической системы.

Возникает вопрос: при каких условиях эта матрица будет существовать, обеспечивая алгебраическую связь вектора входа ип (4б), с вектором выхода Хл (4а) в форме точечной модели (11) динамической системы (1). Может быть доказана следующая теорема - теорема о существовании точечной модели линейной динамической системы (о существовании решения соответствующей задачи Коши для уравнения (2)).

Теорема 1. Если матричная функция [ *0 А(Тт) + Еп ] = [ *0А(т) + Еп ] ,(пхп), те [0, 1] (14)

с матрицей А(т) (пхп) - системной матрицы динамической системы (2), при некотором Т > 0 и всяком N (всяком Х0 = Т/2Ж > 0) окажется положительно определенной [3], то будет существовать точечная модель (11) такой системы с передаточной матрицей

ЩХА*; К) (10), т. е. представление вектора Хп , как точечного изображающего вектора решения функционального уравнения (2), описывающего поведение системы на отрезке [0, 1] (на временном отрезке [0, Т|).

Доказательство: положительная определен-

ность матрицы (14) означает положительную определенность квадратичной формы, построенной на этой матрице, т. е. выполнение условия:

([*•0А(т) + Еп ] П п) = Х0 (СОП п)+ II П11э2 > 0

при всяком ненулевом п-векторе "Л. Оно будет выполняться, если все угловые миноры матрицы (14),

включая и ее определитель, будут положительными (Критерий Сильвестра) [6]. Таким образом, положительная определенность матрицы (14) означает ее невырожденность и, следовательно, существование обратной матрицы [Х0А(т) + Еи]- те[0, 1] и всех обратных матриц - ее значений в узлах Ж-сетки

I рода:

[ *0А(т™) + Еп Г1 =(А + Еп ), ( = Щ

а также матриц (8):

В = (Аv+1 + Еп ) • (Аv - Еп ) ( = 1, (Ж -1)).

Это будет также означать и существование блочных матриц Вж[(ХА + Еи)-1] (12) и ТN [В,, ] (13) и системной матрицей Щ/А^ К) (10), а значит, и существование решения Хп точечного уравнения (7) при заданной правой части, как блочного вектора Ж-вектора.

По этому решению при всяком N и заданном Т может быть построено единственное сплайновое (в частности, ступенчатое) представление:

Бр1 (Хти ;т) = [ Х п, П N (т) ] ^—^ Х т

- элемента алгебры АБр„, являющееся гомоморфным лж-образом вектор-функции Х(т);

- решения уравнения (2) на отрезке[0,1] и элемента алгебры АМЖ. С ростом N гомоморфное пЖ-отображение алгебры АМЖ на алгебру АБрп сплайно-вых форм нулевой степени становится все ближе к их изометрическому изоморфизму, а элементы

Sp0N(Хп;т) из АБр„ будут все точнее представлять элемент Х(т) из АМЖ - единственное решение функционального уравнения (2) [3].Теорема доказана.

Замечание 1. Для выполнения условия теоремы достаточно положительной определенности на временном отрезке [0, Т] матрицы А(/) = А(Тт) = = А(т) те[0, 1], т. е. условия: (А(т)л,л) > 0, при всяком п-векторе л, отличном от нулевого и всяком Х0 = Т/2Ж > 0.

Замечание 2. Для однородной задачи Коши (2), когда К = 0, условие теоремы является необходимым и достаточным для существования единственного решения, определяемого заданным начальным

условием Х (0) = Х0 ——^ 1^ -1 ® Х0 и передаточной

матрицей:

ЩШ(А ;0)=ТЖ [ вv ] • вм [(*0 А + Еп )-1 ]• *0 [(Еп + г) ® еп ], имеющей, в этом случае, ранг Жп.

Рассмотрим теперь п-мерную линейную стационарную динамическую систему, как частный вариант системы (1), когда все ее матрицы (5) оказываются постоянными: ёХ (т)

ёт

+ ТА • Х(т) = ТК • и (т);

а)

т е [0,1]

У (т) = С • Х(т) + В • и(т). б)

(15)

Интегральное уравнение, эквивалентное дифференциальному в (15), имеет вид:

Х (т) + ТА | Х (т)4т = ТК | и (т)4т + Х0

(16)

и решение

т

Х (т) = т | е-

• К •и ©4 + Х0е-ЛТт; т є [0,1], (17)

представляемое при Х0 = 0 в виде интеграла свертки матричной функции е-ЛТт (пхп) тє[0, 1] и

п-векторной функции Ки(т).

Найдем точечную модель интегрального уравнения (15) при Х0 = 0, которую снова будем рассматривать как модель динамической системы (15), когда 7(т) = Х(т). Это модель (7) в рассматриваемом частном случае, когда матрицы (8) оказываются постоянными:

Л = ) = Д(пхи); К = К{<) = к,(гщ); (V =Щ а)

-В = Е+гЛг = =-В’(пхп); (V =ПЩ) б)

Еп + Еп +

а блочные матрицы в (7) получают представления:

[ Е +\А] = ^[Е +\Л] =

= [[ + ■ •;(ЕN + \Л);" •;(Е + ^И)] =

=[ ®Е + АвА)]; а) ■

DN [KV ]= DN [К] =

=^[[•••;к;---;к]=[ ®к]. б)

тN [Вv ] = тN [(-В)] = е№ + [г ® (-В)] =

'Ея

(-В) Ек

(-В) ЕИ

(-В) Е„

Сама же модель получает вид:

DN [Еп + ^Л] • ТN [-Б] • Хті =

= Аo [([ + г) ® Еп ]• (Еп ® К) •йті и, следовательно, будем иметь:

Хт I = Т N4 - Б ] • DN [ (Е п + X 0 Л)-1 ]•

•X0 [(ея + г) ® Еп ]• (Еп ® К) • й ТІ = (18)

= WN (Л; К) • йТІ.

Блочная матрица

WN(Л■; К) = ТN [-В]^[(Е„ + М)-1] ■

МЕ + г) ® Еп] (Еп ® К) (19)

является, очевидно, передаточной матрицей в рассматриваемом частном случае стационарной динамической системы (15). Она имеет блочную нижнетреугольную структуру, причем из (12) и (13), как частные случаи, следует:

DN [( + ^А) ] = [ЕN ® Е + XoА)-1 ]; а)

N -1 N-1 > (20)

ТN[-В] = Х[!v ® (-В)у] = Е[!v ® (^]. б)

Предполагается, естественно, существование обратной матрицы (Еп + Х0А)-1, т. е. выполнение условия теоремы 1 в рассматриваемом частном случае.

Все блочные матрицы в представлении (19) оказываются теплицевыми нижнетреугольными и, следовательно, перестановочны, поэтому (19), учитывая (20), может быть записано в виде:

(А; К) = * 0 [(Е„ + г) ® Еп ]•

N-1

•X [г ® (- В) ] • [Еп ® (Еп + * 0 А) ]-1 (Еп ® К) =

V = 0

= *0 [(Е„ + 2) ® Еп ]• ]п(А; к),

где

Щп( А; К) =

N-1 (21)

= Х[г ® (- В) ]• [Еп ® (Еп + *0 А)]-1 (Еп ® К).

V=0

Таким образом, вместо (18) можем написать для

Хп :

ХтI = (А; К) • ип =

= X 0 [(Е N + г) ® Е п ]• WN т і( Л; К) • и ті.

(22)

Этот блочный вектор есть точечное представление п-вектор функции Х(т) - интеграла свертки в (16) при Х(0) = Х0 = 0, ассоциированное с Чебышев-ской Ж-сеткой I рода (3 а). Возможно точечное представление этого интеграла, ассоциированное с Ж-сеткой II рода (3 б). Имеем, следовательно, следующую картину по точечным отображениям:

х

т е-ЛТ (т4) • Ки (04 =

т Хп =[Х(тГ);...;х(тЩ1 );•;x(тNN))); а)

= Х (т)г

т„ Хт = [Х(01Ж))■.■■■■.Х(0^)■.■■■■.Х(0™)]. ]

Но, как известно [4,5], смежные блочные точечные изображения связаны между собой соотношением:

[(Ем + г) ® Еп ] Хп: = 2 Хп, (Х0 = 0).

Подставляя сюда представление (22) для Хп, найдем следующее представление для Хт :

Хт = 2*0 •ЩЛИ(А;К)•йп. (23)

Таким образом, введенная матрица Щ^А; К) (21) со скалярным множителем 2*0 играет роль передаточной матрицы, связывая точечный вектор

входа ип, ассоциированный с Ж-сеткой I рода, и точечный вектор выхода Хт , ассоциированный со смежной с Ж-сеткой II рода в точечной модели динамической системы (16). Но такого рода функциональное равенство представляется в виде сверточного соотношения (17) (Х0 = 0), поэтому будем иметь:

v=0

т

Т | е-Ап(т-?} • ки(04 = Х (т) ——^ Хла =

0

= 2Х0 X [г [-1 ® е-АТт<"’ ](] ® К).

V=1

Сравнивая с (23), можно видеть представление (приближенное) для матрицы Щ^А; К) (21):

Щл (А1К) = ТN [-В] • [(Еп + *0А)-1 ] (Еп ® К) =

N -1

= X [г ® (-В)] • [Еп ® (Еп + *0А)]1 (Еп ® К) «

v=0

«X [ гv-1 ® (е-АТт" ’)] ( еп ® к ),

у=1

откуда следует равенство теплицевых матриц

TN [-В] • Dn [(Ея + ХоА)-1 ] = X [1 ® е-^ ] (24)

V=1

и соответствующее равенство их элементных блочных N-векторов, которое получим, если умножим (24) на блочный единичный N-вектор:

e(N\Еп) = (¿Г> ® Еп) = Colon[Еп i0i• i0 i• i0].

В подробной записи для правой теплицевой матрицы в (24) имеем:

№

-1 ® е- ^ -

е

- ATT N

•• '.е

-АТг\

е

=1

-АТг

С

Можно видеть, что элементный блочный ненциальной функции е-АТт, те [0, 1], ассоциирован-Ж-вектор этой матрицы (это ее первый столбец) есть ный с Ж-сеткой I рода, т. к. оказывается точечный изображающий вектор матричной экспо-

- АТт Tj v п , [ - АТт1N■ - ATz(VN ■ - ATtNN ) ] Vr7 v-1^, -

е ----— Colon [е 1 :••• ie V i — ie N ]=^ [Z ® е

Г( N )

(E„).

(25)

Далее для элементного блочного N-вектора левой теплицевой матрицы в равенстве (24) получим:

TN [-В]- Dn [(Ея + Х0А)-1 ]ё<N>(Еп) =

= (Еп + Х0А)-1 Colon[Еп i — i(-В)i — i(-В)V-1 i — i(-В)N-1 ] =

= (Еп + Х0 А) 1 Colon

Еп

.( Еп - ^0А \ .( Еп - Х0А Vм. /Еп - ^А^-1

Еп + Х0 А

Еп + Х0А

Еп + Х0А

(26)

Равенство блочных элементных векторов (25) и вида рациональных дробей методом точечных пред-(26) теплицевых матриц в (24) дает точечное пред- ставлений. В частности, были найдены точечные

^ 1 -АТт

ставление для матричной функции е . представления временных экспоненциальных ори-

В [2,5] были рассмотрены и решены задачи об гиналов простейших операторных дробей: обращении операторных изображений по Лапласу

F (р; а) =

1

□

- at t=Тт . - aTz Tj s-л i Г -

------= е ---------------------> е —j—> Colon е

р + а п

1 + Х 0 а

-•Colon

1 - Х 0 а 1 + Х 0 а

• • е-аХ0 (2v-1) •• е-аХ0 (2N-1) ]

1 - Х 0 а

1 + Х 0 а

(27)

V = 1

1

т. е. когда параметр «а» принимает различные комплексные значения и когда над операторным изображением Пр; а) и его оригиналом е~а‘, как функциями параметра «а», производятся аналитические операции, в частности, операция дифференцирования.

Отображения сохранятся и в том случае, когда параметр «а» окажется квадратной матрицей А, (пхп). В этом случае приближенное точечное отображение в (27) становится блочно-матричным и получает вид:

F(р; А) = —Е = е-А — > е-Ап ——

рЕп + А ч

- Х0 А (2v-1)

- Х0 A(2N-1)

(Еп + Х 0 А )

(28)

Итак, блочно-матричный 1-вектор в (28) есть элементный вектор блочной теплицевой матрицы

ТN [-В]-В« [(Еп + *0А)-1 ] =

N -1

= Х[ ® (-В)]]Еп ® (Еп + *0А)-1 ],

v=0

входящей в роли системной в состав передаточной матрицы (19)

Щ (А; К) = ТМ1 [- В] • В« [(Еп + *0 А)-1 ] •

•*0 [(Еп + г) ® Еп](Еп ® К)

линейной стационарной динамической системы

(16), связывающей, как уже отмечалось, точечные

изображения входа и (т) ——^ и т и выхода

-> Х т:

(29)

0(2«) = Л_, (к = 1,2N).

* 21

Так, в частном случае динамической системы, когда п-вектор Х(т) ее фазовых переменных совпадает с ее вектором выхода У(т), т. е. при С(т) = Еп и В(т) = 0, а также будем предполагать нулевые начальные условия: Х(0) = Х0 = 0 и и(0) = и0 = 0, точечная модель динамической системы, связывающая блочные точечные векторы входа

UT2N) = Colon [U (Х0) i • i U (Х0 k) i • i U (Х02N)] =

= Colon[ iUk i — iU2n]

и выхода

XTjN) = Colon [ X (Х0) i — i Х (Х0 к) i — i Х (Х02 N)] =

= Colon[x1:••• i xk i—i x 2 n ] определенные в узлах 2^сетки JJ рода

т_

2 N

T0k2N} • к = Х0к,(к = 1,2N), будет совпадать с

X (т)-

Хп = Щ (А; К) •и п.

В общем случае, нестационарной системы (1) введенное понятие передаточной матрицы сохранится, но системные матрицы (12) и (13) в ее составе уже не будут теплицевыми. Это будет нижнетреугольная блочная матрица вида (10), обобщающая вид (29) в стационарном случае

Щ (А;К V) = ТМ1 [Вv ] • Вм [(Еп + *0 А )-1 ] •

•*0 [(Еп + г) ® Еп ] [ ],

а также связывающая точечные изображения векторных сигналов входа и выхода (11) (рис. 1.):

Хп = щ (А; К) •ип.

Аналогично можно построить точечную модель динамической системы (1), ассоциированную с Че-бышевской 21-сеткой II рода

моделью для соответствующей Хп точечного решения рассмотренной ранее задачи при замене в нем ип на В2„ [Кк ]иТ(12Ж) с квазидиагональной матрицей вида

В2 N [ Кк ] = Biag [ К (*0)! • • •! К (*0 к)! • • •! К (*0 21)].

(30)

Ее матричные блоки К = (*0к), (к = 1,2N) имеют размерность (пхд).

Т. о., получаем точечную модель рассматриваемой динамической системы:

В2 N [2Еп + *0 А* ]• Т 2 N [а к ]• Х%Г > = = [(2N + г2« ) ® Еп ] *0в2м [к* ] • и™),

и, следовательно, представление «вход - выход» запишется в виде

Х{™) = Т--1 [ак ] • В2 N [(2Еп + *0 Ак ) ] •

•*0 [( + г2N ) ® Еп ] В2N [Кк ] • иТ^1 в котором введенная блочная матрица

Щ N (Ак; Кк) = щ N (Ак) • в2 N [ Кк ]

при

ЩN (Ак) = Т-1 [ак ] • В2N [(2Еп + *0 Ак) ] •

•*0 [(Е21 + г2N )® Еп ]

будет иметь смысл передаточной матрицы точечной модели системы (2). Заметим, однако, что, по-существу, роль передаточной, т. е. системной матрицы в точечной модели рассматриваемой динамической системы, играет выделенная явно блочная матрица Щ21(Ак) (31), т. к. лишь она определяется по

(31)

блочно точечным значениям Ak = A(Xo£), (k = 1,2N), системной матрицы А(т) (пхп) в (2).

Отметим еще, что в стационарном случае, когда А(т) = А = Const, тє [0, 1] и, следовательно, Ak = A, (k = 1,2N), системная матрица W2N(Ak) (31) точечной модели (30) получает более простой вид блочной нижнетреугольной теплицевой матрицы.

Литература

1. Директор, С. Введение в теорию систем /

С. Директор, Р. Рорер: [пер. с англ.] под ред. Н. П. Бусленко. - М.: Мир, 1974. - 464 с.

2. Осипов, В. М. Моделирование линейных динамических систем методом точечных представлений / В. М. Осипов, В. В. Осипов. - M.: МАКС Пресс, 2005. - 296 с.

3. Осипов, В. М. Положительная определённость и положительность функций. Элементы теории и некоторые приложения / В. М. Осипов, В. В. Осипов. - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2008. - 415 с.

4. Осипов, В. В. Точечное моделирование операции свертки / В. В. Осипов // Системы методы технологии. - 2009. - № 4. - С. 56 - 63.

5. Осипов, В. В. О связи точечных представлений функций и их изображений по Лапласу / В. В. Осипов // Вестн. Сиб. гос. аэрокосмич. ун-та: сб. науч.тр. Вып. 1(34). - Красноярск, 2011. - С. 56 -62.

6. Мишина, А. П. Высшая алгебра / А. П. Мишина, И. В. Проскуряков; под ред. П. К. Рашевско-го. - М.: Физматгиз, 1962. - 300 с.