CC BY
30
Сер. 4. 2009. Вып. 4
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 51-72, 539.182, 538.958
Е. А. Поляков, П. Н. Воронцов-Вельяминов, А. П. Любарцев
ТЕСТИРОВАНИЕ МЕТОДА СТОХАСТИЧЕСКОГО ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО Р-ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА МОДЕЛИ ОДНОМЕРНОГО БОЗЕ-ГАЗА С ДЕЛЬТА-ОТТАЛКИВАНИЕМ*
Введение. Одной из самых сложных и важных проблем теоретической физики является задача расчёта динамики квантовой системы многих взаимодействующих частиц. Решение данной задачи практически всегда является неизбежным этапом при сравнении квантовой теории с экспериментом. Тем не менее для сколько-нибудь сложной системы, обладающей сильно выраженным квантовым характером и (или) значительными межчастичными корреляциями, вполне удовлетворительного решения данной задачи в настоящий момент не существует. Действительно, все прикладные аналитичекие методы в конечном итоге сводятся к некоторому варианту теории самосогласованного поля, эффективно работающей в случае не сильно выраженных корреляций [1]. При помощи численных методов, основанных на прямом решении уравнения Шрёдингера (всевозможные разновидности сеточных методов), на данный момент возможно рассмотреть максимум задачу двух квантовых взаимодействующих частиц в трёхмерном пространстве (т. е. шестимерное конфигурационное пространство) [2]. Другие применяемые на практике численные методы либо сводят исходную квантоводинамическую задачу к некоторой эффективной классической динамике, что приемлемо лишь для почти квазиклассических систем, либо сводят задачу к случаю квантовой системе без взаимодействия с приближённым способом учёта корреляций между частицами [3]. Единственное исключение - это расчёты равновесных свойств квантовых бозе- и больцман-систем, содержащих до нескольких сотен частиц, со взаимодействием, где различные методы Монте-Карло (МК) позволяют получать строгие (с точностью до статистической погрешности) результаты. Для ферми-систем в состоянии, близком к вырождению, даже для вычисления равновесных свойств необходимо прибегать к существенным приближениям [4].
В связи с вышеописанной проблемой привлекает внимание метод стохастичесого положительного Р-представления (далее - Р^-представление) [5-8]. Этот метод, основанный на фундамельных соотношениях без привлечения каких-либо приближений, позволяет строго сформулировать систему стохастических уравнений для квантовой динамики и термодинамики системы многих частиц со взаимодействием, которые могут быть решены на компьютере МК-методами. При этом число уравнений (независимых переменных) зависит линейно от числа узлов сетки в одночастичном координатном пространстве. Более того, он позволяет единообразно проводить моделирование во мнимом времени (т. е. получать состояние теплового равновесия при заданной температуре и химическом потенциале в большом ансамбле) и квантовую динамику (т. е. эволюцию состояния во времени). Существует принципиальная возможность совмещать эти
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 08-02-00041) и Шведской Королевской академии наук.
© Е. А. Поляков, П. Н. Воронцов-Вельяминов, А. П. Любарцев, 2009
два этапа моделирования в одном процессе: приготовление начального равновесного состояния с последующей динамикой. При этом метод позволяет вычислять любые наблюдаемые, их пространственные и некоторые временные корреляционные функции.
В серии работ [5-9] данный метод тестируется и применяется для различных режимов системы, в последнее время вновь ставшей предметом многих исследований, - одномерного бозе-газа с дельта-отталкиванием. При попытке повторения этих результатов у нас в некоторых местах возникли расхождения. Более того, со времени опубликования работ [5-9] стали доступны новые аналитические результаты. Всё это побудило нас изучить метод Р(+)-представления и провести его тестирование путём сравнения (там где это возможно) результатов для энергии, плотности, локальных и нелокальных корреляционных функций с соответствующими аналитическими данными.
В то же время отметим, что моделирование одномерного бозе-газа с дельтаотталкиванием из первых принципов интересно не только чисто методически. Действительно, в течение длительного времени эта система была не более чем моделью, представляющей академический интерес для математической физики, поскольку эта модель допускает аналитическое рассмотрение при помощи анзаца Бете [10]. Однако сравнительно недавний успех в улавливании и охлаждении бозе-атомов щелочных металлов в сильно анизотропных магнито-оптических ловушках, в которых реализуется одномерная геометрия (когда квантовое движение в поперечных направлениях ограничено нуль-колебаниями) [11], возродила теоретический интерес к одномерной модели. В случае сильного взаимодействия в таких системах наблюдаются интересные физические эффекты (например, переход Хаббарда-Мотта в оптической решётке) [12].
Более подробное изложение некоторых аспектов этого метода Р-представления можно найти также в нашей работе [13].
Идея метода. Метод основан на понятии квантовой механики в фазовом пространстве [14-19]. Идея состоит в следующем. Пусть мы имеем квантовую систему с гамильтонианом Н, состояние которой описывается матрицей плотности р, и нас интересует поведение средней величины некоторого наблюдаемого {О(т)) от времени (либо обратной температуры) т. Тогда задача заключается в том, чтобы найти такое пространство параметров Х = (Хх,Хм) и такую всюду положительную с-числовую функцию Р = Р(Х, т), описывающюю состояние системы Н в зависимости от т, чтобы, во-первых, {О(т)) выразилось в виде среднего по Р,
(О(т)^ = ! ЛХО(Х)Р(Х) (1)
и, во-вторых, сама функция Р имела бы в качестве уравнения эволюции по т некоторое уравнение Фоккера-Планка,
дхР (X; т) = -дуАу (X) Р (X; т) + ^ с%с%,Оуу, (X; т) Р (X; т), (2)
где далее будет подразумеваться суммирование по повторяющимся индексам, а греческие индексы пробегают все М компонет вектора Х; (Х) - неотрицательная матрица.
Иными словами, надо построить некоторое соответствие
О I—► О (Х), р (т) I—► Р (Х, т), (3)
справедливое в любой момент времени т и обладающее свойствами (1) и (2).
Построив данное соответствие, можно использовать известное соответствие между уравнением Фоккера-Планка и стохастическим дифферинциальным уравнением
(СДУ) [20], согласно которому уравнению (2) отвечает стохастический процесс в форме Стратоновича:
1
Г
вК^ =
А* М — 7)Ву\1' дуВщ1'
вт + В^/ . (4)
Для этого уравнения функция Р (К, т) является плотностью распределения вероятности значений К (т) стохастического процесса в момент времени т. Здесь - приращения винеровского процесса, (вШ^ = 0, (вШ^вШ^*) = 5^*вт, В^* = В^В^. Таким обра-
зом, построив соответствие (3), можно было бы свести исходную квантовую задачу вычисления {О(т)) к задаче усреднения величины О(К) по классическому стохастическому с-числовому процессу в пространстве К, что на компьютере эффективно решается с помощью различных вариантов метода Монте-Карло. В этом случае функция Р(К) называется распределением квазивероятностей. При этом пространство К называется (обобщённым) фазовым пространством квантовой системы.
Метод Р(+) -представления даёт одно из возможных конструктивных решений задачи построения соответствия (3).
Модель исследуемой системы. В настоящей работе метод Р(+)-представления тестируется на системе одномерного квантового бозе-газа в различных режимах. Данная система в приведённых единицах [21] имеет гамильтониан
Н = ^ (х — Хз), (5)
3 г=3
где у - безразмерый параметр взаимодействия. В данных единицах линейная плотность бозе-газа р = 1. Термодинамическое состояние является функцией двух переменных - у и приведённой температуры Т (соответствует т в работе [21]). В случае большого ансамбля химический потенциал также является функцией ц = ц(у, Т), обеспечивающей равенство р =1.
Дискретизованное представление. В целях моделирования методом Р^-представления перепишем гамильтониан (5) в представлении вторичного квантования:
Н = J Лху + (х) [—дХ + уу+(х)у(х)] у(х), (6)
где операторы рождения у +(х) и уничтожения у(х) в точке х удовлетворяют коммутационному соотношению [у(х),у+(х')] = 5(х — х'). Производя дискретизатию интеграла в (6), определяем сетку с узлами хз на расстоянии Ах друг от друга в интервале [—жтах,жтах — Ах\. Вводим операторы рождения и уничтожения в узлах сетки 3 = у +( х^)л/Лх, ау = у\г(х^л/Ах, [а^а^] = 6^-. Дискретный (решёточный) гамильтониан принимает вид
^ = Е [~&$тзА + ’ (7)
з
где Т3 - дискретный аналог второй производной. Предполагается, что хтах выбрано достаточно большим, чтобы не влиять на удельные свойства рассматриваемой системы, а число узлов таким, чтобы заселённостями состояний с импульсами
к > ктах = п/Ах можно было пренебречь. Для вычисления действия оператора Т^ используется быстрое преобразование Фурье, поскольку оператор кинетической энергии диагонален в импульсном пространстве. В силу граничных условий базиса Фурье бозе-газ моделируется в периодической ячейке [—хтах,хтах].
Наблюдаемые. Наблюдаемые, которые вычислялись в данной работе, - это удельная энергия Е/М и первые три корреляционные функции. Они определяются следующим образом [22]. Удельная энергия
1 \ ' Г / ~\ I У
- энергия системы, приходящаяся на одну частицу при данной температуре Т. Корреляционная функция первого порядка
^ ^2___________________(5+^
®Г1С1 * \!
Она зависит от фазы волновой функции. Её модуль |д(1) | определяет степень простран-ственой когерентности первого порядка, а фаза даёт относительную фазу волновой функции на расстояниях хз. Корреляционная функция второго порядка
^ \аТаЧ \аТ+зсЧ+з)
определяет плотность вероятности найти две частицы на расстоянии хз друг от друга, т. е. аналог трёхмерной радиальной функции распределения. При х ^ 1 состояния частиц становятся нескоррелированными, числитель факторизуется, и д(2) (х) ^ 1 при х ^ ж. Значение д(2) (0) определяет величину флуктуаций концентрации. Корреляционная функция третьего порядка
л(3) / , N _ 1 \ ~~ ((4 п„ч
У \хз) — д т 7, /-+- \ /-+ - \ /-+ - \
«а) {аТ+заг+з) {аТ-заг-з)
определяет плотность вероятности найти три частицы в положении с координатами (х — хз ,х,х + хз). Аналогично предыдущей корреляционной функции, д(3) (х) ^ 1 при х ^ ж. Однако в силу конечности периодической ячейки, при хз > хтах/2 две из трёх частиц начнут сближаться, а одна из частиц, будучи в стороне, окажется нескор-релированной с ними. Поэтому при хз ж хтах будет наблюдаться краевой эффект: 9(3)(хз ) ~ д(2) (хтах — 2 \хз |).
Таким образом, в процессе моделирования достаточно накапливать средние
(а+ аг+]'), (а+а++з агаг+з) и (а+ а++з аЧ-з агаг+] аг.
Точное решение Янга и Янга. Более тридцати лет назад в работе [10] было найдено точное решение задачи об однородном одномерном бозе-газе с дельта-отталкиванием в большом каноническом ансамбле. Фактически данное решение даёт численный алгоритм для вычисления плотности состояний р (к) и спектральной плотности е(к). Для гамильтониана (5) алгоритм сводится к решению методом итераций пары интегральных уравнений
вд
1п[1 +ехр(—е (д) т)]
_ (I) +(к~<1)2
2jtp(fc){l+exp(e(fc)T)} = l+Y I ,„.2W 2- (И)
p (q) dq (2) + (k - qY
В результате можно вычислить плотность числа частиц р = J p(k)dk, которая в выбранных нами единицах равна единице и используется в качестве условия для настройки химического потенциала ц = ц(у, T) при заданных у и Т. Удельная энергия вычисляется как E/N = 1/р J р (k) k2dk. Удельная свободная энергия вычисляется из соотношения f = F/N = ц —(2ярт) 1 / ln [1 + exp (—6 (k) т)] dk. Относительно недавно в работе
[21] был предложен способ численного расчёта второй корреляционной функции в нуле, (0) = ■щр(д//ду)РгХ. Удельная энергия и значение корреляционной функции в нуле использовались нами для тестирования результатов.
В данной работе мы используем решение Янга и Янга для быстрой подстройки химического потенциала для удовлетворения условию р(Т = 1 [13]. Кроме того, в целях тестирования сравнивались значения р, E/N и g(2) (0) со значениями, полученными методом P(^-представления.
Первая корреляционная функция для идеального бозе-газа. Для идеального бозе-газа существует аналитическое выражение для первой корреляционной функции [23],
1 +™ eik(x-x')
(^ (х — х') = — [ dk
У 2jt J
______M'id
е Т - 1
Оно используется нами для тестирования д(1), вычисленной методом Р(^-представления. При этом температура Т берётся равной температуре взаимодействующего бо-зе-газа, а значение химическиго потенциала ^ подстраивается таким образом, чтобы д(1) (0) = 1. Как следует из результатов, приведённых ниже, всегда получается полное согласие в пределах статистического разброса с результатами Р(+)-представления. Это связано с тем, что найденное значение ^ аппроксимирует значение собственной энергии, ^ ~ ц + Е (0,0), где ц - химический потенциал бозе-газа со взаимодействием, Е (к, шп) - собственная энергия в зависимости от импульса к и мацубаровской частоты ю„ = 2ппТ [23, 24].
Р -представление для одномерного бозе-газа. В случае одномерного бозе-газа Р(+)-представление строится следующим образом. Для каждого оператора уничтожения и рождения а+ в точке хз вводятся собственные состояния |а3-) и (а^ |, а3-) = аз-|аз-), (аз- 1а+ = а*(аз-1 (когерентные состояния). Вводится набор операторов
a
j l^-J I ~ l^-Jh \^3 ~ “j ^3
следующего вида
exp(a3a+)l°jh\0jl exp(Pjai)
A(Q, а, в) = Q Ц
N«T,d OTnf n . ,
j=1 ехр(а^)
где 0) - основное состояние моды в точке х3, П - комплесный вес. При этом
ТгЛ(П, а, в) = П.
Поскольку операторы Л образуют избыточный базис в пространстве матриц плотности (соответствующих физическим системам), раскладываем матрицу плотности р в виде р = / d2NgIidad2NgIidвd2ПP(+)(П, а, в)Л(П, а, в). Функция Р(+)(П, а, в) и задаёт искомое представление в фазовом пространстве X = (П, а, в) размерности 4Жвг;а + 2.
Используя неоднозначность данного разложения, Р(+)(П, а, в) всегда можно сделать положительной [25].
Средние значения наблюдаемых. Если выразить наблюдаемое О через динамические переменные задачи, а+ и , О = Е стпР+та”, то для среднего значения в Р(+)-представлении имеем:
(О) =
TrO p Е cmn(Qeman + Q*a*mp*n )х
Tr p
(Q + Q*)i
(12)
Уравнения во мнимом времени: большой ансамбль [9]. Формулировка и проблема начальных условий. Состояние квантовой системы в большом ансамбле при заданной температуре и химическом потенциале задаётся матрицей плотности [23]
a = exp — ^H — ц (т) N^ т , где H - гамильтониан (5); полагаем, что химический потенциал ц (т) - произвольная гладкая функция обратной температуры [9]. Тогда можно показать, что a удовлетворяет уравнению
дхp = Це (т) N — Й p
(13)
где |іе (т) = ; х пробегает значения от 0 до Т 1. Чтобы избежать сингулярных
начальных условий при т = 0, зависимость це (т) выбирается в виде константы, равной це = Ц (г1-1) + [9]. В этом случае можно показать, что ц (Т1-1) = ц, т. е. при т = Т-1
имеем матрицу плотности, соответствующую заданным у и Т; при т = 0 имеем
p (т = О) = exp
—aj+pj
(14)
при этом заселённость каждой моды равна no = (exp (X) — 1) . Можно показать, что
(14) в P(^^-представлении соответствует [9] квазираспределение вида
P(+) (Q, a, в, О)
I Ngrid , ,2
j=1
(15)
Итак, при моделировании исходят из уравнения (13) с начальным условием (15).
Стохастические уравнения. Записывая (13) в дискретизованном виде, имеем
дтР = Е
pp.
(16)
Как показано в [9], в Р(+)-представлении данному уравнению движения соответствует следующая система СДУ в форме Стратоновича:
da,-
» 2y Y
[J-eOj + 2_^TjiO,i — —— ctj I ос J j + ——
' / U дж aj laj'Pjl + дж u-i
2Y
dCl -- ( !-l< "У ' $jaj + "У ' Tjifijdi + "У ' |c(j|3j | (|cij(3j | 2aj(3j) J dt +
3 3,г j
+ Дх _ laj'Pjl) (17)
3
Схема численного моделирования. Для расчёта термодинамических характеристик бозе-газа методом P(+)-представления при температуре T моделирование проводилось следующим образом. Для уменьшения дисперсии результатов вычислений в начальных условиях (15) заселённость мод п03) = no бралась такой, чтобы начальная плотность Т1т^оо была примерно в 10 раз меньше плотности р = 1 при температуре Т. Начальное условие для СДУ (17) генерировалось как
аз (0)= ЦХз) + ^УЛ, = аз (0)*, (18)
где ^x и ^у - независимые псевдослучайные величины, распределённые согласно нормальному закону N (0, л/2по). Для минимизации дисперсии результатов дополнительно применялась процедура существенной выборки, как описано в [9]. Затем для данного начального условия решалось СДУ (17) согласно неявной схеме [26, 27]. Повторяя данную процедуру для разных реализаций начального условия (18) S раз, получаем статистическую выборку реализаций (П (tf), a (tf), в (tf)) в момент мнимого времени Tf = Т-1. Среднее значение наблюдаемого (О) находилось путём усреднения по данной выборке согласно формуле (12).
Результаты моделирования: некогерентный классический режим, T > > шах{1, у2}. В данном режиме тепловая длина волны де Бройля Хт меньше всех остальных характерных масштабов и определяет поведение частиц на малых расстояниях [21]. На рис. 1а—г приведены первые три корреляционные функции. Первая корреляционная функция g(1) (x) сравнивалась с корреляционной фукнцией для идеального газа g^P (x) при той же обратной приведённой температуре Tf и плотности р (р = 1 в используемых нами единицах), рис. 1а. При этом поскольку при фиксированной плотности химический потенциал является функцией от температуры ц = ц (т), использовалась процедура подстройки химического потенциала идеального газа под заданное значение плотности р. Вторая корреляционная функция сравнивалась с аналитическим выражением, выведённым в работе [28] в первом порядке теории возмущений по параметру у,
д(2-) (х) = 1 + е-п ж ^(2т-) — yv^erfc \/п2х2/{2т)) .
Также значение g(2) (0) сравнивалось с результатом теории Янга-Янга, рис. 1б. Оно меньше значения g-P^) = 2 для идеального газа в следствие наличия отталкивания. На рис. 1в приведён график третьей корреляционной функции, для которой не существует теоретических выражений. Локальный максимум в окрестности x/Хт = 2, 5 есть влияние границы периодической ячейки, как описано выше. Подобные пики будут и в остальных рассматриваемых далее режимах. На рис. 1г представлен график удельной энергии E/N в зависимости от мнимого времени т (по которому происходит моделирование системы СДУ (17)). При обратной температуре т все величины согласуются с точными значениями из решения Янга-Янга в пределах статистического разброса.
Вычисления методом P(+) производились с шагом по мнимому времени т, Дт = = 1,25 х 10-4. Использовалась сетка с числом узлов Ngr;d = 80, размер периодической
x/X„
x/X,
'Зс
x/X„
bq
т x T
Рис. 1. Сравнение результатов вычислений методом Р(+)-представления е другими численно-аналитическими оценками для бозе-газа в некогерентном классическом режиме при Т = 4я • 1000, у = 5:
три сплошные чёрные линии (не всегда различимы на графиках) — результат вычисления методом Р(+)-представления с границами в три стандартных отклонения в обе стороны; а — первая корреляционная функция, 1 — метод Р(+), 2 — первая корреляционная функция для идеального бозе-газа при тех же Т и р = 1; б — вторая корреляционная функция, 1 — метод Р(+), 2 — асимпотическое приближение в первом порядке теории возмущений по у, 3 — значение д(2) (0) в нуле согласно решению Янга—Янга; в — третья корреляционная функция, 1 — метод Р(+); г — удельная энергия бозе-газа в зависимости от мнимого времени т X Т, 1 — метод Р(+), 2 — значение Е(Т)/(ИТ) = 0,4952 согласно решению Янга-Янга
в
г
ячейки xmax = 2, Б. Вычисление среднего (O) проводилось по ансамблю из S = 105 траекторий. На компьютере с процессором Intel Core 2 Quad CPU Q9450 для выполнения расчётов потребовалось 12 ч (использовалось одно ядро).
Результаты моделирования: фермионизованный невырожденный газ, 1 ^ ^ T ^ у2. В данном режиме газ не является вырожденным, но при этом одномерная длина рассеяния a\D гораздо меньше тепловой длины волны де Бройля Хт [21], так что наблюдается режим высокотемпературной фермионизации. На рис. 2а-г приведены первые три корреляционные функции (8)—(10). Первая корреляционная функция, как и в предыдущем режиме, прекрасно согласуется с корреляционной функцией для идеального бозе-газа. Значение g(2) (0) полностью согласуется с результатом теории Янга—Янга. Вторая корреляционная функция изменила свой характер по сравнению с предыдущим режимом. Теперь g(2)(0) является минимумом, максимум располагается
-6с
x/a
x/a
25
20
15
10
5
x/a
0,4 0,6
т x T
Рис. 2. Сравнение результатов вычислений методом P(+)-представления с другими численно-аналитическими оценками для бозе-газа в фермионизованном невырожденном режиме при T = 4я • 6GGG, у = 3GG:
три сплошные чёрные линии (не всегда различимы на графиках) — результат вычисления методом P (+)-представления с границами в три стандартных отклонения в обе стороны; a — первая корреляционная функция, 1 — метод P(+), 2 — первая корреляционная функция для идеального бозе-газа при тех же Ти p =1; б — вторая корреляционная функция, 1 — метод P(+), 2 — значение g(2) (0) в нуле согласно решению Янга—Янга; в — третья корреляционная функция, 1 — метод P(+); г — удельная энергия бозе-газа в зависимости от мнимого времени т x Т, 1 — метод P(+), 2 — значение E(T)/(NT) = 0,5013 согласно решению Янга—Янга
на некотором расстоянии, что обьясняется сильным расталкиванием частиц и возникающей тенденцией группироваться на определённом растоянии друг от друга. Третья корреляционная функция на рис. 2в имеет в окрестности нуля значительный разброс.
В этом режиме вычисления производились с шагом по мимому времени т, Дт = = 1,25 x 10~4. Использовалась сетка с числом узлов Ngrid = 36, размер периодической ячейки xmax = 7,56 . Вычисление среднего (O) проводилось по ансамблю из S = 105 траекторий. На компьютере с процессором Intel Core 2 Quad CPU Q9450 для выполнения расчётов потребовалось два дня (использовалось одно ядро).
Уравнения движения в реальном времени: динамика и тестовые расчёты
[22]. Эволюция квантовой системы в вещественном времени даётся уравнением Неймана [29]:
ihdtp = H, p
(19)
где H даётся (5).
б
г
в
О 5 10
х/^ явного когерентного
„ йозе-газа из начально
состояния
Рис. 4- Эволюция второй корреляционной функции бозе-газа из начального когерентного состояния
О
Рис. 5. Эволюция третьей корреляционной функции бозе-газа из начального когерентного состояния
Как показано в [22], в Р(+)-представлении данному уравнению соответствует система СДУ в форме Стратоновича:
да3
дві
2іТііаі + 2 ірАх
а?Рі —
1
4ірДх
ді + аі
2*рДх
1
1
— Тц&і-------—62ОЦ' Н----------—бо
2і з і 2ІрАх' 3 0 4ірАх 3
ді + ві\ —
2ірДх 3
(20)
Применяя неявную схему интегрирования, мы повторили результаты работы [22] для динамики первых трёх корреляционных функций однородного бозе-газа. Начальное состояние газа задавалось как когерентное:
1*>1
Ь=0
[ехр(Ж)] 1/2 ехр
N.
^Е
3=1
|уае>
где концентрация частиц р = 1Д. Дискретизованные уравнения (20) задавались на решётке из 50 узлов, равноотстоящих на Ах = ^/2. При этом полное число частиц N = рЖв1^Ах = 25. На рис. 3-5 показана эволюция во времени первых трёх корреляционных функций (8)—(10). Первая корреляционная функция на рис. 3 показывает спад во времени, что обьясняется влиянием взаимодействия: оно приводит к квантовым флуктуациям, нарушающим когерентность волновой функции. Из графика второй корреляционной функции на рис. 4 видно, что частицы начинают разбегаться, им не выгодно находиться в одной точке пространства; одновременно возникают и разбегаются в стороны корреляционные волны. На графике третьей корреляционной функции рис. 5 также отражена тенденция отталкивания троек частиц друг от друга; намечается некоторое коллективное движение в виде волн. Кроме того, вблизи границы интервала виден ещё один минимум, повторяющий форму второй корреляционной функции.
Заключение. В данной работе протестирован метод Р(^-представления на модели одномерного однородного бозе-газа с дельта-отталкиванием. В случае моделирования равновесного состояния получено полное согласие с теоретическими оценками в пределах статистического разброса для удельных термодинамических характеристик, а также с асимптотическими оценками корреляционных функций там, где они существуют. В случае динамичекой эволюции из заданного начального состояния имеется согласие с результатами, опубликованными в [22].
Полученные результаты уже представляют определённый физический интерес. Однако главное значение данного подхода состоит в новых возможностях моделирования динамики квантовых систем МК-методами, которые были продемонстрированы на модели одномерного бозе-газа с дельта-отталкиванием. Действительно, как следует из серии работ [30—36], возникает следующая возможность: пусть состояние системы аппроксимируется определённым анзацем, и имеется некоторая система самосогласованных уравнений для эволюции параметров этого анзаца во времени, которая учитывает ключевые особенности рассматриваемой физической системы (например, такую систему уравнений можно получить из вариационого принципа). Тогда возможно построить стохастическое расширение данной самосогласованной теории, так что она становится точной.
За рамками данной работы осталось вычисление динамических корреляционных функций при конечной температре и рассмотрение возможности вычисления многовременных корреляционных функций. Также было бы интересно смоделировать данным
3
+
3
методом переход газа со взаимодействием в состояние бозе-конденсации и исследовать динамику во времени соответствующего параметра порядка. Кроме того, необходимо исследование возможностей данного метода при моделировании системы в двух- и трёхмерном пространстве.
Литература
1. Bruus H., Flensberg K. Many-body quantum theory in condensed matter physics. Oxford: University press, 2004.
2. Garcke J., Griebel M. On the computation of the eigenproblems of hydrogen and helium in strong magnetic and electric fields with the sparse grid combination technique // J. Comp. Phys. 2000. Vol. 165. N 5. P. 694-716.
3. Introduction to modern methods of quantum many-body theory and their applications / ed. by S. Fantoni, E. Krotscheck and A. Fabrocini. World Scientific publishing company, 2002.
4. Quantum monte carlo methods in physics and chemistry / ed. by M. P. Nightingale, C. J. Um-rigar. Springer, 1999.
5. Deuar P., Drummond P. D. Gauge P-representations for quantum-dynamical problems: removal of boundary terms // Phys. Rev. (A). 2002. Vol. 66. P. 033812-(1)-033812-(16).
6. Drummond P. D., Deuar P., Corney J. F., Kheruntsyan K. V. Stochastic gauge: a new technique for quantum simulations // Proc. 16th Int. conf. on laser spectroscopy. World Scientific, 2004. P. 161-170.
7. Dowling M. R., Davis M. J., Drummond P. D., Corney J. F. Monte Carlo techniques for
real-time quantum dynamics // J. Comput. Phys. 2007. Vol. 220. P. 549-567.
8. Drummond P. D., Deuar P., Kheruntsyan K. V. Canonical Bose gas simulations with stochastic gauges // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 92. P. 040405-(1)-040405-(4).
9. Deuar P. First-principles quantum simulations of many-mode open interacting Bose gases using stochastic gauge methods. Ph. D. thesis. Queensland. 2005.
10. Yang C. N., Yang C. P. Thermodynamics of a one-dimensional system of bosons with repulsive delta-function interaction // J. Math. Phys. 1969. Vol. 10. N 7. P. 1115-1122.
11. Gorlitz A., Vogels J. M., Leanhardt A. E. et al. Realization of Bose-Einstein condensates in lower dimension // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 87. P. 130402-(1)-130402-(4).
12. Bloch I., Dalibard J., Zwerger W. Many-body physics with ultracold gases // Rev. Mod.
Phys. 2008. Vol. 80. N 3. P. 885-964.
13. Поляков Е. А., Воронцов-Вельяминов П. Н., Любарцев А. П. Стохастическое положительное P-представление в задачах квантовой статистики. Моделирование одномерного бозе-газа с дельта-отталкиванием // Выч. мет. программир. 2009. T. 10. C. 223-247.
14. Glauber R. J. The quatnum theory of optical coherence // Rhys. Rev. 1963. Vol. 130. N 6. P. 2529-2539.
15. Idem. Coherent and incoherent states of the radiation field // Ibid. 1963. Vol. 131. N 6. P. 2766-2788.
16. Idem. Ordered expansions in boson amplitude operators // Ibid. 1969. Vol. 177. N 5. P. 1857-1881.
17. Agarwal G. S., Wolf E. Calculus for functions of noncommuting operators and general phase-space methods in quantum mechanics. I. Mapping theorems and ordering of functions of noncommuting operators // Phys. Rev. (D). 1970. Vol. 2. N 2. P. 2161-2186.
18. lidem. Calculus for functions of noncommuting operators and general phase-space methods in quantum mechanics. II. Quantum mechanics in phase space // Ibid. 1970. Vol. 2. N 2. P. 2187-2205.
19. lidem. Calculus for functions of noncommuting operators and general phase-space methods in quantum mechanics. III. A generalized Wick theorem and multitime mapping // Ibid. 1970. Vol. 2. N 2. P. 2206-2225.
20. Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. М., 1986.
21. Kheruntsyan K. V., Gangardt D. M., Drummond P. D., Shlyapnikov G. V. Pair correlations in a finite-temperature 1D Bose gas // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 91. P. 040403-(1)-040403-(4).
22. Deuar P., Drummond P. D. First-principles quantum dynamics in interacting Bose gases: I. The positive P representation // J. Phys. (A). 2006. Vol. 39. N 5. P. 1163-1181.
23. Fetter A. L., Walecka J. D. Quantum theory of many-particle systems. McGraw-Hill, 1971.
24. Anderson Jens O. Theory of the weakly interacting Bose gas // Rev. Mod. Phys. 2004. Vol. 76. N 2. P. 599-639.
25. Drummond P. D., Gardiner C. W. Generalised P-representations in quantum optics // J. Phys. (A). 1980. Vol. 13. N 7. P. 2353-2368.
26. Werner M. J., Drummond P. D. Robust algorithms for solving stochastic partial differential
equations // J. Comp. Phys. 1997. Vol. 132. N 2. P. 312-326.
27. Handbook of Stochastic Analysis and Applications / ed. by D. Kannan and V. Lakshmikan-than. CRC Press, 2002.
28. Sykes A. G., Gangardt D. M., Davis M. J. et al. Spatial nonlocal pair correlations in a
repulsive 1D Bose gas // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 100. P. 160406-(1)-160406-(16).
29. Фейнман Р. Статистическая механика. М., 1978.
30. Carusotto I., Castin Y., Dalibard J. Ж-boson time-dependent problem: a reformulation with
stochastic wave functions // Phys. Rev. (A). 2001. Vol. 63. P. 023606-(1)-023606-(14).
31. Plimak L. I., Collett M. J., Olsen M. K. Langevin equations for interacting fermions
and Cooper-like pairing in trapped one-dimensional fermions // Ibid. 2001. Vol. 64.
P. 063409-(1)-063409-(15).
32. Juillet O., Chomaz Ph. Exact stochastic mean-field approach to the fermionic many-body problem // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 88. P. 142503-(1)-142503-(14).
33. Carusotto I., Castin Y. An exact reformulation of the Bose-Hubbard model in terms of a
stochastic Gutzwiller ansatz // New J. Phys. 2003. Vol. 5. N 91. P. 1-13.
34. Tessieri L., Wilkie J., Qetinba§ M. Exact norm-conserving stochastic time-dependent Har-
tree-Fock // J. Phys. (A). 2005. Vol. 38. N 4. P. 948-956.
35. Lacroix D. Exact and approximate many-body dynamics with stochastic one-body density matrix evolution // Phys. Rev. (C). 2005. Vol. 71. P. 064322-(1)-064322-(9).
36. Montina A., Castin Y. Exact BCS stochastic schemes for a time-dependent many-body fermionic system // Phys. Rev. (A). 2006. Vol. 73. P. 013618-(1)-013618-(6).
Принято к публикации 1 июня 2009 г.
