CC BY
19
УДК 539.3
Канд. техн. наук Ю. В. Мастиновский Запорожский национальный технический университет, г. Запорожье
ТЕРМОУПРУГИЕ ВОЛНЫ В ПОЛОМ КРУГОВОМ ЦИЛИНДРЕ
Рассматривается цилиндрический слой упругого изотропного материала, находящегося под действием нестационарных нагрузок: нормального напряжения и объемного термоудара. Получено численно-аналитическое решение плоской задачи термоупругости, основанное на использовании термоупругого потенциала перемещений и разложения в ряд Фурье. Коэффициенты Фурье определяются численно с применением метода характеристик.
Ключевые слова: цилиндрический слой, термоупругие волны, напряжения, метод характеристик.
Введение
Последствия температурных напряжений следует учитывать при решении многих инженерных задач, например, при разработке и эксплуатации ГТД, ядерных реакторов и др. [1-3]. Реакции различных материалов на механические воздействия ударного типа очень разнообразны и часто качественно и количественно отличаются от их реакций при статических нагрузках. Изучение термоупругого деформирования материалов при нестационарных силовых и тепловых воздействиях тесно связано с разработкой математических моделей их поведения [4, 5].
Имеющиеся в литературе аналитические решения динамических термоупругих задач получены обычно для полубесконечных и бесконечных тел и тел со сферической и цилиндрической симметрией. Классическим методом решения таких задач являются интегральные преобразования [3]. К недостаткам этого метода можно отнести сложности нахождения оригинала по изображению и необходимость заново проводить преобразования при изменении вида нагрузки. Трудности использования интегральных преобразований возрастают при расчетах элементов конструкций конечных размеров в случае распределенных нагрузок, приложенных к ограниченной части поверхности, и если рассматриваются сложные законы изменения внешней нагрузки по времени.
Известные в литературе аналитические решения динамических термоупругих задач настолько громоздки, что без численных расчетов невозможно провести качественный анализ напряженно-деформированного состояния конструкции.
Цель данной работы состоит в разработке упрощенной математической модели и методики расчета для использования в инженерной практике, позволяющих проводить исследования рассматриваемой конструкции при различных значениях геометрических и механических параметров, а также видов нагружения.
Постановка задачи
Рассмотрим в полярных координатах (г, ф) полый круговой цилиндр изотропного материала, ограничен© Ю. В. Мастиновский, 2015
ный цилиндрическими поверхностями г = а и г = Ь (а < Ь ). К поверхности слоя г = а внезапно прикладывается нормальное сжимающее напряжение
стг = -Р0Н(/) интенсивности р и одновременно производится объемный термоудар Т = Т0Н((). Здесь
Н (/) - единичная функция Хевисайда или иная функция, определяющая закон изменения нагрузки в зависимости от времени t. Считаем, что поверхность слоя г = Ь свободна от напряжений. В результате совместного воздействия нагрузок в цилиндрическом слое будут распространяться волны напряжений и смещений.
Математическая модель и методика расчета
Используя термоупругий потенциал у [6], позволяющий определить перемещения для плоской деформации в полярных координатах, уравнение движения запишем в виде
^+1ду+- =рт, (1)
дг2 г дг г2 дф2 с2 д/2
где Р = а(3Х + 2ц)/(Х + 2ц) = а(1 + v)/(l - V),
а - коэффициент линейного расширения; X, Ц -параметры Ляме;
V - коэффициент Пуассона;
с2 = (X + 2ц)/р - квадрат скорости распространения радиальной волны,
р - плотность материала; / - время.
Радиальная и окружная компоненты перемещения в полярных координатах имеют вид
тт ду 1 ду
и я , К =_ . (2)
дг г дф
С использованием закона Дюамеля-Неймана выражение для напряжения стг определяется так:
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРПТ ТА МАШИНОБУДУВАНН1
E
1 -V2
дU V ^ дV | (л ч
-¡т+-\U+1-1-«!1+vw
дr т ^ д—
. (3)
Уравнение (1) будем решать при таких начальных и граничных условиях:
дУ а У =-= 0
дЛ
при Л = 0,
при т =а
при т = Ь.
стт = 0 при г = Ь . (4)
Температуру принимаем в виде
Т = То Н (().
В более общем случае распределение температуры несимметрично относительно оси, но не зависит от осевой координаты.
Разложим температуру и термоупругий потенциал в ряды Фурье по косинусам:
<» да
Т = Е Тп (т, л)со8 п—, У=^Уп ( л)С08 п— . (5)
п=0 п=0
Уравнение (1) для определения Уп примет вид
= РТп. (6)
^У п +1, д^п п
1 д\п
дг2 ' т дт т2 Уп с2 дЛ2 Вводя безразмерные величины
сЛ
\г,и,у}=1 {т,и V } ?
Ь Ь
и опуская в дальнейшем для простоты записи верхний знак «~», запишем (6) так:
^У п + Я дУ п -Т~ + кп =-2"
дт2 п дЛ2
(7)
где
Я» =
п- 1дТ - ^тУп -вТп, п = 0,1,2,.... (8) т дт т
Предположим, что заданные законы давлений на поверхностях цилиндрического слоя также разложены в ряд по формуле
стт = рс2 • £стп(л)соэп— .
п=0
(9)
Решения уравнений (7) находим при помощи метода характеристик [7, 8]. Уравнения характеристик и соотношения на них имеют вид:
Ст = ±СЛ,
дЛ
дт
.(10)
Для проведения расчетов область между прямыми т = т1 = а/Ь , т = 1 и т = Л + т1 покрывается сеткой характеристик (рис. 1):
Л
т1
Рис. 1.
Для расчета коэффициентов Уп используются формулы
У*п = У°п + 2А/•у,
где У % =%
дЛ
Значения коэффициентов во внутренних узлах сеточной области вычисляются по формулам:
1 (у
2 12 1 УпЛ =т1УпЛ + УпЛ + У«т -Упт +
1 (у
(( + Яп ) ), (( - я1 ))).
У пт = - (У 2 - У п + У 2т + У \т +
Значения выражений Яп находим по формулам (8).
При расчете значений коэффициентов в точках, лежащих на границах области, исключаются из рассмотрения узлы сетки, лежащие на характеристиках, выходящих из сеточной области. Определив по данной расчетной схеме все значения коэффициентов Уп и их производных УпЛ и Упт , можно вычислить коэффициенты напряжений стп и сами напряжения по формуле (9).
Результаты расчетов и обсуждения
Для проверки работы вычислительной схемы были сделаны расчеты для случая, когда на внутренней границе цилиндрического слоя действует только нормальное напряжение, т. е.
ст
( )=(Х + 2ц>,
Т„ = 0;
стт =
0
1
т
а
1607-6885 Новi маmерiали i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2015
101
Список литературы
1. Партон В. З. Методы математической теории упругости / В. З. Партон, П. И. Перлин // М. : Наука. главн. ред. физ.-матем. лит. - 1981. - 588 с.
2. Беляев Н. М. Методы теории теплопроводности. В 2-х частях / Н. М. Беляев, А. А. Рядно // Ч. 1. - М. : Высш. школа. - 1982. - 237 с.
3. Коваленко А. Д. Термоупругость / А. Д. Коваленко // К. : Вища школа - 1975. - 216 с.
4. Bala Kiran. A Review of Two-Temperature Thermo-elasticity / Kiran Bala // International Journal of Modern Engineering Research (IJMER), Vol. 2, Issue 6. - 2012. -P. 4224-4227.
5. Шамровский А. Д. Термоупругие волны и скорость их распространения в динамической задаче взаимосвязанной термоупругости / А. Д. Шамровский, Г. В. Мерко-тян // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. Выпуск № 7 (53), Том 5. - 2011. - С. 41-45.
6. Тимошенко С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. - М. : Наука. - 1975. - 576 с.
7. Chou P.C. A Unified Approach One-Dimensional Elastic Waves by the Method of Characteristics / P. C. Chou, R. W. Mortimer // Journal of Applied Mechanics, Vol. 34, № 3. -1967. - P. 745-750.
8. Сагамонян А. Я. Волны напряжений в сплошных средах / А. Я. Сагамонян // М. : Изд-во МГУ. - 1985. - 416 с.
Одержано 03.04.2015 Мастиновський Ю.В. Термопружш хвилi в порожнистому цилiндрi
Розглядаеться цилгндричний шар пружного iзотропного матергалу, який перебувае nid Ыею нестацюнарних навантажень: нормального навантаження i об 'емного термоудару. Отримано чисельно-аналгтичнийрозв 'язок плоско'1 задачг термопружностг з використанням термопружного потенцгалу перемгщень та розкладаннг в ряд Фур 'е. Коефщгенти Фур 'е визначаються чисельно з використанням методу характеристик.
Ключовi слова: цилгндричний шар, термопружш хвилг, напруження, метод характеристик.
Mastinovsky Yu. Thermo-elastic waves in hollow cylinder
Cylindrical layer of elastic isotropic material under non-stationary loads-normal stress and volumetric thermal shock - is being considered. Numerical analytical solution of plane thermo-elastic problem is based on thermo-elastic displacement potential and development in Fourier series. Fourier coefficients being defined numerically by characteristics method have been obtained.
Key words: cylindrical layer, thermo-elastic waves, stresses, method of characteristics.
г1 = 0,8 ; Д/ = 0,01 - шаг по времени;
V = 0,3 - коэффициент Пуассона.
Полученные результаты хорошо согласуются с известными, полученными другими методами [3, 4].
Выводы
Предложенная модель и методика расчета рассматриваемой конструкции позволяют проводить численные эксперименты по выявлению областей, наиболее расположенных к повреждениям, в результате действия на нее нестационарного давления и объемного термоудара . Задание других граничных условий не требует изменений расчетной схемы для внутренних узлов сетки. Проведение численных экспериментов, сравнение различных теорий и зависимостей дают возможность не только понять качественную картину распространения термоупругих волн, но и получить обоснованные рекомендации по практическому использованию конструкций данного вида.
