Термодинамическая модель статора асинхронного двигателя с учетом нагрева лобовых частей обмотки Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.313

Зюзев А.М., Метельков В.П. (УГТУ-УПИ, г. Екатеринбург, zuzev@ep. etf.ustu. ru)

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТАТОРА АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С УЧЕТОМ НАГРЕВА ЛОБОВЫХ ЧАСТЕЙ ОБМОТКИ

Наиболее подверженным тепловому воздействию элементом асинхронного двигателя (АД) является изоляция обмотки статора [1]. При этом во многих случаях, особенно для двигателей закрытого исполнения, лобовые части обмотки имеют наиболее высокую температуру, что в наибольшей степени проявляется при нарастании температуры в переходных процессах пуска двигателя. Это объясняется тем, что на начальных стадиях нагрева машины темп изменения температуры обмотки весьма высок, а сталь нагревается значительно медленнее меди и обеспечивает более интенсивный отвод тепла от пазовых частей обмотки, чем воздух от лобовых частей.

Усредненная температура обмотки статора, получаемая из простейшей двухмассовой термодинамической модели (см. рис. 1), где узел 1 объединяет лобовые и пазовую части обмотки статора, а узел 2 - пакет статора и корпус (в дальнейшем будем обозначать такую модель ЛП-С по первым буквам входящих в нее элементов), дает лишь усредненную температуру обмотки. Это требует разработки модели и метода расчета её параметров, которые обеспечили бы получение результатов, в большей степени соответствующих реальным тепловым процессам в лобовых частях обмотки статора при ограниченном количестве информации о двигателе.

42

1 •—□-»2

1-20

Рис. 1. Схема термодинамической модели статора АД (ЛП-С). Я10, Л20 и Я12 - тепловые проводимости

J ^1л,1п 1п ^1п,2 1 L U

1л < I 1-1 1 1 >2

' 1_1 < 1 1_1 '

Чл,2

^20

Р^10л [J ^10п [J

Рис. 2. Схема термодинамических связей в модели статора АД с разделением лобовой и пазовой частей обмотки

Разделим лобовую и пазовую части обмотки так, чтобы двухмассо-вая тепловая схема статора могла быть представлена в виде трехмас-совой (см. рис. 2). На рис. 2 пунктиром показана обмотка статора и обозначено: 1л - узел, соответствующий лобовым частям обмотки; 1п -

узел, соответствующий пазовой части обмотки; Л^ы - тепловая проводимость между лобовой и пазовой частями; Л1п,2 - тепловая проводимость между пазовой частью обмотки и сталью; Л10л - тепловая проводимость от лобовых частей обмотки в охлаждающую среду; Л - тепловая проводимость от стали статора в охлаждающую среду. Обозначим такую схему Л-П-С, подчеркнув дефисом разделение лобовых и пазовой частей обмотки. Процессы в такой тепловой схеме описываются следующей системой дифференциальных уравнений:

С1л /Ж^иТл +Лл,2Т2 +ЛлДпТ1п + Арл;

< С1пйт1п !й1=-ЛыТы +ЛИ,2Т2 +Лл,1пТл +АР1п ; (1)

С 2.ЛТ21Ш=-Х22Т2 +КЛ2Т1Л +ЛпТп + ЛР2>

где л11л=л10л+лл,2+л1л,1т л11п=л10п+л1п,2+л1л,1п; Л 22=л20+л1л,2+л1л,2-

Схема на рис. 2 содержит шесть тепловых проводимостей, подлежащие определению, поэтому уравнений системы (1) недостаточно для нахождения их величин. В плане выяснения повреждающего действия высокой температуры на изоляцию интересует самый нагретый элемент обмотки, в качестве которого для двигателей закрытого исполнения, как было сказано, обычно выступают лобовые части. Это дает основания трансформировать схему на рис. 2 таким образом, чтобы сгруппировать узлы, относящиеся к пазовой части обмотки и стали статора в один узел, как показано на рис. 3, выделив узел лобовых частей (схема Л-ПС). У схемы : Л-ПС узел 1л включает в себя только лобовые части обмотки, а узел 2 объединяет пазовую часть обмотки и сталь.

Учтем, что в большинстве случаев можно пренебречь тепловым потоком от пазовой части обмотки в охлаждающую среду (Яюп=0), так как Л10п^0 лишь при наличии радиальных вентиляционных каналов [2]. В первом приближении также можно пренебречь и тепловым потоком непосредственно между лобовой частью обмотки и сталью статора (Л1л,2=0), поскольку этот поток проходит только через воздух, тепловое сопротивление которого велико. В дальнейшем эти потоки будут косвенно учтены при определении параметров двухмассовой тепловой схемы с выделением лобовых частей обмотки статора (Л-ПС). Эти соображения позволяют представить схему Л-П-С в упрощенном виде так, как показано на рис. 4.

Х1л,1п Х

1п,2

40

I

1п« 1—1 1—•—1 1—« »2

1 п

1-

'20

Рис. 3. Схема термодинамической модели статора АД с выделением лобовых частей обмотки (Л-ПС)

Рис. 4. Упрощенная схема термодинамической модели статора АД с разделением лобовых и пазовой частей обмотки (Л-П-С)

Выясним взаимосвязи параметров схемы Л-П-С с параметрами схем ЛП-С и Л-ПС. Далее для удобства некоторых преобразований будем использовать вместо тепловых проводимостей X тепловые сопротивления Я=1/Х. Индексы соответствующих проводимостей и сопротивлений совпадают. При разделении и слиянии источников тепловыделения в тепловых схемах будем пользоваться правилами эквивалентных преобразований тепловых схем [2].

При переходе от схемы ЛПС (см. рис. 1) к схеме ЛП-С после разделения узла 1 на узлы 1л и 1п между ними появляется тепловое сопротивление Я1л1п. В соответствии с правилами эквивалентных преобразований тепловые сопротивления Я 10 и Я1п22 выразим следующим образом:

я10 =Я10-ай1; Я1п,2 =Я12(2)

где АЯ^Яищ ЛРи(АР1л+ ЛРщ)1; АЯг=ЯШп ЛР1л(АР1л+ ЛРи)л, а Яп определено исходя из схемы ЛП-С.

Для перехода от схемы Л-П-С к схеме Л-ПС необходимо объед и-нить узлы 1л и 2. Для этого представим схему -ПС так, как показано на рис. 5. После замены узлов 1п и 2 одним узлом 2, тепловое сопротивление Я1п,2, располагавшееся между исходными узлами, разделится на два тепловых сопротивления ЛЯ 1 и ЛЯ'2:

ай =я1п2лр2 (лпп +ар2 )-1; ай2 =я1п 2аип (арп +ар )-1. (3) ^1л,1п щ щ

Соответственно, тепловые сопротивления схемы Л-ПС будут иметь следующие величины:

К 2+ая1; (4)

я;0=я20+ля;. (5)

Из (2) получим:

я1пл =&2 -яыл пары (ары +арп )-1. (6)

Из сопоставления схем на рис. 3 и рис. 5, используя соотношения (3) и (4) с учетом (6) получим:

к2 =К1л, 1п +[^12 -яымары (ары +ар1п )-1 ]АР2 (АР1п +АР2 )-1. (7)

Для модели Л-ПС этих данных достаточно. Для модели Л-П-С найдем Я1л1п и Я20. Используя соотношения (3) и (5) с учетом (6) получим:

К2о =*20 +к -к-ымары (ар1л +арп )-1 ап (арп +ар2 У1. (8)

Из (7) находим:

арлар2

Кл1п =(к2-к12 арарар )

1-

(ар1л + ар1п)(ар1п + ар)_

(9)

'арш + ар2

Из (8) находим:

*20 =Ко-[^12 -^шар^ (ар1л +ар1п )-1 аш (ар1п +ар2 )-1. (10)

Для схемы Л-ПС на рис. 3 может быть применена следующая методика определения ее параметров (далее величины со штрихом относятся к схеме на рис. 3, без штриха - к схеме на рис. 1).

Пренебрегая влиянием разницы температур пазовой части и лобовых частей обмотки в установившемся режиме на удельные теплоемкости и сопротивления, введем следующие обозначения:

с' =С1л (сы +с2 )-1=ж [е(1-Мл НГ ; (11)

р =рк =(АР2N +АР1ШN )/АРи =(р+1-ж К1; (12)

ь =ь„ =арым /сТутN =ь, (13)

где с=С1/С2; Жл=т1л/т{; р=ры=АРгы1 АРШ; Ь^^АРщ/Стутк. Здесь С1=С1л+С1п - суммарная теплоемкость лобовых и пазовой частей обмотки; т1 и т1л - масса обмотки статора и масса лобовых частей обмотки; АР1лМ - мощность потерь в номинальном режиме в лобовых частях обмотки; АР1пК - мощность потерь в номинальном режиме в пазовой части обмотки; АРШ =АРиы +АР1пК; г1лустМ - установившееся превышение температуры лобовых частей в номинальном режиме (принимаем

Для схемы Л-ПС на рис. 3 запишем следующую систему уравнений:

с йт1л +ары;

1 , , , , (14)

с 2йт21М=-Л22т2 +Л12т1л +ары + лр2,

где X11л=Х10+Х 12; X22=Х20+Х 12. Здесь ЛР2 - мощность потерь в стали статора (для двигателей закрытого исполнения сюда следует прибавить ту часть механических потерь, которая греет подшипниковые щиты); С2 - теплоемкость второй массы тепловой схемы (включая пазовую часть обмотки статора), рассчитанная с учетом величины тепловой энергии, запасаемой в отдельных ее элементах; т2 - превышение температуры узла 2 ' для схемы на рис. 3.

Теплоемкость С2 рассчитывается с учетом величины тепловой энергии, запасаемой в отдельных ее элементах:

с2 с+с2з, (15)

где С2 - учитывает теплоемкость пакета статора и корпуса; з = т2уст/т1уст; т1уст и т2уст - установившиеся значения перегрева для узлов 1 и 2 схемы на рис. 1, которые существуют при номинальном режиме. С учетом (15) можно уточнить выражение для с, записав его в следующем виде:

с =и (с-сил +&Г, (16)

Запишем систему (14) для установившегося режима и, поделив оба уравнения системы на С1л, при учете доли массы лобовых частей в общей массе обмотки, получим:

¡а11лТ1л-апТ2=иллрысл; 1 ' ' ' ; \ 1 (17)

\а22т2-аиты = ил(ЛР1п +ЛР2)сл,

где а 11л=Х 11л/С1; а 12=Х 12/С1; а 22=Х 22/С1.

С учетом (12) и (13) преобразуем систему (17) к следующему виду: \а11л-а12^=иль; (18)

\а22^-а12 =ь(\-ил + р ),

где & =т 2уст/т1л.уст; Ь=^Р1/С1=(^т1л/^^)нач-

Характеристическое уравнение системы (14) имеет два корня х'1

и х'2. Процессы в рассматриваемой термодинамической системе при

реальных значениях параметров двигателя носят апериодический характер и описываются суммой двух экспонент, которые имеют постоянные времени, определяемые этими корнями: Т1 = -х'1 и Т2 = -%Г2 .

На основе теоремы Виета, устанавливающей связь между коэффициентами алгебраического уравнения второго порядка и его корнями, запишем следующие соотношения:

[«¡1л+сИл (с-сРл +$)-1 а22=иХ~1+илК1; (19)

[срл (с-с^л +$)-1 («„л«22 а12 )=рТ-1т2-1 •

Рассмотрим возможности решения системы уравнений (18) и (19) с целью определения значений параметров термодинамической модели.

В случае, когда отсутствует информация, позволяющая предварительным расчетом определить величины цл и с , следует относить эти параметры к числу неизвестных, что увеличивает общее количество параметров тепловой схемы, подлежащих определению. При этом количество неизвестных параметров превышает количество уравнений в системе (18), (19) и (21). В этом случае для схемы на рис. 4 может быть применена следующая методика определения неизвестных параметров, состоящая из двух этапов.

На первом этапе определяются величины параметров для упрощенной тепловой схемы на рис. 1. В результате получаем значения следующих величин: а10, а20, а12, а также Т1 и Т2.

На втором этапе определяем параметры для схемы на рис. 3. При этом полагаем, что суммарная теплоотдача для всего двигателя во внешнюю среду для схем на рис. 1 и рис. 3 должна быть одинаковой.

Поэтому параметры а10 и «20 для схемы на рис. 3 считаем заданными, используя соответствующие значения, найденные на первом этапе. Также заметим, что большие постоянные нагрева двигателя Т2 и Т2, определяющие общее время его нагрева, практически одинаковы для обеих схем. Это вытекает из того факта, что масса пазовой части обмотки мала по сравнению с суммарной массой пакета статора и корпуса (например, для двигателя 4А100М она составляет 5,08%) и, следовательно, теплоемкости узла 2 в схеме на рис. 1 и узла 2 в схеме на рис. 3 очень близки.

Таким образом, остаются неизвестными лишь четыре параметра:

а\ж\п, $ и Т1 . Для их определения достаточно четырех уравнений

(18) и (19). Эти уравнения применительно к данному набору параметров можно представить в более удобной для решения форме:

(а1о+а12 уа12$= Рль; («2о +а12 $ -а12 =Ь(1-Рл + р);

(22)

(«1о +а12 УСРл (с-СРл +$)-1 («2о +а12 )=Рл (т1'-1 +Т2-1 );

СРл (с-СРл +$)-1[(«1о +а2 Х«2о +а2 ) а12 ]= И2Х-1Т2-1.

Заметим, что с точки зрения источников тепловой энергии узел 2 в схеме на рис. 3 состоит из двух частей, тепловые проводимости от которых во внешнюю среду различны. Для источника мощностью АР1п тепловая проводимость определяется суммой тепловых сопротивлений

Л' и Л и составляет Л20тМ =Л12120(Л12+А12)'^. Для источника мощностью

АР1ст+АРЫех тепловая проводимость определяется только проводимостью Л20. Поэтому эквивалентная тепловая проводимость во внешнюю среду от источника мощности АР1п+АР1ст+АРЫех будет находиться в

пределах Л20ап< 4 <Л0 (соответственно а'20тп <а10 <а20).

На рис. 6 показаны зависимости от а20 величин "2, Мл и Т 1Т1 для

двигателя 4А1001_4, построенные по результатам решения системы уравнений (22). Здесь Т1 - малая постоянная времени для тепловой схемы, показанной на рис. 1.

Эти зависимости соответствуют множеству вариантов искомых параметров. Остановимся на проблеме отбора правильного варианта

значений "2 и цл. Корни характеристического уравнения для системы (14), описывающей процессы в схеме Л-ПС обратно пропорциональны Мл. Следовательно, постоянная времени Т1 пропорциональна Цл. При этом, если то схема Л-ПС сводится к схеме ЛП-С. Тогда величина Т' должна стремиться к Т1. Это дает основания полагать, что Т /Т1~^Л. Точка пересечения зависимостей и Т /Т1 от а20 на рис. 6 соответствует выполнению условия Т =^ЛТ1. Она и определяет правильный вариант решения (отмечен на рис. 6 знаком «о»): а20 =0,00326 1/с, а =0,0167 1/с, мл =0,536. Полученным результатам соответствуют тепловые проводимости: Л20 =4,31 Вт/°С и Л12 =22,08 Вт/°С.

Исходя из изложенного сформулируем порядок расчета параметров схемы Л-П-С:

1. Формируем набор исходных данных - с, р, Ь;

2. По уравнениям схемы ЛП-С находим а10, а0, а12, а также Т1 и Т2;

3. Принимаем "0 = "10; "ж = а20 и Тг=Т2;

м ,-,

л Т 0.8

012X10, С "1 0.6

о

мл—

0.4

О

о 0.2

12

О,., г;

1 ^ 1

1

1 1 1

3.18

3.2 3.22 3.24 3.26 3.28 3.3 а ,С

1 4,4-3 20'

П„ х 10

а

20

0

Рис. 6. К определению величин осп , «20 и Мл

4. Решаем систему уравнений (22) при различных а20 и строим графики зависимостей величин «12, мл и Т /Г1 от «20;

5. По точке пересечения графиков Т /Т1 и мл находим значение о2°0, соответствующее адекватному решению системы;

6. По зависимостям ои=/1 (020) и мл=/2«) при «20 = «20 нахо-

'о о

дим значения этих величин: о12 и мл;

7. Решая первое уравнение системы (22) относительно «10, уточ-

« « 'о о

няем значение этой величины по найденным «12 и мл:

«10 =М°мЬ-0'п М );

8. По «12 =°1;, «10 =«10, «20 =«20 и мл=м°л рассчитываем 4, 4,

Л20 , С1л и С1л;

9. С использованием формул (6), (9) и (10) по 4, Л10, 4 рассчитываем Л, ,, Л . и 4 .

1п,2 ' 1л,1п 20

На рис.7 и 8 показаны графики изменения температуры в лобовых (Л) и пазовой (П) частях обмотки двигателя 4А100м при двух характерных случаях интенсивного нагрева двигателя для термодинамической модели по схеме Л-П-С с параметрами, определенными с помощью изложенного подхода, основанного на численном решении системы уравнений (22) - графики 1. Для сравнения показаны процессы, рассчитаные по подробной (включающей шесть узлов) тепловой схеме - графики 2.

^01 40 120 100 80 60 40

Л ^ - / 1

и

/

П у 2

0 20 40 60 80

8, С

Рис. 7. Процессы нагрева при разгоне с устройством плавного пуска за 40с при номинальном моменте сопротивления

^080 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -

0 20 40 60 80

Г,С

Рис. 8. Процессы нагрева при 10с работы в режиме короткого замыкания с последующим разгоном при номинальном моменте сопротивления

.Л

/ Г 1

и

0 / N

/ \

П 2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Федоров М. М. Динамические тепловые модели узлов электрических машин // Електромашинобудування та електрообладнання: Мiжвiд. наук.-техн. зб.- 1999. Вип. 53. С. 70-73.

2. Сипайлов Г. А., Санников Д. И., Жадан В. А. Тепловые гидравлические и аэродинамические расчеты в электрических машинах - М.: Высш. шк., 1989. - 239 с.

УДК 62-83:621.74

Сарваров А.С., Пермякова О.В. (Магнитогорский государственный технический университет им.Г.И.Носова)

ВЕКТОРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ АСИНХРОННЫМИ ДВИГАТЕЛЯМИ.

НАПРАВЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

В настоящее время частотно-регулируемому электроприводу переменного тока уделяется большое внимание. Это происходит в связи с тем, что асинхронный двигатель является надежным и простым по конструкции элементом автоматизированного электропривода, способ частотного регулирования скорости является наилучшим по основным показателям регулирования, а также в связи с тем, что появились быстродействующие микропроцессорные устройства и надежные источники питания и преобразователи частоты.

Для обеспечения высоких динамических и статических показателей по равномерности частоты вращения и вращающего момента, для создания высокого вращающего момента на малых и близких к нулевым частотах вращения применяются методы векторного управления