CC BY
48
УДК. 621.1.016
ТЕПЛОВАЯ ПРОВОДИМОСТЬ МОДИФИЦИРОВАННЫХ ДИСПЕРСНО-НАПОЛНЕННЫХ
ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Н.В. Мозговой, Д.В. Попов
Теоретически исследован процесс тепловой проводимости через систему из дисперсно-наполненного полимерного материала, подвергнутого физическому модифицированию. Получено приближенное уравнение для тепловой проводимости анизотропного полимерного материала
Ключевые слова: теплопроводность, полимерные материалы, наполнитель, связующее
Ранее [1,2] рассматривались методы получения полимерных материалов повышенной теплопроводности путем введения в расплав полимера дисперсных наполнителей ферромагнитной природы и воздействием комбинированным физическим полем (магнито-вибрационным или магнитоультразвуковым). В процессе воздействия на полимерную композицию одним из указанных комбинированных физических полей в полимерной матрице вдоль силовых линий магнитного поля из частиц металлического наполнителя образуются теплопроводящие цепочки (Рис. 1).
Рис. 1. Схема формирования цепочечных теплопроводящих структур в однородном магнитном поле:
1 - металлические цепочки; 2 - элементарная ячейка анизотропного теплопроводящего полимерного материала; 3 - направление силовых линий магнитного поля
Сформировавшиеся в полимерной матрице теплопроводящие цепочечные структуры фиксируются в процессе отверждения полимера. При малой концентрации наполнителя хорошо просматривается картина сформировавшихся цепочек в сравнении с необработанной в магнитном поле полимерной композицией (рис. 2).
Мозговой Николай Васильевич - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 43-76-70
Попов Дмитрий Викторович - ВГТУ, аспирант, тел. (4732) 43-76-70
1 2 Рис. 2. Микрофотография частиц ПНК в эпоксидной композиции на основе смолы ЭДП, отвержденной в магнитном поле напряженностью Н=16-104 А/м.
В сообщении авторов [2] приводятся аналитические выражения для определения количества образовавшихся от воздействия магнитным полем цепочек и числа частиц, составляющих эти цепочки. Практический интерес представляет расчетная формула для определения приведенного коэффициента теплопроводности такого анизотропного материала.
Смоделируем процесс теплопроводности через элементарную ячейку в форме куба (Рис. 1) в массиве полимера, подвергнутого воздействию комбинированным физическим полем, как систему с дальним порядком, теплофизические свойства которой аналогичны свойствам системы в целом. Теплоперенос в микрообъемах, подобных изображенному на рис. 1, осуществляется на молекулярном и атомарном уровнях, в то же время в феноменологическом приближении закон теплопроводности выражается уравнением Фурье. Поскольку вектор теплового потока направлен вдоль цепочек из частиц наполнителя, поперечный градиент температуры в выделенной ячейке может быть приравнен к нулю. При таком положении температурное поле будет выражено двоякопериодической функцией, периоды которой полностью совпадают с периодами структуры. Отсюда изотермическая поверхность в каждой элементарной ячейке имеет максимум в области, которую занимают более высокотеплопроводные цепочки и минимум в остальной части ячейки. Из-за изгиба изотермической поверхности в каждой ячейке возникает ло-
кальный поперечный тепловой поток, выравнивающий температуру во всем рассматриваемом массиве полимерного композита.
Принимая допущение, что изотермическая поверхность представляет собой плоскость, перпендикулярную направлению ориентации частиц, считаем, что при постоянном продольном тепловом потоке функция температуры будет линейно зависеть от координаты х и тогда
Т = хТо(У,2) (!)
Здесь ТО - гармоническая функция переменных у и 7.
Тогда продольный тепловой поток в ячейке будет изображаться
= 1ат = ТТ (2)
Ц = Я , = ЯТ0, (2) ах
где Я - приведенная теплопроводность двухкомпонентного материала ячейки.
В свою очередь среднее значение теплового потока в общем случае выразится в виде интегралов
q =
Лсв
S
JJ T0 dydz -Лл JJ T0 dyd
See
S
(З)
Здесь S, SCB, SH - соответственно площади поперечного сечения, занимаемые полимерной композицией, связующим и цепочками из частиц наполнителя в элементарной ячейке;
^св, ^н - соответственно коэффициенты теплопроводности связующего и наполнителя.
Поскольку в данном конкретном случае Т0= const, то выражение (3) приобретает вид
q = -К С1 -с )To -\CTo> (4)
где С - концентрация.
Отсюда приведенный коэффициент теплопроводности вдоль цепочек из частиц наполнителя в массиве магнитообработанной полимерной композиции описывается выражением
а = Лсв С1 - С) + \С (5)
Сложность реализации выражения (5) в практике расчета рассматриваемых полимерных композиционных материалов состоит в нахождении реальных значений приведенного коэффициента теплопроводности материала частиц наполнителя с учетом контактных термосопротивлений [3,4] в зоне касания отдельных частиц между собой. Очевидно, что приведенный коэффициент теплопроводности отдельных цепочек за счет возникающих на пути теплового потока контактных термосопротивлений меньше, чем теплопроводность монолитного стержня, идентичного цепочке из частиц наполнителя по размеру и роду материала.
Отсюда более удобной для практической реализации представляется задача определения тепловой проводимости через анизотропный полимерный материал, полученный в процессе воздействия на расплав из дисперсно-наполненного полимера комбинированным физическим полем. В такой по-
становке открывается возможность учитывать влияние контактных термосопротивлений между частицами наполнителя. Тепловая проводимость такого материала имеет вид
а = aee + а„
(6)
где ои, ац - тепловая проводимость через связующее и цепочки из частиц наполнителя.
Первая составляющая выражения (6) запишется
Я„
a = ■
ee
5
(7)
Здесь 5 - толщина материала.
Тепловая проводимость через цепочки опишется выражением в виде
1
(В)
Здесь Як - суммарное контактное термосопротивление от стягивания линий теплового потока К пятном контакта между отдельными частицами. Тогда с учетом (6) - (8) полная тепловая проводимость полимерного материала изобразится
Дсе Д
а = — +--------н--- (9)
з а+КД
Сложность применения в расчетной практике уравнения (9) сводится к необходимости аналитического выражения контактного термосопротивления Як.
Рис. 3. Модель элементарной ячейки из контактирующих частиц наполнителя.
Рассмотрим элементарную ячейку системы из контактирующих частиц наполнителя в виде сфер радиусом гсф (рис. 3). Примем следующие допущения:
1) на поверхности контакта имеет место постоянный тепловой поток;
2) поверхность сферы за исключением поверхности контакта адиабатная;
3) радиус контактного пятна а << гсф.
Второе условие в целом справедливо для реальных условий, поскольку теплопроводность связующего значительно меньше теплопроводности
материала наполнителя (~ 200). Температур-
н
ное поле внутри сферы удовлетворяет уравнению стационарной теплопроводности
д ( 2 дТ Л 1 д ( . дТ}
где
и граничным условиям для 1=гсф.
dr) sin^ дф
sin^
дф
= о (10)
)
(ii)
= q при 0 Р ф Р ф0
при ф0 Р ф Р п - ф0
при п-ф0 Р ф Р п
Применяя метод разделения переменных, получаем решение для поля температур в сфере
T (г ,ф) = Со +£ C,r"P„ (cos ф)
(12)
при
0 < r < r
Здесь С1 - постоянная, которая определяется условиями на внешней границе и свойствами ортотональности полиномов Лежандра. Данная постоянная равна нулю, если п - четное целое число, а при нечетных п находится с учетом выражения 1 1 Г Рп (С08ф)а(СОБ^) = -----------------------(I3)
; 2п +1
х0
Термосопротивление сферы запишется
Т - Т
Я = Т---------------------г-, (14)
б
где, Т1 и Т2 - соответственно, средние температуры в контактирующих областях площадью 8, через которые подводится и отводится полный тепловой поток р.
Q = qna2
(15)
где q - удельный тепловой поток.
На основании уравнения (12) получаем выражение для контактного термосопротивления одной частицы.
К= Al B
2n-1
(16)
A = ■
2r
сф
B2 , =
2n-1
пЛнa (1 - cos ф0) 1
(17)
(2п - 1)(4п -1) (18)
•[Р2п-2 (С0З% )- Р2п (С0З% )]'
Если принять условие, что контактное термосопротивление для каждой частицы будет одним и тем же, то тепловое термосопротивление всей системы можно рассматривать как группу параллельно включенных сопротивлений, каждая из которых состоит из последовательных сопротивлений одной частицы. Тогда тепловая проводимость через цепочечные структуры имеет вид
а = —---------Я-----, (19)
ц N £+Я—
где N,1,, N1 - соответственно, число частиц
на единицу площади и на единицу длины.
Предложенные выше аналитические зависимости получены при условии выполнения целого ряда приближений. Их адекватность требует значительной опытной проработки. Трудности использования аналитического аппарата возникают при определении контактного термосопротивления в зоне соприкосновения частиц наполнителя, поскольку проблематично находить площадь контакта частиц и усилия их взаимного прижима.
Литература
1. Мозговой Н.В., Попов Д.В. Влияние магнитомеханического воздействия на теплопроводность дисперсно-наполненных полимерных материалов // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2007. Т. 3. № 6 С. 21-23.
2. Мозговой Н.В., Попов Д.В. Теплопроводность дисперсно-наполненных полимерных материалов, обработанных в комбинированном физическом поле // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2008. Т. 4. № 12 С. 7-9.
3. Шлыков Ю.П., Ганин Е.А., Царевский С.Н. Контактное термическое сопротивление. М.: Энергия, 1977. -328 с.
4. Мадхусудана К.В., Флетчер Л.С. Контактная теплопередача. Исследования последнего десятилетия // Аэрокосмическая техника. - 1987. - № 3. - С. 103-120.
П=1
n=1
Воронежский государственный технический университет
HEAT CONDUCTIVITY OF MODIFIED DISPERSED-FULL POLYMER MATERIALS
N.V. Mozgovoy, D.V. Popov
The process of heat conductivity through a system of phisically modified dispersed-full polimer material, has been theoretically studied. Approximate equation for heat conductivity of anisotropic polimer material
Key words: heat conductivity, polimer material, filling material, binder
