CC BY
22
УДК 517.55
ТЕПЛИЦЕВЫ ОПЕРАТОРЫ И ВОПРОСЫ ДЕЛЕНИЯ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ГОЛОМОРФНЫХ В ПОЛИКРУГЕ ФУНКЦИЙ СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ
О.Е. Антоненкова, Н.А. Часова
Рассматриваются ограниченность теплицевых операторов и вопросы деления на внутреннюю функцию в пространствах ap (® ), при 1 < pj <+», j = .
Ключевые слова: весовое пространство, смешанная норма, голоморфная функция, оператор Теплица, внутренняя функция.
Пусть Un = |z = (zn ) : |zj| < 1, j = 1, nj - единичный поликруг в n-мерном комплексном пространстве C n , Tn = jd = (^1,...,dn ) : dj = 1, j = 1, n j - его остов, Q - множество измеримых неотрицательных на (0,1) функций о, для которых существуют положительные числа Щд, , qo, причем Щд, qm е(С0,1), такие, что
m < мт при всех г е(0,1), Ле^оЛ] (см. [1]).
о( r)
Через lP (ё) , p = (p1,-,pn), 1<Pj , j =1,n, о =(d\,...fi)n), (Oj eQ, j =1,n (см. [2]), будем обозначать пространство измеримых на Un функцийf для которых
\f\bp (ю) IIf ILp1.....pn (rnn)
1
( , \
А
Jо (1 -|d„|)J J|f (£,...,£,Тч (1 -Id.l)dm2 (d)l ...dm, (dn)
и V U )
V )
fn
< +ГО.
Тогда пространство Ар (з) со смешанной нормой определим как подпространство , состоящее из голоморф-
ных в ип функций. Обозначим н(ц") и ИР ((") (1 < р < +<» ) множество всех голоморфных функций и класс Харди в ип соответственно, тогда
Ар (3) =и{цп (3).
Оператором Теплица с символом hеL1(тn) называется интегральный оператор вида:
Th (f )(z )=J ^pdm« (d)
L 1 - zd
- zd
где = ГТ -f е С (ип и Тп )п И (ип), £ = (£,,.., £п )е Тп, г = (*„..., Гп )е ип .
1 - \ 11 1 - г] £ ]
Поскольку множество С (и п и Тп )п И (и п) всюду плотно в пространстве ар (з ), то, исследуя теплицевы операторы на пространствах Ар (з ), мы, естественно, сначала рассматриваем их на указанных множествах.
Если Т (f )|аР^ < c0nSt |^||аР), для всех f е С(ип иТп)пИ(ип), то в этом случае будем говорить, что оператор Тк (f) ограниченно действует в пространстве Ар (ё ). Понятно, что тогда оператор Ть (f) имеет единственное расширение на всем пространстве Ар (з ), 1 < Р] < , ] = 1, п .
Пусть ) , г = (г1,---,гп )е(П , положим (£)= ГТ _1_.
]=1!
Введем в рассмотрение операторы D а , где а=(ц,...дп), а] >-1, ]=1 , П. Пусть § - голоморфная в ип
функция, § (г1,..., )= ^ - разложение Тейлора, г = (г1,..., гп )е ип, положим
к1,...,кп=0
D(g (z )=1Г(Г(^ +Г +А ^, z=(zlv..z„), (=((,..(),
Г( + 1)Г(к +1)
k=qx (( + 1)r(k +1)
г(( +1 + k) r((j +1 + k}) Г ф
здесь —^—г——= I —t--—х-г—-—t, 1 - функция Эйлера.
г(а + 1)r(k +1) j =1 г(( + 1)r(kj +1)
Обозначим через A( (oa)={g е H (un): D(+g e Aq (3a)j, где q = (ql,...,qn), q3 =, 1< pj
pj -1
- I \ Г t а }
а >0,, 3а ЦЗа,"3, ^()=з1(t) , ]=1,п.
\®j\t))
Опишем те символы Н, при которых операторы Т (f )(г) действуют в пространствах Ар (з), при 1< Ру <+^,
] =1,
п. Имеет место следующее утверждение:
Теорема 1. Пусть 1<ру <+^, у =1,П, НеН (и"). Тогда, если Т-(/) является ограниченным оператором в пространстве Ар (з) , то Юа+1Н е Ад (3а ), где Ц = ), д =—р—, у =1, П. Обратно: если Н - мультипли-
. Ру —1
катор пространства А"а (за ), то Т- (/) действует в пространстве Ар (з).
Даная теорема является обобщением результатов, полученных в работах [3,4,5,6], при этом существенно используются результаты работы [2] и применяется метод работы [6].
Для доказательства нам потребуется следующее утверждение:
Лемма. [7] Пусть Ф - линейный непрерывный функционал на Ар (з), 1< ру <+« у =1 , п и g (г ) = Ф (ег),
ип и е А (3а) при а >аз , 3а =(3а1,...,3а), (¿) = 3] (¿)
г е ип. Тогда я - голоморфна в Цп и Я g е А \0)а) при а >аю<, 3а = \3а,...,3а), за< Ц )= 3 , у =1,п, где д = (д1,...,дп), д^ = —Ру ^ , у =1,п, и Ф представим в виде
Г ^д
3 (t))
Ру -1
Ф(/)= Нт |/((С), (1)
р^1—0 ■ Тп
причем справедливы оценки
СЛЮа+1 <Ф< СЛЮа+1 я . . (2)
'И &\\лд (3а) 11 11 2 II Й|Ьд (3а)
Верно и обратное: любая функция g, такая, что Ю Я е А(за) по формуле (1) порождает линейный непрерывный функционал на Ар (3 , для которого справедливы оценки (2).
Доказательство теоремы 1. Пусть ТН (/) - ограниченный оператор в пространстве А (з), тогда из неравенства ||Т- ( /) < С1/1 , следует, что Т(/ )(0) - линейный непрерывный функционал на А (з) Следовательно, по
II Н^ /||Ар (з) 1К ИАР (з) НЧ
лемме, существует функция я такая, что Ю Я е А (за ) и
Т-н(/)(0)= Иш |/(С),
Тп
но, с другой стороны,
Тн (/Х0) = (С)МС>К (С), Н е Н1 (ип),
Тп
для любой функции / е АР (3. Положим /X (С) = С г , тогда
шп0 {С^я^Ст (с)= {с^МОч (с) •
Цп) то, Н (г) Нк (г) - однородное разложение функции Н, где
к=0
\ (г) = С (п, к) | Н (С )гк С^тп (С). Запишем также формулу Коши для функции я р(г) = я (рг), 0 <р< 1
п
Т"
( с(с) —к
Я(рг) = --' = ^С(п,к)я(рС)гкС , т.е. я(г) = ^Як(г) - однородное разложение функции я, где
Тп 1 — ¿с к=0 к=0
як (г) = Нт0С(п,к)|я(рС )гк С(С). Таким образом, получаем
як® = К®, к = 0,1,2,...
я ( \ , / ч _ _ Юа+
следовательно, я (г) = Н(г) и так как Юа+1я е Ад(за), то отсюда следует, что Юа+1Н е А(за).
Докажем обратное утверждение. Пусть Н - мультипликатор пространства А а (3 а ). Покажем, что Т- (/) отображает пространство Ар (з ) на Ар (3 ). Пусть
^ (г) = М г) = / /1(С)НСС) 0тя (С) ,0 <р< 1
Тп 1 — ргС
и Ф - линейный непрерывный функционал на Ар (3 такой, что
ф^ )= II Р , ||Ф|| = 1.
V р> II р||АР (3)' II И
По лемме функционал Ф порождается функцией / такой, что Юа+1/е Ад (за) , при этом
с, < D а+у , < с
1 II ^ IA (О 2
Вычислим
J F (pz FH>„ (z) = JJ dmn (cWWdmn (z) =
T n T n T n A t-S £ L-
= | / (С НО/^р—(С)= / / (С )йЮГ(р— С {2)тп (С)
тп Тп 1 р'гС Тп Тп 1 рС г
Следовательно,
]> (р /р)1тп (г )= //(С)Н (СУЮК (С).
Тп Тп
Поскольку Н - мультипликатор пространства Аа (за ), то Ю (Н • /) е Ад (за ), следовательно,
Ф (/ )= Шп 0 // (С)Н (сУ(Р2СК (С) (3)
Тп
определяет линейный непрерывный функционал на Ар ( 3 ) и, согласно .
| лемме,
Ф
< с
D"+1 (h •
A
, < const
A (О
Теперь используем представление (3) и оценку ф( f ) < ф • II fil .. Тогда
| || || IK IIAP (о)
ф(
f < cd"+1 (h a ia, au> o).
Значит
F < C f p
II HI Ap (0) " lly Ha" (o ) *
Устремляя p ^ 1 - 0 , получим F E A (О - Таким образом, T (f) действует в пространстве A (О- Теорема доказана.
Рассмотрим одно из приложений данной теоремы к вопросам деления на хорошую внутреннюю функцию в рассматриваемых пространствах.
Напомним, что функция g E Hœ(u ) называется внутренней, если ее радиальные предельные значения удовлетворяют условию g (о )| = 1 почти всюду на T" . Внутренняя функция g E H (U" ) называется хорошей, если наименьшая n-гармоническая мажоранта функции logg тождественно равна нулю (см. [8]).
Теорема 2. Пусть p = (p1,..., pn ), 1 < p. <+<» , 0=(o1,...,On ), o j eq , j = 1, n , f e Ap H1 (j" ) и f = g • F, где g - хорошая внутренняя функция, тогда F e Ap (o ).
Доказательство. Так как f eH1(U), то F E H (U" ) (см. [9]). Запишем формулу Коши для функции F :
F (z )= J (С),
1 - zS
тогда
F (z )= ¡(Цм, (S) = Ji<£№„, (S) = J«^. (S).
Tn 1 - zS t" 1 - zS T" 1 - zS
Поскольку f e A p (О ), то по теореме 1, F e Ap (o ).
Discusses the boundedness of Toeplitz operators and the questions of division by inner function in spaces ap (0 ), 1 < Pj < , j = 1, " ■ Keywords: weighted space, mixed norm, holomorphic function, Toeplitz operator, innerfunction.
Список литературы
1. Сенета Е. Правильно изменяющиеся функции. - М.: Наука, 1985. - 141 с.
2. Shamoyan F.A., Yaroslavtseva O.V Continuous projections, duality and the diagonal map in weighted spaces of holo-morphic functions with mixed norm// Investigations on linear operators and function theory. 25, Zap. Nauchn. Sem. POMI, 247, POMI, St. Petersburg.- 1997.- pp. 268-275.
3. Harutyunyan A. V. Topelitz operators and division theorems in anisotropic spaces of holomorphic functions in the poly-disk// Complex Variables - 2003- Vol. 48, no. 4, pp. 347-363.
4. Антоненкова О.Е. Теплицевы операторы в весовых пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой // Вестник Брянского государственного университета. - N° 4(2007): Естественные и точные науки. - Брянск: РИО БГУ, 2007. - С. 5-8.
5. Часова Н.А. О теплицевых операторах в пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. - Казань. - 2002. - Т. 14.
6. Шамоян Ф.А., Арутюнян А.В. Теплицевы операторы в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Доклады АН Армении. - 1990. - Т. 91. - № 4. - С. 147-151.
7. Шамоян Ф.А., Часова Н.А. Ограниченные проекторы и линейные непрерывные функционалы в весовых пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой. - Брянск: Издательство БГУ, 2002. - 26 с.
8. Рудин У Теория функций в поликруге. - М.: Мир, 1974. - 160 с.
9. Шамоян Ф. А. Теплицевы операторы и деление на внутреннюю функцию в некоторых пространствах аналитических функций // Докл. АН АрмССР. 1983. Т. 76, № 3. С. 215-219.
Об авторах
Антоненкова О.Е. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики Брянского государственного инженерно-технологического университета, [email protected]
Часова Н.А. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики Брянского государственного инженерно-технологического университета, [email protected]
УДК 621.378.4
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ И НЕЛИНЕЙНОЕ ЭЛЕКТРООТРАЖЕНИЕ В ГЕРМАНИИ С УЧЕТОМ ОБЪЕМНОГО И ПОВЕРХНОСТНОГО ВЫРОЖДЕНИЯ НОСИТЕЛЕЙ
И.М. Баранова, К.Н. Евтюхов
Рассмотрена применимость теории генерации оптической второй гармоники в центросимметричных полупроводниковых кристаллах для диагностики германия и германиевых наноструктур. Доказана справедливость приближений слабого поглощения накачки и малых углов преломления, применимость модели экспоненциально убывающего электростатического поля. Выявлены условия отсутствия вырождения носителей в германии.
Ключевые слова: отраженная вторая гармоника, нелинейное элетроотражение, германий, вырождение
В последние годы активно изучается явление генерации отраженной второй гармоники (ОВГ) лазерного излучения на поверхности центросимметричных полупроводников. Причина этого - возможность использовать сигнал ОВГ для многоцелевой диагностики указанных полупроводников и тонкослойных структур (наноструктур) на их основе. При этом главное внимание было обращено на кремний, как основной материал современной микроэлектроники. Результаты множества работ, посвященных генерации второй гармоники (ВГ) в кремнии и в кремниевых наноструктурах, обобщены в монографии [1]. Там же изложена теория генерации ВГ в центросимметричных полупроводниковых кристаллах класса т3т. Эта теория позволяет адекватно интерпретировать результаты диагностики кремния и структур на его основе с помощью генерации ВГ, в частности - ОВГ. Однако представляет интерес и возможность использования генерации ВГ для диагностики другого важного представителя полупроводниковых кристаллов класса т3т, а именно - германия [2-5].
В связи с этим в данной работе рассматривается вопрос о том, в какой мере и при каких условиях теория генерации ВГ [1] пригодна для изучения германия. В частности, речь пойдет о применимости для Ge теории явления нелинейного электроотражения (НЭО), то есть зависимости параметров ОВГ от статического электрического поля, проникающего в приповерхностную область полупроводника - так называемую приповерхностную область пространственного заряда (ОПЗ).
Невозможность автоматического переноса теории генерации ВГ, разработанной преимущественно для Si, на случай изучения Ge обуславливается в первую очередь тем, что в Ge ширина запрещенной зоны существенно меньше, а поглощение светового излучения сильнее, чем в Si (не принимая во внимание некоторые спектральные особенности).
1. Линейные оптические свойства Ge. Применимость приближений слабого поглощения накачки и малых углов преломления в нелинейной оптике ^Основными источниками лазерного излучения (накачки) в нелинейной оптике полупроводников являются лазер на гранате с неодимом (АИГ:№3+), работающий на фиксированной длине волны А1 = 1060 нм и титан-сапфировый лазер (ТСЛ), перестраиваемый в диапазоне от ~700 нм до ~ 800-900 нм.
Геометрия распространения волн накачки и ВГ в приповерхностной области Ge определяется его линейными оптическими параметрами: комплексными диэлектрической проницаемостью £=£' + ¡б" и показателем преломления
Комплексность значений этих оптических величин обусловлена наличием поглощения. Используются также такие параметры, как коэффициент поглощения излучения в среде (по интенсивности) а и характерная глубина проникновения излучения в среду г (¡=1 для накачки, ¡=2 для ВГ).
Указанные параметры связаны соотношениями (формула для а - приближенная):
