CC BY
27
УДК 519.7
ТЕОРИЯ ЦВЕТОВОГО ЗРЕНИЯ. II1
БОНДАРЕНКОМ. Ф.ЩАБАНОВ-КУШНАРЕНКО С.Ю.
Рассматривается теория цветового зрения человека. Изучаются и формулируются экспериментально проверяемые условия линейности предикатной модели цветового зрения.
2.1. Координатные формулировки
В приложениях особенно важным является случай, когда оператор Р конечномерен, т.е. его образ имеет конечную размерность. Будем называть линейный предикат n-мерным, если ранг (рангом линейного оператора В называется размерность его образа; будем обозначать ранг оператора В через rgB ) отвечающего ему ортопроектора Р равен n . Заметим, что это определение корректно, если аффинная оболочка выпуклого множества V, на квадрате которого определен предикат Ф, совпадает со всем пространством. В противном случае ортопроектор Р не определен равенством (1.10) однозначно (формулы, разделы и утверждения, имеющие номер, который начинается единицей, относятся к работе [1]). Из первого равенства (1.13) видно, что для любого линейного оператора В, связанного с предикатом ф равенством (1.11), rgB = rgP . Таким образом, если предикат ф является n-мерным, то для любого такого оператора В будет rgB = n . В частности, так будет для любого оператора А, присоединенного к предикату Ф. В этой части, используя предыдущие результаты, мы разовьем координатную теорию линейных предикатов.
Лемма 2.1. Для того чтобы предикат ф, определенный на квадрате выпуклого множества V с
affV = -2[0, 1], был линейным, необходимо и достаточно, чтобы существовала линейно-независимая система линейных функционалов (в силу теоремы Рисса в гильбертовом пространстве существует канонический изоморфизм между векторами и линейными функционалами. Мы, однако, не всегда будем отождествлять векторы и функционалы в формулировках результатов, имея в виду удобство приложений) {аг }n=1 такая, что для любых х, у є V равенство
Ф(х, у) = 1 (2.1)
выполняется тогда и только тогда, когда
аг (х) = а, (у), і = 1,2,..., n. (2.2)
Достаточность. Пусть {аі }n=1 — линейно-независимая система линейных функционалов, для которой равенства (2.1) и (2.2) эквивалентны. Выберем любую линейно-независимую систему векторов
{еі }n=1 и рассмотрим оператор В, определенный равенством
1 Ч. I см. в журнале “Радиоэлектроника и инфор-
матика”,1998. №1. С. 106-117
Вх = Еаг (х)ег ■ (2.3)
і
Тогда равенства (2.2) означают, что Вх = Ву . Таким образом, для любых х, у єV равенства
ф(х, у) = 1 и Вх = Ву выполняются или не выполняются одновременно. Другими словами, имеет место равенство (1.12). Согласно лемме 1.1, предикат ф является линейным. Из линейной независимости систем {аг }n=1, и {ег }n=1 следует, что rgB = n . Ho тогда, как было замечено выше, и rgP = n . Значит,
предикат Ф является n -мерным. Достаточность доказана.
Необходимость. Пусть Ф — n -мерный линейный предикат. Выберем любой линейный оператор в ,
связанный с предикатом Ф равенством (1.12). Тогда rgB = n . Пусть {ег }n=1 — любой базис в подпространстве ImB . Тогда для оператора В найдется такая линейно-независимая система линейных функционалов {аг }n= , аг (х) = (Вх, ег), что при всех
х є 1}[0,1] справедливо равенство (2.3). Очевидно, для любых х, у є L [0,1] Вх = Ву тогда и только
тогда, когда аг(х) = аг(у), і = 1, 2,..., n . Комбинируя этот факт с формулой (1.12), получаем, что равенства (2.1) и (2.2) эквивалентны.
Лемма 2.1 доказана.
Если Ф — линейный предикат, р — соответствующий ортопроектор, то оператор В удовлетворяет равенству (1.12) тогда и только тогда, когда ImB* = ImP . Нас будет интересовать координатная формулировка этого утверждения. Если оператор В представлен в виде (2.3), то для оператора В * имеет место равенство
B * у = Е (ег, У) аг ■ (2.4)
i=1
Это значит, что
ImB* = -{аь а2,-, аД . (2.5)
Следствие 2.1. Для того чтобы две линейнонезависимые системы функционалов {аг }n=1 и {иг }n=1 определяли в смысле леммы 2.1 на квадрате выпуклого множества V с affV = -2[0, 1] один и тот же n -мерный линейный предикат, необходимо и достаточно, чтобы
-Цаь а2,-, аn} = -К,и2,-,Un} . (2.6)
Доказательство. Пусть система {аг }n=1 определяет
в смысле леммы 2.1 предикат Ф, а система {иг}”= — предикат A . Обозначим через р и Q ортопроекторы, отвечающие предикатам Фи T соответственно. Тогда
110
РИ, 1998, № 4
ImP = L{ab a2,..., a„}, ImQ = L{ul, u2,...,un}. (2.7) Поэтому (2.6) означает, что ImP = ImQ . Поскольку Р и Q — ортопроекторы, последнее равенство
эквивалентно Р = Q . Но в случае affV = L2[0, 1] равенство Р = Q выполняется тогда и только тогда,
когда Ф = T .
Следствие 2.1 доказано.
Для получения координатных аналогов результатов из разделов 1.5^1.7 мы, как и ранее, раздельно
рассмотрим различные случаи множеств V .
Лемма 2.2. Для того чтобы предикат Ф, определенный на квадрате пространства Ц2[0, 1], был n -мерным линейным, необходимо и достаточно, чтобы существовали системы линейно-независимых векторов {ek }n=1 и линейно-независимых функционалов {ak }n=1 такие, что для любого x є L2[0,1]
Ф(х ,^єі +... + ^пеп) = 1 (2.8)
тогда и только тогда, когда
\ k = a k (x), k = 1,2,..., n. (2.9)
Достаточность. Пусть системы {ek }п=1 и {ak }J!=1 с указанными свойствами существуют.
Рассмотрим оператор A, определенный равенством
Ах = £a k (x)ek. (2.10)
k=1
Пусть векторы x и у таковы, что Ф(х, Ау) = 1, т.е.
Ф(Х, a1( у)е1 +... + a п (У)е п ) = 1. (2.11)
Тогда по условию леммы
ak(У) = ak(x), k = 1,2,...,n , т.е. Ax = Ay .
Пусть, обратно, для векторов х, у є L2[1, 2] имеет
место равенство Ax = Ay . Поскольку {ek }JLj —
линейно-независимы, то тогда ak (x) = ak (у). Поэтому из условия леммы вытекает равенство (2.11) или, что то же самое, равенство Ф(х, Ау) = 1. Итак,
Ф(х, Ау) = 1 тогда и только тогда, когда Ax = Ay . Согласно лемме 1.2 отсюда следует, что предикат ф линейный. То, что этот предикат является n -мерным, следует из тех же соображений, что и в лемме
2.1. Достаточность доказана.
Необходимость. Пусть ф — n -мерный линейный предикат. Согласно лемме 1.2 существует такой
линейный оператор A , что равенство Ф(х, Ау) = 1 тогда и только тогда, когда Ax = Ay. Как было отмечено в начале настоящего раздела, rgA = rgP. По
условию rgP = n. Значит, и rgA = n . Тогда существуют такие линейно-независимые системы векторов
{ek }n=j и функционалов {a k }'n=1, что имеет место равенство (2.10). Легко видеть, что (2.11) выполняется тогда и только тогда, когда
ak(x) = ak(y), k = 1,2,..., n .
Но это значит, что равенства (2.8) и (2.9) эквивалентны. Лемма 2.2 доказана.
Будем говорить, что пара систем {ek}J! = и {ak }JLj присоединена к n -мерному линейному предикату ф,
определенному на квадрате пространства L2[0, 1], если она удовлетворяет условиям леммы 2.2.
Следствие 2.2. Для того чтобы пара линейнонезависимых векторов и функционалов {ek }п= и
{ak }n=j была присоединена к n -мерному линейному предикату ф, определенному на квадрате пространства L2[0, 1], необходимо и достаточно, чтобы равенство (2.1) было эквивалентно равенству (2.2) и
a, (ek) = Sik, i, k = 1,2,..., n , (2.12)
где Sik — символ Кронекера: Sik =1 тогда и только тогда, когда i = k .
Доказательство. Пусть системы {ek ^ и {a k ^ таковы, что равенства (2.1) и (2.2) для них эквивалентны и выполняется (2.12). Определим оператор А уравнением (2.10). Как и при доказательстве леммы 2.1, можно проверить, что выполняется
равенство Ф(х, у) = D(Ах, Ау). Далее, используя (2.12), получаем
( n \ n
aj(Ax) = 1 a j, £ak(х^к |=£a .(ek)ak(х) = a}.(х).
V k=1 J k=1
Поэтому
n n
А2 х = ^a j (Ах)є}- = j ( х)є}- = Ax.
j=1 j=1
Таким образом, А — проектор. Эквивалентность равенств (2.1) и (2.2) означает справедливость формулы (1.16). Из следствия 1.3 вытекает, что оператор А присоединен к предикату ф. Отсюда вытекает, что (2.8) эквивалентно (2.9).
Проверим необходимость. Пусть системы {ek}n=j и {ak }n=j присоединены к n -мерному линейному
предикату ф . Определим оператор А равенством
(2.10) . При доказательстве леммы 2.2 в сторону достаточности было показано, что так определенный
оператор А является присоединенным к предикату Ф . Тогда согласно следствию 1.3 оператор А присоединен к предикату ф . Отсюда вытекает, что (2.8) эквивалентно (2.9).
Проверим необходимость. Пусть системы {ek}n=j
и {ak }n=j присоединены к n -мерному линейному
предикату ф . Определим оператор А равенством
(2.10) . При доказательстве леммы 2.2 в сторону достаточности было показано, что так определенный оператор А является присоединенным к предикату Ф . Тогда согласно следствию (2.14)
РИ, 1998, № 4
111
Поскольку предикат ф является n -мерным, то
rgA = n . Отсюда следует, что система {ak }Ч=1 линейно-независима. Но тогда (2.14) может выполняться лишь при условии (2.12).
Следствие 2.2 доказано.
Перейдем теперь к случаю конуса.
Лемма 2.3. Для того чтобы предикат, определенный на квадрате воспроизводящего конуса К , был n -мерным линейным, необходимо и достаточно, чтобы существовали системы линейно-независимых
векторов {ek}>п=1 с К и линейно-независимых функционалов {a k }пк=1 такие, что
gi = g'i - g"i, i =1> 2,...> n . Система {gi '}n=i U {gi "}n=i
полна в подпространстве ImP . Пусть {р* }n=1 — базис, отобранный из элементов этой системы. Таким образом, в Imp существует базис {р* }n=1 с Р (К). Пусть {ak }>n=1 — двойственный базис в ImP . (Базисы
{a k }пк=1 и {р* }n=1 в одном и том же евклидовом пространстве называются взаимно двойственными (дуальными, биортогональными), если для каждого базиса существует единственный двойственный ему базис). Тогда ортопроектор р может быть представлен в виде
ф| * + IU, IU
Dг г ’ Z-i ІЄl ІЄl
1; І-* > 0; - > 0, І є І (2.15)
тогда и только тогда, когда
І = {|ai (x) < 0} , - = a* (i) при і £ І, -при * є І; равенство
(
Ф
х -
V
Е ai(хК, у
ієі (х)
Ea(x)e
iєl(х) )
a (0
(2.16)
выполняется тогда и только тогда, когда ф(х, у ) = 1.
Достаточность. Пусть системы {ek}Ч=1 и {ak}£= с указанными свойствами существуют. Определим, как и ранее, оператор А равенством (2.10). Далее,
определим на ImA отображения f1 и f2 равенствами f (Ах) = - Eai(х)є*, f,(Ах) = £a*(х)є*. (2.17)
iєl (х) Ш (х)
Легко видеть, что f (ImA) с К и f2 — f1 является
тождественным отображением на ImA . В замечании к лемме 1.4 было отмечено, что для применения этой
леммы достаточно, чтобы отображения f и f2 были
определены только на ImA. Легко видеть, что условия леммы 1.4 выполняются. Из этой леммы следует, что предикат ф является линейным. Поскольку системы {ek }J!=1 и {ak }£= линейно-независимы, то и, следовательно, rgA = n . Достаточность доказана.
Необходимость. Пусть предикат ф является n -мерным линейным, р — соответствующий ортопроектор. Множество Р (К) , очевидно, является конусом. Проверим, что этот конус воспроизводящий в подпространстве ImP . Действительно, пусть у є Im P . Тогда существует х є L2[0, 1] такой, что у = рх . Поскольку К — воспроизводящий конус, найдутся х1, х2 є К, при которых х = х1 - х2. Положим у1 = Рх 1, у2 = Рх 2. Тогда у = У1-У2, Уi є Р(К).
Пусть {g* }n=1 — произвольный базис в ImP . Поскольку Р (К) — воспроизводящий конус в ImP , существуют g\, g"i є P(K) такие, что
Px = E at (х)Р(. (2.18)
*=1
Выберем произвольным образом элементы et є K такие, что Ре t = р j, и положим
n
Ах = Ea(x)el. (2.19)
i =1
Заметим теперь, что
(ai, e2) = (Рai, e2) = (a*, P j) = 5y-.
Поэтому
Ae{ = e{, i = l,2,..., n . (2.20)
Положим І(х) = {| a*(х) <0} . Из (2.19), (2.20) и
линейной независимости векторов {ek }пк=1 следует, что равенство
А|х + J = А^Е—e ); - > 0; - > 0, * є І (2.21)
выполняется тогда и только тогда, когда І = І(х), - = a* (х) при ЫІ, — = -a* (х) при * є І.
Сравнивая равенства (2.18), (2.19) и Реt =рj, находим, что БДх, Py) = D(Ах, Ay) при всех
х,у є L2[0,1] . Поэтому из определения (1.11) вытекает равенство
(х, у ) = D(Лх, Ay), х, у є K , (2.22)
которое позволяет переписать (2.21) в виде (2.15). Тем самым доказано выполнение первого из условий леммы 2.3. Выполнимость второго очевидна. Лемма 2.3 доказана.
Будем говорить, что пара систем {ek }£= и {a k }£=
присоединена к n -мерному линейному предикату ф, определенному на квадрате воспроизводящего конуса К , если она удовлетворяет условиям леммы 2.3.
Следствие 2.3. Пусть К — воспроизводящий конус в L2[0,1]. Для того чтобы пара линейно-независимых
систем векторов и функционалов {ek }n=1 и {a k }£= была присоединена к n -мерному линейному предикату ф, определенному на квадрате конуса К, необходимо и достаточно, чтобы равенство (2.1) было эквивалентно (2.2) и имело место (2.12).
Это утверждение проверяется аналогично следствию 2.2.
112
РИ, 1998, № 4
Рассмотрим случай выпуклого множества V . Нам понадобятся некоторые определения из выпуклого анализа [2, 3]. Функция Р(х), х eV называется аффинной, если для любых х1, x2 eV
Р(А,!X! + X2Х2) = ^lP(Xj) + X2Р(Х2), Xi + X2 = 1.
Если V = L [0,1], то непрерывная аффинная функция Р однозначно представима в виде
Р(х) = (b, х) + с, (2.23)
где b e L2[0,1], с — число. Система точек {ek(^=1 называется аффинно-независимой, если равенства
n+1 n+1
Tjkek = 0, Ey k = 0
k=1 k=1
могут выполняться лишь при y k = 0, k = 1,2,..., n +1. В любом n -мерном аффинном многообразии существуют аффинно-независимые системы из n +1 точек и не существуют такие системы из большего числа точек [3, с. 211 (теорема Каратеодори)]. Таким
образом, если система {e, }n=11 аффинно-независима,
то rg aff{e}n=+11 = n. Любой вектор х e afffe }”+/ представим в виде
n+1 n+1
х=ЕРiei, ЕР,-=1. (2.24)
i=1 i=1
Если система {e, }n+11 аффинно-независима (и только в этом случае), представление (2.24) единственно. В этом случае р, (х) — непрерывные аффинные функции, удовлетворяющие тому условию, что система линейных уравнений
Р, (х) = s,, i = 1,2,..., n + 1, (2.25)
разрешимых при любых правых частях таких, что s1 +... + sn+1 = 1. Эти функции называются барицентрическими координатами. Полагая в (2.24)
I(x) = {i | р, (х) < 0}, а0(х)
С у1
ЕР, (х)
v (х)
а, (х) = а0 в, (х),
(2.26)
приходим к представлению (здесь и далее сумму по пустому множеству индексов считаем равной нулю):
а 0х + Еа ,ei = Еа ,ei, (2.27)
Ш Ш
а, > 0; а 0 > 0; а, > 0 при i e I;
а0 +Еа, =1; Еа, =1 (228)
ieI Ш ■ 4 ■ '
Обратно, если для точки х имеет место представление (2.27), (2.28), то, полагая
Р, (х)
а, (х)/а0 (х), i ШI(х),
-а, (х)/а о (х), i e I (х), (2.29)
приходим к представлению (2.24). Представление (2.27), (2.28) для каждой точки х e aff{e, }n=11 является единственным тогда и только тогда, когда система {e, }n=11 аффинно-независима.
РИ, 1998, № 4
Пусть {а, ( х)}п=01 — некоторая система функций в L2[0, 1] и I(х) — некоторое отображение L2[0, 1] ^ {1, 2,..., n +1} , удовлетворяющее при всех х e L2[0, 1] условию (2.28). Введем систему функций {Р,(х^у1 равенствами (2.29). Будем называть {а, (х)}П+01 I(х) системой однородных координат, если функции р,- (х) являются аффинными и система
(2.25) при условии s1 +... + sn!1 = 1 разрешима.
Лемма 2.4. Для того чтобы предикат ф, определенный на квадрате выпуклого множества V c
affV = L2[0, 1], был n -мерным линейным, необходимо и достаточно, чтобы существовали системы аффинно-независимых точек {e, }n=11 с V и однородных координат {а, (х)}”+(1 , I(х) такие, что
Фу 0х +Е^ ,e,, Е^ ,e, 1 =1; (2.30)
iei ІШІ
Z 0 > 0, Z, > 0, i e I; Z, > 0, i ШI,
Z0 + EZ, = 1, EZ, = 1 (2.31)
ieI ІШІ
тогда и только тогда, когда у =а, (х), I = I(х); равенство
Ф
а0(х)х + Еа,■(х)є,, а0(х)у + Еа,(Ф,
V ieI(х) ieI(х) J
= 1
(2.32)
выполняется тогда и только тогда, когда фх, у) = 1. Достаточность. Пусть системы {e,}”+/ и
{а, (х)}П=0 , I(х) с указанными свойствами существуют. Рассмотрим пару точек х, у , удовлетворяющих
условию Ф(х, у) = 1. Тогда имеет место равенство (2.32). Кроме того, по условию
f
\
Ф а 0(х)х + Е а, (х)є, , Е а, (х)є,
v ieI(х) Ш (х) у
Из (2.31) и (2.33) получаем
1 .(2.33)
(
Ф
Л
а 0(х)у + Е а,(х)є, , Е а,(х)є,
= 1.
(2.34)
ieI (х) Ш (х)
Поэтому из первого условия леммы следует, что I(у) = I(х); аi (у) = а, (х), i = 0, 1,..., n +1. (2.35) Но тогда и
Р,(х) = Р, (у), i = 1,2,..., n + 1. (2.36)
Пусть выполняется (2.36) и, следовательно, (2.35). Тогда имеет место равенство (2.34). Комбинируя его с (2.33), получаем (2.32). Тогда по условию леммы
фх,у) = 1.
Исходя из (2.23), можно переписать равенство (2.36) в виде Ах = Ау , где
113
n+1
Ax = Е Ф,, x)ei ,{bi, x) = p i (x)- Ct. (2.37)
i =1
Таким образом, Ф(х, у) = 1 тогда и только тогда,
когда Ах = Ау . Из леммы 1.1 следует, что предикат ф линеен. Осталось показать, что rgA = n . Рассмотрим аффинное отображение
n +1
C (х) = ЕРг(х)еi. (2.38)
i =1
Тот факт, что система (2.25) разрешима при любых [si}n+1, сумма которых равна 1, означает, что
JmC=aff {Єі }f=+/ . Но нетрудно видеть, что C(х) =
= Ах + d , где d = c1e1 +... + cn+1en+1 и, следовательно, ImA = ImC-d . Поэтому размерность линейного оператора А совпадает с размерностью аффинного оператора С , т.е. размерностью aff{ei}"+ . Последняя равна n, так как векторы {ei }n=11 аффиннонезависимы. Достаточность доказана.
Необходимость. Пусть предикат Ф является n -
мерным линейным, P — соответствующий ортопроектор. Проверим, что
affP(V) = ImP. (2.39)
Действительно, P(V) с ImP. Поскольку ImP — линейное, а следовательно, аффинное многообразие, отсюда вытекает включение affP(V) = ImP. Пусть
у є ImP . Тогда существует х є L2[0, 1] такой, что у = Рх . Поскольку affV = L2[0, 1], то, согласно (1.29), существуют такие точки х, у єV и числа Xb X 2, сумма которых равна 1, что х = X1x1 + X2х2. Поэтому y = X1 y1 + X2у2, где yi = Pxi є P(V). Отсюда видно, что у є affP(V). Равенство (2.39) доказано.
По условию rgP = n . Поэтому существуют такие векторы gi є ImP, i = 1, 2,..., n +1, что
aff{gi}n+11 = ImP . (2.40)
Согласно (2.39) и формуле (1.29) найдутся такие
системы {ui }”=11,{vi }n=11 є P(V) и числа X1i, X2i, что
gi =КЩ +X 2iVi, Xh + X 2i = 1, i = 1, 2,..., n +1. П°-
этому aff{gi}”=+/ C aff{{ui}n=11 u {vi}n=11} = ImP . Вместе с (2.40) это дает
aff{{ui}n=11 u {vi}n=+/} = ImP . (2.41)
Выберем из системы {ui}in=11 u {vi }n=+11 аффинно-независимую подсистему. Из (2.41) и равенства rgP = n
вытекает, что эта подсистема состоит из (n +1) -й точки и ее аффинная оболочка совпадает с образом P . Таким образом, существует аффинно-независимая система {єД+Д с P(V) такая, что
aff{ei'}”+/ = ImP . (2.42)
Отсюда следует, что для любого элемента х є L2 [0,1] существует единственное представление
n+1 n+1
Px = ЕР ЕР і = 1, (2.43)
i =1 i =1
причем барицентрические координаты pi (х) являются аффинными функциями. Пользуясь формулой (2.29) перехода от представления (2.24) к представлению (2.27), можно заключить, что существует
такая система однородных координат {ai (x)}”+], I (х), что равенство
% 0Px + Е% ' = Е%іЄі' (2 44)
при условии (2.31) выполняется тогда и только тогда, когда %г = aг (х), I = I(х). Пусть {ei}"=/ с V — любые
точки, для которых et = Pei. Равенство (2.44) может быть переписано в виде
p\% 0 х + Е% іЄі J = P\E%er J
или, учитывая формулу (1.11), в виде (2.30). Таким образом, первое условие леммы 2.4 проверено. Выполнение второго условия очевидно.
Лемма 2.4 доказана.
Будем говорить, что системы точек {ek }J!+1 и
однородных координат {ak(х)}+0 , I(х) присоединены к n -мерному линейному предикату ф, определенному на квадрате выпуклого множества V c
affV = L2 [0,1], если они удовлетворяют условиям леммы 2.4.
Следствие 2.4. Пусть V — выпуклое множество affV = L2[0,1] . Для того чтобы пара аффинно-независимой системы точек {ek }n+i с V и системы однородных координат {a k (х)}П+10 , I(х) была присоединена к n -мерному линейному предикату ф, определенному на V х V , необходимо и достаточно, чтобы равенство Ф( х, у) = 1 было эквивалентно (2.35) и были справедливы соотношения
а 0 (ey) = 1, а 0 (ey) = 8 ц, I (e;) = 0,
(i, j = 1, 2,..., n +1). (2.45)
Доказательство. Пусть пара {ek }n=10 и {a k (х)}^+1, I (х) присоединена к n -мерному линейному предикату ф . Тогда, как было показано при доказательстве леммы 2.4 в сторону достаточности, равенство
Ф(х, у) = 1 эквивалентно (2.35). Далее Ф(еj, еj) = 1. Это означает, что выполняется (2.30) с %0 = 1, % j = 1, %г = 0, при i Ф j, I = 0. В силу первого условия леммы 2.4 отсюда вытекает (2.45).
114
РИ, 1998, № 4
Пусть для пары [вк}n=0 и {ак(х)}П+|, I(х)
равенство Ф(х, у) = 1 эквивалентно (2.35) и выполняется (2.45). Заметим, что в силу соотношений (2.26) и (2.29) равенство (2.35) выполняется тогда и только тогда, когда выполняется (2.36), а (2.45) может быть переписано в виде
i,j = 1, 2,..., n +1. (2.46)
В частности, (2.30) выполняется тогда и только тогда, когда
Р j [$ о х+ Е$ ів j Є) J = P j |J$ e J .
Поскольку в j — аффинные функции и имеют место (2.31), то последнее равенство может быть переписано в виде
$ов j (х) + Е$ів j (e-) = Е$-в j (e-)
ієі iel
или, с учетом (2.46),
ві (х)
$ і 1 $ о, - е I, $ і1 $ о, - є 1.
Сравнивая это равенство с (2.29), находим, что первое условие леммы 2.4 выполняется. Выполнимость второго условия очевидна.
Следствие 2.4 доказано.
2.2. Предикаты, определенные на квадрате открытого выпуклого множества
Пусть V — выпуклое множество в L2 [0,1],
множество affV замкнуто и множество V открыто в affV . Это значит, что для каждой точки х є V
существует такая окрестность W , что W n aff V . Будем для краткости говорить при выполнении этих условий, что множество V относительно открыто.
В частности, если V — открытое множество, то оно, очевидно, относительно открыто. Всюду на протяжении этой статьи ф — обозначение для предиката, удовлетворяющего условиям 1^3 из раздела 1.4 [1].
Теорема 2.1. Для того чтобы предикат ф, определенный на декартовом квадрате относительно открытого выпуклого множества V , был линейным, необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял следующим условиям:
4) еслиФ(х, у) = 1 и Ф(х', у') = 1, то
х + х' у + у' 2 ’ 2
= 1-
5) существует такое подмножество и с V, откры-
тое в affV, что если последовательность {хк }/= схо-
дится к х є U , последовательность {ук }/= сходится
к у єи и Ф(Хк, Ук) = 1, то Ф(х, у) = 1.
Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Напомним, что двоично-рациональными называются числа вида m2~n, где m — целое число, n — натуральное. Проверим прежде
всего, что если Ф(х, у) = 1, Ф(х', у') = 1, у — двоично-рациональное число из отрезка [1, 0], то
РИ, 1998, № 4
Ф((1 — y)х + ух', (1-у)у + уу') = 1. (2.47)
Доказательство проведем индукцией по n. При n =1 двоично-рациональными числами из отрезка [0, 1] являются 0, 1/2 и 1. Для чисел у , равных 0 или 1, равенство (2.47) выполняется по условию 4, для у =1/2 этот факт эквивалентен условию 5. Предположим, что (2.47) доказано при данном n. Рассмотрим
число у вида к2_(n+1). Если к — четное, то у — число
вида m2-n и, следовательно, выполнимость (2.47) вытекает из предположения индукции. Пусть у — нечетное число. Тогда у =2 m +1, где m — некоторое натуральное число. Положим, у і = m2-n ,
у 2=(m +1)2-n . Очевидно, у =1/2(у 1+у 2). По предположению индукции
ф((1 —У1) х + У\х\(1 —У1) у + Y1 у') = 1,
Ф((1 —У 2 ) х + У 2 < (1—У 2 ) у + У 2 у') = 1 . Применив к двум последним равенствам условие 4, получим (2.47). Таким образом, (2.47) доказано.
Обозначим через S множество всех элементов $ из L2 [0,1], представимых в виде
$ = в(х — у); х,у є V; Ф(х, у) = 1; в> 0. (2.48)
Пусть для некоторой точки $ є S имеет место равенство
$ = в'(х' — у'); х',у'є V; в' > 0. (2.49) Покажем, что тогда
Ф( х', у') = 1. (2.50)
Согласно определению множества S для точки $ существует представление (2.48). Рассмотрим вначале частный случай, когда в (2.48) х, у єи . Без ограничения общности можем считать, что множество U выпукло (если это не так, можно взять в качестве нового множества U любой открытый шар в aff V, являющийся частью U). Заметим, что для точек х, у єU из равенства Ф(х, у) = 1 вытекает, что Ф(и, v) = 1, и, v є [х, у]. (2.51)
Действительно, пусть z(y) = (1 — у)х + уу, у є [0,1]. Если у — двоично-рациональное число, то в силу (2.47) из равенств Ф(х, у) = 1 и Ф(у, у') = 1 получаем Ф( z(y), у) = 1. (2.52)
Если у не является двоично-рациональным, то найдется последовательность двоично-рациональных чисел {ук }“= , сходящаяся к у . Тогда, очевидно, последовательность {Дук )}£= сходится к точке z(у). Но в силу (2.52) Ф(z(ук), у) = 1. Поскольку z(yк), у єU , из условия 5 следует (2.52). В частности, из (2.52) получаем Ф(и, у) = 1, Ф^, у) = 1. Отсюда
вытекает (2.51). Зададим числа8Ь 52 є [—1,1] и положим (рис. 1)
115
x + у
u =----—
2
+ 5ЧУ - x),
x + y
V =----—
2
f( y- x).
Так как u, v є [x, y], то в силу (2.51) Ф(и, у) = 1.
Пусть z — произвольная точка отрезка [х', у']. Зафиксируем двоично-рациональное число у є (0,1), достаточно близкое к 1. Тогда точка W , определенная равенством
W = \ 1 --Y
х + у 2
1
+— z Y ’
(2.53)
достаточно близка к z и поскольку V — относительно открытое множество, отсюда следует, что w єV . Из равенств Ф(и, V) = 1, Ф(w, w) = 1 с помощью (2.47) находим
Ф((1- у)и +yw, (1- y)v + yw) = 1. (2.54)
Имеем
(1 - y )u + yw = (1 - y)u + (y - 1)(x + y) / 2 + z =
= z + (1 - Y)(u - (x + у)/2)) = z + (1 - y)(§1 / 2)(у - x) . Но из равенств (2.48) и (2.49) следует, что у-x = (в'/в)(у'-х') .Поэтому
(1 - y)u + yw = z + 5js(у' - x'), где s = в'(1 - y) / 2y . Аналогично
(1-y)v + yw = z + 52s(у1 - x').
Но 5j, 52 — произвольные числа отрезка [-1, 1]. Поэтому (2.54) означает, что для любой точки z є [x',у'] существует такая окрестность на отрезке
[x',у'], для любых точек которой будет Ф(u',v') = 1 . Поскольку отрезок является компактным множеством, из покрытия отрезка [x',у'] этими окрестностями можно выбрать конечное подпокрытие [4]. Отбросим те из оставшихся отрезков, которые являются частью какого-либо другого отрезка покрытия.
Пусть {[uj, vi ]}i=j — получившееся покрытие. Тогда
Щ = x',VN = у', ui < ui+1 < у- < Vi+1 .Поэтому
Ф(ui, ui+1) = 1, а следовательно, Ф(x', uN) = 1. Кроме
того, Ф(uN, у') = 1. Из двух последних равенств вытекает (3.50).
Рассмотрим теперь другой частный случай, когда в (2.49) x',у' є U . Для произвольной точки z є [x',у']
введем точку w равенством (2.53), где у є (0,1) — какое-либо двоично-рациональное число, при котором w є U . Из равенств Ф(x, у) = 1, Ф^, w) = 1 с помощью (2.47) находим
Ф((1- y)x + yw, (1- y)v + yw) = 1. (2.55)
Имеем (1-y)x + yw = z-s(у'- x'),
(1- Y)у + Yw = z + s(у'-x'), где s = в'(1 - Y)/2e . Поэтому из (2.55) и свойства (2.51) вытекает, что для каждой точки z є[x',у'] существует такая окрестность на этом отрезке, для любых точек u',v' которой будет Ф(u',v') = 1. Как и в предыдущем
случае, отсюда вытекает, что Ф(x', у') = 1.
Перейдем теперь к общему случаю. Зафиксируем произвольную точку х" є U . Подберем такое положительное число в" , чтобы точка
у" = x + в(в ")-1 (x - у) принадлежала множеству U . Тогда
§ =в " (у" - x"); x", у" єU; в " > 0. (2.56) Это второй из рассмотренных ранее частных случаев. Поэтому Ф( х", у") = 1. При сравнении § представления в виде (2.49) и (2.56) мы находимся в условиях первого частного случая. Это позволяет заключить,
что Ф( х', у') = 1. Равенство (2.50) полностью доказано.
Заметим теперь, что для любых точек x, у є V соотношения
Ф(х, у) = 1 и x-у є S (2.57)
эквивалентны. Действительно, из равенства Ф(х, у) = 1 по определению множества S следует,
что x-у є S . Обратное утверждение справедливо, поскольку (2.49) имплицирует (2.50).
Множество S замкнуто. Действительно, пусть
последовательность {§n}“=1 с S сходится к некоторой точке §. Зафиксируем произвольную точку а єU . Как видно из определения (2.47), множества S и формулы (1.30), при любом числе s точки вида а + s§n є affV . По условию affV — замкнутое множество. Поэтому и точка а + s§є affV . Но множество U является открытым в affV . Поэтому если s — достаточно мало, то отсюда следует, что а + s§ є U . Имеем
§ „ =1[(a + s§n) - a]
s
Поскольку из (2.49) вытекает (2.50), то Ф(а + s§„, a) = 1. В силу условия 5 тогда и Ф(а + s§, a) = 1. Отсюда и из равенства
§ = -[(a + s§) - a] s
следует, что § є S . Итак, S — замкнутое множество. Пусть Ф( х, у) = 1, Ф( х', у') = 1. Покажем, что тогда
РИ, 1998, № 4
116
равенство (2.47) справедливо при всех (не обязательно двоично-рациональных) числах у є [0,1]. Положим £ = х - у , £ = х' - y', £(у) = (1 -у)^ + у^'. Очевидно,
^(У) = ((1 - Y)х + ух’) - ((1 - у)у + у/). (2.58) Поэтому (2.47) означает, что в случае двоичнорационального числа у точка ^(у) принадлежит S. Аппроксимируя произвольное число у сходящейся к нему последовательностью двоично-рациональных чисел и используя замкнутость множества S, получаем, что при любом у є [0,1] точка ^(у) принадлежит S. Таким образом, из (2.58) и свойства (2.50) вытекает (2.47).
Покажем теперь, что множество S является линейным многообразием. Пусть ^є S, у — произвольное число. Если у > 0 , то из (2.48) следует, что у^ = (уР)(х - у), Ф(х, у) = 1, уР> 0.
Поэтому у^є S . Если у < 0 , то из (2.48) получаем = (-УР)(у - х), Ф(у, х) = 1, - уР > 0. Следовательно, у^є S . Наконец, если у = 0 , то у£, = 0 и, значит, у£, = х - х, Ф(х, х) = 1, так что у^є S . Далее, для любых точек ^, £,' є S из соотношений ^ = Р( х - у), %' = Р' (х' - у') , Ф( х, х) = 1 ,
Ф(х', х') = 1, р> 0,Р' > 0 при у = Р'(Р + Р')-1 вытекают равенства
^'= (Р + Р' )(((1 - у)х + ух') - ((1 - у)у + уу ')) и (2.47). Это означает, что ^ + ^' є S .
Итак, S — линейное подпространство в L2 [0,1]. Пусть р — ортопроектор на ортогональное дополнение S1 к S. Равенство Рх = Ру выполняется тогда
и только тогда, когда х - у = S . Поэтому из эквивалентности соотношений (2.57) вытекает (2.47).
Теорема 2.1 доказана.
В приложениях для проверки выполнимости условий 4 и 5 в каждой конкретной ситуации следует проводить экспериментальное исследование. При этом имеющиеся средства исследования могут быть различными в различных ситуациях. Для проверки выполнения условия 4 экспериментатор должен иметь возможность для любых физических сигналов х и у формировать средний между ними сигнал
(х + у) / 2 . В случае, когда этими сигналами являются излучения, сумма имеет естественную физическую интерпретацию — смешение излучений, а умножение на положительное число X интерпретируется как увеличение интенсивности излучения в X раз при сохранении спектрального состава. Таким образом, сигнал (х + у) / 2 может быть сформирован в два этапа — сложение и умножение на 1/2. Для удобства приложений теоремы мы укажем различные варианты формулировки условий 4 и 5.
Условие 4 может быть заменено совокупностью двух условий:
4а) если Ф(х, у) = 1 и Ф(х\ у’) = 1, то
Ф( х + х', у + у’ ) = 1 ,
4б) если Ф(х, у) = 1, то ф^х, у j = 1.
Действительно, из 4а, 4б, очевидно, вытекает условие 4, и поэтому теорема 2.1 останется справедливой в сторону достаточности, если заменить 4 на 4а и 4б. Справедливость теоремы в сторону необходимости при такой замене также очевидна.
Легко увидеть также, что условие 4 может быть
заменено условием: если Ф(х, у) = 1 и Ф(х', у') = 1, то
при любом у є [0,1] имеет место равенство (2.47).
Еще один вариант: если Ф(х, у) = 1, Ф(х', у') = 1,
то при любых а и Р, для которых ах + Рх'єУ ,
ау + Ру' є У , имеет место равенство
Ф(ах + Рх', ау + Ру’) = 1.
Условие 4, однако, не может быть заменено одним лишь условием 4а. Это видно из следующего примера. Пусть У = L2 [0,1], e — произвольный ненулевой вектор в L2 [0,1] . Рассмотрим предикат Ф на У х У ,
равный 1 тогда и только тогда, когда (е, х - у) — целое число. Очевидно, для этого предиката выполняются условия 1, 2, 3, 4а, 5, но не существует ортопроектор Р , для которого условия Pz = 0 и (е, z) — целое число эквивалентны при всех z .
Аналогично, условие 4 не может быть заменено следующим более слабым условием:
Ф(ху) = 1„ Ф(х'.у') = ЬТО Ф(^, у) = 1
В качестве примера рассмотрим предикат Ф, определенный на L2[0,1] х L2[0,1] условием: Ф(х, у) = 1 тогда и только тогда, когда х = у или
(х, е) = 0 и (у, е) = 0 , где e — произвольно фиксированный ненулевой вектор. Этот же пример показывает, что условие 4 не может быть заменено условием:
( х + х j
если Ф(х, у) = 1 , то Ф1 2 , у I = 1.
Условие 5 может быть заменено условием 5а: существует такая точка и такая окрестность u с У
этой точки, что если последовательность {х* }/=! сходится к х єи и Ф(хк, у) = 1, то Ф(х, у) = 1.
Тот факт, что теорема 2.1 остается справедливой при замене 5 на 5а в сторону достаточности, виден из доказательства теоремы. Справедливость в сторону необходимости вытекает из того, что условие 5а, очевидно, слабее условия 5.
РИ, 1998, № 4
117
2.3. Предикаты, определенные на квадрате произвольного выпуклого множества
Множества, фигурирующие в частных случаях, описанных выше, не являются открытыми в своих аффинных оболочках. Например, положительный
конус в пространстве LL [0,1] является воспроизводящим, т.е. его линейная оболочка совпадает со всем пространством, однако он не является открытым множеством. Условия 1-3 из [1] и 4, 5 теоремы 2.1 не обеспечивают линейность предиката, если множество V не является относительно открытым. Это видно из следующего примера. Пусть предикат ф определен на квадрате положительного конуса К в
L2 [0,1] условием Ф(х, у) = 1 тогда и только тогда, когда х и у одновременно равны или одновременно не равны нулю. Условия 1-3 из [1] и 4 для этого предиката, очевидно, выполняются. Для любого открытого множества U , не содержащего 0, верно,
Доказательство. Наличие представления (2.59) вытекает из формулы (1.30). Покажем теперь, что среди представлений (2.59) существуют такие, которые удовлетворяют дополнительным условиям (2.60).
Зафиксируем произвольную точку х0 є V . Рассмотрим линейное пространство T (V) х R , элементами которого являются упорядоченные пары (x; t), где ^є T(V), t — действительное число. Введем в нем норму, полагая
life t) = д/И 2 + t2 .
Поскольку aff V — замкнутое множество, то T(V) — подпространство пространства L2 [0,1].
Поэтому T (V) х P с введенной таким образом нормой — гильбертово пространство. Определим множество К0 в пространстве T (V) х R равенством k0 = {(t(х - х0); t) | х є V, tє R}
что если последовательность {хк }£= с К сходится
к хє U , последовательность {yk }^=1 с К сходится к
у є U и Ф(хк, yk) = 1, то Ф(х, у) = 1. Тем не менее, этот предикат не является линейным. Действительно, если бы он был линейным, то, очевидно, условие 5 выполнялось бы при U = К . Это, однако, не так:
пусть хк ^ х, хк Ф 0 , yk ^ у , х = 0 , у Ф 0 . Тогда
Ф(хк, yk) = 1, но Ф(х, у) = 0 . Этот пример показывает, как следует усилить формулировку теоремы 2.1, чтобы она оставалась справедливой и для множеств, не являющихся относительно открытыми. А именно, следует потребовать, чтобы условие непрерывности было глобальным.
Теорема 2.2. Для того чтобы предикат Ф, определенный на декартовом квадрате выпуклого множества V с замкнутой аффинной оболочкой, был линейным, необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял следующим условиям:
4) если Ф(х, у) = 1 и Ф(х', у') = 1 то
(рис. 2). Множество К0 является конусом.
Действительно, если (t(х - х0); t) є К0 и Х> 0 , то X(t(х - х0); t) = (Xt(х - х0); Xt) є К0 . Пусть (ti (х,-х0); ti) є К0, i = 1,2 . Тогда
(t1 (XГX0), t1) + (t2 (х2-х0Х t2 ) = (t(x-x0), t) ,
где t = t1 +t2, х =—х1 +—х2 єV.
12 t 1 t
х + х' у + у' 2 ’ 2
= 1 •
Покажем теперь, что конус К0 является воспроизводящим в пространстве T (V) х R . Рассмотрим
5) если последовательность ^ }^=1 сходится к
х єV, последовательность {yk }£= сходится к у є V
и Ф(хь Уk) = 1, то Ф(x, у) = 1.
Для доказательства теоремы нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения.
Лемма 2.5. Пусть аффинная оболочка выпуклого множества V замкнута. Тогда для произвольной
точки х0 є V существует такая константа C , что любая точка ^є T (V) представима в виде
^=Р(х - у) Р> 0; х, у єV, (2.59)
где
Р = С N |; ||х - х^| ^ 1; ||у - х^| < 1. (2.60)
вначале точки пространства T(V) х R вида (N; 0).
Так как ^є T (V), то в силу указанного выше имеет место представление (2.59). Равенство (2.59) можно переписать в виде N = Р((х - х0) - (у - у0)). Поэтому
(N 0) = (Р(х - х0); Р) - (Р(у - у0); Р).
Очевидно, каждый из элементов, фигурирующих в правой части этого равенства, принадлежит конусу.
Теперь рассмотрим точки пространства T (V) х R
вида (0; t). Для них имеет место очевидное равенство
(0; t)= (/(х0 - х0), t)- (0 • (х0 - х0), о). Следовательно, такие точки также содержатся в
линейной оболочке конуса К0. Осталось заметить,
что любая точка (N; t) пространства представима в виде
118
РИ, 1998, № 4
Имеем
(Е t) = (Е; 0)+(0; t).
Поскольку каждая из точек, фигурирующая в правой части этого равенства, принадлежит L(K0), отсюда вытекает, что (Е; t) є L(K0).
Поскольку конус K0 является воспроизводящим в гильбертовом пространстве T (V) х R, то существует такая константа С , что для каждого элемента рє T (V) х R имеется представление
П = П -П2, (Пі, П2 є К0), (2.61)
при котором
ЦпЦ < С||п||, ||п21| - С|HI. (2.62)
Пусть Е — произвольная точка пространства T(V).
Тогда точка п = (Е; 0) є T (V) х R . В рассматриваемом случае представление (2.61), (2.62) примет вид
(Е 0) = (Р'( х'-Х0); Р') - (у'(у'-х 0); у'), (2.63)
21Ы12
р '2| х 1 -х0\\ +Р'2 < С2||Е Y'2||У '-xj2 +Y'2 < С||Е||
(2.64)
2
где р', у' — некоторые положительные числа; х',у' — некоторые точки множества V. Но из равенства (2.63) с очевидностью следует, что р' = у'. Таким образом,
для точки Е справедливо равенство Е = Р' (х' - у'), причем из (2.64) вытекают неравенства
в-с||е||, р'||х'-х0І|<с||Е||; Р'||у'-у01 <с||е|
Пусть C1 = max{|| х-х0 ||, || у-х0 ||} . Если С1 < 1, то
лемма уже доказана. Предположим, что С1 > 1. Положим
х =
-1 - -С С1
1 ,
х0 + сх , у =
(
1 —
С
1 У
У0 + С-у, Р = QP'. С1
Тогда, очевидно, выполняются соотношения (2.59), (2.60).
Лемма 2.5 доказана.
Лемма 2.6. Пусть аффинная оболочка выпуклого множества V замкнута. Тогда для любой последова-
тельности {Е k }“= с T(V), сходящейся к некоторой
точке Е = Р(х - у) (Р > 0, х, у є V), существует представление
Е k =Pk (хк - у k )(Р к > 0, хк, у к є V) (2.65)
такое,что
limp к =Р; lim хк = х; lim ук = у . (2.66)
к ^W
Доказательство. Зафиксируем произвольную точку х0 є V . Согласно лемме 2.1 при любом К имеет место равенство
Ек -Е = tk(ик -vк), (2.67)
где
Ч > 0; ик, ^ ^; Ч < С\\Ек-Е1; ||ик- х0| <1 llvt- х0| <1
Ек = Р( х - у)+У (ик- ^) = Рк(хк- ук);
здесь
_ Р
tk
_ Р, tk
Рк =Р + tk, хк =в- х + вГик, ук = П+пГ^.
Рк Рк Рк Рк
Точки хк,ук являются выпуклыми комбинациями точек множества V и, следовательно, сами принадлежат V . Легко видеть, что
хк - х = в^ ((ик - х0) + (Х0 - х)),
ук -у = ТГ((vk -х0) + (У0 -у)). Рк
Из (2.67) видно, что последовательность {tk }к=1 сходится к нулю. Тогда выполняется первое равенство (2.66). Поскольку Р > 0, то из последних двух равенств и неравенств (2.67) вытекает второе и третье равенства (2.66).
Лемма 2.6 доказана.
Доказательство теоремы 2.2. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Заметим, что условие 4 можно переписать в следующем виде. Если
Ф(х, у) = 1 и Ф(х', у') = 1, то при любом ує [0,1]
Ф((1-у) х + ух', (1-у) у + уу') = 1. (2.68)
В случае двоично-рационального у равенство (2.65) доказывается так же, как и равенство (2.47). В случае произвольного у производится аппроксимация числа у последовательностью двоично-рациональных чисел {у к}^=1. Положим
ик =(1- Y к) х + Y кх', vk =(1- Y к) У + Y к У', и = (1- y)х + ух', v = (1- y)у + уу'. Очевидно, lim ик = и, lim vk = v.
k^W к
Поскольку для двоично-рациональных чисел (2.65) уже доказано, то Ф(ик, vk) = 1. Тогда по условию 5
и фи, v) = 1. Этим заканчивается доказательство (2.68).
Так же, как и в теореме 2.1, из равенства Ф(a, b) = 1 следует, что
фи' + v') = 1, и', v'є [a, b]. (2.69)
Обозначим через S множество всех элементов Еє L2 [0,1], представимых в виде
Е = Р(х - у); х, у є V; Ф(х, у) = 1; р> 0. (2.70) Покажем, что соотношения
Еє S; Е = Р'(х' - у'); х', у' є V; Р' > 0 (2.71) влекут равенство
фх, у) = 1. (2.72)
В рассматриваемой ситуации нельзя пользоваться конструкцией, используемой с аналогичной целью при доказательстве теоремы 2.1, так как точка W, определенная равенством (2.53), может не принадле-
РИ, 1998, № 4
119
жать множеству V, поскольку Vне является относительно открытым.
Зададим у є [0,1] и положим
и= (1 - у) х + ух', v= (1 - у) у + у у'
(рис. 3). Пусть W — произвольная точка отрезка [и, v] . Тогда W = (1-t)u + v, 0 < t < 1. Положим
z = (1-1)x' + ty'. Из равенств фx, у) = 1 и фz, z) = 1 и свойства (2.68) заключаем, что
Ф((1 -у)х + yz, (1 -у)у + yz) = 1. (2.73)
Имеют место равенства
(1 - у)х + yz = W - Sj(v - u), (1 - y)x + yz = W + S2(v - u),
(2.74)
где S! = -
t (1 ~Y)P'
S 2 =
(1 -1 )(1 -y)P'
(1 -Y)P' + YP ’ ~2 (1 -Y)P' + YP
Проверим это. Из (2.70) и (2.71) следует, что Р(х - у) = Р(х' - у'). Поэтому
и - v = (1 -Y)(x - у) + y(х'- у')
(1 -Y) p“ + Y
(х'- у'),
откуда
х'~ у'= (u - v) •
Далее
(1 - y)х + yz - w = u - Yx'+Y[(1 -1)х'+(у'] - [(1 - t)u + tv] =
=t(u - v) - Yt(х'-у') = - (|/-lY)(Y)PYp(v - u) = -S1(v - u).
Второе равенство (2.74) проверяется аналогично. Таким образом, можно переписать (2.73) в виде
Фф - Sj (v - u), w + s2 (v - u)) = 1.
Отсюда и из свойства (2.69) следует, что для каждой точки w є [u, v] существует такая окрестность на отрезке [u, v], для любых точек u', v' которой
фи, v) = 1. Так же, как и в теореме 2.1, это позволяет заключить, что фи, v) = 1. Переходя в (2.47) к пределу при y^1 , с помощью условия 5 заключаем,
что ф( х', у' ) = 1.
Докажем теперь, что множество S замкнуто. Пусть последовательность (£, к }£= с S сходится к некоторой точке £, . Поскольку S с T(V) и множе-
ство T(V) замкнуто, то ^є T(V). Представим точку £, в виде (2.59). Согласно лемме 2.6, последовательность (£, k }'U=1 может быть представлена в виде (2.65), (2.66). Поскольку из (2.61) вытекает (2.62), то из
(2.65) вытекает равенство ф(хк, ук ) = 1. Тогда из
(2.66) и условия 5 можно заключить, что Ф(х, у) = 1. Отсюда и из определения (2.70) следует, что ^є S . Замкнутость множества S доказана.
Окончание доказательства данной теоремы совпадает с окончанием доказательства теоремы 2.1. Теорема 2.2 доказана.
2.4. Координатная формулировка для предикатов, определенных на декартовом квадрате всего пространства
Теоремы 2.1 и 2.2 носят “безразмерный” характер— в их посылках нет каких бы то ни было указаний на размерность ортопроектора р, соответственно, их нет и в заключении. В частности, это означает, что ортопроектор р может быть как бесконечномерным, так и конечномерным. Для конечномерного случая можно получить также другую систему необходимых и достаточных условий линейности предиката Ф, носящую координатный характер. Мы начнем со случая, когда предикат определен на декартовом
квадрате всего пространства L2 [0,1]. При этом формулировка соответствующего результата имеет простой вид и доказательство также не является сложным.
Теорема 2.3. Для того чтобы предикат ф, определенный на декартовом квадрате пространства L2 [0,1], был n -мерным линейным, необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял следующим условиям:
4) если Ф( х, у ) = 1 и Ф( х', у' ) = 1, то
Ф( х + х', у + у' ) = 1;
5) существует такой набор векторов (ek }n=1, что для каждого х є L2[0, 1] есть единственный набор чисел (a k (х)}’п=1, удовлетворяющий условию
П
Ф( х, Ea kek) = 1; (2.75)
к=1
6) функции ак (х) непрерывны.
Доказательство. Установим сначала достаточность
условий теоремы. Покажем, что векторы е1 +... + ек линейно-независимы. В самом деле, пусть
Y 1е1 +... + Ynen = 0 . Тогда
ф(0, Y1e1 +... + Ynen) = 1
Согласно условию 5 это равенство может выполняться лишь при y1 = Y2 = .. = Yп = 0 . Линейная независимость системы (ek}n=1 доказана.
Имеем из условия 5
n n
ф(x, EakСФк) =1, ^, Eak(у)ek) =1, (2.76)
к=1 к=1
120
РИ, 1998, № 4
Ф(х + y,Tak (x + y)ek) = 1. (2.77)
k=1
Комбинируя равенства (2.76), с помощью условия 4 получаем
Ф( x + У, E (а k (x) + ak (У))ек) = 1.
k=1
Сравнивая последнее равенство с (2.77) и учитывая единственность коэффициентов {ak}’1=1, находим ak(x + У) = ak(x) + ak(y), k = 1,2,..., n .
Таким образом, функционалы a k являются аддитивными и, согласно условию 6, непрерывными. Поэтому a k — линейные функционалы [5, с. 143].
Проверим линейную независимость системы {ak }’l=1.
Для любых чисел уь у2,...,уn вектор
x = Y1e1 +... + у nen является решением системы линейных уравнений
a k (x) = Y k, k = 1,2,..., n. (2J8)
Это видно из того, что по условию 1 [1] имеет место равенство
Ф(x, EYkek) = 1,
k=1
так что из 5 следует, что yk = ak (x). Следовательно, система (2.78) разрешима при любых правых частях. Это и означает линейную независимость функционалов a1,..., an . Для окончания доказательства осталось сослаться на лемму 2.2.
Пусть, обратно, предикат Ф является n -мерным линейным. Тогда выполнимость условия 4 очевидна. Выполнимость 5 и 6 вытекает из леммы 2.2. Теорема 2.3 доказана.
2.5. Координатная формулировка для случая воспроизводящего конуса
Теорема 2.4. Для того чтобы предикат ф, определенный на квадрате воспроизводящего конуса K , был n -мерным линейным, необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял следующим условиям:
4) если ф( x, У ) = 1 и Ф( x', у' ) = 1, то
Ф x + x', у + у' ) = 1;
5) существует такой набор векторов {ek }J!=1 с K, что для каждого x є K есть единственный набор неотрицательных чисел {a , (x)}n=1 и единственное
подмножество I(x) с {1, 2,..., n} , такие что (сумма по пустому множеству индексов предполагается равной нулю)
Ф(x + EaіЄі, Eaу,) = 1; a, >0, ієі; (2.79)
ієі i&I
6) если x,у є K, y> 0 и при некотором i
Ф x + Ye, У + Ye, ) = 1, то Ф( x, у ) = 1;
7) функции a, (x) непрерывны на K .
Для доказательства этого утверждения нам понадобится следующая
РИ, 1998, № 4
Лемма 2.7. Пусть f — аддитивный функционал на воспроизводящем конусе K пространства Z2[0, 1] и функция | f (x) | непрерывна на K . Тогда существует единственный линейный функционал F на 1} [0, 1] такой, что
F(x) = f (x), x є K . (2.80)
Доказательство. Пусть x — произвольный вектор L. Тогда для него имеет место представление
x = x1 - x2, x1, x2 є K . (2.81)
Положим
F (x) = f(^) - f(x2). (2.82)
Покажем, что это определение корректно в том смысле, что не зависит от выбора x1 и x2 в представлении (2.82). Действительно, пусть
x = x1 - x'2 ; x(, x'2 є K . Тогда x1 + x'2 = x2 + x( є K.
Следовательно, f (x1 + x'2) = f (x2 + x\). Но f — аддитивный функционал. Поэтому
f (x1 ) + f (x'2 ) = f (x2 ) + f (x'l ) ,
т.е. f (x1) - f (x'2) = f (x1) + f (x2), что и требовалось.
Функционал F является аддитивным. Действительно, пусть x, у є L2[0, 1] , x — представлен в виде (2.82) и у = У1-У2, у1, у'2 є K . Тогда
x + У = (x1 + У1) - (x2 + У2), x1 + У1 є K .
Поэтому
F(x + у) = f (x + У1) - f (x2 + У2) = (f (x) + f (У1)) -- (f (x2 ) + f (У2)) = (f (x1)- f (x2)) + (ІЇУ1) - f (У2 )) = F(x) + + F(у).
Поскольку K — воспроизводящий конус, то существует такая константа C , что для любого
z є L2[0,1] имеет место представление [6, с. 389]
z = x - у; x, у є K; ||x|| < C||z||, ||у|| < C|Z||. (2.83) Покажем, что функционал F непрерывен в нуле.
Пусть последовательность {zk }'f=1 сходится к нулю. В соответствии с (2.83) существуют последовательности {xk }“, {ук }“ с K такие, что
Zk = xk - Уk, limxk = 0, limyk = 0. (2.84)
Но | f (x) | — непрерывная функция. Поэтому из (2.84) следует, что
F (Zk) = f (xk) - f (Уk),
lim I f (xk )| = I f (0)|, liH f (Уk ) = I f (0)|. (2.85) Заметим теперь, что f (0) = 0 . Действительно, пусть
x є K, x Ф 0. Так как f — аддитивный функционал, то при любом натуральном n будет
121
Поскольку | f (x) | — непрерывная функция, в последнем равенстве можно перейти к пределу при n^-да . Получаем | f (0) |= 0 . Тогда из (2.85) следует,
что функционал F непрерывен в нуле. Но аддитивный функционал, непрерывный в нуле, является линейным. Значит, F — линейный функционал. Единственность продолжения очевидна.
Лемма 2.7 доказана.
Доказательство теоремы 2.4. Установим сначала достаточность условий теоремы. Покажем, что векторы e1, e2,..., en линейно-независимы. В самом деле,
пусть ye +. . . + уnen = 0 . Положим J = {i | уi < 0} . Тогда
Z (-Yi )ei = z Уiei и ф\ 0 + Z (-Yi )ei, ZYіЄі | = 1.
feJ igJ V i^J HJ J
В силу условия 5 последнее равенство может иметь
место лишь при у i = 0; i = 1,..., п.
Равенство (2.79) ставит каждому вектору x є K в соответствие пару векторов (xv x2) по правилу
Xl = z а (x)ei, Х2 = E«i (x)ei (2 86)
Положим
Ax = x2 - x1. (2.87)
Тогда
Ф(x, y) = D(Ax, Ay). (2.88)
Действительно, пусть фx, y) = 1. Вместе с равенством Ф( x1, x2 ) = 1 это дает фx+x1, y+y1 ) = 1. Но (2.86) означает, что фx + x1, x2) = 1. В силу условий
2, 3 [1] тогда Ф(y + x1, x2) = 1. Из условия 5 следует, что последнее равенство может выполняться лишь при x1 = y1; x2 = y2. Поэтому Ax = Ay. Пусть, обратно, Ax = Ay . Так как система {ei }п=1 линейнонезависима, отсюда вытекает, что x1 = y1; x2 = y2. Значит, вместе с равенством ф x + x1, x2) = 1 справедливо равенство Ф(у+x1, x2) = 1. Но тогда фx+x1, y+у1) = 1. Применяя условие 6, получаем Ф x, у ) = 1.
Покажем, что оператор А аддитивен. Пусть x, у — произвольные точки конуса. Для векторов x1, x2, y1, y2, определенных формулой (3.40), имеют место равенства х1 + у1 =81e1 +... + 5nen, х2 + у2 =8'1e1 +... + 5'nen , где 5i, d'i — некоторые неотрицательные числа. Положим N = {i | Si >5'} и
и = Z (5 і-5і ')et , v = Z (5 і '-5 і )Єі ,
ieN igN
z = Z 5і ' Єі + Е5іЄі . (2.89)
ieN igN
Тогда x1 + y1 = u + z1; x2 + y2 = v + z . Из равенств Ф( x + x1, x2 ) = 1 и Ф( y + y1, y2 ) = 1 следует, что
Ф( x + y + Х1 + У1, х 2 + у 2 ) = 1, т.е. ф x + У + и + z, v + z ) = 1. Применяя условие 6,
получаем Ф(x + у + и, v) = 1. Но последнее есть равенство (2.79) для вектора x + у . Поэтому
A(x + y) = v-u = (Х2 + у2)- (х + У1) = Ax + Ay. Равенства (2.86), (2.87) можно переписать в виде
Ax = ZPi(x)ei, Pi(x) = ■
І а і (x), i Є і (x),
і=1 [-аі(x), i є I(x). (2.90)
Из аддитивности оператора А вытекает аддитивность функционалов Pi. Но | Pi (x) |= ai (x) | и фун-
кции ai непрерывны. Поэтому на основании леммы 2.7 можно заключить, что функционалы рг- допускают единственное продолжение до линейных функционалов на L2 [0, 1]. Чтобы не усложнять обозначений, будем продолженные функционалы обозначать теми же символами Pi.
При любых неотрицательных числах для вектора x = Y1e1 +... + Y nen имеет место равенство Ф(x, Y1e1 +... + Ynen) = 1. Следовательно, Pi(x) = yi и Ax = x . Это значит, что Im A содержит положитель-
ный конус L линейной оболочки L системы векторов {e1,..., en} . ПосколькуL — воспроизводящий конус в L, то отсюда следует, что Im A = L . Следовательно, система {pi }n=1 — линейно-независима. Для окончания доказательства достаточности осталось сослаться на лемму 2.3.
Докажем необходимость. Если предикат ф является n -мерным линейным, то условия 4 и 6, очевидно, выполняются. Выполнимость условий 5 и 7 вытекает из леммы 2.3.
Теорема 2.4 доказана.
Литература: 1. Походенко В.А., Тарасова Т.Т., Шабанов-Кушнаренко С.Ю. Теория цветового зрения. I // Радиоэлектроника и информатика. 1998. №1. С. 106-117. 2. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 347 с. 3. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972. 533 с. 4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 278 с. 5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 402 с. 6. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 389 с.
Поступила в редколлегию 29.08.1998
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Левыкин В.М.
Бондаренко Михаил Федорович, д-р техн наук, профессор, академик АН ВШ, ректор ХТУРЭ. Научные интересы: информатика. Адрес: Украина, 310726, Харьков, пр. Ленина 14, тел. 43-30-53.
Шабанов-Кушнаренко Сергей Юрьевич, д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник кафедры ПО ЭВМ ХТУРЭ. Научные интересы: идентификация механизмов интеллекта человека. Адрес: Украина, 310726, Харьков, пр. Ленина 14, тел.: 40-94-46.
122
РИ, 1998, № 4
