Теория точечного источника вибросейсмических деформаций Текст научной статьи по специальности «Физика»

5/2011 ВЕСТНИК

_МГСУ

ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА ВИБРОСЕИСМИЧЕСКИХ

ДЕФОРМАЦИЙ

THE VIBRASEISMIC DEFORMATIONS DOT SOURCE THEORY

M.C. Хлыстунов

M.S.Hlystunov

ГОУ ВПО МГСУ

В статье представлены результаты разработки теории точечного вибросейсмического источника деформаций для моделирования динамического напряженно-деформированного состояния твердых тел с неоднородной структурой

In article are presented the vibraseismic deformations dot source theory development results for modelling the dynamic intense-deformed condition of firm bodies with nonuniform structure

B последние годы с особой остротой встала проблема оценки пределов метрологической достоверности применения метода конечных элементов при решении тонких динамических задач механики твердого тела и, особенно, задач, связанных с оценкой динамического напряженно-деформированного состояния упругих сред, обладающих неоднородностью тонкой структуры, слабо выраженной пластичностью, проявления которой могут быть выделены, например, методом возмущений.

Теория точечного источника динамических деформаций, как и точечного источника динамических напряжений, является базовым компонентом прикладного аппарата динамической теории упругости, применяемой при решении динамических задач и пространственного моделирования текущего НДС при волновом характере реализации динамической нагрузки [7,8].

Принципиальное отличие источника динамических деформаций от источника динамических напряжений заключается в том, что он не изменяет свой объем под действием упругой реакции твердого тела на деформации внешней поверхности источника.

Точечный или элементарный (сферический) источник динамических деформаций с радиусом ro является источником продольных акустических волн и обладает только скалярным волновым потенциалом

ф= ACos(rnt--^o) • (1)

r % p

Непосредственно процесс динамического возбуждения твердого тела таким источником можно записать в виде волнового уравнения:

+ + = или Дф = 1 д2Ф • (2)

дх2 cy2 8z2 ср St2 c2p dt2

Перемещение элементов среды для продольных сферических волн определяется частной производной потенциала

ВЕСТНИК МГСУ

5/2011

иг (г,t) =

дФ

дг г

Амплитуда этих перемещений

г — г г г — г Соя(аЛ ——+ —- Б1п(Ш —-0-)

К К к

р р р

(3)

(4)

Для максимального приближения вида функции перемещения к практическим техническим задачам, когда экспериментальным путем непосредственно может быть измерены на контакте источника со средой, а, следовательно, и возбуждено, например, сейсмоперемещение или его производные по времени, выражение (3) для перемещения удобнее записать в виде:

дФ г2 г — г

"ДМ) = — = Щг)^Яп(й* - ) • ог г к р

(5)

Для обеспечения эквивалентности формул (3) и (5) необходимо выполнение равенства амплитуд гармонических функций в этих формулах:

^ 1 £,

= и(г)-у

(6)

Откуда амплитуда волнового потенциала источника продольных сейсмических

волн

(7)

А = и(гу

1 +

\2

а действующее значение его кинематического потенциала по перемещению

(8)

щг )=4

г

1 +

V * р

Так как по условию введения элементарного точечного источника продольных сейсмических волн г; << X , то тогда виброперемещения, измеренные на границе источника со средой, будут с высокой точностью равны

г/(0 ^ 4'

го

(9)

откудаД^ щг0)г02=аго, (10)

то есть амплитуда волнового потенциала источника с точностью приближения будет равна амплитуде изменения его объема.

Физическая особенность сферического источника продольных сейсмических волн заключается в том, что динамическое перемещение источником прилежащей к нему, например, изотропной упругой среды, инициирует излучение в нее равномерно распределенного по сфере контакта количества движения или импульса.

Используя интеграл Остроградского-Гаусса, можно получить интегральное уравнение для распределения импульса в среде по всей поверхности фронта волны в зависимости от удаления этого фронта от источника

К (г, I) = к (г, t УЛБ = К (го, t ^

5 ( г )

2

г

г

ру

5/2011 ВЕСТНИК

_МГСУ

К0 (го, I) = к (г, I) 5 (г) = 4жк (г, I )г2 (12)

Откуда к(г,0 - .

4лг

Так как к (Г, ?) - р- й{ (г, ?) , то тогда

идм)=^^. (14)

4лрг

Если источник возбуждает гармоническую сейсмическую волну, то есть когда

и{г, 0 = и (г) 8т(аг - (15)

Х р

то тогда скорость смешения слоя среды на границе с источником го и на любом расстоянии г от него будут, соответственно, равны

и(го, ?) = и (го )юСо$М и

й(г,0 = и{г)СоСо5{(Л - , (16)

х р

а интегральный импульс, излучаемый сферическим источником в среду, на границе с источником го и на любом другом расстоянии г от него будут, соответственно, равны

К(го ,0 = 4 ирг^и (г0 )соСо8Сог (18)

К(г,г) = 4^г2иг®<^о5(®; . (19)

х р

Так как в линейном случае, а также или при бесконечно малой задержке во времени на распространение волны, или в среднем за один период волновых колебаний среды амплитуды интегрального импульса на границе источника и на сфере в среде любого радиуса должны быть равны, то имеет место равенство:

4 лрг^и{г0)со = 4 прг\7(г )©. (20)

Откуда может быть найдено классическое выражение для зависимости амплитуды сейсмоперемещений в неограниченной изотропной упругой среде на любом, произвольно взятом расстоянии г от источника:

2

г

( г Л2 (21)

1 +

V * Р У

и, соответственно, для текущего значения

„2

2

г

( \ iх р у

2

г-г . (22)

5от(йЖ--о )

х р

Таким образом, аналитически полученное выражение (22) для функции распределения перемещений в упругой среде, удовлетворяющее закон сохранения импульса при излучении и распространении сейсмической волны, идентично технической формуле (5).

Далее, учитывая, что относительные сейсмодеформации среды, равны производной перемещений по радиусу, можно получить выражения для амплитуд этих деформаций на границе с источником го и на расстоянии г от него, соответственно:

ВЕСТМГ 5/2011

= г0) = -2Щго)^\\ +

( \ г.

V * р У

* р

1 +

Г А к

V*р V

(23)

или ^г(Го) = -2?У (го) —, при го « р, и

Г„

(24)

£г(г) = < (г) = -Щг„)Щ\ + (£) + (7(Го)

или .до^соф ПРИ <^<< X,

г3

Откуда текущую амплитуду деформаций можно выразить в виде функции от г:

„2

'".Г

ег(г,0 = и; (г, 0 = [ С/(О^т,* +

Г А2 г

г

V * р V

Б1п(оЛ - -

г — г„

2 и г ) -т, 1+

г ^

г

V р у

1 +

Г ^ г

V р У

- Г Го) + Л „

г ^

г

V * р У

^ „

(25)

которая после выделения гармонических составляющих примет окончательный

вид:

г

1 +

( \2 г

к

V р У

Г А2

2 + г

К

V р У

^ Л

1 + г

-

V р у

^ _ у у у" _ у"

-Бт{М ——- — Сов{Ш ——)

Кр Кр Л р

(26)

Учитывая, что разность фаз между двумя гармоническими членами выражения (26) равна л/2 , получим уточненную формулу для амплитуды волновых деформаций:

^ Дг ) = -2 иЫ -^1 + 1,25

г л2 г

v * р у

■0,75

\4 г л6

V* р У

V* р У

а для расчетного объема с габаритами г « X р она примет вид:

ега{г )^-2С/^о)_ог' г

(27)

(28)

что справедливо только для очень длинных волн или низких частот. Формулы для амплитуд деформаций вдоль фронта сферической волны, для среды с коэффициентом Пуассона V, можно записать в виде:

г,„(г) = еаа(г) = Щго)^М -ь 1,25

( \ г

V * р V

( Л4 ( \

-ь0,75

^ р У

^ р У

(29)

2

2

1/2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

6

2

Г

5/2011

ВЕСТНИК _МГСУ

2

или для больших ДЛИН ВОЛН X >> r £tа(г) = а(г) = U(ro)~Y • (30)

3

г

Таким образом, полученные выражения для амплитуд динамических деформаций в среде с гармонически пульсирующей точечной сферой на сверхнизких частотах, когда г « X. , становятся идентичными выражениям для статических деформаций при аналогичной схеме нагружения [3,4,5,6].

Литература:

1. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. -М.: Наука, 1973

2. Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах. Часть1, гл.2,-М.: И*Л, 1955

3. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Теория упругости. -М.: Наука, 1965

4. В.Новацкий. Теория упругости. -М.: Изд. «Мир», 1975, стр. 712

5. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. -М.: изд. «Наука», 1979,

6. Седов Л.Н. Механика сплошной среды. Т.2. -М.: Наука, 1970

7. Хлыстунов М.С., Могилюк Ж.Г. Геоэкологическая эффективность микросейсмических процессов в неоднородных основаниях. Журнал «Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений», - М.: ВНИИНТПИ, №3, 2003

8. Хлыстунов М.С., Могилюк Ж.Г. Геоэкологическая эффективность микросейсмических процессов в основаниях с наклонной границей пластов. Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сб. трудов №6. -М.: МГСУ, 2003

9. Ультразвук. Под ред. И.П.Галямина. -М.: Советская энциклопедия, 1979

Literatury:

1. Brehovskih L.M. Volny v sloistyh sredah. -M.: Nauka, 1973

2. Kol'skii G. Volny napryajeniya v tverdyh telah. Chast'1, gl.2,-M.: I*L, 1955

3. Landau L.D. i Lifshic E.M. Teoriya uprugosti. -M.: Nauka, 1965

4. V.Novackii. Teoriya uprugosti. -M.: Izd. «Mir», 1975, str. 712

5. Rabotnov Yu.N. Mehanika deformiruemogo tverdogo tela. -M.: izd. «Nauka», 1979,

6. Sedov L.I. Mehanika sploshnoi sredy. T.2. -M.: Nauka, 1970

7. Hlystunov M.S., Mogilyuk J.G. Geoekologicheskaya effektivnost' mikroseismicheskih pro-cessov v neodnorodnyh osnovaniyah. Jurnal «Seismostoikoe stroitel'stvo. Bezopasnost' soorujenii», -M.: VNIINTPI, №3, 2003

8. Hlystunov M.S., Mogilyuk J.G. Geoekologicheskaya effektivnost' mikroseismicheskih pro-cessov v osnovaniyah s naklonnoi granicei plastov. Voprosy prikladnoi matematiki i vy-chislitel'noi mehaniki. Sb. trudov №6. -M.: MGSU, 2003

9. Ul'trazvuk. Pod red. I.P.Galyamina. -M.: Sovetskaya enciklopediya, 1979

Ключевые слова: здания, сооружения, основания, упругое твердое тело, неоднородная структура, динамическая теория упругости, теория точечного источника, динамические деформации, напряженно-деформированное состояние

Keywords: buildings, constructions, bases, elastic solid body, non-uniform structure, elasticity dynamic theory, dynamic deformations, deformations point source, theory, intense-strained condition, intense-deformed state, strain tense-state

129337, Москва, Ярославское ш.26, тел.769-73-87, [email protected]

Рецензент: д.т.н., проф. Николаев В.П., зам. научного руководителя ОАО «НИИ Энергетических сооружений Росгидро», зам. директора НТЦ Сооружений, конструкций и материалов