Теория ступенчатых опор скольжения с несжимаемой и сжимаемой смазкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теория ступенчатых опор скольжения с несжимаемой и сжимаемой смазкой

А.В. Емельянов, И.А. Емельянов, И.А. Зенкина Калужский филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана

Аннотация: На основе уравнений Рейнольдса для тонких слоев вязкой ньютоновской жидкости найдены законы распределения давления в несжимаемых и сжимаемых несущих слоях ступенчатой опоры. Для достижения физически более ясного сравнения смазочных свойств и несущей способности двух разных смазочных сред использована плоская модель ступенчатой опоры. Получены алгоритмы вычисления подъемной силы и жесткости обоих смазочных слоев, позволяющие перейти к постановке и решению задач оптимизации безразмерных геометрических параметров и сравнительных интегральных характеристик гидродинамических и газодинамических ступенчатых опор скольжения. Ключевые слова: смазочный слой, вязкость, давление, плотность, уравнения Рейнольдса, сплайны, число Петрова.

Введение

В статье [1] изложены характерные физические процессы, протекающие в несжимаемых и сжимаемых смазочных слоях опор скольжения разного типа, в том числе и ступенчатых опор, введенных в 1918 году Рэлеем. В то время в продолжении замечательной работы Жуковского и Чаплыгина [2] плоские модели подшипников скольжения рассматривались только потому, что пространственные задачи гидродинамической теории смазки были слишком сложны и практически неразрешимы традиционными аналитическим методами. Сегодня плоские модели привлекают наше внимание по другой причине: они более всего пригодны для изучения физических процессов, протекающих в несжимаемых и сжимаемых смазочных слоях. Вместе с тем, за прошедшее столетие мы научились формулировать и решать задачи оптимизации геометрии несущего слоя, а это требует излагать теорию в безразмерном виде как для несжимаемого, так и для сжимаемого смазочного слоя. В этом смысле современная теория не только газодинамических, но и гидродинамических опор скольжения представляет более совершенный этап развития науки о подшипниках скольжения.

и

/////////////, V////////////

И+а

И

X

1. Интегральные характеристики ступенчатой опоры с несжимаемой

смазкой

На рис.1 схематически представлен ступенчатый

подшипник протяженностью

/ = /| + /2, где /| - протяженность

" V ^2

, п ~ глубокого слоя, а /о - мелкого.

Рис. 1. - Ступенчатый подшипник скольжения с ' 2

движущейся нижней стенкой смазочного слоя г г

Обозначив глубину ступени

символом а при толщине тонкого слоя к, введем относительную глубину

ступени у и относительную протяженность глубокого слоя ® по правилу

а , и 1 /1 ч

Г = ~-, г = = (1)

к + а 1 +12 I

В статье [3] выведены уравнения Рейнольдса для тонкого вязкого слоя ньютоновской жидкости в произвольных ортогональных криволинейных координатах. Эти уравнения имеют один и тот же вид для капельной жидкости (несжимаемая среда) и для газа (сжимаемая среда). Для ортогональной прямолинейной системы координат, введенной как показано на рис. 1, эти уравнения выглядят так:

др д2Ух др

— = ц—х, 0, (2)

дх дп дп где р - давление, О - динамический коэффициент вязкости.

Второе уравнение (2) означает, что давление не зависит от переменной п. Это позволяет проинтегрировать первое уравнение по переменной п и получить равенство

¥х = 2- ОТ + С> + С2> (3)

2^ ах

в котором константы С1 и С2 должны соответствовать граничным условиям

¥х = V при п = 0; ¥х =

0 при п = к + а - для глубокого слоя,

(4)

0 при п = к - для мелкого слоя.

Рассматривая соотношения (3) и (4) совместно, находим зависимость скорости частиц слоя от расстояния п от нижней стенки к + а - п п (к + а - п) ф1

?

(5)

Vxl = V■

Vx 2 = V

к + а 2л

к - п п (к - п) ф2

ёх

к 2л ёх

В этих соотношениях индекс 1 соответствует глубокому слою (-/1 < х < 0), а индекс 2 - мелкому (0 < х < 12).

Пусть Q\ и Q2 - объемные расходы несжимаемой смазки в

соответствующих областях слоя через участок подшипника шириной /. Справедливы очевидные равенства

к+а

к

Ql = / | Vxldn, Q2 = /V2ёп .

0 0

После интегрирования находим:

ч3

(6)

а=/

V (к + а) (к + а) ф 2 12л ёх

Q2 = /

Vк к ёр2

2 12л ёх

(7)

Вследствие неразрывности течения эти расходы равны одной и той же величине Q. Поэтому, проинтегрировав первое равенство (7) по х в пределах от х = -/ до х = 0, а второе - от х = 0 до х = /2, найдем функции р1 (х) и

р2 (х) в форме

Р1 = Р0 +

/1 + х

6лV/ 12лQ

(к + а) (к + а )3

, Р2 = Р0 + - ±¡,(8)

/ I к

к3

В этих выражениях р0 - давление на открытых границах смазочного слоя, т.е. при х = -/1 и х = /2.

Введем безразмерное давление P и безразмерную координату И по правилу

Pi = А/Ро, P2 = PilPo, 4 = Ф, (9)

где p0 - давление на открытых границах опоры (4 = -г и 4 = а). Теперь функции (8) преобразуются к безразмерному виду

12 pQ

Pi = 1 + ( +4)

Л 2 12 mQ з ЛИ--^fv

P0h3

, P2 = 1 + (4-а)

Л —

PoO

(10)

Новые безразмерные параметры имеют следующий смысл

. 6pVl h л l2 л , /11Л

Л = , v = --= 1 -y, а =, =1 -г. (11)

h + a l

В зарубежных публикациях по газовой смазке © именуют параметром сжимаемости. Но этот термин не соответствует его физическому смыслу уже потому, что он совершенно естественно появился в безразмерных давлениях в несжимаемых смазочных слоях (8). На самом деле © - это важнейший критерий подобия в гидродинамической теории смазки, заложенной трудами Николая Павловича Петрова (1836-1920). Этот факт признан во всем мире, и мы предлагаем называть © числом Петрова. Если нам возразят, указав на отсутствие этого параметра в трудах Н.П. Петрова [4], мы отклоним это возражение. Дело в том, что само выделение © не является большим научным достижением, и сегодня едва ли кто-нибудь знает, в чьей работе впервые появился этот параметр. Чье-либо имя критерию подобия присваивается в память о человеке, внесшем крупный вклад в соответствующую отрасль науки. С этой точки зрения термин «число Петрова» для © (11) и справедлив, и физически более правилен, чем зарубежное название этого критерия подобия.

Заметим, что второе слагаемое в круглой скобке (10) тоже безразмерная

*

величина, которую естественно назвать безразмерным расходом Q . При этом объемный расход Q определится выражением

Q=р0к3 Q^

(12)

12ц

*

Приравняв Р и Р2 при % = 0, найдем выражение Q и окончательный вид функций Р1 (%) и Р2 (%):

а+гу Л ^ =-— Л.

а+г V

(13)

Р\ = 1 + Л6>0 (г +%), Р2 = 1 + Лв0 (а-%), в0 =

г уV

2

' 3 '

а+гv

Подъемная сила Р, приложенная к выделенному участку подшипника, определяется так

Р = I

0

¡2

\(р\ - Р0 )ах + \(Р2 - Р0 )ах

-1

= Р4 2 Р *.

(14)

Здесь Р - безразмерная подъемная сила, определяемая выражением

р = Лв

0

а

¡(г +

-г

= Лв.

(15)

где

в 1 2 г2+а2

в = ~аV -тт

2 а+г^

(16)

Однако опора с достаточной подъемной силой окажется неработоспособной, если у смазочного слоя не будет необходимой жесткости К, определяемой как производная Р по к с противоположным знаком. Введем относительное изменение толщины смазочного слоя к по правилу

С = (к - к )Д), к = к (1+С), (17)

где Н0 - номинальное значение к, при котором желательно иметь наилучшие характеристики опоры.

*

Теперь введем безразмерную жесткость К по правилу

К = Р^ К *, К * = . (18)

к0 сС^

Остается ввести зависимость числа Петрова Л и безразмерной функции в от £. Пусть Л0 - нормированное число Петрова

6ц¥1 Л= Л 0 Р0к0' (1 + £)

Л 0 , Л = -^. (19)

Легко проверить справедливость соотношений

' = *> = Т+-' V = 1 -Го. V1 -Г = 1>,(20)

1 + ^ К + а 1 + ^

которые полностью определяют зависимость в (16) от ^ • Понятно, что

*

безразмерная жесткость К должна вычисляться как центральная производная

л

К* = р' ((-Д()-Р' (С + ДС) (2!)

2А^

Для практических расчетов в качестве А£ годится 0,005. 2. Интегральные характеристики газодинамической ступенчатой опоры

В подшипниках скольжения, использующих жидкостные смазки, смазочный слой не является изотермическим по протяженности. Например, в ступенчатой опоре (рис.1) тонкий слой (0 < х < 12) будет нагреваться сильнее,

чем слой в области ступени. Вязкость жидкостей с ростом температуры всегда уменьшается, в то время как вязкость газов при повышении температуры возрастает, хотя и очень слабо. В этом состоит одно из важных преимуществ газовой смазки: в то время, как в жаркую погоду жидкостная смазка вытекает из зазора подшипника, а в сильный мороз она густеет,

затрудняя вращение, газодинамические подшипники одинаково хорошо работают и в жару, и в холод. Это свойство газов позволяет считать течение газа в рабочем зазоре подшипника изотермическим, когда плотность р пропорциональна давлению p

р = bp, (22) где b = const.

Выражения (5) для скоростей сохраняют силу, но объемные расходы (6) должны быть заменены массовыми

с bp h

Qi = bpj J Vxidn = bPah0

0

h

Q2 = bPll JVx 2dn =

12^

bpl hi

Л0^Pi -V-Pif

v v d4

Л 0 (1 + £)p2-(1 + z)3 P2dp

(23)

12л I ^ 2 4 2¿4

Истинный массовый расход газа Q связан с безразмерным расходом 0* равенством

Q

bp2gh03 Q*

12л Q ,

(24)

где ра - атмосферное давление.

Поскольку 01 = 02, то из равенств (23) и (24) вытекают уравнения

dP

d4

^ v2

* Л

Л

vQ с3 P

dP2 Л Q

2-Л, с = 1 + д.

(25)

' ¿4 еъР2

Уравнения (25) должны интегрироваться численно методом Рунге-Кутта от открытых границ (4 = -г и 4=а) до ступени (4 = 0).

Связь (14) между подъемной силой Р и безразмерной подъемной силой

* *

Р сохраняется, хотя выражение Р выглядит иначе

v и

F* =J(p -P0)d^ + J(P2 -P0)d4.

(26)

0

- г

Эти интегралы должны вычисляться по формуле Симпсона на основе сеточных функций Р1 (4) и Р2 (4), найденных из уравнений (25).

Заметим, что при несжимаемой смазке интегральные характеристики подшипника не зависят от давления окружающей среды, что и позволяет вводить безразмерное давление делением истинного давления Р на давление окружающей среды р0. В газодинамических подшипниках и подъемная сила,

и жесткость несущего слоя существенно зависят от давления окружающей среды. Поэтому

Р = Л/Ра , Р2 = Р2/Ра , Р0 = Рс/Ра * 1,

где Ра - атмосферное давление.

Выражение (21) для безразмерной жесткости К * сохраняет силу, но связь между К и К * выглядит несколько иначе

К = К *. (27)

К0

Нелинейные уравнения (25) содержат неизвестную величину О. И хотя ее, казалось бы, нетрудно найти, минимизируя невязку р1 (4 = 0)- Р2 (4 = 0)|, однако это возможно только при условии, что

начальное приближение Q* мало отличается от истинного. В противном случае при численном решении уравнений (25) возникнут серьезные проблемы. Попробуем найти начальное приближение О*, аппроксимировав функции Р1 (4) и Р2 (4) сплайнами

Р = Р, + а1 (г -4) + а2 (г -4)2, Р2 = Р0 + \ (а-£) + Ь2 (а-^,(28) где а1, а2, Ь1, Ь2 - неизвестные константы. Как видно, условия на открытых границах рабочего зазора (Р1 (4 = - ) = Р0, Р2 (4=а) = Р0) в выражениях (28) уже соблюдены.

Необходимо найти еще пять уравнений для определения четырех коэффициентов (28) и безразмерного расхода 0*.

Первое уравнение следует из условия равенства функций (28) при 4 = 0 (рис.1). это уравнение выглядит так:

г а1+г2 а2 =аЬ1 + а2Ь2. (29)

Еще два уравнения получим, записав дифференциальные уравнения (25) на открытых границах, т.е. при 4 = -г и 4=а соответственно.

а =у2Л--к=-Л + ^—, с = 1 + £. (30)

1 С Р0 с3 Р0

Четвертое и пятое уравнения найдем, записав дифференциальные уравнения (25) по обе стороны от ступени (4 = 0)

а, + 2г а2 =у2Л--3 ~ . , Ь + 2аЬ2 = -Л+ 3 , . . (31)

1 2 С Р1 (0) 1 2 С Р2 (0)

Здесь Р1 (0)

и Р2 (0) - безразмерные давления при 4 = 0 . Поскольку они

3

равны, то, умножив второе уравнение на V , а затем сложив его с первым, получим:

а1 + 2г а2 + V3 (Ь1 + 2аЬ2) = v2Л - vъЛ.

Подставив сюда а1 и Ь1 (30), получаем простое уравнение, связывающее коэффициенты а2 и Ь2

г а2+аv3Ь2 = 0. (32)

Совместное рассмотрение уравнений (29) и (30) приводит к другому уравнению, связывающему эти же коэффициенты

¥0&

г2а2-а2Ь2 = -(а+Гv2)Л+ , ¥0 =а+ Гvъ. (33)

с Р0

Из уравнений (32) и (33) находим аЬ2, которое нам вскоре понадобится

, а +г у2 . О

аЬ2 =-Л-&-. (34)

—0 &Р0

Во втором уравнении (31)

Р2 (0) = Р0 + аЬ1 + а2Ь2 = Р0 + -Л, —1 = аг V —0, поэтому оно приводится к виду

о*

& = ((0 + —1А)(ЛЛ + Ь + 2аЬ2). (35)

&

Вторая скобка этого уравнения преобразуется с использованием равенства (34) и выражения Ь1 (30) и принимает вид

О*

Л + Ь + 2аЬ2 =2—А--Р, —2 =(а+гу2)1—0. (36)

& Р0

Совместное рассмотрение уравнения (35) и первого равенства (36) позволяет получить начальное приближение отношения О*/&3, содержащегося в уравнениях (30)

О* =—2 Л( Рр +—1А) & 1 + —Л/ 2 Р0 .

Итак, алгоритм нахождения интегральных характеристик газодинамического ступенчатого подшипника включает в себя численное решение двух дифференциальных уравнений первого порядка (25). Различные попытки линеаризовать нелинейные уравнения для давления в смазочных слоях любых газодинамических подшипников давно исчерпали себя, оказавшись малоэффективными. Однако прямые численные методы решения двумерных краевых задач газовой смазки [6, 7] чрезвычайно трудоемки и до сих пор не годятся для решения задач оптимизации с большим числом оптимизируемых параметров.

Многочисленные преимущества подшипников со спиральными канавками [1, 5, 6, 7-12] не означают, что они всегда могут применяться вместо опор другого типа. Например, если конструктивные особенности изделия требуют

использовать узкую кольцевую опору, то спиральные канавки окажутся

малоэффективными. В этом случае ступенчатая опора будет работать лучше.

Рис. 2. - Геометрия узкого ступенчатого подшипника с четырьмя автономными опорными элементами Но она должна иметь вид, изображенный

на рис.2. Глубокий слой выделен темным фоном. Ширина его должна уменьшаться по мере приближения к ступени, чтобы боковые выступы расширялись и сокращали утечки сжатого газа из области повышенного давления.

Заключение

Изложенный метод расчета интегральных характеристик ступенчатой опоры с несжимаемой и сжимаемой смазкой является основой для вычисления оптимальных геометрических параметров и исследования различных физических факторов на работу подшипника скольжения. Эти результаты будут представлены в следующей статье.

Литература

1. Емельянов А.В., Емельянов И.А., Зенкина И.А. Анализ физических процессов, протекающих в смазочных слоях газодинамических подшипников // Инженерный вестник Дона. 2017. №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2017/4458.

2. Жуковский Н.Е., Чаплыгин С.А. О трении смазочного слоя между шипом и подшипником // Труды Отделения физических наук Общества любителей естествознания, т.ХШ, вып.1. 1906. С. 24-33.

3. Емельянов А.В., Емельянов И.А., Зенкина И.А. Уравнения Рейнольдса для тонкого слоя вязкой среды в произвольных криволинейных ортогональных координатах // Инновационная наука. 2016. №11-3. С. 1623.

4. Петров Н.П. Гидродинамическая теория смазки. Избранные работы. АН СССР, 1948. 550 с.

5. Емельянов А.В., Емельянов Л.А. Нелинейная теория прецизионных радиально-осевых подшипников с газовой смазкой и анизотропной геометрией // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1983. №6. С. 1116-124.

6. Емельянов А.В., Степанчук В.И. Нелинейные эффекты в газодинамических подпятниках со спиральными канавками // Машиноведение. 1983. №4. С. 91-100.

7. Винокуров В.Н., Емельянов А.В. Специфические эффекты в работе радиальных газостатических подшипников при большой эксцентричности // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2007. №1. С. 109-115.

8. Зенкина И.А. Математическое моделирование газодинамических подшипников со спиральными канавками: дис. ... канд. физ-мат. наук: 05.13.18. Калуга, 2004. 262 с.

9. Зенкина И.А. Интегральные характеристики гладкого цилиндрического подшипника с дросселирующей щелью // Южно-Сибирский научный вестник. 2015. №4(12). С. 31-35.

10. Зенкина И.А. Главный момент сил сопротивления в газодинамическом подшипнике со спиральными канавками // Инженерный вестник Дона. 2014. №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2014/2548.

11. Yemelyanov, A.V. and Yemelyanov I. A, 1999. Physical models, theory and fundamental improvement to self-acting spiral-grooved gas bearings and visco-seals. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part J: Journal of Engineering Tribology, 4(V. 213): pp. 263-271.

12. Emel'yanov, A.V. and Emel'yanov I. A, 2000. Theory of binary spiral-grooved gas bearings. Fluid Dynamics, 3(V. 35): pp. 351-360.

References

1. Emeljanov A.V., Emeljanov I.A., Zenkina I.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2017. №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2017/4458.

2. Zhukovskij N.E., Chaplygin S.A. Trudy Otdelenija fizicheskih nauk Obshhestva ljubitelej estestvoznanija, t.XIII, №1. 1906. pp. 24-33.

3. Emeljanov A.V., Emeljanov I.A., Zenkina I.A. Innovacionnaja nauka. 2016. №11-3. pp. 16-23.

4. Petrov N.P. Gidrodinamicheskaja teorija smazki. Izbrannye raboty [Hydrodynamic theory of lubrication. Selected works]. AN SSSR, 1948. 550 p.

5. Emeljanov A.V., Emeljanov L.A. Izvestija AN SSSR. Mehanika zhidkosti i gaza. 1983. №6. pp. 1116-124.

6. Emeljanov A.V., Stepanchuk V.I. Mashinovedenie. 1983. №4. pp. 91-100.

7. Vinokurov V.N., Emelyanov A.V. Problemy mashinostroeniya i nadezhnosti mashin. 2007. №1. pp. 109-115.

8. Zenkina I.A. Matematicheskoe modelirovanie gazodinamicheskikh podshipnikov so spiral'nymi kanavkami [Mathematical modeling of gasdynamic bearings with spiral flutes]: dis. ... kand. fiz-mat. nauk: 05.13.18. Kaluga, 2004. 262 p.

9. Zenkina I.A. Juzhno-Sibirskij nauchnyj vestnik. 2015. №4 (12). pp. 31-35.

10. Zenkina I.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2014. №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2014/2548.

11. Yemelyanov, A.V. and Yemelyanov I. A, 1999. Physical models, theory and fundamental improvement to self-acting spiral-grooved gas bearings and visco-seals. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part J: Journal of Engineering Tribology, 4(V. 213): pp. 263-271.

12. Emel'yanov, A.V. and Emel'yanov I. A, 2000. Theory of binary spiral-grooved gas bearings. Fluid Dynamics, 3(V. 35): pp. 351-360.