Теория расчета устойчивости оснований и откосов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

У ДК 622.271.33:624,131.537

ТЕОРИЯ РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ ОСНОВАНИИ И ОТКОСОВ

А. В. Жабко

Н статье предлагается механический принцип лля расчета устойчивости отхосов и основании. На чц.лпвс HhjvrpuuuitciCK теория расчеы их устойчивости, Мы водится основные уранисния >сдоннч раык>-tKziv призмы смешения. Получены дифференциальные уравнен»». Определяющие геометрию пигев» _=su:!1>кой иовсрмюс i и скольжении Рлссмотрешг вопросы построении tlOHCpXUOCfcft скольжения о олнр-дошых вертикальных откосах и преломления поверхности скольжения «шшкггропиых горных массивах Клцгчеъыс сзо«г расчетустойчивости. поверхность скольжения. механические сноПегка. пнфферен-М иные урашк'пяя

П)С article proposes a mechanical pnncipic (о calculate stability иf slopes and foundations lTc (hairy of adcuUnon ot'their stability is based on it We derive the basic equations of equilibrium conditions of the prism d displacement. Diliaumal equations iliat determine geometry ofa poteniial slip surface are received Questions discussed o!" establishing of «lidiny surface» in uniform vertical slopes und refractive index of'«he sliding •бгГлсс in jni.soirupic rock masses

Key words: Mobility calculation, surface ol sliding. mccahmcat characteristics, differential equations

Опенка устойчивости oixocob ii основа-Jiifi является весьма актуальном нроблемио! apit разработке месторождении полеэньтх кскиинемых игкрымпм способом, r гидротехническом и транспортном. промышленном и Гражданском строительстве. а тикже н .ipvrux отраслях деятельности человека Вместе с icm строгого способа расчет даже идеально однородных (изотропных) огкосон не сущсстоусч Как известно« для равновесия iuiocK»ii системы сил необходимо выполнение грет, условии геометрической статики С другой стороны, шлачн стптпкн весьма тффективно решаются при использовании общих принципов механики Так. .ия равновесия мехаипче* -кой сист емы с одной степенью свободк. согласно принципу возможных перемешен и ft, мСОбдиличо и достаточно выполнение равенства |6|

П)

гае , У л-i. сумма злемен тарных работ всех действующих на систему активных сип и реакции связей соответственно при любом возможном нерСМсшенпи системы

Нсоблолимо указать на ошибку, допускаемую некоторыми исследователя мл. В литературе в качестве недостатка способа К. Герца! и упоминаемом то. что он удовлетворяет только одному условию статического равновесия условию моментов К Терцагп исходит и• предположения о кругюпнлнндрическон поверхности скольжения, таким образом иошожным перемощением системы отсекон (нрнлмы смещения) будет являться се смешение по луге окружности отноипельно некоторого центра. Пренебрегая внутренними силами (силами, действующими между отсеками межблоковыми реакциями) и используя выражение (I). получим необходимо; и достаточное усяоинс рвнновсснм п аиле разности внешних сдвигающих и удерживающих сил Не составляет труда записать по условие через хоэффнпиепт устойчивости. Следовательно. условие равновесия, по К. Геринги, является состоятельным, другой вопрос, «по н способе не учтены межблоковые реакции. а поверхность скольжения принята гвпотстнчпо.

Рассмотрим механическую систему -при )му смешения. состоящую »п п мятерналь-

Рис ! Эземетарный otee* и действующие на пего Силы

иых точек центры масс элементарных отоскоп (отсеки условно разделены вертикальными граням»). Выделим из призмы смешения проншольпый отсек н рассмотрим его равновесие пол действием приложенных вшивных сил и реакций связей (рне- 11 Уеломю равновесия для данного отсека представляется равенством

- Е(х)cos О ► (Е(х)4- Д£(д ))со> Ö 65 -

- /'(vjsin Ó SA, + (7"(v )* ДГ(т))мп г» &V +

+ /Jsini)&S' -ДО,-Ol (2)

где ö угод наклона поверхности скольжения н точке; Е(х\. Их I соответственно нормальная н касательная составляющие реакции но боковым граням отсека: Л прирйшеннс функции: &S возможное Iвиртуальное) перемещение отсека;/* все отсека:/? сипа сопротивления но плоишдке скольжения

Предположим, что но площадке скольжения выполняется условие предельного ринно-весня, тогда

R »('(11= /Л1 - С — . (3)

eos tí

где / = коэффициент внутреннего трения (гашенс угла пнутренисто трения |. V нормальное реакция ПДОшадки скольжения. С сцепление массива горных пород, л],tl\ соответственно днфференшшлы душ п аргумента.

Составим условие равновесия по направлению нормали к площадке скольжения

Л . — Л eos О - ^r(.r)cosT) *A£(x)s«ni», =ü.

И)

Используя выражении (2), (3) н (4), шин ■нем условие равновесия отсека и общем тис:

|Д£(1)(| Д/'(ч - I)*-

- - / )-с (1 ♦ ЦТ о )/.г|с05А$$ =0

(5)

Преобразуем уравнение 15). используя соотиошення

«7.» — ЛЕ( г) = %1Е(х) = (1Е, ЛГ(д)=,/Г,

Д/Г(л)= —их = Е'(/х. ЛГ(0= Г\/х. ах

И'/^ н*+г-/)>]* +

- - Г )-С(| ♦ ^л|сочО 55 = 0

(6)

Запишем условие равновесия всей системы (призмы смешения), выразнв возможное перемещение каждого лгеека 65 через возможное перемещение всей призмы 6.9,:

55 со$# = 85,

Кроме того, учтем следующие соотношения'

V = у(у - =

где у объемный веч- горнмл порол; т. >• функции линии откоса и поверхности скольжения соответственно; / производная функции поверхности скольжения. Таким «юразом. имеем условие равновесия призмы смешения

* ГО - (у')ч / V- /= 0 (7)

Преобразуем условие равновесия (7» к виду

/• (/, - г0)=о. (8)

тле Г„. £„. Г,. Я, внешние касательные к нормальные реакции на вертикальных гранях нрнтмы смешения, соответственно. слева и справа

Вели в уравнении <7) положить £" Г - 0, то получим функционал Ю И. С оловьева 15], выведенный. как указывает Ю И. Соловьев, из предположения гипотетического грунта II М. Гсрссввнови Данный функционал на предмет геомезрии поверхности скольжения

' Cticiuoa коорднши npuMoyui.'ihiiaa (lUiipiiBiteiniu i пираво. v вверх)

«сследован A. Г Дорфманом |1|. Однако и, что гипотетический грунт иредуемкг-отсутствие только касательных мех-л реакции (общая реакция торизом-». Выясним физический смысл функлч-Ю. 11. Солоиьсна

v (y/¡ s»n v) cos У) - pfh cos i), -c)jl

COS «>,

(t- /a.-C'V//

= 1

cos ö

клеагельное н нормальное иапряжг-i их площадке скольжения; А высот л отсека как пилим, функционал Ю II. Соловьева глвляет собой сумму горичонзальных югоро» сил. проекции которых ни плот ил се «жсипя отсеков равны алгебраической проекций внешни* сил на ту же плсь гу. В общем случае данное условие рапцо-«evii« физическою смысла не имеет. Такой результат является следствием неучета рабоил »»блоковых реакций Выясним, в каком «о»чае ото онравланно. Потребуем в •сражении (М выполнения условии

\TVdx =0. J fE'y'dx = 0. тогда, согласно лемме Дю-Буа-Ренмонда (JJ. при отсутствии •пешннх касательных и нормальных сосзан-задошнх реакции, будем имет ь у' сопя.

Таким образом, апя того чтобы межблочные рейки ни ни »ojMo*Ho.M перемещении »ceft призмы не совершали работу, fo есть v \ можно было бы не учитывать при расчете

<вделльныс межблоковые святи Tö.-JJ =0 » необходимо выполнение двух условий: I) Т,,=" » Г, Е, - 0; 21 v' - сопя «поверхность скольжения плоскость). Пусть поверхность скольжения предопределена геологическим строением массива (тектонические нарушения. греши и ы большого гтрогяження и т. д.), тогда при выполнении данных условий породы прнтмы смешения будут находиться н состоянии одноосного гравитационного сжатия С другой стороны, при выполнении только второго условия межблоковые реакции работу сонсришъ также не будут Oiui выйдут из-пчд шака интеграла и будут считаться внешними, действующими «ей призму смешения (или се часть) по вертикальным |раиям крайних отсеков.

Заладимся вопросом: как должны распределяться между собой касательная и нормальная составляющие межблоковой реакции, чтобы при перемещении отсека они совершали зкетремалмзую работу'' Таким образом, имеем задачу линейного программирования:

£'(l f /tgY) )dx + Г'(igt). - / V/r extr.

Градиент функкнн н «том случае имеет

координаты цгай = {l + /ig»). «g\> - /}. поэтому экстремальную работу на перемещении реакция будет производить при следующем условии (рис 2).

BE I ч- /tgil

(У)

Э 3

РИС. 2 Направление чежблоковой реакции

Решаем совместно уравнения (о) и (9) относительно ироИ «водных функций межблоко-пых реакции

(10)

г--^ТТПТП-•

~1ГГ7ТГ77Г

oí)

Подставляем полученные соотношения (10) н (11) о уравнение (8). и после преобразований необходимое и достаточное условие раановсси; призмы смешения представ 1яется в в НДС

Ytf-

)>уп J

{E.-EJ-.Г(Т -Т,)=0.

Отмстим, чго касательная составляющая мсжблокоаоп реакции (HM не может превышать величины кулонооского СОЦротННЛСИНЯ сдвигу Функционал, реализующий предельное равновесие но боковым поверхностям отссков. исследован автором в диссертации (2|

Выясним физический смысл фуикциодала

(12)

£(y/ísia 0,eosd, - ty* cos з>. -с)<#сиь«> = fe. - С >// cosí»,

Таким образом, необходимым и достаточным условием р.зкновссия призмы смешения

H .III «>Л чисти «цпиетх« UV lk-m'iTOp ЛШ.'ПраН-

ческой суммы проекции внешних сил. действующих по площадке скольжения каждого отсека на горизонтальную ось. Необходимо

334tCJHTb.

1 Несмотря на то что меж блоковые силы в явном виде не входят в условие равновесия (.12). не означает, «по они отсутствуют и не сонерцтают работу. Если бы они не совершали работу, го в качестве условия равновесия мы имели бы функционал К) II. Соловьева.

2 Условие равновесия (12) не означает, что отсеки находится в состоянии одноосного сжатия

3. Несмотря на то «по уравнение (12) имеет размерность силы, его смыслом является работа внешних и внутренних сил на возможном перемещении.

Пусть имеется ненагруженный откос несвязных пород Кроме гого. предположим, что поверхность скольжения пересекло линию откоси, го есть на концах интервала выполняется условие у - »• = 0 , U »том случае, согласно лемме Л.орамжа (4|. из уравнения (12) будем иметь г' I во всех точках, lo есть

поверхность скольжения представляет собой плоскость, наклоненную к горизонту иол углом ф

Анализируя уравнение f6). замечаем, «по при условии 0 < 0 < Ф работа желтельной составляющей межбхюковой реакции становится ноложитеиыгоЙ, что неко »можно. Поэтому на этом участке реакция горизонтальна (рис. 3) В этом случае производная .межблоковой реакции определится формулой

У(У-уУ/-/)-С(I»/') (ь />')

1 условие равновесия призмы (или се части) примет вид

(13)

Функция поверхности скольжения, дос-авляюшая экстремум функционалу <13). достаточно подробно исследована пвтором к работе (2)

Рассмотрим отрицательный участок поверхности скольжения irt <0) Можно предположить, что распределение межблоковых реакций на .»том участке будет аналогичным случаю (О >Ф) (см. рис. 3) Тогда при условии 0< -((Я'2) -ф)(селн такое вообще возможно), нормальная межблоковая реакция становится отрицательной, то есть появляются растягивающие напряжения, что иево «можно, Поэтому на пом участке нормальна« составляющим реакции должна отсутствовать 1см рис. 3).

( другой стороны, на пассивном учветъе И» ^ СМ касательная составляющая межблоковой реакини oicyicTBycr ввиду увеличения упп наклона поверхности СКоЛКЖснпЯ по мере

Рис. 3 Предположительное распределение межблоковых реакций

ж

S - û

Pue. 4 Распределение реакций im pa личных участках поверхности скольжения

- -чблнження к откосу. Таким образом, на ;явном участке межблоковая реакция te горизонтальна (рис 4). а геометрия •оверхиостн скольжения определяется «гг*ямитаииеЙ функционала 113). Как показано • работе (2J. угол выхода поверхности .•ольженик в откос (угол между откосом м •-агерхностыо скольжснин в точке их пересечения) для функционала (13) определяется *> формуле г - (К/4) - (а-2) (ф/2). a для гыяучнх пород поверхность скольжения •»•падает с откосом (ем. pire. 4). Положив прм расчете оснований сооружений Ci ^ 0, получим ? - (к/4) - (Ф'2). что совпадает с известным :«нением ептмен сыпучих сред (см. рис. 4|.

Таким обратом, ни отрезке поверхности скольжении (Н < ф» межблоковая реакция горизонтальна, геометрия поверхности с котике mi я и условие равновесия описываются 'равнением ( 13). На отрезке И> > ф» межблс-реакция распределена » соответствии с .равнением (9). а геометрия поверхности глольжеинв н условие раииовсеня определи -■лея условием (12) (см рис. 4)

Рассмотрим одну нз простейших задач по определению к'омстрни потенциальной поверхности скольжения э вертикальном од неродном (изотропном I откосе, который в обшеы случае является составной частью и плоского откоса, и натруженною основания Согласно

усюьню равновесия (12). лпя определения

геометрии поверхности скольжения необходимо решить следующую вариационную задачу

к/3

f

tlx extr. (14)

Строго говоря, решением этой задачи ( дли любой формы откоса) является прямая, накло-

ненная к трнчшгту ГЮЯ углом 1Я/4) + (ф/2) и доставляющая ей абсолютный экстремум Однако заметим, что это противоречит постановке задачи. Как было показано выше, в случае прямолинейной поверхности скольжения межблоковые реакции работу не совершают. то есть данное решеиие не имеет смыс-за Помимо этого, прямая, в общем случае, не будет удовлетворять граничным условиям

Определимся с областью допустимых шачений разыскиваемой функции. Очевидно, что при отсутствии внешних сил по вертикальным граням крайнего отсека и внешней нагрузки на поверхности его положение определится уравнением

1 + у':

= 0.

Выражая из данного уравнения ординату н определяя ее экстремум, получим тем самым (рапичнос условие для отыскиваемой кривой скольжения

2С (к ф)

•н=т1и)

15)

Принимаем для вертикального откоса у-И, вторым граничным условием, например. можно принять 1(0) О. то есть отыскиваем потенциальную поверхность скольжения для вертикального откоса высотой H

Отметим, что если приложить внешнюю нагрутку, то угол наклона поверхности скольжения (15) останется неизменным, а высота грешнпы отрыва будет изменяться в зависимости от тнакп нагрузки.

-_ **

Уравнение Л Эйлера для функционала (14) и »том случае имеет вид f4J

F - y'F. = С„

t.тс F подынтегральное выражение, / частик производная полыптегральнрго выра-жеиня по >•'. С произвольная постоянная

Составляем уравнение Л. Эйлгра и используем граничное условие (15). имеем шф-фсрснииальнос уравнение первою порядка

О + л - У

»= //-

(10)

у 2у -i/yn~f

На рис. 5 приведены поверхности скОзЬ-ження. построенные по результатам решения уравнения (Ю) для различных углов внутреннего трения И 5 м, у I т.'м . С ■ т м')

<е = 1(Г

Рис 5. Поверхности скольжения в вертикальном откосе

Поместим начало системы координат п точку пересечения поверхности скольжения с вертикальным »пкосом Tor за дифференциальное уравнение, определяющее линию поверхности скольжения (активный участок) пол наклонным oikocom. 6vact иметь нкд

кх ~ ft - \ =

fiw I

Y 2у} (к .3/)/ т2к/у'+к - / '

(17)

Замечаем, что. положив н выражении (17) к - 0, получим уравнение (16).

Левая часть уравнения (I Определяет высоту по вертикали от линии откоса jlo поверхности скольжения. Определим максимальное тначсиис данной высоты Для лого персизсм К пределу

. С_(l + /:f_

"" у 2 г" - (А + 3/ )v': *2kty' + к- f

С1»*! С

cose

у к-J 1 cosasm(ft-f)

(IK)

Таким образом, предельная глубина зале-тиння поверхности скольжения, о тредсляемая формулой (IS), совпадает с тоновой же но методу предельного напряженною состояния (обобщенная задачи Ренкннаь

Рассмотрим теперь задачу об изломе поверхности скольжения в анизотропных откосах (массивах). Под анизотропией а общем случае будем понимать систему поверхностей ослабления, с характеристиками паспорта прочности С и/ ig<f>\ *ак правило, меньшими показателей прочности массива С и«р. Пусть в массиве имеются плоские поверхности ослабления, падающие в сторону выработанного пространства иод углом (1 к оси* Необходимо определить условие и точке пересечения зтнх поверхностен с криволинейной частью поверхности скольжения, построенной ия изотропной части массива Формализации поставленной задачи, с использованием уравнения (12) приводи! к разрывной вариационной задаче второго рода:

. ¡ш.

tsis

itx — CXtr.

Где b постоянная.

Условие в точке излома поверхности скольжения Имеет «ид |3|

F, 4 (Ф'-«;)/• , =/■ -(Ф(20)

гле Fr !■ полынтегрАльныс выражения сдв' ГвсмыА (I9)i Ft Fu чистные производные подынтегральных выражений но производной функции поверхност и скольжении: Ф* производная функции, по которой перемешается точка ДОрыв» (1У)

Условие (20) запишется и виде

Igy ~ lg<p tg[5 - tgeft'

(Uig'yjr Y/>

(21)

or 9 - угол наклона поверхности скольжения

• mi ; (к юрнзонту) о точке преломления: Л-■зубнца точки изломи (расстояние по перги-

л от поверхности откоса до точки излома). Уравнение (21 » определяет условие в гоч-*г стыка криволинейной части поверхности .зольжеиня с поверхностью ослабления. H ча»г-случае неизвестной величиной в уравне-■r f2l) является угол у Абсолютная велн-^-ïa разности утлой у н {i определит угод exvMu поверхности скольжения Заметим, что

• w-iv4ae jmhchcibj механических харакicpne-•и массива и поверхности ослабления из •тавнепия (21 ) получим V П. то есть изюм атсутетвуст

Рассмотрим задачу о преломлении поверхности скольжения вследствие се перехода t антологический слой с иными чеканнчески-«в характеристиками Аналогом поставло •

• ылачи является шлача о преломлении «уча света на ipannuc сред с ратными оптическими плотностями в постановке принципа Ферма. Примем у - угол наклона поверхности ¿хоэьженнх к оси х до преломления. |3 угол «аклона контакта титологнческнх слосв к осп

411 уюл И.1КЛОНД нонеркжклн скиаьжсшп

• оси .г после преломления; С. ф' механт-«кне характеристики ¡отологического ело» » который переходит поверхность скольжения Используя выравненна (12) и (20), получим уравнение

«g4f_lg<P tgeo- ЦФ l-Mg'V l-ig'to

(j-tgy) tl + 2^'tgn)-ig(o _ С - С'

(l + lgW Y/'

-(tg|3-ig(ob

Аиалншруя условие (22). замечаем. ч)н к случае С® С*,ф » ф'преломления поверхности скольжения не происходит, то есть у ю. Кроме тото. очевидно, что поверхность еклль-жения не может после преломления вернуться в первоначальный лнтологнчсскин слой, то есть предельным шаченнем угла ш является угол В этом случае скольжение произойдет по поверхности параллельной или совпадающей с контактом (зависит от прочностных характер истн к контакта) Положив в уравнении (22> со = 15. получим условие (21) Условие (22) подразумевает одинаковый объемный вес (нгологнческих слоев, в противном случае уравнение незначительно усложнится.

Аналогично выводятся условия преломления для пассивного участка поверхности скольжения (V» 5Ф) В ттом случае необходимо кстюльзоиап. функционал (13)

СМЬЛПО! РАФИЧЕСКИЙСПИСОК

1. Ло/^иам .4. Г Вариационный метод нисле-тования устойчивости откосов А Г Дорфман Вопросы геотехники. Днеаропетровс к, 196$ С 17-25 (Сб тр. ; ЛПИТ. Выи 0)

2 Жабы I В МоиКаовдпие закономерностей, определяющих «еомефню поверхности сколь же пня в откосах и расчетные характеристики, в изотропных юриых масениах дне, канд техн.паук V В. Жабко. УГГУ Екшернибург. 2009. 152 <

3 Краснов М .7 \liikuftcuai! /I. Кпгси-ч I II Вариационное исчисление М.: Наука. 1973 1^2 с

4 Лии(м:кты.-н {{. 4., Люапгриик Л. I. Курс варнииионного исчисления 2-е нзд М. Гос. иза-во технике-теоретической лит. 1950 2% с

5 СлювьелЮ. И. Устойчивость откосов и» гипотетического фунта/ Ю И Соловьев - Вопросы ннженернай геологии, оснований и фундаментов М„ \%2 < ХЗ-У?. ( Груды • НПИЖТ Выи 28'.

0 Гор/ С Ч Краткий курс теоретической механики: учеб. для вгузои С. Ч. Тпрг. 12 кзд.^ стер. М . Высшая школа, 2002. -Иг»с.