CC BY
130.fth ВЕСТНИК ПГТПУ
Серия № 2. Физико-математические и естественные науки
УДК 517.3
Малых Алла Ефимовна
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры высшей математики, e-mail: [email protected],
Галкина Елена Ивановна
аспирантка кафедры высшей математики, e-mail: [email protected] Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет» Россия 614990, Пермь, Сибирская, 24, (342) 238-63-75
ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ В XIX СТОЛЕТИИ: ФОРМИРОВАНИЕ, РАЗВИТИЕ, ПРИЛОЖЕНИЯ
Malykh Alla Efimovna,
doctor of physical and mathematical sciences,
professor of the Higher mathematics chair, e-mail: [email protected]
Galkina Elena Ivanovna
post-graduate student of the Higher mathematics chair, e-mail: [email protected] Federal State Budget Educational Institution of Higher Education «Perm State Humanitarian Pedagogical University» Russia, 614990, Perm, Sibirskaja, 24, (342) 238-63-75
THE THEORY OF DETERMINANTS IN XIX CENTURY: FORMATION, DEVELOPMENT, APPLICATIONS
Аннотация: представлен исторический процесс формирования и развития теории определителей в XIX столетии. Показаны подходы к ее исследованию (классический и функциональный). Указаны имена ученых, в том числе и отечественных, внесших вклад в эту область деятельности. Выяснена связь с другими научными дисциплинами и практические приложения.
Ключевые слова: определители; их виды; подходы к исследованию: классический, функциональный; формирование теории; исторические сведения.
Abstract: historical process offormation and development of the theory of determinants in XIX century is presented. An approach to her investigation (classical and functional) is shown. The names of scientists, as well as, native, who contributed in this field of activity are noted. The connection with other scientific disciplines and practical applications is elucidated.
Keywords: determinants; their kinds; points of view to investigation: classical, functional; forming of the theory; historical information.
Исследование способов и приемов решения линейных алгебраических уравнений привлекли интерес к теории определителей. Всем известно, что у истоков ee стоял Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Заметим,
однако, что его вклад в эту область алгебры стал известен лишь в 1850 г. [1],
102
когда была опубликована его переписка и Гийомом Франсуа Лопиталем (1661-1704). Из нее следовало, что новыми результатами Лейбница является введение числовой индексации и правило знаков в разложении определителя системы линейных алгебраических уравнений (ниже СЛАУ). Хотя ученый и осознавал всю важность сделанного им открытия, заложившей основы теории определителей, но больше никаких исследований в этом направлении не предпринимал.
После публикации на русском языке Эльвирой Ивановной Березкиной книги «Математика древнего Китая» в 1980 г. [2] многие советские историки науки ознакомились с приемом (алгоритмом) в вычисления корней «фан-чэн» СЛАУ, разработанном в Древнем Китае еще до н.э.
На протяжении долгого времени результаты Лейбница и китайских ученых оставались неизвестными широкому кругу математиков. Наверное, поэтому было распространено убеждение в том, что создание теории определителей принадлежит швейцарскому математику Габриэлю Крамеру (1704-1752), впервые изложившему свои результаты в мемуаре «Об исчезновении неизвестных величин», представленном Парижской АН. Он так и не был опубликован. Затем ученый подробно описал его в 1750 г. во «Введении в анализ кривых линий» [3]. Историки науки называют Крамера изобретателем определителей. Действительно, у него не доставало только удобного обозначения.
Аналогичный метод решения СЛАУ и исключения неизвестных был предложен шотландским ученым Колином Маклореном (1698-1746) в известном курсе «Алгебра» (1748) для системы из 2, 3 и 4 уравнений с таким же числом неизвестных. Он отметил, что все неизвестные выражаются дробями с одним и тем же знаменателем и был близок к установлению правила для образования числителей, но дальше этого не пошел.
Вслед за Крамером известный французский математик Этьен Безу (1730-1783) указал общий закон составления определителей, который был
103
Г; ВЕСТНИК ПГТПУ Серия №2. Физико-математические и естественные науки
введен по аналогии с формулами, полученными при решении 2 и 3 СЛАУ с таким же числом неизвестных [4]. В ходе этих исследований Безу пришел к проблеме исключения неизвестных. Удобный для выкладок прием ученый привел в Мемуарах Парижской Академии наук (1764, 1767) и применил его к СЛАУ с двумя неизвестными / 1(х, у) = 0 и/2(х, у) = 0 степеней т и п соответственно. При этом он показал, что появляющийся после исключения одной из неизвестных результант имеет степень тп, которая в частных случаях может быть и ниже. Таким образом, данная система имеет тп общих решений. Безу сформулировал используемое в дальнейшем рекуррентное правило образования результанта, т.е. определителя, равенство нулю которого обеспечивает совместность системы из п линейных уравнений с п + 1 неизвестными. Добавим, что в другом мемуаре «Общая теория алгебраических уравнений» [5] он также обстоятельно изложил метод исключения неизвестных из СЛАУ.
Прошло еще немного времени и сами определители стали предметом исследования. В мемуаре 1772 г. Пьер Симон де Лаплас (1749-1827) доказал теорему о разложении определителя на сумму произведений «частных» определителей [6]. Он доказал также, что два члена определителя, полученные в результате нечетного числа перестановок, всегда имеют различные знаки и тем самым, пришел к правилу Крамера. Наконец, он показал, что определитель меняет знак при перестановке двух столбцов (строк), и равен нулю, если последние одинаковы.
Одновременно с работой Лапласа появился мемуар [7] Августа Теофила Вандермонда (1735-1716) «Об исключении», в котором введена, как и у Лейбница, двойная индексация коэффициентов при неизвестных, правда, в неудобной форме: номер уравнения записывался под номером
а\р а/3 а/3
места. Так, определитель 2-го порядка он обозначал = - ,
а\Ь а .Ь Ь. а
а определители более высоких порядков вводились при помощи рекуррентных соотношений. Аналогично определялось и разложение определителя по элементам, например, первого столбца. Он ввел особую запись и для СЛАУ.
1 1 1 ••• 1
а а2 а ••• а п
а112 а22 а332 ••• а п
Учитывая ограничения и обозначения, введенные Вандермондом, ученый сформулировал теоремы о числе членов определителя при транспозиции строк (столбцов), об изменении знака определителя при транспозиции двух строк (столбцов) и о вытекающем отсюда равенстве нулю определителя с двумя одинаковыми столбцами (строками).
Он ввел определитель, носящий его имя, правда, применил его только для п = 3. Заметим, что общий случай исследовал спустя почти 43 года Огюстен Луи Коши (1815):
а а а • •• а
12 3 п
В мемуарах 1773 г. [8, 9] известный французский математик и механик Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) для решения геометрических проблем успешно использовал доказанные им свойства определителей третьего порядка. Он вновь дал правило разложения определителя по элементам строки (столбца) как частный случай теоремы Лапласа и показал, что сумма произведений столбца (строки) на адъюнкты соответствующих элементов другого столбца (строки), равна нулю. Ученый рассмотрел специальные виды определителей и среди них «вековое уравнение»:
... а
а
21
а22 Х
а
а
п1
а
п2
2п
••• а -х
пп
0, где ап = аш.
С таким уравнением ученый встретился при исследовании поверхностей второго порядка. Название оно унаследовало от Лапласа, который в 17721773 гг. изучал вековое неравенство при движении планет.
Некоторые свойства определителей третьего порядка, полученные Лагранжем, впоследствии были расширены на случай произвольного
17; ВЕСТНИК ПГТПУ Серия №2. Физико-математические и естественные науки
порядка: квадрат определителя третьего порядка может быть приведен к виду определителя того же порядка; определитель дополнительной системы третьего порядка равен квадрату «первообразного» определителя.
Первое свойство было обобщено выдающимся математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855). Он показал в мемуаре [10], что произведение двух определителей может быть представлено в виде определителя множителей. Там же он ввел термин «dëtermmans» для обозначения дискриминанта квадратичной формы. Заметим, что современное значение термин приобрел в работах по теории определителей Карла Густава Якоба Якоби (1804-1851).
Теоремы Лагранжа и Гаусса были обобщены Жаком Филиппом Мари Бине (1786-1856) - французским математиком и астрономом [11] - на сумму произведений известным образом составленных определителей 2-4 порядков.
Однако, полное обобщение этих теорем было впервые выполнено Огюстеном Луи Коши (1789-1857) - выдающимся французским математиком - в объемном мемуаре [12]. В его первых двух главах второй части ученый, указав при помощи так называемых круговых замен закон составления определителей, доказал в качестве следствия все теоремы, упоминаемые выше, дал формулу для разложения определителя по двум взаимно перпендикулярных строк и столбцов; доказал общую формулу о произведении определителей произвольного порядка и показал основные свойства определителей дополнительных систем. Кроме того, он дал общее доказательство того, что определитель, взаимный определителю п-го порядка равен (п - 1)-й степени данного. Заметим, что частный случай был рассмотрен Лагранжем (1773) и Гауссом (1801).
В заключении второй главы Коши изложил результаты исследований по теории производных определителей. Таким образом, ученый охватил все вопросы учения об определителях. Поэтому его последователи лишь развивали указанные им теоремы и находили их практические приложения.
Заметим, что Коши употреблял термин «dëterminans», хотя и не всегда.
106
В начале XIX столетия теорией определителей заинтересовался польский философ и математик Гоене Юзеф Мария Вронский (1778-1853), на исследование которого оказала влияние Гинденбургская комбинаторная школа. В своем сочинении против теории производящих функций Лагранжа (1812) он ввел функциональный определитель, играющий важную роль в теории линейных дифференциальных уравнений [13]:
у У 2 - Уп
у: у2 - уП
У (п-1) У(п-1) у(п-1)
у1 У 2 — • уп
В 1882 г. Томас Мьюир назвал его «определителем Вронского» (вронскиан). Такие определители применял Эльвин Бруно Кристофель (1829-1900) - немецкий математик, профессор политехникума в Цюрихе и университета в Страсбурге - к исследованию линейной зависимости системы п функций.
В ряде своих фундаментальных работ по теории определителей К.Г.Я. Якоби [14; 15] соединил все найденные до него положения теории и дополнил их своими замечаниями. В мемуаре [14] он изучал особый вид определителей, названных им функциональными, и указал на аналогию между ними и производными функциями (первого и второго порядков) одной и нескольких переменных. В [15] ученый стал впервые исследовать косые определители и выяснил их свойства [16]. В 1833, 1841 гг. он ввел в практику функциональные определители и указал на их роль при замене переменных как в кратных интегралах, так и при решении уравнений с частными производными. Такие определители были названы его именем (якобиан). Он составлен из частных производных первого порядка и имеет вид:
I! ВЕСТНИК ПГТПУ
Серия № 2. Физико-математические и естественные науки
д < д < д <
д^ д^ дг т
д <2 д <2 д <2
дгх дг2 дг т
д / т д г т д г т
дгх д^ дг т
т, имеющие частные ¿т. Модуль якобиана
где т функций XI = <(¿1, t2, ..., ¿т), I = 1, 2, .. производные I порядка по переменным ¿1, ¿2, .. характеризует растяжение (сжатие) элементарного объема при переходе от переменных Х1, Х2, ..., Хт к переменным ¿1, ¿2, ..., ¿т. Якоби впервые изучил его свойства и указал на применение.
В 1844 г. кенигсбергский математик Людвиг Отто Гессе (1811-1874), ученик К. Якоби, профессор Политехнической школы в Мюнхене ввел определитель, составленный из вторых частных производных от дважды дифференцируемых функций п переменных. Он был назван впоследствии его именем - гессианом.
В Англии изучение теории определителей было начато с 1844 г. Артуром Кэли (1821-1895). Он ввел понятие косых и кососимметрических определителей и исследовал их свойства в ряде работ, помещенных в журнале Крелле [17]. Заметим, что применяемая теперь квадратная схема с вертикальными чертами впервые была введена им.
В 1851 г. Джеймс Джозеф Сильвестр (1814-1897) - близкий друг и соратник А. Кэли - доказал теорему о представлении произведений двух определителей; рассматривал также окаймленные определители (1851). Видимо, в его сочинениях того времени заканчивалась деятельность по построению теории определителей. Важнейшие исследования в этой области относились к выяснению ее приложений.
Успехи в теории определителей послужили основой для развития линейной алгебры, матричного исчисления, алгебраической теории форм и их инвариантов.
Вопросы теории определителей потребовали дальнейших исследований в комбинаторной анализе, касающихся различных видов соединений с ограничениями на позиции их элементов. В частности, не утратила своей актуальности «задача о встречах» и ее многочисленные обобщения. Независимую формулу для Р"0) и Р") - перестановок из п элементов, у которых ни один либо п-к не занимают первоначальных позиций - получил И.И. Вейраух в 1872 г. [18]. Он решил пять вопросов о нахождении числа членов в разложении определителя порядка п, имеющего на главной диагонали: а) т фиксированных элементов; б) т произвольных; в) не более т элементов; г) не менее т; д) от 0 до п элементов.
При доказательстве он использовал метод включения и исключения. Рассуждал ученый следующим образом: коэффициентом при ац является определитель (п-1)-го порядка, в разложении которого (п-1)! членов, содержащих а11 и столько же членов, содержащих а22. Следовательно, число членов с элементами а11 или а22, или обоими одновременно, равно Си2(п-1)-(п-2). Далее, элемент а22 также находится в (п-1)!, но как
множитель он уже встречался с ац и а22 каждый раз в (п-2)! членах. Поэтому из полученного результата следует вычесть 2(п-2)!. Однако при этом вычтутся члены, содержащие три множителя а11, а22, а33, число которых (п-3)! Таким образом, всего членов разложения, содержащих элемент а11 или а22, или а33, или одновременно все три, равно Сз1 (п - 1)-С32 (п - 2)+(п - 3)!.
Аналогичная процедура продолжалась до элемента ат. В результате Вейраух пришел к формуле числа членов в разложении определителя порядка п, содержащего хотя бы один элемент, стоящий на главной диагонали:
С л л
С1 (п - 1)-Сз2(п - 2)+Сз3(п - 3)-- + (-1)"1 с: 01= п|| 1 -1 +1 - - + (- 1Г -1
V 2! 3! п! 7
И ВЕСТНИК ПГТПУ Серия №2. Физико-математические и естественные науки
Отсюда легко определить количество членов, не содержащих ни одного элемента на главной диагонали:
./1 1 1 ( ,у-1 1 ^ (- 1)г
п\-п\ 1--+--... + (-1) — = п\У -——.
{ 2! 3! 4 «!) 7=2 г!
С другой стороны, все члены в разложении определителя п-го можно получить из произведения диагональных элементов, переставляя в нем вторые индексы всеми п! возможными способами и взяв члены со знаком «+», если выполнено четное число перестановок, и со знаком «-» в противном случае. Тогда символ Р[к) в разложении определителя
указывает число членов, содержащих ровно к элементов, расположенных на главной диагонали.
Исходя из этих соображений, Вейраух ответил на поставленные выше пять вопросов. Таким образом, решение в общем случае «задачи о встрече», т.е. нахождении числа перестановок, в которых ни один из элементов не сохраняет своей позиции, совпадает с вопросом о числе членов в разложении определителя п-го порядка, у которого все элементы главной диагонали равны нулю. Такой определитель Дж. Сильвестр назвал «беспозвоночным». Тогда значение Р[к) совпадает с числом членов
разложенного определителя п-го порядка, у которого (п-к) членов, стоящих на главной диагонали, равно нулю.
Решением СЛАУ с п неизвестными, у которых определители системы равны нулю, занимались в последних десятилетиях XIX в. Леопольд Кронекер (1823-1891), Фердинанд Георг Фробениус (1849-1917), Альфред Капелли (1855-1910) и др.
Дальнейшее развитие теории определителей связано не только с их приложениями, но и изучением, различных видов бесконечномерных определителей.
Анализ литературы по рассматриваемой тематике позволил выделить ряд подходов к изучению и формированию теории определителей.
Основными были: классический, связанный с проблемами решения СЛАУ и функциональный. Ряд ученых, начиная с середины XIX в., рассматривали определители как полилинейные функции п переменных.
Английский математик, специалист по теории узлов и переплетений Томас Мьюир в своем пятитомнике [19] и книге 1930 г. [20], посвященным развитию теории определителей, собрал многочисленные публикации ученых XIX в. и представил их в хронологическом порядке. В некоторых случаях он поместил краткие цитаты из статей на языке оригинала, видимо, считая их важными для понимания всего содержания. Однако, на наш взгляд, такой подход не способствует формированию представления о публикации в целом и требует системного изучения материала.
К середине XIX в. накопившиеся сведения по теории определителей были изложены главным образом в статьях или монографиях, посвященных изучению отдельных вопросов. Объем и значимость материала настоятельно требовала его систематизации и последовательного изложения. Поэтому создание учебника по теории определителей приобрело актуальность. Именно в это время появились и первые специальные учебные пособия. К их числу относится учебник Уильяма Споттисвуда «Элементарные теоремы, относящиеся к определителям», опубликованный в Лондоне (1851).
Наиболее полным и теоретически обоснованным учебным пособием, излагавшим практически все известные к тому времени факты, был опубликованный курс «Теории определителей» (1854) итальянского математика Франческо Бриоски (1824-1897).
Первое изложение теории определителей в России было выполнено Николаем Ивановичем Лобачевским (1792-1856) в его «Алгебре и вычислении конечных» [21]. В предисловии ученый указал, что привел два различных приема решения СЛАУ, а потому и два метода составления определителя. Первый был традиционным - классическим, а второй -функциональным.
И ВЕСТНИК ПГТПУ Серия №2. Физико-математические и естественные науки
Наиболее подробно его разработал Огюстен Коши (1815). По-видимому, Лобачевский не был знаком с этим мемуаром и развил свой метод. И Коши, и он исходили из понятия знакопеременной функции. Сравнительный анализ результатов ученых позволил сделать вывод о том, что их методы не пересекаются. Сравнение же результатов Н.И. Лобачевского с наиболее значимыми результатами других авторов того времени показало, что его подход оригинален, практически не имеет аналогий с последовательностью изложения материала, терминологией и символикой авторов.
После выхода [21] русские математики почти треть столетия не проявляли интереса к теории определителей. Однако алгебра к середине XIX в. стала занимать прочные позиции в системе математического образования России. Поэтому в 60-70-х гг. XIX в. появился ряд работ, полностью или частично посвященных теории определителей. Наиболее ранним из них (1862) является «Элементарное изложение теории определителей» [22] А.К. Жбиковского - приват-доцента Казанского университета, читавшего там высшую алгебру и теорию определителей. Его сочинение стало русским учебником по рассматриваемым дисциплинам. Заметим, что его учебник не был напечатан в виде монографии, а помещен в первом русском физико-математическом журнале «Вестник математических наук» [22], издававшемся в 1861- мае 1863 гг. В своей работе Жбиковский широко использовал материалы учебника Ф. Бриоски и О. Коши (1815). К самостоятельным результатам Жбиковского, на наш взгляд, можно отнести способ нахождения «функции А» (алгебраических дополнений), впервые выписанные четыре набора формул для определения элемента с ^ (/,к = 1;п) при умножении определителя п-го порядка;
обобщение теоремы об определении «т-й дополнительной системы».
Таким образом, в монографии Жбиковского [22] были объединены результаты наиболее полных и значимых работ первой половины XIX в.
по общей теории определителей, переработанных в соответствии с требованиями того времени и целями написания монографии как учебного руководства.
Теорию определителей изложил также в своих «Лекциях алгебраического анализа, выпуск первый» (1866) доцент, а впоследствии профессор Харьковского университета Данила Михайлович Деларю (18391905) - российский математик, ученик М.В. Остроградского. Определителям посвящены лекции 35 и 36 [23, с. 222-238].
Лекции Деларю, в отличие от монографии Жбиковского, представляли оригинальный труд. Конечно же он знал о работах своих предшественников по теории определителей, в том числе и Коши. Однако многие его идеи и методы, а также рассуждения приводят к выводу о том, что результаты, полученные и изложенные им, выполнены самостоятельно.
Из анализа [23] можно сделать вывод о том, что общая теория определителей - более полная и современная, чем в монографии Жбиковского, хотя в некоторых местах явно прослеживается связь этих работ. В «Лекциях» Деларю имеются оригинальные рассуждения и значительные дополнительные теоретические результаты. Он дал обоснование, в частности, «правилу знаков» у членов в разложении определителя; изложению некоторых его свойств; теореме об умножении определителей; введению для русских руководств «минорного» и «дополнительных» определителей; доказательству теоремы о выражении «минорного определителя взаимной системы» через определитель системы и «дополнительный» определитель СЛАУ, а также к важному замечанию о решении СЛАУ в случае, когда дискриминант равен нулю.
Лекции Деларю составляют основу изложения теории определителей в монографии 1877 г. известного математика, историка науки профессора Киевского университета Михаила Егоровича Ващенко-Захарченко (18251912). В его книге «Теория определителей и теория форм» были
использованы сведения мемуара Коши (1815) и учебник Бриоски (1854).
113
fpj ВЕСТНИК ПГТПУ Серия №2. Физико-математические и естественные науки
Теория определителей в монографии Ващенко-Захарченко [24] содержит 14 глав; из них четыре посвящены общей теории определителей, а одна - решению СЛАУ. Анализ мемуара, касающегося теории определителей, показал, что он является изложением лекций Деларю. Главное ее достоинство состоит в том, что это была первая работа в России, посвященная теории определителей. Она впитала все известные к тому времени наиболее важные сведения. Возможно, поэтому монография ученого получила широкое распространение в России и широкую известность как учебное пособие по предмету.
Однако следует отметить, что появление монографии ученого явилось в то же время и итогом развития теории определителей в России во второй половине XIX в.. Значимую роль сыграли упомянутые выше работы А.К. Жбиковского и ДЖ. Деларю. В свое время Жбиковский первым обратил внимание на теорию определителей, дал хороший перевод серьезных работ по предмету. Это не осталось незамеченным другими русскими математиками. Результатом их исследования можно рассматривать и лекции Деларю, оказавшими существенный вклад в развитее теории и ставшие основой при написании сочинения [24].
Во второй половине XIX в. исследования по теории определителей все чаще стали пополняться результатами по теории матриц. К концу столетия-матричное исчисление и исследование матриц квадратичных форм слились в единую теорию. Постепенно круг ее идей и результатов был востребован в формировавшейся теории инвариантов, ряде математических дисциплин, в том числе и комбинаторном анализе.
Список литературы
1. Leibnizens Mathematichen Schriften. - Berlin, 1850. - Abth. - Bd. 2.
2. Березкина Э.И. Mатематика древнего Китая. - M. : Наука, 1980.
3. Kramer G. Introduction à l'analyse de lignes courbes. - Geneva, 1750.
4. Bézout E. Rescherches sur le degré des équations resultantes de'levanouissement des inconrues et sur les moyens qu'il couvert d'employé pour trouver ces équations // Histoire de l'Acad. Royale des Sci. - Paris, 1779.
5. Bézout E. Théorie générale des equations algébriques. - Paris, 1779.
6. Laplace P.S. Rescherches sur le calcul intégral et sur le système de monde // Histoire de l'Acad. Royale des Sci. - Paris, 1772.
7. VandermondeA.T. Sur l'elimination // Histoire de l'Acad. Royale des Sci. - Paris, 1772.
8. Lagrange J.L. Nouvelle solution du problème de mouvement de rotation d'un corps de figure quelconque qui r'est animé par aucune force accéle'ratrice // Nouv. Mém. l'Acad. Roy. Sci. - Berlin, 1773.
9. Lagrange J.L. Solution analytique de quelques problèmes sur les pyramides triangulares // Nouv. Mém. l'Acad. Roy. Sci. - Berlin, 1773.
10. Gauss K.F. Rescherches arithmétique. - Paris, 1801.
11. Binet J.Ph.M. Memoire sur un systéme de formulas analytiques et leur applications à des considérations géomérique // J. de l'Ec. Polytehn. - , 1813. - V. 9. - Cah. 16.
12. Cauchy A.L. Sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et de signes contraires par suite des transpositions opérées entre les variables qu'elles renfermént // J. Ec. Polyteh. - , 1815. -. V. 10. - Cah. 17.
13. Wronsky Hoene 7.M.Repetation de la theorie des functions analytiqes de Lagrange. - Paris, 1812.
14. Jacobi K.G.J. De formatione et proprietatibus determinantum // J. für reine und angew. Math. - 1841. - Bd. 22.
15. JacobiK.G.J. De determinantibus functionalibus // J. für reine und angew. Math. - 1841. -Bd. 22. - S. 319.
16. Jacobi K.G.J. Über die Pfaffsche Methode, eine gewöliche lineare Differetial-Cleichung zwischen 2n variablen durch ein System von n Gleichungen integriren // J. für reine und angew. Math. - 1841. - Bd. 22. - S. 347.
17. Cayley A. Sur quelque propriétés des determinants gauches // J. für reine und angew. Math. - 1851. - Bd. 32.
18. Weyrauch J.J. Sur Théorie des determinanten // J. für reine und angew. Math. - 1872. -Bd. 74. - S. 273-276.
19. Muir Th. The theory of Determinants in the Historical order of its development. -London, 1906. V. 1; 1912. - V. 2.
20. Muir Th. Contributions to the History of Determinants. - London, 1930.
21. Лобачевский Н.И. Сочинения по алгебре. Алгебра или вычисление конечных / Полное собрание сочинений. М. - Л. : ОНТИ, 1948. - Т. 4. - С. 127-140.
22. Жбиковский А.К. Элементарное изложение теории определителей // Вестник математических наук. - 1862. - Т. 2. - № 30. - С. 41-44; №№ 32-33. - С. 57-59; №№ 35-36. -С. 81-82.
23. Деларю Д.М. Лекции алгебраического анализа. Выпуск первый. - Харьков, 1866.
24. Ващенко-Захарченко М.Е. Теория определителей и теория форм. - Киев, 1877.
