ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАР «ТОР С ТОРОМ» НА ОСНОВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ КИНЕМАТИКИ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 621.01

DOI: 10.25206/1813-8225-2024-192-35-43 EDN: ARSNMN

А. Х. ШАМУТДИНОВ1 И. Ю. ЛЕСНЯК2

1Омский автобронетанковый инженерный институт, г. Омск

2Омский государственный технический университет, г. Омск

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАР «ТОР С ТОРОМ» НА ОСНОВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ КИНЕМАТИКИ

В данной статье представлено теоретическое исследование кинематических пар, известных как «пары катания», используемых во многих областях машиностроения, в частности в механизмах. Данное исследование касается таких тел (звеньев), как геометрические торы, представляющих собой хорошо известные тела вращения. С точки зрения геометрической кинематики, описаны новые представления механических движений тора в соединении «тор с тором» без связи с причинами, которые вызывают это движение. Проанализированы два варианта соединения двух торов: оси торов параллельны и перпендикулярны. По аналогии анализ кинематических пар данного вида расширяет элементы теории кинематических пар и даёт возможность разрабатывать их новые варианты во многих механизмах, используемых в различных областях машиностроения.

Ключевые слова: кинематическая пара, пара катания, тор, подвижность, матрица подвижности, скольжение, катание, верчение.

Введение. Как известно, тор (в геометрии) — это поверхность вращения, образующаяся при вращении окружности в трёхмерном пространстве вокруг оси, копланарной к окружности (не пересекающей её) [1]. Мы будем рассматривать частный случай, когда ось вращения не касается окружности и поверхность имеет кольцевую форму — тор вращения. Искомое исследование является продолжением анализа специфических кинематических пар (КП), которое было дано в [2], где частным случаем КП типа «цилиндр в цилиндре» был представлен вариант пары узкий тор (кольцо) в цилиндре.

Данный вид КП представляет собой новый вид КП, которые встречаются в виде кинематических соединений: звенья сцепления цепи, кинематические пары третьего класса — сферические в виде колец, которые используются во многих механизмах робототехники, автоматических конвейерах и др. Аналитическое исследование соединений вида «тор с тором» впервые было рассмотрено в [3], где представлены пространственные механизмы с высшими КП. Непосредственное изучение поведения механизмов с этими КП было рассмотрено в [4, 5] Т. Билом (Т. ВП), а также [6] Дж. П. Мейяр-дом (Л. Р. Мецаай), где была предложена полная классификация высших пар, которая может быть смоделирована из нижних пар с одной степенью свободы. Но эти исследования касались в основном кинематического анализа пространственных механизмов на основе звеньев в виде торов и их геометрического моделирования. Суть данного ис-

следования заключается в рассмотрении некоторых особенностей соединений, или сборок по Т. Билу, «тор с тором» как КП и попытке классифицировать их. Это, прежде всего, необходимо для того, чтобы синтезировать механизмы, имеющие наименьшее число связей, большую подвижность КП и, тем самым, увеличение кинематической мобильности механизма, что является одной из наиболее актуальных задач современного машиностроения.

Данное исследование опирается на исследования [2, 7] и дополняет некоторые аспекты, касающиеся высшей пары в виде торов [4 — 6]. Целесообразность данной работы — это обобщение закономерностей описания связей подвижного и неподвижного торов, с учетом расположения их осей в пространстве, постоянства вида контакта и на основе этого предложить новый вид КП типа «тор с тором», связанный с разработкой КП нового типа за счёт изменения их формы геометрии. Новизна предлагаемой теории заключается в новом подходе описания классификации КП с точки зрения геометрической кинематики, основанной на исследовании движений двух торов, таких как верчение (В), качение (К) и скольжение (С), что позволит в перспективе описать КП всех известных видов [8—10].

Постановка задачи. Задано кинематическое соединение типа «тор с тором» в виде КП: подвижный тор Т2 «внутри» или «снаружи» неподвижного Т1. Известны геометрические размеры торов Т1 и Т2, их ограничения по размерам, а также виды расположения осей этих торов между собой: 1) парал-

' о > о

Vе! У

(ТМПг■

/.. 7А

а)

б)

в)

б')

Тг Т\

а')

х' О, п г)

д)

т2 п

г')

е)

2 Ъ

ж)

е )

з)

и)

з ')

к)

Рис. 1. Оси торов параллельны: а, б, в, б', а' — КП (Г1-Г2)1паР; г, д, г' — КП (Т-Т2)2паР; е, ж, е' — КП (Т-Т); з, и, з' — КП (Г-Г)™р; к — КП (Т-Т,)"'

лельны (коаксиальны); 2) перпендикулярны. Кроме того, для каждого варианта сборки определяется степень подвижности Ш тора Т2 относительно тора Т вдоль и вокруг координатных осей, а также сами движения по сути: скольжение (С), катание (К) и верчение (В). Задача: теоретически проанализировать виды (сборки) КП «тор с тором» (Т и Т2) при условии постоянства вида контакта между собой с точки зрения геометрической кинематики и попытаться их классифицировать.

Теория. Под геометрической кинематикой будем понимать движения материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения вне связи с силами, определяющими это движение, т.е. без учёта их массы и действующих на них сил [11, с. 181]. Рассматривая движения торов, как КП, будем учитывать, что контакт (связь) торов не меняется: в нашем случае — это точки и окружность. Данные движения аналогичны описанным в [2],

поэтому описание их подвижностей также соответствует известной формуле Сомова — Малышева [12]:

Ш = 6л - 5р5 - 4р4 - 3р3 - 2р2 - Р1, (1)

где л — количество подвижных звеньев; р. — количество пар г-го класса.

Из формулы (1) видно, что для данного исследования: л = 1 и р. — меняются.

Описывать различные виды (сборки) КП «тор с тором» будем по следующим характеристикам: 1) геометрические параметры торов: Я \ — внутренний радиус «первого» неподвижного тора; Я' — радиус сечения образующей окружности неподвижного тора; Я1 — внутренний радиус «второго» подвижного тора; Я2 — радиус сечения образующей окружности подвижного тора; Я '3 = Я' + 2Я '2 — внешний радиус «первого» не-

подвижного тора; Я3 = Я1 + 2Я2 — внешний радиус «второго» подвижного тора (рис. 1б). В зависимости от геометрических величин размеров этих параметров возможны следующие варианты КП неподвижного Т1 и подвижного Т2 торов:

1) Я1 = ЯЯ2 = Я'2; 2) Я1 = ЯЯ2 < Я'2; 3) Я1 =

= Я'l, Я2 > Я'2; 4) Я2 = ЯV Я1 < Я' 11 5) Я2 = Я V Я1 > Я 1; 6) Я3 = Я 1, Я 2 — любой в пределах реальных размеров КП; 7) Я1 = Я '3, Я2 — любой в пределах реальных размеров КП.

Оси рассматриваемых торов Т1 и Т2 могут быть:

— параллельны (или коаксиальны) между собой;

— перпендикулярны, т.е. пересекаются или перекрещиваются под углом 90°;

2) степень подвижности Ш одного тора относительно другого:

учитывается количество движений Ш подвижного тора внутри неподвижного вдоль и вокруг координатных осей X, У и X, а также сами движения по сути: верчение (В), катание (К) и скольжение (С) [2, с. 16];

3) вид контакта (связи) этих торов — точка или окружность, где к — число контактов в КП [10—12] и их суммарное количество — «пк».

Введём системы отсчета: неподвижная ОХУХ — для неподвижного Т1 и подвижная 01Х1У1Х1 — для подвижного Т.

I. Оси торов Т1 и Т2 параллельны (коаксиальны).

Вид связи этих торов — точки или линии (окружность), т.е. данные кинематические пары будут являться высшими [12]. Для обозначения движений в КП будем использовать матрицу движений в виде «матрицы-столбец»:

О =

( ох 5 О

О

, рс = х + у + г,

или С

количеством А-скольжений.

(2)

б)

Рис.2. Определениерадиуса контакта в КП (Т — Т)п а) (Д + Д2) л (Д, + Л(2); б) (Д + Д2) > (Д, + Д2)

Обозначетии на рис. Ха: О-3 = 01К = Я'2; СК = Я'1; 0ЪВ = О2, ВЕ = Я1.

Искомой величиней является радиус ЯК — радиус окруживсти контакта: Кк = АС = АВ + ВС = =АВ + (Я1 С Р=2).

И з подобных треуго льни ков Д 0103F, ДА03В на-

ООО = АОе^ к2 --к в = =в^

(в- о -Ь+0)-(В21 --+2 ) АВ'

ходим:

где Кв — количество движений, Д^ — это

движения вдол или лорруи координатных осей X, У и X, которые мог<2 Лыть трёх видов: В. — количеством г-верчений, или К — количеством ''-качений,

откуда

О117 АВ

Я2 [(к;-- кг,) -(к, -2 к 2)]

АВ ■■

к 2 [(к ( -кО -)к 4-Я ()]

2-2 -1), .

Тогда

( Я2^кС

- (к^ - к2) или, упрощаЯ,

Составляем перечень сборок этих КП, где индекс «пар» обозначает параллельность осей вращения Т1 и Т2.

1) КП (Т— Г2)1пар — см. рис. 1а, б, в, б', а'. Иа-

сание торов происходит по окружности, длиной 1 = 2пЯК, где ЯК — кадиус окр—жноски контакта: Я\ < ЯК < (А' И Я22) или Я- < Як < (^ + 2Я2). Анализируя данную КП, по аналогии с [2], и объединяя форм°лы (2-, (р), двхжекия Т2 с тором Т1 можно обозначить следующим образом:

находим:

^ - я((я-к02 (я 1+к2)-а (Я2+Я2)

Аналоаичко из ри-. 2B находим:

к (р; + Р2', О-ТС)) - (к; - я2)] кр = (^ *2 ) -1 (^(((P)А-()

(5)

О =

2 г

к р- = о

(3)

_ я2 (С -о к22) -к {I=lЫ(о) кР = (Я2+Я') '

По формую (1) ■. 40 = 6' 1—5 • 1 к к.

кСв'2+ (Лр + и2(я - к к2) (Л2 +С2)

(6)

где движения (Bт.в) = С1 — скольжение, при вращении вокруг оси С1(С); к = к — одкоконтактная КП.

Радиус ок-ужнксти коноакта, величина которого находится из рис. °

(4)

Видно, что формуле (5) и (6) — идентичны.

Таким об-аиом, рис. 1а, б, =, б', а' (сборкам) соответствует одра КП — КП (Г,- Т2),пар.

Приопилании след^ощих сборок КП будем учитывать, что верченяе и катание рассматриваются Аваком диапкзоле углов поворота, а скольжение — в таких перемещени х, коглла возможны сами эти движения и динекя с еерга КП не сможет перейти в другую.

2) КП (Т<К Т.) е — рис. 1г, д, г'. Касание торов осуществляетси по рреднер лияии в точке, ЯК = = (Я1 + 2Я12) = ПК им Яг = (Я'1 +2Я'2) = Я1:

к

р

кр =

к

37

X =

К С, В

с к1с1/)

Таблица 1

К = 6

(7)

X =

кс

К

Сг, к с

к п = 6,

X =

( к, с, К,

С,, Ввс[

, Кв = 6

D =

( С Л С 1

к1С С, с

, кд

5

НВ п' Н —- или Щ = — :

D

(с, Л о

С у

, кв = В

где движения (В ) = К1 (К1 — качен и е и сюльж ени= при вращении вокруг осв X; (Ву) К В1 — верчение при вращении вокруг о с и У; (Вг) = С1, К1С1 — одно скольжен—е =ри в]эа—ек—и вокруг оси Z1 и скольжение и качение врр вк—щении вокруг оси ^ к = 1 — одновонтаконая КК, Ш = 3.

3) КП (Т1- Тр)3пар: —м. рис . 1 е, ж [ е'. Каса—ие —о-ров происходит в точке, Я'1 < ЯК < (Я'1 + Я'2) или (Я'1 + Я'2) < Як < (Яо 4- 2Я'2):

Вид сборки в КП, пк Подвижность КП, Ш *Пк

1 3 4

Одноконтактные КП, п1 ( 9 14

Двухконтактные КП, п2 1 1

Итого и 9 1 15

(8)

где движения (Вх1) = С1 — скольжение при вращении вокруг о си ХЩХ); («г) = С1 — скольжение при вращении в округ оси В; к = 1 — одноконтактная КП, Ш = 2.

2) КП (Т° ТСпер: — ом. рис. 3б, б'. Контакт торов осуществляется в двух оочках, _К'1 = (Я1 + 2Я2) или Я1 = (Щ + 2Д '2):

(С Л

где движения (р о0 = К1С1 — качени е и скольжение при вращении вокруг ос и X; (Ву) = К1 — качение при вращении вокруг о с и У; (Вг) = С1, К1С1 — одно скольжение при вращении вокруг оси Z1, и скольжение и качение при вртщении вокруг оси ^ к = 1 — одноконвовт =ар К П, Ш = 3.

4) КП (Т1- Т2)4пар — см. рис. 1з, и, з'. Касание торов осуществляется в верхней точке окружности, когда её равирс рамен: г к (=^ + Я'2) или г = = (Я1+ Я2):

D =

С,

, кв = 3

(12)

где движенио (В^к = о1 — сжсльжение при вращении вокруг о си Х1(^С; (С ) = В1 — верчение при вращении вокруг оси С У); (В ) = С1 — скольжение при врхщ е;ни= в в коуг оси Z1(Z); к = 2 —двух-контактж ая КП, Ш = 3.

3) КП (7^ Тг)3пер — с^м. рис. 3г, д, е. Торы касаются в двух точкан, г=е «радиус окружности» контакта (н, + 2Нв Хн'+к ') _

(9)

равен НК =■

Н 1 + «Н2 + Н2

где движения (Вх) = К1С1 — качение и скольжение при вращении вокруг оси X; (Ву) = К1 — качение при вращении вокруг оси У; (Вг) = С1, К1С1 — одно скольжение при вращении вокруг оси Z1, и скольжение и качение при вращении вокруг оси Z; к = 1 — одноконтактная КП, Ш = 3.

5) КП (Т1- Т2)5пар — см. рис. 1к. Касание торов происходит в двух точках по поверхности:

ж

(С Л

С

С'

, Кж

(13)

(10)

где движения (Вх1{х)) = = — гкольжение при вращении вокруг оси Х=(Х); (Ву1{))) = К1 — качение при вращении вокрук ос1« ; (В= ) = С1 — скольжение при вращении в«кру «си Z1 (2Г); к = 2 — двухконтактная КП, Ш = 3,

4) КП(Т1- Т2)4ж — р ис. (ж и дис. 4з, и, к, ж', л. Касание происходит по .еднкй их линии в одной точке:

где движения (Пн) = С1 — скольжение при перемещении вдоль оси X; («у, Пу) = К1С1 — качение при вращении вокруг оси У и перемещение вдоль оси У; (Вг) = С1 — одно скольжение при вращении вокруг оси Z1 и одно скольжевие при вращении вокруг оси ^ к = 2 — двухконтактная КП, Ш = 4.

Итого получилось 5 КС из 15 сбкрок (табл. 1).

II. Оси торов 7= и = керпвддикклСрны (псро-крещиваются или ПСресекаются п<эд мглом 90 °). Далее, по аналогии, деСаем ]их анализ, где индекс «пер» обозначает — кюртеидикукярность осей вращения (перекрещхваютсС кмд у^Аом «0 °) Т1 и Т2.

1) КП (Т1- Т2)1пер — см. рис. 3а, а'. Торы касаются по окружности,

С

(Ск к= с^

В'

к С'

к„ = х

(14)

где движения (Вх1; В°, +х« = С , К1С1 — скольжение при вращении вмкууг оси Х1 и качение и скольжение при кСащении вокруг оси X; (Ву) = = В1 — верче^1^х при в]зкщ^нии вокруг оси У1(У); (Вг) = К1С1 — качеСИе и скольжение при вращении вокруг осх X; к = 1 — одноконтактная КП, Ш = 3.

5) КП (Т1- Г2)5пер — ^м . рис. 4м, н, о, п, р. Касание торов осуществляется у гднок тсчке дуги тора Т1 от Я' до (Я'1 + й'2) ии =м (Як + X'2) до (Я'1+ 2Я'2):

й

(11)

(=', к' с^ =' С'

( к ж

■■ X

(15)

а)

б')

А)

а')

в)

б)

V1

(с^ксЛ

ж)

Рис. 3. Оси торов перпендикулярны: а, а' — КП (Т-Г^""11; б, б', в — КП (Т-Т^/611; г, д, е — КП (Т,-Т2)3пер; ж — КП (Т-72)4пер

где движения (Вх1; ВВх) = С1, К1С1 — скольжение при вращении вокрк1 еси Х1 и качение и скольжение при вращении то кр уг ос и X; (Ву) = К1 — качение при вращении вокруг оси У1(У); (Вг) = К1С1 — качение и скольже ние пр и в ращении вокруг оси X; к = 1 — одноконтактна я КП, П =

6) КП (Т,- Т2)впер — сп. = пп. 4с п . Торы касаются в верхней её то чке окр уж но ети то ра Т1, когда её радиус равен: г= (1Н'( С Я'2):

К :

кк1: к1 е С. кк

К к О

Б к

( К к К, с с, к

, Кб к о

где движения (Вх) = К1С1 — качение и скольжение при вращении вокруг оси X; (Ву) = С1, К1 — скольжение при вращении вокруг оси У1 и качение при вращении вокруг оси У; (Вг) = К1, С1 — качение при вращении вокруг оси X и скольжение при вращении вокруг оси X; к = 1 — одноконтактная КП, Ш = 3.

8) КП (Т,- Т2)8пер: — см. рис. 4х. Касание торов происходит в верхней точке окружности тора Т1, когда её радиус равен г = (Я'1 + Я'2):

(16)

Г КС Л

D ■■

м С,

в., к.с.

, К = 6

(18)

где движения (Вх1; В; ВС = у 1, К1С1 — скольжение при вращении вокр^ сси Х1 и качение и скольжение при вращении в скк К о с и X; (Ву) = К1 — качение при вращенви вокрсг оси УД К); (Вг) = В1С1 — верчение при вращении вокууг оси Z1 и скольжение при вращении внкруг осв X; к = 1 — одноконтактная КП, Ш = 3.

7) КП (Т- Т2)7пер: — см. рту. 4у, ф. Касание торов осуществляется в кдной точуие дуги тора Т1 от Я'1 до (Я'1 + Я'2) или от (Я'к К Я'2) до (Я'1 + 2Я'2):

где движения (Вх) = К1С1 — качение и скольжение при вращении вокруг ост X; (Ву) = С1 — скольжение при вращении вокрс оси У1; (Вг) = В1, К1С1 — верчение при вращении вокруг оси Z1 и качение и скольжение при вращении вокруг оси X; к = 1 — одноконтактная КП, Ш = 3.

9) КП (Т- Т2)9пер: — см. рис. 4ц. Касание торов осуществляется в крайней правой бочке окружности тора Т1, когда её радкуе равен г = (Я'1 + 2Я'2):

(17)

О =

Г в. с. Л

В., С. Кс,Сс

К = 6

(19)

г)

е)

и)

к)

ж )

у)

ф)

х)

ц)

Рис. 4. Оси торов перпендикулярны: з, и, к, ж ', л — КП (Т1-Т2)4пер; м, н, о, п, р — КП (Т1-Т2)5пер; с, т — КП (Т1-Т2)61 у, ф — КП (Т1-Т2)7пер; х — КП (Т1-Т2)8пер; ц — КП (Г1-Г2)9пер

где движения (Вх) = К1С1 — качение и скольжение при вращении вокруг оси X; (Ву) = В1, С1 — верчение при вращении вокруг оси У1 и скольжение при вращении вокруг оси У; (Вг) = К1, С1 — качение при вращении вокруг оси Z1 и скольжение при вращении вокруг оси Z, к = 1 — одноконтактная КП, Ш = 3.

Итого получилось 9 КП из 25 сборок и сведём их в табл. 2.

Таким образом, получилось 14 КП и 40 сборок типа «тор с тором»: объединяя табл. 1 и табл. 2, получаем табл. 3, в которой объединены все к-контактные пары вида Т1 - Т2.

Результаты исследования.

1. Выделено 14 КП типа Т1- Т2, которые представлены совокупностью двух видов их кинематического соединения, а именно 15 сборок при параллельном расположении осей торов и 25 сборок при их перпендикулярном положении, что даёт полную классификацию данных КП Т1 - Т2: составлены классификационные таблицы этих КП, которые связывают их подвижности в зависимости от геометрического контакта, от вида, числа движений, а также от количества к-контактных связей (табл. 1-табл. 3), на основании которых, как базисных КП, можно синтезировать большое разнообразие сборок КП, обладающих своими кинематическими

Таблица 2

Вид сборки в КП, п1[ Подвижность КП, Ш

2 3

Одноконтактные, л1 2 17 19

Двухконтактные, л2 6 6

Итого 2 23 25

Таблица 3

Вид сборки в КП, пк Подвижность КП, Ш

1 2 3 4

Одноконтактные, л1 5 2 26 33

Двухконтактные, л2 6 1 7

Итого 5 2 32 1 40

и динамическими свойствами и определяющих назначение механизма.

2. Выявлены новые представления движений в кинематической паре «тор с тором», основан-

з)

ные на кинематическом сути таких движении, как скольжение, катание и верчение. С помощью матрицы движении D были количественно описаны кинематические особенности каждоИ сборки КП.

Заключение. В результате проведенного исследования КП катания типа «тор с тором», были описаны: новые представления движении в кинематической паре «тор с тором», основанные на кине-матическои сути таких движении, как скольжение, катание и верчение. С помощью матрицы движении D были количественно описаны кинематические особенности каждой сборки КП; определены новые виды (сборки) КП «тор с тором», которые могут быть использованы в механизмах многих отраслей промышленности: транспортном, дорожном и сельскохозяйственном машиностроении (КП типа Т1 — Т2 в роботостроении, металлорежущих станках — устройствах крепления с кольцами, сопряжения стопорных колец и др.), самолетостроение (КП типа Т1—Т2 в механизмах шасси — поддерживающие колёса), производство вооружения и военной техники. Именно в этих механизмах наблюдается необходимость изменения подвижности КП типа Т1 — Т2 за счет сочетания движений, таких как качение, скольжение и верчение.

Библиографический список

1. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд. Москва: Наука, 1986. 544 с.

2. Шамутдинов А. Х., Лесняк И. Ю. Анализ кинематических пар катания типа «цилиндр в цилиндре» // Омский научный вестник. 2023. № 3 (187). С. 52-59. DOI: 10.25206/18138225-2023-187-52-59. EDN: EPSLHO.

3. Zhou Y. B., Buchal R. O., Fenton F. G., Tan F. R. Kinematic analysis of certain spatial mechanisms containing higher pairs // Mechanism and МасЫ^ Theory. 1995. Vol. 30, № 5. P. 705-720. DOI: 10.1016/0094-114X(94)00067-U.

4. Bil T. Optymalna synteza mechanizmu z wyzsza para kinematyczna typu torus — torus // Pomiary, Automatyka, Kontrola. 2007. No. 8. P. 7-9. URL: https://yadda.icm.edu.pl/baztech/ element/bwmeta1.element.baztech-article-BSW4-0040-0002 (дата обращения: 12.06.2024).

5. Bil T. Kinematic analysis of a universal spatial mechanism containing a higher pair based on tori // Mechanism and Ма^^ Theory. 2011. Vol. 46, № 4. P. 412-424. DOI: 10.1016/j. mechmachtheory.2010.12.002.

6. Meijaard J. P. Modelling of kinematic higher pairs by lower pairs // Mechanism and Ма^^ Theory. 2024. Vol. 191. 105515. DOI: 10.1016/j.mechmachtheory.2023.105515.

7. Верховский А. В. Теория пространственных и плоских кинематических пар // Известия Сибирского механико-машиностроительного института. 1933. № 1 (52). С. 15 — 32.

8. Дворников Л. Т., Живаго Э. Я. Основы теории кинематических пар: моногр. Новокузнецк: Издат. центр СибГИУ, 1999. 102 с.

9. Живаго Э. Я. Теория и систематизация кинематических пар механических систем: автореф. дис. ... д-ра техн. наук. Новосибирск, 2000. 34 с.

10. Дворников Л. Т. Принципиальные уточнения теории кинематических пар // Машиностроение. 2014. № 23. С. 45 — 73. ЕБ№ TAFWML.

11. Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики. В 2-х ч. Ч. 1. Статика. Кинематика. Москва: Высшая школа, 1966. 432 с.

12. Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин. 4-е изд., перераб. и доп. Москва: Наука, 1988. 640 с.

ШАМУТДИНОВ Айдар Харисович, кандидат технических наук, профессор Российской академии естествознания, доцент кафедры «Техническая механика» Омского автобронетанкового инженерного института, г. Омск. БРНЧ-код: 4939-6254 АиШотГО (РИНЦ): 688427 ОЯСГО: 0000-0001-5896-7247 Яе8еагсЬегГО: ^И-7822-2023 Адрес для переписки: [email protected] ЛЕСНЯК Иван Юрьевич, кандидат технических наук, заведующий, доцент кафедры «Машиноведение» Омского государственного технического университета, г. Омск. БРНЧ-код: 6114-0646 ОЯСГО: 0000-0002-9481-5985 ResearcherID: Е-6397-2014

Адрес для переписки: [email protected]

Для цитирования

Шамутдинов А. Х., Лесняк И. Ю. Теоретическое исследование кинематических пар «тор с тором» на основе геометрической кинематики // Омский научный вестник. 2024. № 4 (192). С. 35-43. DOI: 10.25206/1813-8225-2024-192-35-43.

Статья поступила в редакцию 26.04.2024 г. © А. Х. Шамутдинов, И. Ю. Лесняк

UDC 621.01

DOI: 10.25206/1813-8225-2024-192-35-43 EDN: ARSNMN

A. KH. SHAMUTDINOV1 I. YU. LESNYAK2

1Omsk Tank-Automotive Engineering Institute, Omsk, Russia 2Omsk State Technical University, Omsk, Russia

THEORETICAL STUDY OF KINEMATIC PAIRS «TORUS WITH TORUS» BASED ON GEOMETRIC KINEMATICS

The article presents a theoretical study of kinematic pairs known as «rolling pairs» used in many areas of mechanical engineering, in particular, mechanisms. The research concerns such bodies (links) as geometric tori, which are well-known bodies of rotation. From the geometric kinematics, new representations of the mechanical motions of a torus in a «torus-torus» connection are described without the reasons that cause this motion. Two options for connecting two tori are analyzed: the axes of the tori are parallel and perpendicular. By analogy, the analysis of kinematic pairs of this type expands the elements of kinematic pairs theory and allows developing their new variants in many mechanisms used in various fields of mechanical engineering.

Keywords: kinematic pair, rolling pair, torus, mobility, mobility matrix, sliding, rolling, spinning.

References

1. Bronshteyn I. N., Semendyayev K. A. Spravochnik po matematike dlya inzhenerov i uchashchikhsya vtuzov [Handbook of mathematics for engineers and college students]. 13th. Moscow, 1986. 544 p. (In Russ.).

2. Shamutdinov A. Kh., Lesnyak I. Yu. Analiz kinematicheskikh par kataniya, tipa «tsilindr v tsilindre» [The analysis of kinematic rolling pairs such as «cylinder in cylinder»] // Omskiy nauchnyy vestnik. Omsk Scientific Bulletin. 2023. No. 3 (187). P. 52-59. DOI: 10.25206/1813-8225-2023-187-52-59. EDN: EPSLHO. (In Russ.).

3. Zhou Y. B., Buchal R. O., Fenton F. G., Tan F. R. Kinematic analysis of certain spatial mechanisms containing higher pairs // Mechanism and Machine Theory. 1995. Vol. 30, no. 5. P. 705 — 720. DOI: 10.1016/0094-114X(94)00067-U. (In Engl.).

4. Bil T. Optymalna synteza mechanizmu z wyzsza para kinematyczna typu torus —torus [Optimal synthesis of a mechanism with a higher torus-torus kinematic pair] // Pomiary, Automatyka, Kontrola. Measurement, Automatics, Control. 2007. No. 8. P. 7 — 9. URL: https://yadda.icm.edu.pl/baztech/element/ bwmeta1. element. baztech-article-BSW4-0040-0002 (accessed: 12.06.2024). (In Polish).

5. Bil T. Kinematic analysis of a universal spatial mechanism containing a higher pair based on tori // Mechanism and Machine Theory. 2011. Vol. 46, no. 4. P. 412 — 424. DOI: 10.1016/j. mechmachtheory.2010.12.002. (In Engl.).

6. Meijaard J. P. Modelling of kinematic higher pairs by lower pairs // Mechanism and Machine Theory. 2024. Vol. 191. 105515. DOI: 10.1016/j. mechmachtheory.2023.105515. URL: https:// www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0094114X23002860 (In Engl.).

7. Verkhovskiy A. V. Teoriya prostranstvennykh i ploskikh kinematicheskikh par [Theory of spatial and plane kinematic pairs] // Izvestiya Sibirskogo mekhaniko-mashinostroitel'nogo

instituta. Proceedings of the Siberian Mechanical Engineering Institute. 1933. No. 1 (52). P. 15 — 32. (In Russ.).

8. Dvornikov L. T., Zhivago E. Ya. Osnovy teorii kinematicheskikh par [Fundamentals of the theory of kinematic pairs]. Novokuznetsk, 1999. 102 p. (In Russ.).

9. Zhivago E. Ya. Teoriya i sistematizatsiya kinematicheskikh par mekhanicheskikh sistem [Theory and systematization of kinematic pairs of mechanical systems]. Novosibirsk, 2000. 34 p. (In Russ.).

10. Dvornikov L. T. Printsipial'nyye utochneniya teorii kinematicheskikh par [Principal summation theory of kinematic pairs] // Mashinostroyeniye. Mechanical Engineering. 2014. No. 23. P. 45 — 73. EDN: TAFWML. (In Russ.).

11. Yablonskiy A. A., Nikiforova V. M. Kurs teoreticheskoy mekhaniki. V 2-kh ch. Ch. 1. Statika. Kinematika [Course of theoretical mechanics. In 2 parts. Part 1. Statics. Kinematics]. Moscow, 1966. 432 p. (In Russ.).

12. Artobolevskiy I. I. Teoriya mekhanizmov i mashin [The theory of mechanisms and machines]. 4th ed., revised and supplemented. Moscow, 1988. 640 p. (In Russ.).

SHAMUTDINOV Aydar Kharisovich, Candidate of Technical Sciences, Professor of RAE (Russian Academy of Natural Sciences), Associate Professor of Technical Mechanics Department, Omsk Tank-Automotive Engineering Institute, Omsk. SPIN-code: 4939-6254 AuthorlD (RSCI): 688427 ORCID: 0000-0001-5896-7247 ResearcherlD: HLH-7822-2023

Correspondence address: [email protected]

LESNYAK Ivan Yuryevich, Candidate of Technical

Sciences, Head, Associate Professor of Machine

Engineering Technology Department, Omsk State

Technical University, Omsk.

SPIN-code: 6114-0646

ResearcherlD: E-6397-2014

ORCID: 0000-0002-9481-5985

Correspondence address: [email protected]

For citations

Shamutdinov A. Kh., Lesnyak I. Yu. Theoretical study of kinematic pairs «torus with torus» based on geometric kinematics // Omsk Scientific Bulletin. 2024. No. 4 (192). P. 35-43. DOI: 10.25206/1813-8225-2024-192-35-43.

Received April 26, 2024. © A. Kh. Shamutdinov, I. Yu. Lesnyak