Теоретические основы спектрального метода измерения статистических рисков Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СПЕКТРАЛЬНОГО МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ РИСКОВ

Б.А. МАТВЕЕВ,

кандидат технических наук, доцент кафедры «Экономика и управление проектами» Южно-Уральского государственного университета, г. Челябинск

Принятие экономических решений, как правило, происходит в условиях неопределенности и риска. Неопределенность рыночного спроса, слабая предсказуемость рыночных цен, недостаточная информация о действиях конкурентов и т. д. допускают возможность получения того или иного результата, т. е. обусловливают появление экономического риска. Выявление, оценка и прогнозирование риска являются важной частью экономического анализа любого хозяйствующего субъекта.

Избежать риска невозможно, но научиться управлять им необходимо. Но прежде чем эффективно управлять риском, его надо измерить.

Под риском будем понимать возможность наступления случайного события (одного или нескольких), результатом которого является отклонение полученного результата (или экономического показателя) от ожидаемого значения.

Экономические риски связаны с непредсказуемостью (изменчивостью) того или иного результата или показателя: цены, выручки, прибыли, издержек, рентабельности, доходности и др. Поведение наблюдаемого показателя в течение определенного промежутка времени или для некоторой совокупности объектов часто известно.

Под статистическим риском будем понимать риск, связанный с изменчивостью получаемого результата (или значения наблюдаемого показателя), поведение которого в течение определенного промежутка времени известно.

К статистическим рискам относится большое число экономических, предпринимательских, коммерческих, финансовых, страховых, сельскохозяйственных и других рисков.

Наиболее распространенными методами измерения статистического риска (далее — риска) являются метод экспертных оценок и статистический метод.

Суть экспертного метода заключается в получении количественной оценки риска на основе

статистической обработки мнений экспертов-специалистов в исследуемой области знаний. Обычно метод применяется при решении сложных нефор-мализуемых проблемных задач, когда отсутствует полная и достоверная информация, а использование математических методов для измерения рисков невозможно.

Статистический метод измерения риска состоит в обработке значительного массива данных, являющихся результатом наблюдения и изменчивость которых связана с теми или иными рисковыми событиями. Величина риска в данном случае измеряется с помощью некоторого статистического показателя: вероятности, дисперсии и др.

Под рисковым событием будем понимать событие, обусловливающее отклонение фактического результата от ожидаемого значения.

На практике чаще всего для измерения риска статистическим методом используется вероятность наступления рискового события и показатели вариации получаемого результата (наблюдаемого показателя): дисперсия, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Показатели вариации характеризуют рассеяние (колебания) результата (наблюдаемого показателя) вокруг своего среднего значения. Чем больше величина показателя вариации, тем больше рассеяние и выше риск.

Однако измерение риска с помощью показателей вариации имеет существенный недостаток. Он заключается в том, что показатели вариации характеризуют наблюдаемый результат в среднем и не учитывают его резких, беспорядочных колебаний (динамики поведения).

От поведения наблюдаемого результата во времени прямо зависит уровень риска. Чтобы убедиться в этом, обратимся к рис. 1, где изображены две случайные функции (два случайных процесса) sl(t) и s2(t).

Случайные функции ^ (г) и ^ имеют одинаковые математические ожидания (равные нулю) и дисперсии. Однако их поведение резко различается, о Для функции ^(0 характерно плавное, постепенное изменение. Если, например, в точке ^ функция я^) приняла значение, заметно превышающее среднее, ( то весьма вероятно, что в рядом лежащей точке ^ она также примет значение больше среднего. Напротив, функция s2(t) отличается резкими, беспорядочными отклонениями от среднего.

Под риском мы понимаем возможность наступления случайного события, являющегося причиной отклонения полученного результата (экономического показателя) от ожидаемого значения. Очевидно, что у случайной функции s2(t) динамика отклонений от среднего уровня существенно выше. Значения случайной функции s2(t) менее предсказуемы. Следовательно, риск, связанный с таким процессом, гораздо выше. Измерение же риска с помощью дисперсии для обоих процессов s1(t) и s2(t) дает одинаковый результат.

Для учета динамики поведения наблюдаемого показателя и повышения достоверности оценки риска в настоящей работе предлагается спектральный метод оценки статистического риска. Спектральный метод позволяет учесть динамику поведения случайной функции s(t), а значит, точнее оценить риск. В основе спектрального метода измерения риска лежит оценка формы энергетического спектра сигнала риска.

Как уже отмечали, риск оказывает влияние на получаемый результат (наблюдаемый показатель): результат отклоняется от ожидаемого значения в ту или другую сторону. Величина отклонения является случайной величиной и зависит от уровня риска: чем больше риск, тем сильнее отклонение. Отклонения, наблюдаемые в течение определенного промежутка времени, можно рассматривать как совокупность случайных величин, т. е. случайную функцию или случайный процесс, когда аргумент случайной функции истолковывается как время.

Рассматриваемое отклонение несет сообщение, содержащее информацию о риске. В «Современном словаре иностранных слов» определено, что процесс, несущий информацию о каком-либо событии, явлении или состоянии объекта, называ-

1 1 / 1 / 1 '■ 1 \ 1 1 1 \ ^/Г I1 I 1 / 1 1 1111 к А 1 1 1 S2(t)

/ и /'IV V 1 1 \ Л4 1111 Л! V V—^ г 1 1 1

10

Рис. 1. Связь между характером поведения случайной функции и риском

ется сигналом. Следовательно, отклонение фактического результата от ожидаемого значения, причиной которого является риск (точнее — рисковое событие), есть сигнал о том, что риск обнаружил себя и стал «действовать». Назовем такое отклонение сигналом риска.

Таким образом, под сигналом риска будем понимать отклонение получаемого результата (наблюдаемого показателя) от ожидаемого значения под воздействием риска. Математически сигнал риска можно описать следующим выражением:

s(t) = х(0 - х0 (0, (1)

где s(t) — сигнал риска (реализация сигнала риска);

х^ )и х0 ^) — фактически полученный и ожидаемый результат соответственно;

t — время.

Случайные функции s1(t) и s2(t), представленные на рис. 1, могут служить примером реализации сигнала риска.

Условимся обозначать случайные функции (процессы) малыми буквами, а случайные величины — большими. Последовательность значений сигнала риска s(tl) в отдельные моменты времени ti образуют последовательность случайных величин ,...^п, которые соответствуют сечениям сигнала риска s(t1),s(t2),...,s(t¡),...,s(tn) (см. рис. 1).

Любую случайную величину можно задать ее законом распределения. Поэтому в любой фиксированный момент времени t¡ сигнал риска как случайная величина определяется одномерной плотностью вероятности р(^; ^). Полной характеристикой сигнала риска будет многомерная плотность вероятности,S2,...,Sn;^2,...^п).

Полная вероятностная характеристика сигнала риска при помощи многомерного закона распределения оказывается достаточно сложной задачей. Во

многих практических задачах можно ограничиться рассмотрением более простых характеристик сигнала риска. Например, моменты первого и второго порядка: математическое ожидание, дисперсия и корреляционный момент являются исчерпывающими характеристиками нормально распределенной случайной величины. Поэтому при решении практических задач в большинстве случаев можно ограничиться изучением этих двух моментов сигнала риска и не рассматривать его закона распределения.

Фиксируя значение аргумента t и рассматривая сигнал риска для этого значения аргумента, получим обычную случайную величину. Для нее можно определить математическое ожидание, которое в общем случае зависит от выбранного значения t:

т.

^)=м з ] = | з- • рз ^,

(2)

где тБ (^) = М|3 ] и р(3) — математическое ожидание и плотность распределения вероятности сигнала риска для значения аргумента t¡.

Математическое ожидание (2) случайной величины 3 представляет собой результат вероятностного усреднения всех ее возможных значений при значении аргумента ti. Придавая t все возможные значения, мы получим функцию т3 ^), которая является математическим ожиданием сигнала риска):

ms^) =| ) • р^, (3)

-да

где ) — одномерная плотность вероятности сигнала риска, соответствующая значению аргумента t.

Для каждого значения t ордината кривой т, ^) представляет собой некоторую среднюю кривую, около которой располагаются возможные реализации сигнала риска (рис. 2). Здесь под реализацией

тв()

Рис. 2. Математическое ожидание сигнала риска

сигнала риска мы понимаем каждую конкретную кривую сигнала риска, которая может быть зарегистрирована при одном наблюдении.

Рассматривая только математическое ожидание сигнала риска, мы пренебрегаем всеми случайными отклонениями, как бы усредняем все семейство возможных реализаций сигнала риска. Для характеристики разброса реализаций сигнала риска около его математического ожидания воспользуемся дисперсией сигнала риска, которая может быть выражена через его одномерную плотность вероятности:

о ^) = Ds ^) = М {ДО) - ^ )]}2 =

о о

= М|з^)]2 = 1^)]2 • р(з; t)ск , (4)

где о s2(t) = Ds (t) — дисперсия сигнала риска;

) — центрированная величина сигнала

риска:

о ^) = ) - ^). (5)

Таким образом, дисперсия сигнала риска представляет собой математическое ожидание квадрата центрированного сигнала риска.

Математическое ожидание и дисперсия являются числовыми характеристиками сигнала риска при каждом значении аргумента t. Они определяют полосу, заполняемую возможными реализациями сигнала риска (см. рис. 2).

Однако эти показатели не характеризуют поведения возможных реализаций сигнала риска внутри полосы. На рис. 3 изображены реализации двух сигналов риска ) и ), имеющих одинаковые математические ожидания и дисперсии. Ведут они себя совершенно по-разному. Поэтому кроме математического ожидания и дисперсии сигнала риска возникает необходимость оценить степень изменчивости сигнала риска, быстроту (резкость) его изменений при изменении аргумента t.

Выделим на рис. 3 по одной реализации и рассмотрим ее значения для двух моментов времени tl и t2. В случае сигнала ) знание ординаты реализации в точке ^ мало что говорит о значении этой реализации в точке ^ . Это связано с большой интенсивностью изменения всех реализаций сигнала риска ) между точками tl и t2. Поэтому значения сигнала риска зД^) и зД^) в соответствующих точках tl и ^ слабо коррелируют между собой.

0

анализ экономической деятельности и рискоВ

20 (101) - 2007

о

Напротив, величина сигнала риска s2(t) при t = ^ позволяет достаточно точно указать его возможное значение при t = t2. Таким образом, знание величины сигнала s2(t) в точке ^ существенно ограничивает возможный диапазон его значений в точке ^ . Это означает, что между величинами s2(t1) и s2(t2) имеется достаточно сильная корреляционная связь.

Для иллюстрации сказанного обратимся к рис. 4. По оси абсцисс отложим возможные значения реализаций сигнала риска в точке t1, а по оси ординат — возможные значения реализаций сигнала риска в точке ^ .

Для реализаций сигналов риска, изображенных на рис. 4, а, случайные величины 5(1) и S(t2) связаны между собой слабо. Вследствие этого рассеяние точек [5(^);5 (^)] является примерно круговым.

Для сигнала риска, реализации которого изображены на рис. 4, б, случайные величины 5и 5(2) связаны сильной зависимостью. Поэтому точки [5 (^)] образуют вытянутый эллипс.

Чтобы охарактеризовать степень зависимости сигнала риска для двух различных значений аргумента, можно воспользоваться корреляционным моментом этих величин:

к (^Л) = • s(t2)],

(6)

где ks (^2) — корреляционный момент величин

S(t2)

• . • . • .

• • 0 • • S(t1) • 0 •• S(tl)

Рис. 4. Зависимость значений сигнала риска между собой: а — слабая; б — сильная

tl

Рис. 3. Реализация сигналов риска s1(i) и s2(t)

s(t1) и s(t2), соответствующих двум, произвольно выбранным значениям ^ и ^ аргумента t;

о о

s(t1) = s(t1)-тБ(t1) и s(t2) = s(t2)-т5- центрированная величина сигнала риска для моментов времени ^ и t2 соответственно.

Придавая t1 и t2 все возможные значения в области изменения аргумента, получим функцию двух переменных t и t', которую назовем корреляционной (или автокорреляционной) функцией сигнала риска.

При совпадающих значениях аргумента t1 = ^ (или t = t') правая часть формулы (6) представляет собой математическое ожидание квадрата центрированного сигнала риска, т. е. дисперсию сигнала риска:

k(t,t) = M[s 2(t)] = о 2(t). (7)

Таким образом, по известной корреляционной функции сигнала риска можно определить его дисперсию.

Стационарными (в широком смысле) будем называть такие сигналы риска, для которых математическое ожидание постоянно, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов.

Статические риски, описываемые стационарными сигналами риска, будем называть стационарными.

Таким образом, математическое ожидание и дисперсия стационарного сигнала риска должны удовлетворять условиям:

ms (t) - ms (t + т); (8)

ks (t,t') = ks (t -1') = k(T), (9)

где т = t -1'.

Следовательно, если сигнал риска стационарен, то где бы мы ни выбрали интервал данной длины т , значения сигнала риска на концах этого интервала имеют один и тот же корреляционный момент к(т).

По определению, согласно формуле (1) сигнал риска s(t) = x(t) - xo (t), где xo (t) — ожидаемое значение результата или наблюдаемого показателя x(t). Если в качестве ожидаемого значения принять математическое ожидание (среднее ожидаемое значение) сигнала риска xo (t) = mx (t), то сигнал риска станет центрированной величиной, математическое ожидание которого равно нулю:

mx(t) = M[s(t)] = M[x(t) - Xo (t)] =

= M[x(t)] - mx (t)] = mx (t) - mx (t) - 0. (10)

Поэтому первое условие, требующее от стационарного сигнала риска постоянства математического ожидания, легко выполнимо.

Дисперсия сигнала риска равна значению его корреляционной функции при t = t' (т = 0), поэтому из (9) следует, что

о2(t) = ks(t,t) = ks(т) = ks(0) = о2(0) = оs2 = const. (11)

Следовательно, второе условие, требующее от стационарного сигнала риска постоянства дисперсии, является частным случаем условия (9).

Таким образом, чтобы сигнал риска с нулевым значением математического ожидания считать стационарным, достаточно соблюдения условия (9) относительно его корреляционной функции: она должна быть инвариантной относительно переменной t, т. е. зависеть только от разности аргументов т = t -1'. Условие (9) есть единственное условие, которому должен удовлетворять стационарный сигнал риска.

Для всех задач практики, где приходится иметь дело только с математическим ожиданием и корреляционными функциями постоянства математического ожидания и зависимости корреляционной функции только от разности аргументов, достаточно, чтобы можно было считать сигнал риска стационарным. В теории такие случайные функции (случайные процессы) называют стационарными в широком смысле. В дальнейшем, говоря о стационарных сигналах риска, мы всегда будем иметь в виду только стационарные в широком смысле сигналы риска.

Определение математического ожидания сигнала риска по формуле (2) предполагает знание одномерной плотности распределения р(з; t). Если вероятностные характеристики сигнала риска неизвестны, то для экспериментального определения математического ожидания необходимо наблюдать достаточно большое число реализаций сигнала риска. Тогда среднее арифметическое значение сигнала риска для каждого момента времени t, взятое по всем реализациям, может быть принято в качестве оценки его математического ожидания при данном значении аргумента t.

Стационарные сигналы риска, для которых вероятностное усреднение по множеству всех возможных реализаций при вычислении математического ожидания можно заменить простым усреднением по времени одной произвольно взятой реализации, называются эргодическими. Соответственно, статические риски, описываемые эргодическими сигналами риска, будем называть эргодическими рисками.

В зависимости от того, математическое ожидание каких величин, связанных с сигналом риска, можно вычислить по одной реализации усреднением по аргументу, можно говорить о различной степени эргодичности.

Можно показать, что стремление корреляционной функции случайного процесса к нулю при |т | ^ да является достаточным условием его эргодичности по отношению к математическому ожиданию [1].

Для случая нормально распределенного стационарного случайного процесса условия к (т) ^ 0 при |т | ^ да оказывается достаточно для эргодичности этого процесса по отношению к корреляционной функции, а значит, и по отношению к дисперсии.

Таким образом, неограниченное убывание корреляционной функции нормально распределенного стационарного сигнала риска при |т | ^ да является достаточным условием его эргодичности как по отношению к математическому ожиданию, так и по отношению к корреляционной функции.

Следовательно, если выполняется условие к (т) ^ 0 при Т | ^ ю , то математическое ожидание и корреляционная функция нормально распределенного стационарного сигнала риска для достаточно большого интервала наблюдения (0;Т) могут быть приближенно определены по формулам:

m « —

1 T

1 f s(t )dt;

(12)

1 T

щ=——да — fs(t )dt;

П

(14)

1 T

ks(т) = lim - Js(t)s(t + т )dt. (15)

TT 0

Предел в формулах (14) и (15) следует понимать в вероятностном смысле, т. е. в смысле стремления к нулю математического ожидания квадрата разности между величиной и ее пределом (так называемый предел в среднеквадратическом). Полагая в формуле (15) т = 0 , получим формулу для дисперсии стационарного сигнала риска, эргодического по отношению к корреляционной функции:

1 T

о s2 = lim - f s 2(t )dt.

— —>да — J

(16)

На рис. 5 изображен стационарный на интервале (0; Т) сигнал риска s(t).

Его можно разложить в ряд Фурье, координатными функциями которого являются косинусы и синусы кратных частот [2]:

k=0

(17)

(18)

(19)

s(t) = Y(Uk cos®kt + Vk sinю^ , где юк = кю,; п

ю, = —;

i t

Uk, Vk — некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю:

s(t)

М[ик ] = М[Ук ] = 0, (20)

и дисперсиями, одинаковыми для каждой пары случайных величин с одним и тем же индексом к:

Б^к ] = ЩУк ] = Як . (21)

Здесь дисперсии Бк определяются формулами:

D „ = =

1 T

T f ks (Т )dT ;

1 Т

к(т) - -1s(t)s(t + т ^. (13)

Т 0

Можно показать, что разброс результатов вычислений по формулам (12) и (13) для различных реализаций стремится к нулю при неограниченном увеличении длины реализации Т[1]. Это дает основание перейти в этих формулах к пределу и написать точные равенства:

2

Dk =—J ks(т)cosщтск , kф0,

(22)

(23)

где к3 (т) — корреляционная функция сигнала риска.

Спектральное разложение (17) представляет стационарный сигнал риска в виде суммы гармонических колебаний различных частот ю2,..., юк,..., причем амплитуды колебаний являются случайными величинами.

Дисперсия сигнала риска, заданного спектральным разложением (17), равна

о s2 = D[s(t)] = D[£ (Uk cos ö)kt + Vk sincökt)] =

k =0

да да

= £ (cos2 Ckt + sin2 Ckt)Dk = £ Dk .

(24)

Таким образом, дисперсия стационарного сигнала риска равна сумме дисперсий всех гармоник его спектрального разложения. Формула (24) показывает, что дисперсия сигнала риска распределена по различным частотам, т. е. в виде так называемого спектра дисперсий, или спектра сигналариска (рис. 6). Сумма всех ординат построенного таким образом спектра равна дисперсии сигнала риска.

Строя спектральное разложение стационарного сигнала риска s(t) на конечном интервале времени (0;Т), мы получили спектр дисперсий сигнала риска в виде ряда отдельных дискретных линий, разделенных равными промежутками («линейчатый» спектр).

Очевидно, чем больший участок времени мы рассматриваем, тем полнее наши сведения о сигнале риска. Если в спектральном разложении перейти

к пределуТ^ ю , то = П^0 и расстояния между

Dk

J_ю

Рис. 5. Сигнал риска

m¡ ®2 ®з ■■■ ®k ■■■

Рис. 6. Линейчатый спектр сигнала риска

о

о

о

k=0

k=0

о

0

частотами юк будут неограниченно уменьшаться. При этом дискретный спектр приближается к непрерывному, в котором малому интервалу частот Лю будет соответствовать элементарная дисперсияЛD(ю).

Изобразим непрерывный спектр графически (рис. 7). Для этого будем откладывать по оси ординат не саму дисперсию Dk , которая безгранично уменьшается при Т ^ да , а среднюю плотность дисперсии, т. е. дисперсию, приходящуюся на единицу длины данного интервала частот. Обозначим расстояние между соседними частотами Лю :

ю. = — = Дю . 1 T

(25)

Fs(m0

О s2 =

J Fs (ю)Сю.

(27)

тк

-Dk

Aw

Fs(rn)

У\

/

/

/

/

/

W

dю

Рис. 7. Ступенчатая диаграмма (а) и плотность распределения дисперсии (б) сигнала риска

Формула (27) характеризует разложение дис-

_ 2

персии сигнала риска о 5 на сумму элементарных слагаемых Fs (ю^ю , каждое из которых представляет собой дисперсию, приходящуюся на элементарный участок частот dю , прилежащий к частоте ю .

Спектральная плотность дисперсии сигнала риска описывает частотный состав сигнала риска. Эта характеристика не является самостоятельной — она полностью определяется корреляционной функцией сигнала риска [2]:

Fs(ю) = — Jks(т)costtn;ск .

ТГ J

(28)

Построив на каждом отрезке Лю , как на основании, прямоугольник с площадью Dk , получим ступенчатую диаграмму (рис. 7, а). Высота ступеньки на участке Лю , прилежащем к точке юк , равна

ЪШ = Лю (26)

Лю

и представляет собой среднюю плотность дисперсии на этом участке. При этом суммарная площадь всей диаграммы равна дисперсии сигнала риска.

При неограниченном увеличении интервала Т величина Лю ^ 0 и ступенчатая кривая будет приближаться к плавной кривой Fs (ю) (рис. 7, б). Эта кривая изображает плотность распределения дисперсии по частотам непрерывного спектра, а сама функция Fs (ю) является спектральной плотностью дисперсии, или энергетическим спектром стационарного сигнала риска.

Площадь, ограниченная кривой Fs(ю), равна дисперсии сигнала риска:

Спектральная плотность дисперсии (далее — спектральная плотность) является важной характеристикой стационарного сигнала риска. Ее можно также назвать энергетическим спектром сигнала риска. Смысл такого названия заложен в размерности функции Fs (ю), являющейся отношением мощности (дисперсии) к полосе частот: г ^, ч г мощность

[Fs (ю)] = [---] =

полоса частот = [мощность х время] = [энергия]

Таким образом, энергетический спектр, или, точнее, спектральная плотность мощности (дисперсии) сигнала риска, описывает распределение энергии сигнала риска по частоте.

Дисперсия сигнала риска о s2, равная средней мощности стационарного сигнала риска, есть сумма вкладов от всех частот. Величина Fs (ю) пропорциональна удельной средней мощности, соответствующей единичному частотному диапазону в окрестностях выбранной частоты ю . Следовательно,

энергетический спектр сигнала риска показывает

2

частотное распределение мощности о s сигнала риска. По своему «физическому» смыслу энергетический спектр вещественен и неотрицателен:

Fs (ю) > 0. (29)

Стационарная случайная функция x(t) с постоянной спектральной плотностью (постоянным энергетическим спектром)

Fb (ю) = F0 = const (30)

называется белым шумом. Суммарная дисперсия (средняя мощность) белого шума равномерно распределена по частотам составляющих его гармонических колебаний.

Корреляционная функция белого шума kb (т) равна [1]:

kb(т) = 2пF • 8(т), (31)

где 8 (т) = — J cos ют ск — дельта-функция.

2п {

0

0

0

анализ экономической деятельности и рискоВ

20 (101) - 2007

Белый шум является простейшим видом случайной функции вследствие того, что его значения некоррелированы. Идеальный белый шум, имеющий корреляционную функцию типа S-функции, в природе не встречается. Это объясняется тем, что в природе не существует абсолютно безынерционных объектов и процессов. В любом реальном процессе значение случайной функции вообще и сигнала риска в частности в данный момент времени зависит от того, какие значения эта функция принимала в другие, близкие моменты времени. Не существует такой величины, приращение которой за любой сколь угодно малый промежуток времени могло стать сколь угодно большим. Для создания такого случайного процесса потребуется бесконечная мощность. Вот почему в природе встречаются только такие случайные функции (сигналы риска), значения которых в достаточно близких точках кор-релированы. Поэтому понятие белого шума является лишь удобной математической абстракцией.

Реальные процессы могут более или менее быть близкими к белому шуму. Чтобы отразить ограниченность диапазона частот, в котором энергетический спектр постоянен, вводится понятие полосового белого шума. Полосовым белым шумом называется стационарная случайная функция, спектральная плотность которой постоянна в некотором диапазоне частот и равна нулю вне этого диапазона:

Fb (ю) = F = const при юи < ю < юв; (32) Fb(ю) = 0 при ю <юи; ю > юв, (33)

где юи и юв — нижняя и верхняя граничные частоты рассматриваемого диапазона частот соответственно.

Некоррелированность мгновенных значений реализации белого шума означает неограниченно большую скорость изменения этих значений во времени: как бы мал ни был интервал т , мгновенное значение белого шума за это время может измениться на любую величину. Поэтому временное поведение белого шума обладает максимальной неопределенностью, и прогнозирование такого случайного процесса связано с максимальным риском.

Данное обстоятельство легло в основу разработки спектрального метода измерения риска. Суть метода состоит в сравнении энергетических спектров сигнала риска и полосового белого шума.

Белый шум обладает максимальным уровнем риска. Поэтому, если принять уровень риска белого шума за базовый и присвоить ему значение, равное 100 %

Литература

(или единице), то для любого другого случайного процесса уровень риска будет меньше единицы:

Яъ = 100%, или Д = 1; (34)

Я < 100%, или Я < 1, (35)

где Я и Я — уровень риска белого шума и изучаемого случайного процесса соответственно.

Таким образом, оценку риска случайного процесса мы связали с изучением сигнала риска, с его поведением во времени и его энергетическим спектром. Различия в уровне риска, как мы установили, обусловлены видом энергетического спектра сигнала риска.

Чтобы придать оценке риска объективный, независимый характер, удобно провести сравнение энергетического спектра сигнала риска с энергетическим спектром эталонного сигнала, для роли которого идеально подходит белый шум. Отличие энергетических спектров белого шума и сигнала риска может служить мерой риска. Сравнивая энергетические спектры сигнала риска у различных случайных процессов с энергетическим спектром белого шума, мы получаем возможность оценивать и сравнивать между собой риски любых исследуемых процессов, явлений и объектов.

Оценки риска, основанные на сравнении энергетических спектров сигнала риска и белого шума в определенной полосе частот, составляют суть спектрального подхода к измерению статистических рисков.

Главное достоинство спектрального метода измерения рисков состоит в универсальности. С его помощью можно анализировать, прогнозировать и сравнивать между собой риски различной природы. Существенным достоинством спектрального метода также является возможность применить к исследованию рисков хорошо разработанный математический аппарат теории случайных функций.

Отметим также, что исследование энергетического спектра сигнала риска позволяет не только сравнивать риски между собой, устанавливать их тождество и различие, но и проводить идентификацию рисков, создать универсальную систему классификации статистических рисков.

В отличие от традиционных методов измерения риска, спектральный метод позволяет учесть внутреннюю структуру сигнала риска, его поведение во времени, а значит, получить более достоверную количественную оценку риска.

1. Пугачев В. С. Введение в теорию вероятностей. — М. : Наука, 1968. — 368 с.

2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М. : 2002. — 576 с.