CC BY
56
УДК 621.873
Л.В. Барановская
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ К РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРАНОВЫХ МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИЙ
Рассмотрены теоретические основы непрямого метода граничных элементов (МГЭ). Приведены дифференциальные уравнения, описывающие процессы воздействия на стержень. В основе МГЭ лежат решения этих уравнений в виде функций Грина для неограниченной одномерной области.
Даны формулы для определения компонентов напряженно-
деформированного состояния стержня в случае приложения сосредоточенной силы, момента, равномерно распределенной нагрузки. Рассмотрен алгоритм расчета пространственных металлоконструкций МГЭ. Указаны преимущества МГЭ перед широко применяемым методом конечных элементов.
Напряженно-деформированное состояние, метод конечных
элементов, метод граничных элементов, функции Грина.
L.V. Baranovskaya
THEORETICAL BASES OF BORDERLINE ELEMENTS METHOD USING AT CALCULATION OF SPACIAL CRANE METALWARE
The theoretical bases of the irregular method of borderline elements are shown in the article. The differential equations, describing the processes influencing the bar are given in text. The solutions of these equations, represented by the functions of Green for unlimited space lie in the basis of the borderline elements method. The models of determination of the components of deflected mode of the bars in the case of centralized strength, the moment of steady strength are given in the paper. The accounting algorithm for spacial metal constructions of borderline elements method is described here. The advantages of the above method in comparison with the method of final elements are pointed out.
Deflected mode, the method of final elements, the method of borderline elements, the functions of Green.
В последнее время в связи с развитием ЭВМ задачи определения внутренних усилий крановых конструкций решаются методом конечных элементов (МКЭ). Данный метод базируется на представлении конструкции в виде совокупности отдельных элементов, соединенных в конечном числе узловых точек. В настоящее время МКЭ достиг такого уровня развития и популярности, что трудно представить метод, способный составить конкуренцию. В данной статье предлагается новый метод расчета напряженно-
деформированного состояния конструкции крана - непрямой метод граничных элементов (МГЭ).
При расчете методом граничных элементов стержень конечной длины заменяют неограниченной одномерной областью, которая загружена дополнительными возмущениями в граничных точках, такими, что решения совпадают. Процессы воздействия на стержень описываются сравнительно простыми дифференциальными уравнениями
д V
= 0,
д 26
= 0,
д V
= 0,
д V
=0
дх2 дх2 ’ дх4 ’ дх4
всюду, за исключением точек приложения нагрузок. Для них можно получить фундаментальные решения в виде функций Грина для неограниченной одномерной области:
а) в случае приложения сосредоточенной продольной силы фх в точке £
V (х) = Фх (£)
I
2ЕР
1 -
х-£
I
= Фх (£) °х (x, £) ,
(х) = ЕР ^ = ф х(£) -1 sgn (x, £) = Фх(£) Д. (x, £); дх 2
б) в случае приложения сосредоточенных поперечных сил фу, ф2 в точке £
иу (х) = Ф у (£)
/
3
12Е/,
V ( х) = фг (£) —[
12Ыд
2+
2+
х-£ 3 3 х-£ 2 Л
/ /
У
х-£ 3 -3 х-£ 2''
/ / У
ди
9 у (х)= &"=фг (£)
диу
9 г (х) =~х = Фу (£)
/2 х-£
4Е/у /
/2 х-£
4Е/г /
х-£
/
х-£
/
ту (х) = Е/у ^ = Фг (£)/ I1 -
= Ф у (£)Оу (х, £),
= Фг (£) аг (х, £),
- sgn(x, £) = Фг (£)р (X, £) ,
- 2^ ^п(^ £) = Фу (£) р (х £) ,
х-£
д 2и„
тг (х) = Е32—^- = Ф у (£)-| 1 -
г дх2 у"" 2
/
х-£
/
= Фг (£)Еу (х, £),
= Фу (£)Ег (х, £),
д 3и
-1
5у(х) = / —у = Ф у (£) у ^(х £ ) = Ф у (£Н (^ £),
д 3и
-1
^ (х) = Ыу^Н- = Фг (£) ~ Sgn(x, £) = Фг (£)А (X, £) ;
дх
2
в) в случае приложения сосредоточенного момента цх в точке £
д9
/
2GJ,r
1 -
х-£
/
= Ц х(£) 4(x, £),
-1
тх (х) = Шк ^х (£)~^п(^ £) = Цх (£)Мх (x, £);
дх 2
г) в случае приложения сосредоточенных моментов цу, в точке £
3
/2
иу (х) = Цг (£)12Е/ Sgn (X, £) '
х-£
иг (х) = Ц у (£)
- / 2
12Е/
-sgn (x, £)
/
х-£
(
х-£
/
/
х-£
- 3
х-£
9 у(х)=£=-Ц у(£) ЕЕ/
ди /
9 г (х) =-ду = Ц г (£^ТТ7
дх Е/
(
3
у
Г
3
х-£
/
- 6
-3
/
х-£
/
+ 2
+ 2
= Ц г (£) Ку (х, £),
= ц у (£) Кг (х, £),
х-£
Л
г
х-£
/
-6
х-£
+ 2
+ 2
= ц у (£) Ьу (х, £),
= ц г (£) Ьг (х, £),
д 2и
ту(х) = Е/у = -Цу (£)1 1 -
д 2и
х-£
т2 (х) = Е/г—^т = Ц г (£)1 1 -
дх
/
х-£
sgn(x, £) = Ц у (£) Му (х, £),
/
д V,
2
-1
sgn(x, £) = Ц г (£) Мг (х, £),
*у (х) = Е/г -д^Г = Цг (£) -27 = Цг (£) N (х, £) ,
д 3и 1
*г (х) = Е/у = Цу (£) у = Цу (£) Нг (^ £) ;
д) в случае приложения к стержню равномерно распределенной продольной нагрузки qx
ихд (х) = qx 4Ер (- 2x2+2х/+/ 2)=qxGxq(х),
sxq(х) = ЕР = qx |- х+2 ) = qxDxq(х);
е) в случае приложения равномерно распределенной поперечной нагрузки qz
и.
щ
(х)=qz 48Е/ ( х 4 -4/х3 -6/2 х 2+8/3 х+5/4)=^(х),
9уд (х) = qz 1/ (х3 -3/ х2 -3/2х+2/3 ) = qz Ру« (х) , тУЧ (х) = qz --(х2 -2/х-/2) = qzEyq(х),
szq(х) = qz Г- х+£| = qzDzq (х),
У
где х - абсцисса точки наблюдения К; £ -абсцисса точки приложения нагрузки С; / -длина стержня; 9х (о), 9 (х), 9г (х) - углы
поворотов поперечного сечения стержня ,
вокруг осей координат; тх (о), ту (о), т2 (о) -
крутящий и изгибающие моменты;
£х (о), sy (о), sz (о) - продольная и поперечные
силы; Е, G - модули упругости первого и
второго рода; Jk, ^ Л - моменты инерции при Рис. 1. Стержень с фиктивными нагрузками
кручения и изгибе стержня; Р - площадь в граничных точках и продольной нагрузкой
поперечного сечения стержня.
Функция
Фх(0) Рх Фх(/)
Xj <х
! £ ' ! >4 ►
1 X
'<4 ►
2
2
2
2
1
2
1
' 1, апёе х > £,
8§и(х,£) = •! —1, апёе х < £,
г О ЛмХ О и О и Ом
^ іа поаааёат , х = £,
х — ^
Но -----Б§п(х,£) = 0, при х = Использование этой функции позволяет учесть
скачкообразное изменение функций.
Используя фундаментальные решения и принцип независимости действия сил, можно вычислить компоненты внутренних сил и деформаций в любой точке стержня. Например, продольные силы и деформации в любой точке стержня (рис. 1) будут определяться по формулам:
где Рх - сосредоточенная продольная сила.
Алгоритм расчета методом граничных элементов пространственной стержневой конструкции состоит из следующих шагов:
1. Ввод исходных данных.
Выбираем общую систему координат - Оху,. Определяем координаты узлов, длины стержней, характеристики сечений элементов, внешние нагрузки, условия в узловых точках стержней в общей системе координат.
Например, если два стержня жестко соединены, то в точке их соединения будут следующие условия:
Міх (х), Міу (х), Мі,, (х) - перемещения, углы поворотов, силы, моменты і-го стержня
относительно осей координат в Охуг.
2. Формирование матриц для вычисления компонентов внутренних сил и деформаций в местных системах координат.
Разобьем стержневую систему на отдельные стержни. Для каждого і-го стержня введем местную систему координат Охі уі ,г- и по шесть фиктивных нагрузок в граничных точках (рис. 2):
их (х) = Фх (0) • °х (х,0) + Рх • °х (^ £) + Фх (/) • °х (^1) , 5х (х) = Фх (0) • Вх (х,0) + Рх • Вх (х,^> + Фх (/) • Вх (X, 1),
(2)
иіх (11) — и 2 х (0) = 0 иіу (/1) — и 2 у (0) = 0 иіг (/1) — и 2 г (0) = 0
01х (/1) — ©2 х (0) = 0 ©1у (/1) — ©2 у (0) = 0 01. (/1) — 02. (0) = 0 (3)
Б1Х (/1) + 5 2 х (0) = 0 Яу (/1) + 5 2 у (0) = 0 51, (/1) + 5 2. (0) = 0
М 1х (/1) + М 2х (0) = 0 М 1у (/1) + М 2 у (0) = 0 М1, (/1) + М 2, (0) = 0,
0і = ^Ф^Ф^^^у/^Ф^ ФУ Ф^к ^хк ^ук И** ) , (і = 1,3).
Дальнейшие действия направлены
У ▲
Используя фундаментальные решения и принцип независимости действия сил, формируем матрицы Ai для вычисления необходимых компонентов внутренних сил и деформаций в граничных точках
стержней в местных системах координат.
Рис. 2. Фиктивные нагрузки в граничных точках пространственного стержня
3. Формирование матриц перехода от внутренних силовых и
геометрических компонентов НДС к внешним.
Фундаментальные решения позволяют найти внутренние силовые и геометрические компоненты НДС, положительные направления которых показаны на рис. 3.
Рис. 3. Положительные направления внутренних силовых и геометрических компонентов
Внешние силы и перемещения будем считать положительными, если их направления совпадают с направлениями осей координат. Внешние моменты и углы поворотов сечений положительны, если они направлены против часовой стрелки.
Матрица перехода от внутренних силовых факторов к внешним в конечной точке стержня имеет вид:
(1 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
10 0 0 0 0 - ^
Т8Є =
Матрица перехода в начальной точке имеет вид: Тб! = -ТБе .
Матрица перехода от внутренних геометрических факторов к внешним имеет вид:
Ти
(4)
(1 0 0 0 0 01
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 -1 0
10 0 0 0 0 1)
(5)
4. Формирование матриц перехода из местных систем координат к общей системе координат.
Перемещения и силы из местной системы координат Охіуі2і переводим в общую Оху2 с помощью матрицы преобразования координат, состоящей из косинусов углов между осями координат:
' СОБ (X, Хі) СОБ (X, уі) СОБ (X, Іі)^
N1 =
cos(y, х) cos(y, уі) соб( ^ гі) _С°8 (2 X) соб(z, Уі) соб(z, X
(6)
5. Формирование системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) пространственной конструкции.
Найденные значения сил и перемещений подставляем в узловые условия системы, получаем общую систему линейных алгебраических уравнений всей конструкции в матричной форме:
Б • С • Т • А • О = Р, (7)
где Б - матрица, реализующая операции вычитания, сложения перемещений и сил в выражениях узловых условий; С - матрица преобразования координат для всей системы;
Т - матрица перехода от внутренних силовых и геометрических компонентов НДС к внешним; А - матрица для вычисления компонентов внутренних сил и деформаций в граничных точках стержней в местных системах координат; Р - матрица-столбец правых частей в узловых условиях.
6. Решение системы линейных алгебраических уравнений.
Решение (7) СЛАУ - векторы фиктивных нагрузок для элементов системы находим по формуле:
О = ( • С • Т • А)-1 • Р . (8)
В результате можно записать функции, определяющие внутренние силы, перемещения в любой точке пространственной конструкции, аналогичные функциям (2).
Метод граничных элементов имеет преимущества перед методом конечных элементов в том, что позволяет найти компоненты НДС в виде непрерывных функций или функций с точками разрыва 1-го рода (скачками), зависящих от переменной х. При этом размерность матриц задачи определения НДС невелика. При аналогичном размере матриц метод конечных элементов даст решения только в граничных точках стержней схемы металлоконструкции. Для достижения более точного результата МКЭ необходимо ввести дополнительные точки разбиения схемы, что ведет к увеличению матриц решения.
Кроме того, метод граничных элементов дает хорошую сходимость к точным решениям, поэтому его можно рекомендовать для решения задач расчета пространственных крановых металлоконструкций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бенерджи П. Методы граничных элементов в прикладных науках / П. Бенерджи,
Р. Баттерфилд. М.: Мир, 1984. 494 с.
2. Краснов М.Л. Интегральные уравнения / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. М.: Наука, 1968. 192 с.
3. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: справочник / под ред. В.И. Мяченковой. М.: Машиностроение, 1989. 520 с.
4. Соболев С.Л. Уравнения математической физики / С.Л. Соболев. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1954. 444 с.
Барановская Лариса Вакифовна -ассистент кафедры «Высшая математика и механика»
Балаковского института техники, технологии и управления (филиала)
Саратовского государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 02.10.08, принята к опубликованию 26.11.08
Baranovskaya Larisa Vakifovna -
Assistant of the Department
of «Higher Mathematics and Mechanics»
of Balakovo Institute of Engineering,
Technology and Management (affiliated branch) of Saratov State Technical University
