CC BY
40
DOI: 10.26730/1999-4125-2018-2-53-60 УДК 622.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УПАКОВКИ ЧАСТИЦ РАЗДРОБЛЕННЫХ ГОРНЫХ ПОРОД
THEORETICAL FOUNDATIONS OF THE MATHEMATICAL MODEL OF CRUSHED ROCK FINES PACKAGING
Шабаев Сергей Николаевич,
кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой, e-mail: shabaev8 [email protected]
Sergey N. Shabaev, С.Sc., Associate Professor, Head of Department
Кузбасский государственный технический университет имени Т Ф. Горбачева, 650000, Россия, г. Кемерово, ул. Весенняя, 28
T.F. Gorbachev Kuzbass State Technical University, 28 Vesennyaya street, Kemerovo, 650000, Russian Federation
Аннотация: При строительстве автомобильных дорог угольных разрезов Кузбасса используют, преимущественно, попутно добываемые вскрышные и (или) углевмещающие раздробленные горные породы, которые под действием воды размягчаются, из-за чего происходит быстрое разрушение полотна. Для того чтобы можно было эффективно их применять для устройства дорожных одежд автомобильных дорог открытых горных разработок, необходимо, чтобы они имели минимальную водопроницаемость, а это можно обеспечить за счет регулирования гранулометрического состава. Чтобы разработать математическую модель, позволяющую прогнозировать объемную массу раздробленных горных пород заданного гранулометрического состава, необходимо иметь методику, позволяющую адекватно и достоверно оценивать возможность упаковки частиц различного размера. Существующие математические модели плотности упаковки разработаны, преимущественно, для одноразмерных элементов, равномерно распределенных в пространстве. Раздробленные горные породы состоят из частиц различного размера, отличающихся в несколько десятков тысяч раз, следовательно, имеющиеся теории и модели к ним не применимы, так как не учитывают указанные особенности. В статье на основе анализа методов и подходов, применяемых в теории упаковки, предложена гипотеза об упаковочном объеме шарообразных частиц, теоретически и экспериментально доказана ее адекватность, достаточная для практических целей точность и возможность использования применительно к раздробленным горным породам. Установлено, что упаковочный объем частицы раздробленной горной породы прямо пропорционален фактическому объему аналогичного по размеру шара и обратно пропорционален степенной функции от плотности упаковки частиц, составляющей от 0,56 до 0,62.
Abstract: In construction of motor roads at Kuzbass open-cast coal mines, the associated overburden and / or coal-bearing crushed rocks are mainly used, which become soft under the action of water resulting in rapid destruction of the road bed. In order to effectively use this rock for the construction of open-cast mine motor road surfacing, it needs to have minimum water permeability, and this can be achieved by regulating the particle size distribution. To develop a mathematical model that allows predicting the bulk mass of crushed rock of a given granulometric composition, it is necessary to have a technique that allows to adequately and reliably estimate the possibility of packing the particles of different sizes. Existing mathematical models of packing density are developed, mainly, for single-dimensional elements, evenly distributed in space. The crushed rocks consist of particles of different sizes, differing in several tens of thousands times, hence, the available theories and models are not applicable to them, since they do not take into account these features. The hypothesis on the packing volume of globular particles, based on the analysis of methods and approaches used in the theory of packaging, has been proposed in the article; its adequacy, sufficient for practical purposes, accuracy and the possibility of using it for crushed rocks have been theoretically and experimentally proven. It has been established that the packaging volume of any crushed rock particle is directly proportional to the actual volume of a ball having a diameter similar to that of a particle and is inversely proportional to the power function of the particle packing density, ranging from 0.56 to 0.62..
Ключевые слова: раздробленные горные породы, упаковка, частицы, открытые горные разработки, шар, дорога.
Key words: crushed rocks, packing, particles, open-cast mining, ball, road.
Несмотря на то, что проектные организации при разработке проектов строительства автомобильных дорог открытых горных разработок в качестве покрытий и оснований дорожных одежд предусматривают, преимущественно, слои из нерудных строительных материалов, в реальности на угольных разрезах Кузбасса в большей степени применяют вскрышные или углевмещающие горные породы. Однако основная проблема их использования заключается в размягчаемости горных пород, что приводит к потере прочности и, в итоге, быстрому разрушению дорожной одежды [1-5].
Для того чтобы снизить негативное воздействие воды на несущую способность дорожных одежд, необходимо обеспечить минимальную водопроницаемость слов из раздробленных горных пород, а это можно достигнуть путем регулирования гранулометрического состава. В связи с этим требуется разработка математической модели, дающей возможность на основе известного гранулометрического состава прогнозировать объемную массу раздробленных горных пород, от которой зависит их водопроницаемость. Однако для этого требуется методика, позволяющая адекватно и достоверно оценивать возможность упаковки частиц различного размера.
На сегодняшний день достаточно много различных математических моделей, посвященных упаковкам частиц. Это задачи, решаемые Берна-лом [6] и Скоттом [7] в условиях неограниченного пространства, те же задачи, но с учетом пристенного эффекта, рассмотренные в работах [8-11], фундаментальные и прикладные аспекты теории перколяции [12-16], а также множество других работ [17-25 и др.].
При моделировании плотности упаковок, большинство теорий и методов основываются на том, что все частицы (или другие рассматриваемые элементы) имеют форму шара, причем одинакового размера. В раздробленной горной породе частицы форму шара не имеют, а их размер колеблется в пределах от близкого к нулю до 100...200 мм и более, то есть соотношение между наибольшим и наименьшим размером может достигать 10 тысяч раз и более. Таким образом, для прогнозирования объемной массы раздробленных горных пород необходима математическая модель, которая учитывала бы эти особенности.
Кроме шара, существующие математические модели также рассматривают элементы (конфигурации) в виде простого, гранецентрированного и объемно-центрированного куба, тетраэдра, октаэдра и других. Несмотря на то, что данные формы уже имеют острые грани, также как и обломки раздробленной горной породы, все же в реальности форма частиц побочного продукта открытых горных работ настолько разнообразна и не повто-
ряема, что вероятность образования частиц любой другой правильной формы настолько же мала, насколько она мала и для формы шара. Поэтому для дальнейшей разработки математической модели упаковки частиц раздробленной горной породы целесообразно принять допущение, что все частицы имеют форму шара.
Для того чтобы учесть различия в размерах частиц предлагается следующий алгоритм. Сначала в центральную часть единичного пространства, представляющего собой простой куб (микроструктурный подход), вписывается самый крупный шар. Далее в оставшуюся свободную часть пространства вписывается шар меньшего размера исходя из гипотезы, что шар может быть вписан.
если его упаковочный объем ^ равен:
V
V =
С
(16-20Сир)
up
где V- фактический объем шара;
С
^ ир
^ - плотность упаковки шаров.
За плотность упаковки принимается плотность упаковки одноразмерных шаров в гравитационном поле пространства. Из работ [6, 7] известно, что плотность упаковки, установленная экспериментальным путем, составляет от 0,60 для наименее плотного состояния до 0,64 для наиболее плотного состояния. При этом предельная плотность упаковки одноразмерных шаров, полученная математическим расчетами либо путем математического моделирования, по данным Дж. Берримана составляет 0,64±0,02 [21], П. Джалали и М. Ли - 0,6394 [23], В. Г. Бондарева - 0,63964 [19]. Б.С. Радовский [17, 18] теоретически установил, что наиболее вероятная и средняя плотность упаковки одноразмерных шаров в гравитационном поле составляет 0,613 и 0,628 соответственно.
Таким образом, можно сделать вывод, что плотность упаковки одноразмерных шаров в гравитационном поле может находиться в интервале от 0,60 до 0,64. Примем, что плотность упаковки всех шаров составляет 0,63.
Докажем адекватность и достаточную для практических целей точность выдвинутой гипотезы. Пусть имеется единичный объем (пространство), в центральную часть которого вписан шар с диаметром А=1- Принимая допущение, что все шары равномерно распределены в пространстве, единичный объем составляет:
Ved =
71 D
1
6 С
= 0,831
up
Так как единичный объем меньше 1, то длина стороны единичного объема составит 0,940. Рассчитаем фактический объем шара с диаметром А,
размещаемый в пределах центральной части единичной области:
г,=
тг-БГ
-б-*-
А 1 (а-аЛ]
{ 2 J 2 Н 2 У
= 0,515
где а - длина стороны единичного объема 1x1x1, равная 1.0;
а1 - длина стороны уточненного единичного объема, равная 0,940.
Объем свободного пространства, оставшегося после упаковки частицы с диаметром составляет:
[У]=Уе(1-у, =о,31б
Упаковочный объем шара с диаметром £>2 составляет:
_ 71 В
У2=-
2
6-с3'4
и ^ ир
= 0,315
Тогда количество частиц с диаметром £Ь, которые можно разместить в оставшемся свободном пространстве, равно:
Ы2=Ш = 1,003
у2
Следовательно, одну частицу упаковать можно.
Проверим полученный результат посредством геометрических построений и расчетов. Из работы [26] известно, что плотность упаковки одноразмерных шарообразных частиц можно определить из зависимости:
Сир=_*_
6 кх-ку к2
(1)
где , У _ коэффициенты, учитывающие расстояние между частицами соответственно по осям х,у и г, причем они равны 1, когда расстояние между центрами двух шаров равно диаметру шара А.
Так как плотность упаковки шаров с диаметром А составляет 0,63, то имеем:
кхкукг =0,831
Если принять, что
^ = 0,831
К К =\
У
то значение
коэффициента 2 ' . Это соответствует схеме упаковки, представленной на рисунке 1. Если центр шара с диаметром £>2=0,5А разместить в точке О, то она там пометиться не сможет,
так как расстояние 1 2 =0,414£>ь Таким образом, для того, чтобы поместить шар с диаметром £Ь, его необходимо либо поднять (опустить), либо раздвинуть наиболее крупные шары по осям хиу. Расчеты показывают, что поднять (опустить) шар
возможно максимально на величину 0,1261)1, однако это все равно не достаточно, так как без раздвижки более крупных шаров упаковать более мелкий шар не возможно.
Рассмотрим вариант, при котором раздвигаем крупные шары по осям хиу. Для того чтобы шар с диаметром 1)2 смог разместиться между точками
и необходимо, чтобы расстояние меясду данными точками составляло 0,5£)ь Тогда рассто-
01 о2
яние между точками 1 и ^ должно составлять
1,5/)ь следовательно 11 ' 1 . то есть кх =ку =1,061
(рисунок 2).
О\
Предполоясим, что шар с центром в точке 3 касается двух шаров с центрами в точках <>{ и
О'г ,
z (в условиях гравитационного поля точки контакта должны быть обязательны). В этом случае имеем:
кг=03С = Ж-
1,061-вЛ
2
= 0,848
ров:
Проверим плотность упаковки крупных ша-
= 0,550
71
с =_
ир б 1,061 1,061 0,848
Расчеты показывают, что плотность упаковки крупных шаров не соответствует условию задачи, значит необходимо осуществить вращение шара с
О?,
центром точке -3 относительно шаров с центра-
0\ 0'2 v ми в точках 1 и ^ . Уравнение окружности
будет иметь вид (рисунок 3):
(ск)2 ={0,848-П})2
к
По формуле (1) рассчитываем величину 7 для того, чтобы плотность упаковки шаров соответствовала условию задачи. В нашем случае
к7 =0,740 т 7 ' . Тогда имеем:
с1х = у!(0,848- В1 )2 - (0,740• 01 )2 =0,414-02
00\
Рассчитаем расстояние -3: СЮ'Ъ =у1(0,74-В1)2 +(0,116-В1)2 =0,749-
ОО>4 « А/2 + В2/2 = 0,75 А
Так как -3 1 z ' 1 . то
можно утверждать, что при плотности упаковки шаров несколько меньше 0,63, поместить шар с диаметром £>2 в оставшееся свободное пространство возможно, то есть гипотеза подтверждена геометрическими построениями и расчетами.
Для экспериментальной проверки выдвинутой гипотезы был поставлен лабораторный эксперимент, заключающийся в определении плотности упаковки частиц раздробленной горной породы заданных фракций при двух методах уплотняющего воздействия - статическом и вибрационном. При статическом методе уплотняющего воздействия раздробленная горная порода уплотнялась на прессе под давлением 2,5 МПа, а при вибрационном - путем уплотнения на виброплощадке при
Рис. 1. Схема упаковки без раздвижки с диаметром D1. Fig. 1. Scheme of packaging without moving apart the balls with diameter D1
амплитуде колебаний 0,40±0,05 мм и частоте колебаний - 48±3 Гц с постоянным пригрузом, обеспечивающим давление 4 кПа. Уплотнение производилось при оптимальной влажности.
Так как сразу надежно спрогнозировать объемную массу, а, следовательно, и плотность упаковки однофракционных частиц раздробленной горной породы не представлялось возможным, то эксперимент был проведен в два этапа. На первом этапе плотность упаковки частиц определялась
Рис. 2. Схема упаковки с раздвижкой
шаров с диаметром D1 Fig. 2. Scheme of packaging with moving apart the balls with diameter D1
Fig. 3. Scheme of balls repackaging
Таблица 1. Результаты эксперимента по оценке плотности упаковки частиц раздробленной горной породы при статическом методе уплотняющего воздействия Table 1. The results of the experiment on the evaluation of the packing density of crushed rock particles un-
№ п/п Размер частиц, мм (доля частиц, % по массе) Плотность частиц, кг/м3 Оптимальная влажность, % Объемная масса, кг/м3 Объемная масса без учета влажности, кг/м3 Плотность упаковки частиц
1 10-20(100) 1700 1620 0,587
2 5-10(100) 1740 1660 0,601
3 2,5-5 (100) 1720 1640 0,594
4 1,25-2,5 (100) 1820 1730 0,623
5 10-20 (92) 5-10 (8) 2760 5 1870 1780 0,645
6 5-10 (92) 2,5-5 (8) 1900 1810 0,656
7 2,5-5 (92) 1,25-2,5 (8) 1880 1790 0,649
Таблица 2. Результаты эксперимента по оценке плотности упаковки частиц раздробленной горной породы при вибрационном методе уплотняющего воздействия Table 2. Results of the experiment on the evaluation of the packing density of crushed rock particles under the vibrating compaction method
№ n/n Размер частиц, мм (доля частиц, % по массе) Плотность частиц, кг/м3 Оптимальная влажность, % Объемная масса, кг/м3 Объемная масса без учета влажности, кг/м3 Плотность упаковки частиц
1 10-20(100) 1680 1620 0,587
2 5-10(100) 1780 1710 0,620
3 2,5-5 (100) 1740 1670 0,605
4 1,25-2,5 (100) 1720 1650 0,598
5 10-20 (92) 5-10 (8) 2760 4 1840 1770 0,641
6 5-10 (92) 2,5-5 (8) 1870 1800 0,652
7 2,5-5 (92) 1,25-2,5 (8) 1890 1820 0,659
для одной фракции раздробленной горной породы, а на втором этапе - для смеси двух соседних фракций. При этом содержание частиц второй фракции было определено из зависимости:
с
(16-20-Сир) up
1
с
-1
V2 =■
up
1 + С
с16-20-Сир) up
С
-1
up
С»
где - плотность упаковки однофракци-онных частиц, полученная по результатам первого этапа эксперимента.
Результаты проведенного эксперимента представлены в таблицах 1,2.В связи с тем, что среднее значение плотности упаковки частиц разных фракций не зависимо от метода уплотняющего воздействия приблизительно одинаковая и состав-
ляет 0,601 ...0,602, то содержание частиц более крупной фракции принято 92 %, а частиц менее крупной фракции - 8 %.
Анализ полученных экспериментальных данных позволил выявить следующее:
1. Плотность упаковки одноразмерных частиц (частицы в пределах одной фракции условно приняты одноразмерными) раздробленной горной породы незначительно отличается от плотности упаковки одноразмерных шарообразных частиц в условиях гравитационного поля, следовательно, сделанное допущение о том, что все частицы раздробленной горной породы условно имеют форм}' шара, приемлемо.
2. Фактическая плотность упаковки одноразмерных частиц раздробленной горной породы после уплотнения составляет от 0,587 до 0,623, что приблизительно на 0,02-0,04 (3-7 %) меньше, чем для одноразмерных шаров в условиях гравитационного поля. Следовательно, если рассматри-
вать раздробленную горную пород}' в виде совокупности шарообразных частиц различного размера, то плотность упаковки этих частиц должна составлять от 0,56 до 0,62.
3. Фактическая плотность упаковки смеси двухразмерных частиц (частиц из двух соседних фракций) раздробленной горной породы при условии, что крупных частиц содержится 92 %, а мелких частиц 8 % по массе, составляет от 0,641 до 0,659, при этом по данным теоретических исследований при плотности упаковки шарообразных частиц 0,6015 единичный объем составляет 0,8705, условный фактический объем частицы с
диаметром А - 0,5189, условный фактический объем частицы с диаметром 1>2 - 0,0451, а общая плотность упаковки частиц - 0,648, следовательно, выдвинутая гипотеза подтверждается экспериментальными данными.
На основе выполненных теоретических исследований. подтвержденных экспериментальным путем, можно сделать вывод, что упаковочный объем частицы раздробленной горной породы прямо пропорционален фактическому объему аналогичного по размеру шара и обратно пропорционален степенной функции от плотности упаковки частиц, составляющей от 0,56 до 0,62.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Chernobai V. I. Development and characterization of formulation of dust-suppressant used for stope road in open-pit mines // Journal of Coal Science and Engineering (China). 2013 (June), vol. 19, is. 2, pp. 219-225.
2. Moldovan D. V. The rock pile quality control during the blasting operations at the construction materials open-cast mines // Journal of Industrial Pollution Control. 2017, vol. 33, is. 1, pp. 1007-1012.
3. Solovyev G. V. Improving of Performance Characteristics During Mechanical Stabilization of Quarry Haul Roads with Stiff Polymeric Tensar Triax Hexagonal Geogrid / G. V. Solovyev K. I.Vatchnadze // Procedia Engineering. 2017, vol. 189, pp. 666-672.
4. Sara L. Jackson. Dusty roads and disconnections: Perceptions of dust from unpaved mining roads in Mongolia's South Gobi province // Geoforum. 2015, vol. 66, pp. 94-105.
5. Barry Kinga, Marcos Goycoolea, A. Newman. Optimizing the open pit-to-underground mining transition // European Journal of Operational Research. 2017, vol. 257, pp. 297-309.
6. Bernal J. D. The structure of liquids. Proc. Royal Soc. London// Ser A. 1964, vol. 280, no. 1382, pp. 299-
322.
7. Scott G. P. Packing of spheres. Nature. 1960, vol. 188, no. 4754, pp. 2571-2607.
8. Mueller G. E. Radial porosity in packed beds of spheres // Powder Technology. 2010, no. 203, pp. 626-
633.
9. Roozbahani M. M. Effect of rectangular container's sides on porosity for equal-sized sphere packing / M. M. Roozbahani, В. В. K. Huat, A. Asadi //Powder Technology. 2012, no. 224. pp. 46-50.
10. Wensrich С. M. Boundary structure in dense random packing of monosize spherical particles // Powder Technology. 2012, no. 219, pp. 118-127.
11. Бондарев В. Г. Математическое моделирование пристенного эффекта в случайных упаковках систем частиц // Современные тенденции развития науки и технологий. - 2015. - № 2-1. - С. 12-15
12. Kesten Н. Percolation theory for mathematicians. Birkhauser. Boston, 1982, 392 p.
13. Scher H.. Zallen R. Critical density in percolation processes // Journ. Chem. Phys. 1970, vol. 53, pp. 3759-3760.
14. Fitzpatrick J. P., Malt R. В., Spaepen F. Percolation theory and the conductivity of random close packed mixtures of hard spheres // Phys. Lettes, pp. 207-211.
15. Новиков В. В. К определению упругих модулей перколяционных систем // Инженерно-физический журнал. - 1989. - Т. 57. - № 3. - С. 485-490.
16. Шкловский Б. И.. Эфрос, A. JI. Электронные свойства легированных полупроводников. - М. : Наука, 1979.-416 с.
17. Радовский Б. С. Плотность беспорядочной упаковки твердых частиц сферической формы // Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1972. - № 4. - С. 193-198.
18. Radovskiy В., Heckendorf Н. Besonderheiten der deformation granulierter Medien. - 5. Tagimg über. Probleme und Methoden der Mathematischen Physik. H.I. Wissenschaftliche Schriftenreihe der Technischen Hochschule Karl-Marx-Stadt. 1975, pp. 171-178.
19. Бондарев В. Г. Предельная плотность случайной упаковки // Современные тенденции развития науки и технологий. - 2015. -№ 2-1. - С. 15-18.
20. Мигаль JI. В. Стохастическая упаковка систем сферических моночастиц на плоскости / Л. В. Ми-галь, В. Г. Бондарев // Региональный вестник молодых ученых. - 2005. - № 3/4(6). - С. 5-7.
21. Berryman J. G. Random close packing of hard spheres and disks // Phys. Rev. A. 1983, vol. 27, no. 2, pp. 1053-1061.
22. Лесин, Ю.В. Влияние граничного эффекта на физико-структурные характеристики раздельнозер-нистой среды / Ю.В. Лесин, С.О. Марков, М.А. Тюленев //Горный информационно-технический бюллетень. - №9. -2002. - С. 213.
23. Марков, С.О. Структурное моделирование насыпных отвальных массивов на разрезах Кузбасса / С.О. Марков // Дис. ... канд. техн. наук. - Кемерово, 2003. - 127 с.
24. Кандауров И. И. Механика зернистых сред и ее применение в строительстве. - 2-е изд., испр. и перераб. - Л.: Стройиздат, Ленингр. отд-ние, 1988. - 280 с.
25. Китайгородский А. И. Порядок и беспорядок в мире атомов. - М.: Наука, 1984. - 162 с.
26. Шабаев С. Н. Некоторые вопросы решения задачи о проектировании смеси оптимального зернового состава // Вестник КузГТУ. - Кемерово, 2005. - № 4. - С. 82-84.
REFERENCES
1. Chemobai V. I. Development and characterization of formulation of dust-suppressant used for stope road in open-pit mines // Journal of Coal Science and Engineering (China). 2013 (June), vol. 19, is. 2, pp. 219-225.
2. Moldovan D. V. The rock pile quality control during the blasting operations at the construction materials open-cast mines // Journal of Industrial Pollution Control. 2017, vol. 33, is. 1, pp. 1007-1012.
3. Solovyev G. V. Improving of Performance Characteristics During Mechanical Stabilization of Quarry Haul Roads with Stiff Polymeric Tensar Triax Hexagonal Geogrid / G. V. Solovyev K. I.Vatchnadze // Procedia Engineering. 2017, vol. 189, pp. 666-672.
4. Sara L. Jackson. Dusty roads and discomiections: Perceptions of dust from unpaved mining roads in Mongolia's South Gobi province // Geoforum. 2015, vol. 66, pp. 94-105.
5. Barry Kinga, Marcos Goycoolea, A. Newman. Optimizing the open pit-to-underground mining transition // European Journal of Operational Research. 2017, vol. 257, pp. 297-309.
6. Bernal J. D. The structure of liquids. Proc. Royal Soc. London // Ser A. 1964, vol. 280, no. 1382, pp. 299-
322.
7. Scott G. P. Packing of spheres. Nature. 1960, vol. 188, no. 4754, pp. 2571-2607.
8. Muelle, G. E. Radial porosity in packed beds of spheres // Powder Technology. 2010, no. 203, pp. 626-
633.
9. Roozbahani M. M. Effect of rectangular container's sides on porosity for equal-sized sphere packing / M. M. Roozbahani B. B. K. Huat, A. Asadi // Powder Technology. 2012, no. 224, pp. 46-50.
10. Wensrich C. M. Boundary structure in dense random packing of monosize spherical particles // Powder Technology. 2012, no. 219, pp. 118-127.
11. Bondarev V. G. Matematicheskoe modelirovanie pristennogo ehffekta v slu-chajnyh upakovkah sistem chastits // Sovremennye tendentsii razvitiya nauki i tekhnologij. - 2015. - № 2-1. - S. 12-15. (rus)
12. KestenH. Percolation theory for mathematicians. Birkhauser. Boston, 1982, 392 p.
13. Scher H., Zallen R. Critical density in percolation processes // Journ. Chem. Phys. 1970, vol. 53, pp. 3759-3760.
14. Fitzpatrick J. P.. Malt R. B., Spaepen F. Percolation theory and the conductivity of random close packed mixtures of hard spheres // Phys. Lettes, pp. 207-211.
15. Novikov V. V. K opredeleniyu uprugih modulej perkolyatsionnyh sistem // Inzhenerno-fizicheskij zhur-nal. - 1989. - T. 57. - № 3. - S. 485-490. (rus)
16. Shklovskij B. I., Elifros, A. L. Ehlektronnye svojstva legirovannyh polu-provodnikov. - M. : Nauka, 1979.-416 p. (rus)
17. Radovskij B. S. Plotnost1 besporyadochnoj upakovki tverdyh chastits sfericheskoj formy // Izvestiya AN SSSR. Mekhanika tverdogo tela. - 1972. - № 4. - S. 193-198. (rus)
18. Radovskiy B.. Heckendorf H. Besonderheiten der deformation granulierter Medien. - 5. Tagung iiber. Probleme und Methoden der Mathematischen Physik. H.I. Wissenschaftliche Schriftenreihe der Technischen Hochschule Karl-Marx-Stadt. 1975, pp. 171-178.
19. Bondarev V. G. Predel'naya plotnost' sluchajnoj upakovki // Sovremennye tendentsii razvitiya nauki i tekhnologij. - 2015. - № 2-1. - S. 15-18. (rus)
20. Migal' L. V. Stohasticheskaya upakovka sistem sfericheskih monochastits na ploskosti / L. V. Migal', V. G. Bondarev // Regional'nyj vestnik molodyh uchenyh. - 2005. - № 3/4(6). - S. 5-7. (rus)
21. Berryman J. G. Random close packing of hard spheres and disks // Phys. Rev. A. 1983, vol. 27, no. 2, pp. 1053-1061.
22. Lesin, YU.V. Vliyaniye granichnogo effekta na fiziko-strukturnyye kharakteristiki razdel'nozer-nistoy sredy / YU.V. Lesin, S.O. Markov, M.A. Tyulenev // Gornyy informatsionno-tekhnicheskiy byulle-ten'. - №9. -2002.-S. 213.
23. Markov, S.O. Strukturnoye modelirovaniye nasypnykh otval'nykh massivov na razrezakh Kuzbassa / S.O. Markov // Dis.... kand. tekhn. nauk. - Kemerovo, 2003. - 127 s.
24. Kandaurov 1.1. Mekhanika zernistyh sred i ee primenenie v stroitel'stve. - 2-e izd., ispr. i pererab. - L.: Strojizdat, Leningr. otd-nie, 1988. - 280 p. (rus)
25. Kitajgorodskij A. I. Poryadok i besporyadok v mire atomov. - M.: Nauka, 1984. - 162 p. (rus)
26. Shabaev S. N. Nekotorye voprosy resheniya zadachi o proektirovanii smesi optimal'nogo zernovogo sostava // Vestnik KuzGTU. - Kemerovo, 2005. - № 4. - S. 82-84. (rus)
Поступило в редакцию 24.04.2018 Received 24.04.2018
