CC BY
38
УДК 629.4.027
В. В. АРТЕМЧУК (ДПТ)
ТЕОРЕТИЧН1 АСПЕКТИ МОДЕЛЮВАННЯ ЗНОСУ БАГАТОШАРОВИХ ПОКРИТТ1В
В роботi розглянуто вплив фiзико-механiчних властивостей матерiалiв на знос контактуючих пар. В робот представленi результати теоретичного моделювання зносу, коли поверхневий шар складаеться з декшь-кох шарiв з рiзними характеристиками, як1 можливо отримати при ввдновленш деталей. На пiдставi теорети-чних моделей наведенi приклади зносу контактуючих двох тш, кожне з яких мае багатошарову будову по-криття.
Ключовi слова: шаруватi покриття, знос, моделювання, властивосл покриття
Вступ, постановка проблеми
Вивчення зносу пар, що труться, представ-ляе великий штерес, як з погляду практично! експлуатаци, так i в теоретичному плат. У робот! [1] представлений значний матер1ал, що стосуеться тертя i зносу р1зних матер1ал1в. У найзагальшшому вид1 единого закону зносу пар, що труться, не виявлено. Проте вказаш чинники, що найбшьше впливають на знос.
У локальному плат на знос впливають таю чинники:
1) вщносна швидюсть тш, що труться (и);
2) тиск в област контакту (р);
3) ф1зико-механ1чн1 властивост матер1ал1в;
4) м1крогеометр1я в област контакту тш, що труться;
5) наявшсть у зош контакту та умови зма-щування.
До ф1зико-механ1чних властивостей матер> ал1в поверхневого шару, що суттево впливають на зносостшюсть, необхщно вщнести таю пружш та пластичш властивосп, як (модуль пружносп, коефщент Пуассона, межа текучо-сп).
У робот [2] частково розглянут под1бн1 за-вдання з поверхневими шарами однорщними по глибит. Особливий 1нтерес представляе ситуа-щя, коли поверхневий шар складаеться з декшь-кох шар1в з р1зними характеристиками, як можливо отримати при вщновленш деталей. Дана робота е лопчним продовженням роботи [3].
Метою дано! роботи е розробка юльюсних метод1в розрахунку зносу тш, що труться, яю мають шарувату структуру ¡з заданими меха-шчними властивостями.
У цш робот найдетальшше розглянута си-туащя, коли пара, що треться, е шдшипником ковзання з тонкими пружними покриттями одного з контактуючих тш.
1. Рiвняння поверхш зносу
Припускаемо, що поверхня зносу досить гладка i диференщюеться по просторових координатах i чась
Нехай Е (х, у, г, I) = 0 представляе поверх-
ню зносу у момент часу I. У достатньо близь-кий момент часу t + Аt маемо
Е (х (Г + Аt), у (t + АГ), г (г + Аt), Г + Аt) = 0 .
Розкладаючи дану залежнють в ряд в околиц! t 1 враховуючи Е ( х ^ ), у (t), г ^ ), t ) = 0, отримуемо
дЕ дЕ
—(х( + Аt) - х()) +—(у ( + Аt) - у ()) +
дЕ дЕ
+— ( (t + Аt) - г (t)) +—А! + 0 ^) = 0 .
Подшивши на Аt i спрямовуючи Аt до нуля приходимо до наступного р1вняння, якому задовольняе поверхня зносу
дЕ дЕ дЕ дЕ
— +--Ух +--уу +--Уг = 0 .
дt дх ду дг
(1)
У цьому р1внянн1 вс частинш похiднi обчи-слеш для моменту часу t.
Ввiвши вектор швидкостi V = (Ух, уу, Уг), з
якою рухаеться точка на поверхнi зносу, рiв-нянню (1) можна надати вигляд
%+<у-УЕ>=0'
де УЕ - градент в точщ поверхнi (х(),у (), г (t));
(у, УЕ^ - скалярний добуток вщповщних ве-кторiв.
Оскiльки УЕ паралельний вектору норма-лi, то вважаючи, що довжина вектора градiента
© Артемчук В. В., 2011
Ф 0, отримуемо
д¥ — +
дг
ёБ - площа в околицi точки М, тодi об'ем зно-су за час Аг можна представити у виглядi
ум
= 0
(2) АУ = ум Аг ■ с1Б .
де - проекщя вектора швидкостi на нормаль поверхш зносу.
На рис. 1 представлено розташування по-вер-хш зносу у момент часу г i г + Аг. Якщо
F (X, у, z, г ) = 0
Звщки витшае, що е лiнiйним зносом i залежить вiд розташування точки М i власти-востей тша в цiй точцi.
F (х, у, z, г + Аг) = 0
Рис. 1 Поверхш зносу
О,
Рис. 2 01 1 02 два контактуючих тш
2. Рiвняння зносу пари тiл тертя
Нехай F1 (х, у, z, г) = 0 i F2 (х, у, z, г) = 0 по-
верхнi двох контактуючих тш (рис. 2).
Тодi область А безлiч точок, як задоволь-няють рiвнянню F1 = 0 i F2 = 0 буде областю контакту двох тш 01 i 02. Дана безлiч точок А очевидно задовольнятиме i наступнiй системi рiвнянь типу (2)
£ + = 0; I1 + ^2 = 0.
у2 е лiнiйними швидкостями зносу вiдповiдно тiл 01 i 02.
Очевидно, що у1 i у2 залежать не тiльки вщ точок М областi контакту А1, але i вiд вщнос-но! швидкостi руху тiл 01 i 02, а також вщ ти-ску Р в цих точках, тобто
VI = VI (и,р,М);
^ = v2 (u, P,М),
(4)
(3)
де М е А .
До системи диференцiальних рiвнянь (3) не-обхщно приеднати початковi умови
У цш системi диференцiальних рiвнянь v1 i
X, у, z,0 ) = ¡1 (х, у, z); f2 (х,y,z,0) = ¡2 (хy,z)
(5)
i врахувати навантаження Q (t) , що притискуе одне тшо до шшого.
Нехай вектор l одинично! довжини, що ви-значае напрям притискуючо! сили Q (t) , а N -вектор норм^ до поверхнi F1, тодi
y (t) = y (t)- h (t)
j p cos фdS = Q (t), (6)
A(t )
де cos ф=1, Nj, тобто ф - кут мiж векторами
1 i N.
A (t) - область контакту у момент часу t. Початкова область контакту A (0) визнача-еться з ршення системи рiвнянь
Jf (x y,z ) =0; [f2 (^y,z) =0.
(7)
Рiвняння поверхнi зносу тiла буде наступ-
ним
або
F = y (t )-У] ( t )+hi(t ) = о,
а для тша G2 маемо
F2 = y - hi (t) = 0.
y
Таким чином, в отриманих сшввщношеннях повинш задаватися навантаження Q (х) i швид-
кiсть вiдносного руху и (X) .
Надалi викладений пiдхiд розглядатимемо у раз^ коли тiла G1 i G2 мають багатошаровi по-криття, що шддаються зносу. Зауважимо, що зносостшюсть у даних покриттiв рiзна i спiльно з Q (х) i и (х) визначають ресурс (час) роботи деталей до граничного зносу.
3. Наведемо деян приклади
Розглянемо приклади зносу контактуючих двох тiл, кожне з яких мае багатошарове по-криття. Процес зносу дослщжуеться в плоскому варiантi i, як правило, при постшному наванта-женнi.
3.1. Знос двох плоских смуг
Нехай тшо G1 мае багатошарове покриття товщиною Н1, а тiло G2 - покриття товщиною Н2 (рис. 3). Рух тша G1 вiдносно G2 проходить уздовж осi г, перпендикулярно! площини представленого рисунка.
Позначимо через у1 сумарну товщину по-криттiв, тодi у будь-який момент часу умова контакту приймае вигляд
у (х ) = Н (X) + Н (X). (8)
Рис. 3 Контактна взаемод1я двох смуг шириною 2a
Очевидно, що з врахуванням (8) рiвняння поверхнi F1 тотожно ствпадае з рiвнянням F2. Тодi для поверхнi F2 отримуемо
dh2 dt
- V2 = 0,
оскшьки лiнiйна швидкiсть зносу другого тша протилежна градiенту VF2 =(0;l) .
Що стосуеться тiла G1, то його шар змен-шуватиметься вiдповiдно до рiвняння
dh1 dt
= -v,
а саме тшо G1, як едине цше занурюватиметься з швидкiстю
dyi / = -(v1 dt у 1
о.
Звщки отримуемо, що товщина двох шарiв визначатиметься швидкостями зносу кожного шару окремо.
У даному розглядi ютотним е те, що тшо G2 нерухоме i з ним пов'язана система координат, а тшо G1 шддаеться не тшьки зносу, але i пере-несенню, як единого цiлого. Цей момент повинен враховуватися в системi рiвнянь (3) i його можна визначити, як умова контакту. Оскшьки
в даному випадку площа контакту постшна, то 1з сшввщношення (6) отримуемо тиск
Р =
т
2а
1 тод1 лшшш швидкост зносу будуть наступ-ними
рп
рп
V, = а,
В,
v2 = а2
В2
де щ, т2 - показники нел1н1йност1 по вщно-шенню до тиску;
В,, В2 - опори зносу вщповщних шар1в, яю е функщями товщини шар1в;
а,, а2 - коефщ1енти, залежш вщ вщносно! швидкост { мшрогеометрп поверхш тертя.
Розглянемо детальшше знос поверхневого шару тша 02. Диференщальне р1вняння, що визначае змшу товщини к2 мае вигляд
Жк2 Ж
а 2 Р" В2
Величина опору зносу В2 залежить вщ ло-кальних властивостей покриття { обласп контакту, тобто В2 визначатиметься сшввщношен-ням
и
В2 = | Г2 (Х, У )Жх>
де г2 ( X У ) -
локальний
отр, а (х, у) -
поверхш контакту.
Оскшьки покриття тша G2 е шарами, то г2
в1д х не залежить, а залежить тшьки в1д у = / Тод1
2 •
в2 = Г2 (К )• 2a,
Тому диференщальне р1вняння для Н2 буде наступним
Жк2 = а 2Рт
Рис. 4. Яшсна залежнють зносу тришарового покриття G2
На рис. 4 час ^ - час зносу самого верхнього шару покриття, t2 - t1 - час зносу наступного шару покриття, ^ — t2 - час зносу останнього шару покриття при тришаровому покритп, а ^ - сумарний час зносу всього покриття.
Аналопчним чином, виршуючи задачу Ко-ш1 для багатошарового покриття тша G1, отримуемо залежшсть к, ^) I тод1 термш служби пари визначиться ¡з сшввщношення
Ш1П
1П {К, (t), К ()} = 0.
точка
При чисельному ршенш зручно привести початков1 диференщальш р1вняння до безроз-м1рного вигляду
Жк,
Ж т
Жк 2
■ = —Vi
' = —v 2
(к 2);
(9)
Ж т
за початкових умов
к (0) = к,0; к2 (0) = к
20'
(10)
Жt 2а • г2 (к2)
У раз1, коли навантаження постшне Q ^) = Q0, то для кожного шару покриття права
частина диференщального р1вняння буде постшна 1 тод1 ршення задач1 Кош1 для цього р> вняння за початково! умови к2 (0) = к20 пред-ставлятиме кусково-лшшну функщю (рис. 4).
де т = Vo • t; V, = V2 = V2; к, = к; , = 1,2. V Vo к0 У якост v0 можна узяти
а0 Рт
2а • г0 • к0
де а0 = шах {а,, а 2}; т = шах {т,, т2}; г0 - ба-зовий отр зносу, к0 = шах {к,0, к20}.
2
V =
Так, наприклад, якщо початкова товщина багатошарового покриття тiла G1 бiльша, шж
тiла G2, то К (0) буде рiвне 1, а И 2 буде рiвне
К
К
< 1.
] к К
G2
И
"20
У22 У 21 У20
Рис. 5. Тришарове покриття тша G2 Опiр зносу покриття тiла G2 можна пред-
ставити у виглядi
Г2 (и2 ) =
г23, якЩ° и2 ^ У22; г22, якЩо У21 ^ К < У22; Г21, якЩо У20 ^ К < У21.
Випишемо представлення функцш г1 (К) i г2 (И2) через функщю Хевiсайда Н (^). Розгля-немо тришарове покриття тша G2, рахуючи шари вщ тiла G2. Нехай [у20,у21 ] представляе покриття першого шару, [у21, у22 ] - другий шар, [у22,И20] - третiй шар (рис. 5).
Г1 (и1 ) = Г1пН (и1 - У1п-1 ) +
+Е 1 (Н ( - К )-Н (уь.-1 - К )),
1=1
де у1; - вiдлiчуються вiд тiла G1 (рис. 6).
G1
У10 У11
У12
И10
Рис. 6. Тришарове покриття тша G1
Чисельна iнтеграцiя системи (9) за початко-вих умов (10) реалiзовуватимемо в пакетi сим-вольних обчислень [4], використовуючи метод Рунге-Кутта четвертого порядку [5].
3.2. Знос двох плоских смуг з урахуванням взаемного впливу
У робот [1] приводиться огляд рiзних шд-ходiв побудови моделi зносу поверхонь, що труться. Так, наприклад, по Холу кшьюсть зношено! речовини, що доводиться на одиницю шляху ковзання дорiвнюе
Ж = г-
Це визначення через функцiю Хевiсайда може бути записане у виглядi
г2 (и2 ) = г23 • Н (и2 - У22 ) +
+г22 (Н (У22 - и2 ) - Н (У21 - и2 )) +
+г21 (( (У21 - и2 ) - Н (У20 - и2 )) .
Якщо е бшьш, нiж три шари покриття, тодi в загальному виглядi
г2 (и2 ) = г2п Н (и2 - У2п-1 ) +
п-1
+е Г2г (Н ( - и2 ) - Н (У21 -1 - и2 )) ,
1=1
де п - число шарiв покриття.
Аналогiчним чином записуеться опiр зносу багатошарового покриття тша G1 :
НВ
де г - вiрогiднiсть видалення атома з поверхш ковзання;
q - навантаження; НВ - твердiсть матерiалу. Д. Аргард формулюе бiльш детально дану залежшсть i пропонуе формулу
Ж = К
А.
3ст
де сг - межа текучостi;
К - змшюеться в межах вщ 10-2 до 10-7.
Проте, в цих формулах вiдображенi мехаш-чш властивостi тiльки одного контактуючого тша.
Пропонуеться швидкiсть зносу будь-якого тша визначати вщ властивостей контактуючих тш, тобто вважаемо, що швидкiсть зносу будь-якого тша зворотнопропорцшна опору зносу цього тша i прямопропорцшна опору зносу ш-шого тша.
При цьому припущенш система рiвнянь (9) буде наступною
ёк\
ё т
ёк 2
■ = -У1
- = -у 2
(к 1, к 2); (к 1, к 2)
(11)
(у - у ('))) -( + к ('))
ёк1
(« + к^)) = 0 (12)
ё т
за початкових умов (10).
3.3. Знос тдшипника ковзання
На рис. 7 представлений тдшипник ковзання, у якого вал 01 радiусом Я1 покритий бага-тошаровим покриттям товщиною к, а кшьце (втулка) G2 мае багатошарове покриття сумар-ною товщиною к2 i радiус втулки рiвний Я2.
Нехай вал G1 обертаеться навколо свое! осi з кутовою швидкiстю ю . Нехай у момент часу t вюь валу мае координати (01; у1) , тодi повер-хня покриття валу буде наступною
Ъ = х2 +(у - У1 )2-( + К)2 = 0.
У цьому сшввщношенш у1 i к е функцiями часу. Обчислимо частинш похiднi
§ = 2 ( - у (t))) - 2 (( + к (t )));
% = 2х; ВЛ = 2 ( - У1 )).
Модуль градiента УЪ буде рiвний
= 2^ х2 +(у - у1 )2 = 2 ( + к)
i тодi отримуемо наступне рiвняння змши по-верхнi Е1 i руху тша G1, як единого цшого
де Чм = Vш + V ш ,
- швидкiсть зменшення к ;
- швидкiсть руху тiла G1 з урахуванням зносу шаруватого покриття втулки.
Рис. 7 Шдшипник ковзання
Що стосуеться поверхш Ъ2 покриття втулки, то у будь-який момент часу вона е
Р2 = х2 + у2-(« -к2 (х,у,t))2 = 0.
Частиннi похiднi ще! поверхнi будуть на-ступними
£ = 2 («2 - к2 (х,У,t)))А ; ^ = 2X + 2(( - к (X,у,t)))М ;
дх дЕ,
дх
дк (х, у, t)
-у = 2у + 2(«2 - к2 (у, 0) д
Обчислимо модуль градiента УЪ2.
|УЪ2| = I х + («2 - к ^+ [у + («2 - к
= 2
дк2
дк2
дк2
+ 2х(«2 - к2 + (( - к2) ^т) + у2 + 2у («2 - к2 + (( - к )
'дк. Л2
ду
-2 + у2 + 2 («2 - к )
= 2(«2 - к ))1 +
+ дк2 Л -у—2 ду
2 ( дк
+ («2 - к2 )
к дх
2 (дк Л
2
ду
( дк2 дк2 Л (дк2 Л2 ( дк2 Л
«2 - I
»9 »о
х—- + у—-
дх ду
дх
ду
Тодi отримуемо рiвняння, якому задовольняе h2 (x, y, t)
dh2 (x,y, t)
dt
-v2 N1 1-
R2 - h2
■ dh2 dx
y
dh1 dt
= -v,
(14)
Ф = arctg
x дф y
y dx x2 + y2 що дозволяе спростити рiвняння (13), оскшьки
dh2 dh2 дф dh2 xy x — x * — * 2 2; dx дф dx дф x + y
дф
dy
2 , 2
x + y
xy
dh2 dh2 дф dh2 dy дф dy дф x2 + y2
dh2 dx
■2 fdh V ^ У '
dy
dh2 дф
дф
dx
2 ^ dy
^2 ■
dh2 ( y, ф,t)
dt
+v.
2 N
dh2 ( ф,t) дф
(R2 - h2 )
— 0 (16)
dhi dy
dh2 dx
dh2 dy
— 0. (13)
Враховуючи, що швидкiсть обертання валу G1 достатньо велика в порiвняннi з швидюстю зносу покриття тiла G1 вважаемо
i тодi рiвняння (12) набувае вигляд
(у-y (t))^"(R1 -h1 )• V'N — 0. (15)
Таким чином, рiвняння (13)-(15) складають систему для функцш y1 (t), h1 (t) i h2 (x, y, t) .
Введемо полярну систему координат, узявши за полярну вюь - вiсь y i кут ф, що в^^чуетъся вiд осi y проти годинниково! стрiлки, тодi
l^J (R2 - h2)
З урахуванням цих сшввщношень рiвняння (13) приймае вигляд
Нехтуючи деформацiею шарiв при наванта-женнi Q (t) отримаемо, що контакт мiж по-криттями тiл G1 i G2 буде в межах
фе[-фо (t), фо (t)], де [-фо (t), фо (t)] розчин
кута, що визначае площадку контакту. Причому це буде дуга кола з центром в точщ 01 i радiусу
R1 + h1 (t) (рис. 8).
Полярнi координати точок контакту задово-льняють наступному рiвнянню
y2 -2yy1 cosф + y2 — (R1 + h)2.
З цього рiвняння знаходимо y (ф) i тодi
h2 (У (ф) , Ф, t) — r2 + h2 (0)- У (ф),
а опiр зносу в точцi з координатами (y (ф), ф) складе
Г2 (ф) — Г2 (h2 (У (ф) Ф, t)) — Г2 (r2 + h2 (0) - У (ф)) .
Ошр зносу вше! площадки контакту буде
ф0 (t)
r2 (ф0 (t))— f Г2 (ф)dф .
-ф0 (t)
Вщм^имо, що при ф>ф0 (t) знос покриття вкладиша вщсутнш i рiвняння (16) необхiдно розглядати тшьки, коли |ф| < ф0 (t) , а враховуючи симетрда, можна обмежитися 0<ф<ф0 (t) . Крiм того, у будь-який момент часу повинне виконуватися сшввщношення
У1 (t) — R2 - R -(h1(t) + h2 (0, t)),
яке необхщно розглядати, як умова контакту двох тш G1 i G2 при ф — 0 . Якщо ф Ф 0, то мае мюце
(R2 -h2)cosф-
--\(R2 + К) - (r2 - h2 )2 sin2 ф — У1,
для фе[-ф0 (t), ф0 (t)], або
(r2 - h2 )2 - 2У1 (r2 - h2 )C0S ф+ У12 —
— (R1 + ^)2. (17)
Якщо позначити через P (ф, t) тиск в област контакту, то умова рiвноваги буде наступною
x
2
1
Фо(t) Фо(t)
J P(ф,t)cosФ^Ф = Q(t), J P(ф,t)sinФ^Ф = 0. (19) (18)
-Фо (t) -Фо (t)
де Q (t) - навантаження, що стискае контакту- . . ✓ ч
' J Дане сп1вв1дношення через парн1сть P (ф, t)
юч1 тша.
по ф виконуватиметься автоматично.
Таким чином, для рiзних умов контакту представлеш моделi зносу з врахуванням шару-ватостi вiдновлювального покриття одше! або обох контактуючих деталей. Розроблеш моделi в перспективi дозволять ращонально пiдбирати товщину та кiлькiсть шарiв при умовi вщповщ-них можливостей вщновлювальних технологiй.
Б1БЛЮГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Крагельский, Н. В. Трение и износ [Текст] / Н. В. Крагельский. - М.: Машиностроение, 1968. - 480 с.
2. Галахов, М. А. Дифференциальные и интегральные уравнения математической теории тре-
В. В. АРТЕМЧУК (ДПТ)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИЗНОСА СЛОИСТЫХ ПОКРЫТИЙ
В работе рассмотрено влияние физико-механических свойств материалов на износ контактирующих пар. В работе представлены результаты теоретического моделирования износа, когда поверхностный слой состоит из нескольких слоев с различными характеристиками, которые возможно получить при восстановлении деталей. На основании теоретических моделей приведены примеры износа контактирующих двух тел, каждое из которых имеет многослойное строение покрытия.
Ключевые слова: слоистые покрытия, износ, моделирование, свойства покрытия
ния [Текст] / М. А. Галахов, П. П. Усов. - М.: Наука, Главн. ред. физ.-мат. литер. 1990. - 280 с.
3. Артемчук, В. В. Моделювання зносу багатоша-рового покриття. М1жнародний науковий журнал «Проблеми трибологи» [Текст] / В. В. Артемчук. - № 2, 2011. - С. 59-65.
4. Прохоров, Г. В. Пакет символьних вычислений Maple V [Текст] / Г. В. Прохоров, М. А. Леденев, В. В. Колбеев. - М.: Компания «Петит», 1997. - 200 с.
5. Бахвалов Н. С. Численные методы (анал1з, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст] / Н. С. Бахвалов. - М.: Наука,1975.
Надшшла до редколегп 09.12.2011.
Прийнята до друку 12.12.2011.
V. V. ARTEMCHUK (DIIT)
TEORETICHESIKE ASPECTS OF MODELING WEAR LAYERED COATING
In this paper we examine the effect of physico-mechanical properties of materials on the wear of the contacting pairs. The results of theoretical modeling of wear and tear, when the surface layer is composed of several layers with different characteristics, which may get in the recovery of parts. Based on theoretical models are examples of wear and tear contact of two bodies, each of which has a multilayer structure of the coating.
Keywords: layered coatings, wear simulation, the properties of the coating
