Теоремы вложения классов функций с доминирующим смешанным модулем гладкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.518.2

ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ С ДОМИНИРУЮЩИМ СМЕШАННЫМ МОДУЛЕМ ГЛАДКОСТИ

Т. Ф. Исмагилов1

В работе вводится класс функций с доминирующим смешанным модулем гладкости и для него доказываются теоремы вложения.

Ключевые слова: доминирующий смешанный модуль гладкости, теоремы вложения, конструктивная характеристика.

A class of functions with dominanted mixed modulus of smoothness is introduced in the paper. Embedding theorems are proved for this class.

Key words: dominanted mixed modulus of smoothness, embedding theorems, structural characteristics.

Хорошо известны классы функций Никольского Hpj1"2 и SHp1"2 и теоремы вложения для них (см., например, [1-8]). В настоящей работе вводится класс функций 5Й(р,а1,а2,в1,в2)) являющийся обобщением этих классов, описывается его конструктивная характеристика и доказываются теоремы вложения.

Определения. Будем писать f £ Lp, если f (xi, Ж2) — измеримая на [0, 2п] функция двух переменных, 2п-периодическая по каждому из них и такая, что ||f||p ^ C < го, где р = {P1,P2}, 1 ^ Pi ^ го,

llf lip = ll{|lf IIpi}IIp2, l|F||p. = (/02n |F|pidxi)1/Pi в случае 1 < pi < го, ||F||p. = sup vrai |F| в случае Pi = го, i = 1,2.

Обозначим через wI:(f, ¿1)p = sup || ^I:=0 (—1)V1 C^1 f (x1 + v1h1, x2)|p модуль гладкости порядка k1

\hi\<^i 1

функции f (ж ь ж2) по переменной ж1; через wl2(f, ¿2)p = sup || ^^2=0 (—1)V2C^2f (x1,x2 + v2h2)||p модуль

2

гладкости порядка, k2 функц и и f (ж1,ж2) то перемен ной ж2, через

Wfc1fc2 (fA,fo)p = sup

Ei:=O (-i)v1 cv1 E ::=o (-i)v2 cs f (ж1+^^+^

смешанный модуль гладкости порядка по переменной ж1 и к2 то переменной ж2 функции /(ж1,ж2).

Пусть Т[.(ж1,ж2) — функция двух переменных, являющаяся тригонометрическим полиномом порядка 1г = 0,1, 2,... по переменной Жi, г = 1, 2, и такая, что Т. £ Ьр.

Наилучшим, приближением одномерным углом по переменной ж^ г = 1, 2, функции /(ж1,ж2) в метрике £р назовем величину У^(/)р = И ||/(ж1,ж2) — Т.(ж1,ж2)^р.

Тц

Наилучшим, приближением двумерным углом функции /(ж1,ж2) в метрике Ьр назовем величину у1«2 (/)р = 1п| ||/(ж1, ж2) — Т11 (ж1, ж2) — Т12 (ж1,ж2)|р.

Определим класс функций Я"1"2 Никольского. Будем писать / £ и р = {рьр2|, 1 ^р-1 ^го,

а > 0 к £ N г = 1, 2, и выполнены следующие условия: 1)/ £ ¿р;

2) (/,Й1)р < ш^1, УЙ1 £ (0,1], к1 >аи

3) ^СШр < ^¿О^ £ (0,1],к2 >«2,

где постоянные Ш1 и Ш2 не зависят от ¿1 и ¿2-

Определим класс функций бЯ^1"2 Никольского. Будем писать / £ бЯ^1"2, если р = {р1,р2}, 1 ^ Pi ^ ГО а > 0 к £ N г = 1, 2, и выполнены следующие условия: 1)/ £ ¿р;

Исмагилов Тимур Фаритович — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tismagilovQmail.ru.

p

2) шк1 (/A)p < m^"1, V5i G (0,1], ki > ai;

3) Wk2(/A)p < m2¿a^ V5i G (0,1],k2 >a2;

4) Wkik2(/ЛА)p < ms^a1 ¿Г, V^ G (0,1],k» > aj,i = 1,2, где постоянные mi, m2 и тз не зависят от ¿in ¿2.

Определим класс функций SH(p,ai,a2,ei,e2^- Будем писать / G SH(p,ai,a2,ei,в2) если p =

{Pi,P2>,

1 ^ Pi ^ оо, «г > 0, /3j > 0, kj G N, г = 1, 2, — + — ^ 1 и выполнены условия:

1)/ G Lp ai "2

2) Wki(/A)p < m^1, V5i G (0,1],ki > ai;

3) Wk2(/A)p < m2¿a^ Vài G (0,1],k2 >a2;

4) Wk3k4(/, ¿i,¿2)p < msif ¿в2, G (0,1],i = 1,2 кз > вь k4 > где постоянные mi, m2 и тз не зависят от ¿i и ¿2-

Класс SH(p,ai,a2,ei,e2) является обобщением классов H"1"2 и SH"1"2. Покажем это. Если ei и в2 таковы, что ei = ai,e2 = a2, то непосредственно из определений вытекает, что классы SH(p,ai,a2,ei,e2) и SH"1"2 совпадают.

Если / G SW(p,ai, a2, ei, в2) т0 очевидно, что / G H"1"2.

Если / G Hpia2 и для /3i и /32 выполняется равенство ^ + ^ = 1, то из свойств модулей гладкости и определения класса H"1"2 для любой функции / G H"1"2 получим

шк1к2и',01,02)р = ш^к2и,01,02)р-ш^к2и,01,02)р < miu)^{f,5l)p-u)^{f,52)p < m5ô^ô^2, (1)

где постоянная ms не зависит от ¿i и ¿2, т.е. получим / G SW(p,ai,a2,ei,e2)- Следовательно, классы Hpia2 и SH(p, ai, а2, Д, /32) совпадают, если /5i и /32 таковы, что + ff = 1-

Покажем, что если для ai,a2,/3i,/32 выполнено неравенство — + — < 1, то в определении класса SW(p,ai,a2,ei,e2) условие 4 вытекает из условий 2 и 3.

Действительно, если для ai, a2, /3i, /32 выполнено неравенство ^ + ^ < 1, то существуют такие

в* в*

> /3i и /3| > /32, что — + — = 1. Если функция / G SH(p, ai, a2, /3i, /32), то из условий 2 и 3 определения этого класса следует (см. (1)), что

Wk1k2 (/, ¿i, ¿2)p < m6¿f 1 ¿f2. (2)

* *

Так как ¿i 1 ¿22 ^ ¿i1 ¿22 для любых ¿j G (0,1], i = 1, 2, то го неравенства (2) получаем, что wk1k2(/, ¿^¿2)p ^ m6¿в1 ¿f2 -ЭТО

означает, что условие 4 вытекает из условий 2 и 3. Поэтому класс функций SH(p, ai, а2,във2) и рассматривается при условии ^ + ^ 1.

Будем писать ^ G LPi, если ^(xj) — измеримая, 2-^-периодическая функция одного переменного Xj,

/ 2п \ i/Pi

такая, что ||^j||Pi ^ C < оо, 1 ^ pj ^ сю, где ||Pi = i/Qn |^j|PidxH в случае 1 ^ pj < оо и ll^jiipi = sup vrai |^j(xj)| в случае p = œ.

Через E\i (^>j)Pi обозначим наилучшее приближениe функции G LPi в метрике LPi при помощи тригонометрических полиномов (xj) порядка не выше lj, т.е. E (<^j)p = inf ||^>j — Q^. ||p..

Вспомогательные утверждения. Для доказательства основного результата нам понадобятся следующие леммы.

Лемма 1. -Белы / G Lp; p = {pi,p2} 1 ^ pj ^ о k G N lj = 0,1, 2,... i = 1, 2; шо справедливы, неравенства

CiYhiJf)n < wfclfc2 f/, , <-^-г- V Y>i + l)fcl_1(i/2 + ^^"^^^(Лп,

Сз11г(/)р < ^ (/, < —^ E + 1)4(/)P>

V lj + v p (lj + 1) vi=0 g(9e положительные постоянные Ci,C2,C3 u C4 те зависят, от, J^h и l2.

Лемма 1 является частным случаем теоремы 1 работы [7].

Лемма 2. Пусть / £ Ьр; / (ж1,ж2) ^ж1 = 0 для почти всех ж2; /02п / (ж1,ж2) ^ж2 = 0 для почти всех жь р = {Р1,Р2} q = {91,92} 1 ^ р < ^ ^ ГО N = 0,1, 2,... , ^ = ^ при ^ < го и = 1 при ^ = го, г = 1, 2. Тогда если

<Х , _ N / <Х

\ 1Г

£ , £ % < оо,

V2=0 V:=0 /

mof £ Lq м

< £ (£ 2^--«Н'А.^Шр

^2=0 =

22.

^2 = ^2 \^1=0 /

г<9е постоянные С5,Сб м 67 не зависят, от, /, N1 и N2.

Лемма 2 является следствием теоремы 1 работы [8].

Лемма 3. Пусть ^ £ ЬР4, ^(жi)dжi = 0, 1 ^ р < ^ ^ го, Ni = 0,1, 2,..., 6i = ^ в случае ^ < го и, вг = 1 в случае qi = го, тогда если ^^ щ-Е^;_ 1 < ГО то Уг £ 11

те

Vi=Ni

где постоянная C8 не зависит от Vi и Ni.

Лемма 3 является следствием теорем С и 4 работы [9].

Лемма 4. Пусть f £ Lp; р = {p1,p2}, 1 ^ pi ^ го, i = 1, 2, тогда эт,у функцию можно представть в виде

f (ж1,ж2) = fo(Жl,Ж2) + ^1(ж1) + ^2(ж2) + A,

гйе А = ^ Jo* Jo* f(xl,x2)dxldx2, <fii(xi) = ^ ¡^ f(xi,x2)dx2 - A, ip2(x2) = ± ¡^ f(xi,x2)dx 1 - А, f0(ж1,ж2) = f(ж1,ж2) — V1 (ж1) — V1 (ж2) — A. Дрм этом постоянная A такова, что |A| ^ Cg||f ||p, функции Vi £ LPi, /0П Vi^i)^ = 0, ||VilL ^ C1o|f ||p, i = 1, 2, функция fo £ Lp, /0П Л(ж1,ж2)йж2 = 0 для, почти

всех ж1, J02n ^(ж1,ж2)^ж1 = 0 для почти всех ж2, ||fo||p ^ C11 ||f ||p, г<9е постоянные C9, C10 и C11 не f

Yii2 (fo)p = Yl:i2 (f )p,Ei (Vi)pi < C12Y i (f )p,Yi (f )p < C13(Yi (fo)p + Eli (Vi)pi),

где постоянные C12 и C13 не зависят, от, f,h и l2.

Лемма 4 является следствием теоремы 3 из работы [3]. Конструктивная характеристика класса 5Н(р,а1,а2,в1,в2)-

Теорема 1. Чтобы функция f £ 5Н(р,а1,а2,в1,в2), Р = {p1,p2}, 1 ^ Pi ^ го, li = 0,1,2,..., ai > 0, ei > 0, i = 1, 2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства:

*,г = 1,2; 1у2(/) <с2- 1 1

(li + 1)"^ ' ' 111 ^ ^ - (¿1 + 1)в1 (¿2 + 1)^

г<9е постоянные c1 м c2 не зависят, от, f,h и l2.

Доказательство. Необходимость. Пусть / е £Н(р,а1,а2,във2}) тогда, подставляя в оценки из леммы 1 оценки для модулей гладкости из определения класса 5,Н(р,а1,а2,въ/®2) имеем

з„ г = 1,2; Г1112а)<с4- 1 1

'(1* + 1Г ™ + 1)в1 (12 + 1}А"

Тем самым необходимость доказана.

Достаточность. Доказательство проведем для У"^ (/}р (для У52(/}р и У"^ (/}р доказательства аналогичные). Применяя лемму 1 и учитывая, что Уу1(/)р ^ с5^^¡"¡уч" и > «ъ получим

1 \ 1 X-^ , - N — 1 , 1

UkJfiT-^—) -У (гл + Í)^-«!"1^

С7-

чах

Теорема 1 доказана.

Теоремы вложения для класса SH^a^a^^A}-

Теорема 2. Пусть f е SH (p, а1,а2, в1,в2}, Р = {p1,p2}, q = Í9b 92}, 1 ^ Р < 9г ^ i = 1, 2,

1 1 1 1 „ ( 1(1 1\ «1 - ( 1 1 V

---< A < ai,---< & < «2, = 1 - —---+ o--->0,

Р1 91 Р2 92 V«1 \Р1 91/ «1P2 VP2 92//

V«2 VP2 92/ «2P1 VР1 91//

aí = ai$i, a*2 = a2$2, /?í = A - ( ----- ) , /?2 = h ~ {— ~ —

VP1 91/ VP2 92

тогда f е SH(q,a*^^вьвЮ-

Доказательство. Пусть f е SH(p,a1,a2,e1, в2}- Тогда, в части ости, f е Lp, поэтому, применяя лемму 4, получим

f (Ж1,Ж2) = fo(X1,X2} + ^1(^1} + ^2(^2} + A. (3}

Покажем, что в условиях леммы 4 будем иметь fo е Lq, е Lqi и ^>2 е Lq2- Рассмотрим

оо / оо \ -

V2=0 \V1=0 /

Применяя лемму 4, а затем теорему 1, приходим к оценке

/ \ ^ i i W/^ „./1 iV ^ Vi

V2=0 \V1=0

^2=0 \^1=0 /

/ \ ^

= С1 Е ( Е 2-гУ1(/31"5Т+«)01 ) 01.

^2=0 \^1=0 )

Так как ^ > — то 3\ < оо. На основании леммы 2 заключаем, что /о €

оо ¿^(^___в

Теперь рассмотрим «/2 = ^ 2 1 — 1 1 • Применяя лемму 4, а затем теорему 1, имеем

VI=0

72 < с2 Е ^сзЕ

v1=0 v1=0

Поскольку а\ > ^ — то < оо. С помощью леммы 3 получим (р\ £ ЬЯ1. Аналогично доказывается, что ^2 £ Ь92.

Теперь оценим 3 = ||/||ч. Используя равенство (3), приходим к оценке

3 < ||/о||ч + (2п)1/у2Н^ + (2п)1/у11|^2||92 + (2п)1/91+1/92|А|.

Так как /0 £ Ьч, £ ЬУ1, £ ЬУ2, то получаем, что 3 < го, т.е.

/ £ Ьч. (4)

Теперь оценим У2^1 -1>2^2-1 (/)ч, У2^1 -1 (/)ч и У2^2-1 (/)ч. Воспользовавшись леммами 2, 4 и теоремой 1, находим

|2

Е 2гУ2(---)'2( £ 2^(и~и)01 _ -1 (/о)р

^2=^2 \^1 = М1

сз £ £ ] <

(5)

»2 »1

Поскольку /Зг > ^ — "7, г = 1, 2, то

Применяя леммы 2 и 4, для любых К = 0,1, 2,... и N1 = 0,1, 2,... будем иметь

(/о)? < ее Е ( Е г^й-й^^^Шр

^2=0 =

/ \ ^

^2=0 )

Непосредственно из определений двумерного и одномерного приближений углом следует неравенство У1г2(/)р ^ У1 (/)р- Тогда, заменяя в первом слагаемом двумерное приближение углом большим (одномерным приближением) и используя для обоих слагаемых конструктивную характеристику класса 5Я(р,а1,а2,в1,в2) получим

к

' ^ 7 2"

^2=0 \^1=М1

^2

ОО / / „ „ N N \ в1

+С8 £ £

2

^2 = К +1

Так как а\ > ф — ф, > ф — ф, ф — ф > 0, г = 1,2, то из этого неравенства следует, что 1>!-1 (/о)'2 <

Подставляя вместо К число имеем

А

N1

и учитывая, что СК1 ^ /3\ и ^ N1 — 1 ^

-1(/э}ч < сю2"

Применяя леммы 3, 4 и теорему 1, получаем

в2

в2

P2 92//

А

N1

(6}

2N1 — 1

^ / 1 1 \

V1=N1

<c12 £ 2^(ÍT-Í)F2%_i(/)p^C13 £

V1=N1

V1=N1

Так как ai > ^ — то

Теперь рассмотрим У^ -1(/}ч- Используя лемму 4 и оценки (6), (7), заключаем, что

У2*1 -1(/}ч < С14(У2^1 -1(/0}ч + Е2^1 -1(^1}91} <

^ С15

2 H 1 VP1 91 / в2 V P2 92 // +2 V 1 P1 91

(7}

откуда следует, что

Y>1 — 1(f}q < C162

111 1 P1 91 / P2 \P2

-i)).

Аналогично рассуждая, приходим к оценке

(8}

(9}

Из соотношений (4), (5), (8) и (9), применяя теорему 1, получаем справедливость утверждения теоремы 2.

Замечание. Теорема 2 содержит в себе теоремы вложения классов Никольского Н^1"2 и бН^1"2 при условии совпадения классов 5Н(р,а1,а2,в1 ,в2} и , а2,,01,в2} соответственно с классами Н^1"2

а*а* а*а*

и Hq 1 2 ми SH^"2 и SHq 1 2.

Теорема 3. Пусть / е £Я (р,а1,а2,въ А}, Р = {Р1,Р2}, q = {91,92} 1 ^ Рг < 9г ^ те, г = 1, 2,

1 1 / ^ « 1 1 / ^ « * П 1 ^ * ( 1 1

---< ai ^ pi,---< а2 ^ /з2, а, = ai ----, а2 = а2 ----

Р1 91 Р2 92 \Р1 91 / \Р2 92

в* = в1 -

1

Р1

I),д = А. 1-1

91 / \Р2 92

Тогда f е SH (g, а**, а**,в]Т,в*>}•

Теорема 4. Пусть f е SH (р,аьа2,въ в2}, Р = {Р1,Р2}, q = {91,92} 1 ^ Рг < 9г ^ те,

1 1 1 1 „ „ ( 1/1 1 А а1 - в\ ( 1 1 '

---< А < аь---< а2 < /32, 01 = 1 - —---+ J1---

Р1 91 Р2 92 \а1 \Р1 91/ а1в2 \Р2 92

i = 1,2,

> 0,

1

Р2

а[ = ai&i, а2 = а2 - ( ----- ) , (3{ = - ( -----

1

92

1

Р1

1 91

в* = в2 -

1

Р2

Тогда f е SH^,а*,а2,в**,в**}-

а:

Теорема 5. Пусть / £ £Я (р,аьа:2,въ в2), Р = {Р1,Р2}, q = {91,92} 1 ^ Рг < 9г ^ го г = 1, 2, 1 1 „1 1 „ ( 1/1 1 \ а2 - в2 / 1 1 \ \

---< «1 < р1}---< /32 < «2, = 1 - —---+ --->0,

Р1 91 Р2 92 \«2 \Р2 92/ «2Р1 VР1 91//

а* =«!-(-- -V = а202, Р* =рг-(---), /3*2 = Р2- (---).

\Р1 91/ \Р1 91/ \Р2 92/

Тогда / £ £Я(^а|,а2А*,в|)-

Доказательства теорем 3-5 аналогичны доказательству теоремы 2 и поэтому не приводятся. Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 13-01-000043) и программы "Ведущие научные школы РФ" (проект 11111 ОТО 2012 1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Никольский С.М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гель-дера // Сиб. матем. журн. 1963. 4, № 6. 1342-1364.

2. Бахвалов Н. С. Теоремы вложения для классов функций с несколькими ограниченными производными // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1963. № 3. 7-16.

3. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Классификация дифференцируемых функций на основе пространств с доминирующей смешанной производной // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1965. 77. 143-167.

4. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд. М.: Наука, 1977.

5. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

6. Кудрявцев Н.Л. О приближении функции целыми функциями экспоненциального типа и теоремах вложения в смешанной норме // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1984. 170. 191-202.

7. Потапов М.К. Приближение "углом" и теоремы вложения // Math. balk. 1972. 2. 183-198.

8. Потапов M.K. Теоремы вложения в смешанной метрике // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1980. 156. 143-156.

9. Ульянов П.Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Матем. сб. 1970. 81(123). 104-131.

Поступила в редакцию 28.05.2012

УДК 517

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТОПОЛОГИИ ОТНОСИТЕЛЬНО РАВНОМЕРНОЙ И ПОРЯДКОВОЙ СХОДИМОСТИ ИНДУКТИВНЫМ ПРЕДЕЛОМ

В.М. Федоров1

В статье с использованием понятия топологического аффинного пространства доказывается, что топологическое полуупорядоченное линейное пространство, ассоциированное с относительно равномерной и порядковой сходимостью, можно представить индуктивным пределом его подпространств.

Ключевые слова: относительно равномерная и порядковая сходимость.

Using the concept of a topological affine space, it is proved that a partially ordered topological linear space associated with relatively uniform and order convergence can be represented by an inductive limit of its subspaces.

Key words: relatively uniform and order convergence.

Введение. В полуупорядоченном линейном пространстве E можно ввести много различных топологий, которые представляют интерес в том смысле, что задаются при помощи отношения полупорядка.

1 Федоров Владимир Михайлович — канд. фнз.-мат. наук, доцент каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vferdorovQrambler.ru.