Теоремы устойчивости нелинейных автономных динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Булыгин, В.С. Определение отношения коэффициентов теплопроводности и электропроводности методом Кольрауша / В. С. Булыгин // Физическое образование в Вузах. - 2004. - Т 10, № 4 -С. 75-80.

6. Снарский, А.А. О законе Видемана-Франца в термоэлектрических композитах / А. А. Снарский, М. И. Женировский, И. В. Безсуднов // Термоэлектричество. - 2006. - № 3 - С. 59-65.

7. Моисеев, И.О. Использование двухпараметрического кинетического уравнения для вычисления электромагнитного поглощения мелкой металлической частицей / И. О. Моисеев, А.А. Юшканов, Ю. И. Яламов // Оптика и спектроскопия. - 2006. - № 5 - С. 857-861.

8. Gross violation of the Wiedemann-Franz law in a quasi-one-dimensional conductor / N. Wakeham, A. F. Bangura, X. Xu, J-F. Mercure, M. Greenblatt, N. E.

ДфЭст

Hussey // Nature Communications. - DOI: 10.1038/ ncomms1406. - Published 19 Jul 2011.

9. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, И. М. Лифшиц. - М.: Наука, 1982.

- 620 с.

10. Харрисон, У Теория твердого тела / У Харрисон.

- М.: Мир, 1972. - 616 с.

11. Займан, Дж. Электроны и фононы / Дж. Займан.

- М.: ИЛ, 1962. - 488 с.

12. Лифшиц, И. М. Электронная теория металлов / И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов. - М.: Наука, 1971. - 416 с.

13. The low-temperature electrical resistivity of potassium size effects and the role of normal electron-electron scattering / S. de Gennaro, A. Rettori // J. Phys. F: Met. Phys. - 1984. -Vol.14. - P. 237-242.

14. Коган, М. Н. Динамика разреженного газа / М. Н. Коган. - М.: Наука, 1967. - 440 с.

ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

А.Н. КАТУЛЕВ, проф. каф. математического моделирования ТвГУ, д-р техн. наук, А.Ю.КУЗНЕЦОВ, асп. каф. математического моделирования ТвГУ

[email protected]

Результаты основополагающих работ [1-4] по исследованию сложных динамических систем, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений, получены на основе введения и анализа функций Ляпунова - качественными методами. Однако общего алгоритма ее построения нет [5, гл.11, §2], эвристические приемы реализуются в частных случаях. Исследование устойчивости посредством построения фазовых портретов на практике возможно, как правило, лишь для систем второго порядка. Поэтому существует актуальная необходимость исследования устойчивости нелинейных динамических систем без применения функции Ляпунова. Однако такая проблема может быть решена не для всего класса нелинейных динамических систем. В [6, гл.2, §8] функция Ляпунова в явном виде не используется, но правая часть исследуемой системы представляется в виде самосопряженной матрицы. Такое допущение, очевидно, справедливо в частном случае.

Цель статьи - изложить теоремы о необходимых и достаточных условиях устой-

чивости решения нелинейных автономных систем без применения функции Ляпунова и установить их достоверность.

Теоремы, устанавливающие необходимые и достаточные условия устойчивости нелинейных автономных динамических систем

Теорема 1

Необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости нелинейной динамической системы, описываемой автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка

x (t) = Xi (xi(t ),x2 (t )’...,xn (t

i = 1,..., n, -ro < x. < ro, (1)

где функции X.(x1,x2,...,xn) обладают достаточной гладкостью, являются условия положительности действительных частей собственных значений линейной сопряженной системы

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012

59

фйстД

Р(t) = -д('ЕXJ(х1 ,x2.....xn)jt , i = 1,..., n (2)

j=1

относительно исходной и входящей в состав канонической системы автономных гамильтоновых уравнений.

Доказательство

Существование сопряженной системы непосредственно исходит из канонической гамильтоновой системы [7, nn.IV, п.4.4]

Рг(t) = -d(Z Xjx x2-., xn)и , г = P- n

j=1 г

где p.(t) - сопряженные фазовые координаты.

Это линейная автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений, кручение ее решения противоположно по знаку кручению решения основной системы. Действительно, воспользовавшись формулой Серре-Френе [8, гл.3, §50], для системы (2) имеем выражение кручения

x

V Х1

(n)

K =

I ~ /-2, , -2\3/2

(Х1 +... + Хп)

а для сопряженной - с противоположным знаком

K

2

V p1

(n)

pn(n)

n

Г

V

(Р21 + ... + p n2 )3/2

в силу того, что структура формулы Сере-Френе одна и та же для систем (2) и (1), и она непосредственно основана на применении одного и того же линейного оператора дифференцирования [9, гл.4, §5] к правым частям систем. Противоположность знаков кручений означает, что движения по фазовым траекториям происходят в противоположных направлениях, а значит для устойчивости решения основной системы необходимо и достаточно неустойчивости решения сопряженной системы.

В связи с линейностью сопряженной системы (2) составим для нее характеристическое уравнение

(-A)n + S1 (-A)n-1 + S2 (-X)n-2 + •••

+Sn-1 (-A) + Sn = 0,

где Sp, p = 1, 2,..., n, сумма главных миноров p - го порядка функциональной матрицы - матрицы правой части системы (2) с непрерывными частными производными во всем пространстве -ю<х<ю, обращающимися в нуль в точке

х, = х=... = х = 0.

12 n

При этом необходимые и достаточные условия устойчивости решения исходной нелинейной автономной системы формируются по критерию Рауса-Гурвица или Льенара-Ши-пара непосредственно по определителям сопряженной системы и записываются в виде

До = (-1)n-1 < 0,. .., Дn =

= ' (-1)n-1 s1 ... 0 ( < 0. (3)

V0 ... Sn V

Доказательство завершено. Подтвердим утверждение теоремы 1. Для этого покажем, что полученные условия (3) однозначно выводят на условия теоремы 1 [1, с.611] об асимптотической устойчивости решения системы (1), записанной в [1] выражением (38) [1, с.611]

Х (t) = X (х),

где х = (х1,...,хп) - вектор фазовых координат;

X (х) = (X1 (х),..., Xn (х)) - нелинейная

вектор функция.

С этой целью построим функциональную матрицу сопряженной, относительно (1), системы (2)

(-3X / ах, )=с; (4)

и ее транспонированную

(-X / дх )й,:Пп .

60

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012

Затем построим матрицу -0,5(ЙХ, / dxk + dXk / dxt \к=^п (5)

и учтем матрицу (39) из [1, c.611]

0,5(дХг / дхк + дхк / дхг \к=1.- •

Непосредственно видно, что собственные значения этих матриц равны по модулю и противоположны по знаку и что собственные значения матрицы (5) вычисляются как решение уравнения

(дХг / дХк )

г=1,..

к ) к=1,.

П П+ (дХг / дХк &.,; л = -2^л;

последнее эквивалентно двум уравнениям

(-дХг / дХк fc: Л = ^Л

и(-дХг / дХк )ТiV л = ^л

Дф^ст

жащая вычислению неизвестная функция, f(u(x,t))- заданная нелинейная функция, являются необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости решения нелинейного дифференциального уравнения с обыкновенными производными

U (m°)(p, t) + (p )miU (^ t) +...

+(ipn )mnU(p, t) + F(U(p, t)) = 0, (7)

где w = (w ..., wn) - вектор фазовых координат в частотной области, F(U(w,t)) - образ Лапласа функции f(u(x,t)), U(w,t) - образ Лапласа функции u(x,t).

Доказательство

Выполнив преобразование Лапласа уравнения (6)

в силу того, что матрицы

(-SX, / дХk) и (-ЙХ, / дХk )=£„

имеют одни и те же собственные значения. Отсюда следует, что знаки собственных значений матрицы (5) и матрицы (4) одни и те же, а значит - для асимптотической устойчивости решения системы (38) из [1] необходимо, чтобы вещественные части собственных значений матрицы (4) были положительны при -ra<x<ro, г = 1,..., п, а для матрицы (39) из [1, c.611] они отрицательны при -ra<x<ro. Однозначность соответствия результатов теоремы 1 авторов и теоремы 1 из [3, с. 611] установлена.

( (

д m° u(x,t)

(m0 )

+

дГ

д miu(x,t)

+~1~г+•

xiPl dx, •••

xe

п Pndx = 0^

дг1

д mnu(x,t)

+------Л+

sx:n>

+,f(u(x,t))

получим автономное нелинейное дифференциальное уравнение с обыкновенными производными (7)

U '”0)(p, t) + (Pi)"'U (p, t) +...

Теорема 2

Необходимыми и достаточными условиями устойчивости нелинейной системы с распределенными параметрами, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением с частными производными

дmo u( x, t) + д miu( x, t) +

&(ио) ax{mi)

+ д^^+f (u( x,t)) = 0, (6)

aO-)

где t- временная координата, x = (x ..., xJsD-- вектор фазовых координат, u(x,t)- подле-

+(p- )m-U (p, t) + F (U (p, t)) = 0,

m0 - го порядка и приведем его к системе уравнений

U = Ui,...,

U -1 =-(Pi )mi U -.... - (p- )m- U - F (U)

m0 i

Теперь применим теорему 1 к этой системе, то есть построим для нее сопряженную систему

5=к p)mi +...+(P- г+aFauu) К-i

• ••, 5

m0

-2

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012

6i

и сформируем по теореме 1 необходимые и достаточные условия устойчивости исследуемой нелинейной системы.

В силу того, что преобразование Лапласа линейно и взаимно однозначно отображает пространство L2(-ro, го) на себя, а также того, что в соответствии с теоремой Планшереля [9, гл.8, п.5] норма ||u(t,x)||2 функции- оригинала в пространстве фазовых координат уравнения (7) равна норме ||U(p,t)||2 изображения в пространстве координат p1,...,pn, необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости решения u(x,t) исходного дифференциального уравнения (6) представляются необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости решения U(p,t) обыкновенного дифференциального уравнения (7).

Доказательство завершено.

Теорема 3

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости динамической системы, описываемой нелинейным векторным интегральным уравнением Вольтер-ра 2 рода

t

x(t) = | X(x(x))dт, a < x < b, (8)

0

формируются как необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости решения векторного нелинейного дифференциального уравнения с обыкновенными производными

x = X (x(t )), (9)

полученного из (8).

Доказательство

Дифференцируя по верхнему пределу, в общем случае последовательно, заданное интегральное уравнение (8), получаем нелинейное однородное дифференциальное уравнение (9).

Так как оператор дифференцирования является линейным оператором [9,

гл.4, п.5], то решение обыкновенного дифференциального уравнения однозначно является решением исходного нелинейного уравнения Вольтерра 2 рода с точностью до константы, а значит - оно асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда асимптотически устойчиво решение уравнения

(9).

Необходимые и достаточные условия устойчивости последнего устанавливаются по теореме 1.

Доказательство завершено.

Выводы

Доказаны теоремы по обоснованию необходимых и достаточных условий асимптотической устойчивости нелинейных динамических систем, описываемых нелинейными системами автономных обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и интегральных нелинейных уравнений Вольтера 2 рода. В теоремах не используются функции Ляпунова.

Библиографический список

1. Еругин, Н.П. Качественные методы в теории устойчивости / Н.П. Еругин // ПММ. - Т. XIX. -С. 599-615, 1955.

2. Красовский, Н.Н. Об одной задаче устойчивости движения в целом / Н.Н. Красовский //ДАН СССР, 1953. - Т. 88. - Вып. 3.

3. Первозванский, А.А. Квазилогические системы и их устойчивость / А.А. Первозванский //АиТ. - Вып. 5. -1999. - С. 135-144.

4. Барбашин, Е.А. Введение в теорию устойчивости / Е.А. Барбашин. - М.: Наука, 1967.

5. Матросов, В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем / В.М. Матросов. - М.: Наука, 2001.

6. Бойков, И.В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений / И.В.Бойков. - Пенза: Издательство Пензенского института, 2008.

7. Гантмахер, Ф.Р. Лекции по аналитической механике / Ф.Р.Гантмахер. - М.: Физматлит, 2001.

8. Сокольников, И.С. Тензорный анализ / И.С. Сокольников. - М.: Наука, 1971.

9. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа. 4-е изд. / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Наука, 1976.

62

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012