Теоремы обращения и единственности для интегральных операторов типа Радона Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.444:330.44

А. Д. Агальцов

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Московский физико-технический институт (государственный университет)

Теоремы обращения и единственности для интегральных операторов типа Радона

В работе изучаются интегральные операторы типа Радона и обобщённое преобразование Радона по гиперповерхностям уровня положительно однородных функций. Такие операторы возникают в модели чистой отрасли производства, учитывающей замещение производственных факторов. Для этих операторов получены формулы обращения и теоремы единственности. Указан пример неединственности.

Ключевые слова: интегральный оператор типа Радона, обобщённое преобразование Радона, функция прибыли, формула обращения, теорема единственности, пример неединственности.

1. Введение

Традиционно отечественные методики анализа производства основываются на развитой в условиях плановой экономики технологии анализа межотраслевого баланса. В современных условиях предположение о стабильности затрат в разрезе импортная-отечественная продукция по отношению к выпуску, вообще говоря, не выполняется. Поэтому при описании агентов необходимо моделировать их поведение, описывать процесс выбора агентом между отечественными и импортными ресурсами в ходе производства. Для этого можно использовать модифицированную модель Хаутеккера-Иохансена, предложенную А. Шананиным в работе [1].

В обобщённой модели Хаутеккера-Иохансена функционирование чистой отрасли описывается в терминах функции прибыли Пд(р,ро), сопоставляющей ценам на производственные факторы р = (р\,..., pn) £ int R++ и цене ро > 0 за единицу выпускаемой продукции суммарную прибыль отрасли за один производственный цикл, где R+ = {(х1,..., xn) £ Rn ■ Xi,... ,xn ^ 0}. Функция прибыли имеет вид

П(р,ро) = (nqß)(p,po) = J(po - q(p о х))+ ß(dx), а+ = max(a, 0), (1)

R+

где р о х = (р1 х1,... ,pnxn), Р = (р1,... ,Рп), х = (х1,... ,xn), q(p о х) — функция себестоимости единицы выпускаемой продукции, ß — распределение мощностей по технологиям. Математически q — гладкая неотрицательная положительно однородпая функция на R++, aß — неотрицательная локально конечная борел евская мера на R++.

При исследовании обобщённой модели Хаутеккера-Иохансена естественно возникают вопросы обращения и единственности для функции прибыли как интегрального преобразования распределения мощностей по технологиям. Задача обращения заключается в нахождении распределения мощностей по техологням ß по известной функции прибыли Пдß. В настоящей работе при получении формулы обращения мы также предполагаем априорно известной функцию себестоимости q.

Вопросы единственности для функции прибыли Пдß связаны с нахождением условий на класс мер {ß} и на класс функций себестоимости {q}, при которых из равенства функций прибыли nqißl = nq2ß2 для некоторых ß^ ß2 £ {ß} и q^ q2 £ {g} будет следовать, что ßi = ß2• В настоящей работе вопросы единственности рассматриваются для класса функций себестоимости с постоянной эластичностью замещения:

qa(p о х) = ((pixi)a + ... + (рпхп)а) «, 0 <а ^ 1.

Случаю а = 1 отвечает производство в отрасли с производственной функцией Леонтьева на микроуровне. В этом случае эффект замещения производственных факторов отсутствует.

Исследованию функции прибыли в модели чистой отрасли в отсутствие эффекта замещения посвящены работы [2,3]. Формула обращения для функции прибыли в случае постоянной эластичности замещения производственных факторов была получена в работе [4]. Формула обращения интегрального преобразования типа Радона, полученная в настоящей работе, является обобщением формул обращения для функций прибыли из работ [3,4] на случай производственных систем с произвольной эластичностью замещения производственных факторов (не обязательно постоянной). Более того, полученная формула обращения обобщает формулу обращения для преобразования Лапласа и позволяет обратить преобразование Фантаппье.

2. Интегральные операторы типа Радона и обобщённое преобразование Радона

Функция прибыли (1) является частным случаем интегрального оператора типа Радона. Интегральный оператор типа Радона определяется с помощью непрерывной неотрицательной функции q на положительном ортанте R+, удовлетворяющей условию положительной однородности: q(Xx) = Xq(x), х £ intR+, Л > 0, и с помощью функции h £ L1(0, по формуле

(Rhqß)(p) = j h(q(p о x)) ß(dx),

R+

где ß — локально-конечная борелевская мера на R+. Если f — достаточно регулярная и быстро убывающая функция на R+, мы будем также писать

«f)(р) = j h{q(p о x))f (х) dx.

R+

Функции прибыли в обобщённой модели Хаутеккера-Иохансена соответствует выбор h(t) = (ро — t)+ (см. [1]). Другими примерами интегральных операторов типа Радона являются преобразование Лапласа, соответствующее выбору q(p о х) = р1х1 + ... + рпхп, h(t) = e-t, и преобразование Фантаппье, которому соответствуют q(pох) = р1х1 +...+ рпхп, h(t) = (l + t)-1.

С интегральным оператором типа Радона R£ тесно связано (обобщённое) преобразование Радона по гиперповерхностям уровня функции q. Если ß — неотрицательная локально-конечная борелевская мера на R+, то её обобщённым преобразовали ем Радона Rq ц, называется производная в смысле теории распределений:

d Г

(Rq ß)(p,pü) = Q^ J Кdx). (2)

q(pox)^po

При каждом фиксированном p £ int R+ выражение (Rqß)(p, ■) представляет собой неотрицательную меру на [0, Для функций h £ Сс[0, (непрерывных и с компактным носителем) справедлива формула

I h(t)(Rqß)(p,t) dt = (Rhqß)(p), (3)

0

которая следует непосредственно из определения производной в смысле теории распреде-

лении:

J Щ)(кд^)(р,ь) ей = - ! ! ^(йх)

0 0 д(рох)^

J к'(Ь) (И^(йх) = J к(д(р о х)) ^(йх) = (в!д^)(р).

д(рох)

Если теперь / £ С (М+), то обобщённое преобразовалие Радона Кд / по гиперповерхностям уровня достаточно гладкой положительно однородной функции д (т.е. д(\х) = \д(х), х £ Ш М+, Л > 0) определяется формулой

(ЯдЛ(Р,Ро) = ! /(х) (йхд(р о х) J йх),

д(рох)=ро

где йхд(р о х) Л (йхд(р о х) J йх) = йх. Форма йдд(р о х) J йх называется формой Гельфанда-Лере. В случае неотрицательных функций / определения обобщённого преобразования Радона функции / и меры /(х) йх приводят к одному и тому же выражению.

3. Обращение интегральных операторов типа Радона и обобщённого преобразования Радона

Задача обращения интегральных операторов типа Радона — это задача решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода вида

Яд/(р) = ! к(д(р о х))/(х) йх = г(р),

где д — достаточно регулярная положительно однородпая функция на М+, к — достаточно регулярная и быстро убывающая функция на [0, г — достаточно регулярная и быстро убывающая функция на М+. Оказывается, что решение этой задачи даётся явной формулой. Эта формула основана на том, что преобразование Меллина, применённое к Вд^, распадается в произведение преобразований Меллина от к, д и ц,, что позволяет найти одну из этих функций по трём другим.

Напомним, что преобразование Меллина функции / на М+ определяется формулой

(М/)(г) = ! хх-1!(х) йх, Xх-1 = (х\1-\...,х%-1), (4)

где х = (х\,..., хп), г = (г\,..., гп), I = (1,..., 1). Обратное преобразование Меллина функции ф, определённой на множестве с + гШп, с £ Мга, даётся формулой

(М-1<р)(х) = (2пг)-пр.ь^ х-гф) йг,

c+íW,n

где символ р.ь. соответствует пониманию интеграла как предела интегралов по шарам {г = с + ги | |и| ^ Щ при К ^

Для того чтобы получить формулы обращения для обобщённого преобразования Радона и для интегральных операторов типа Радона, нам понадобится доказать несколько вспомогательных лемм.

Лемма 1. Пусть q £ С(R+) П С 1(int R+) q(x) > 0 при х £ int R+ и q(Xx) = Xq(х) для всех х £ int R+; А > 0. Пусть tc1+'"+Cn-1h(t) £ L1 (0, +ж) при некотором с = (с1,..., сп) £ int R+. Тогда при z £ Сп, Rez = с, справедлива формула

(мМФ о *)Ы') = *~<Ме" ^.(г+ ^+г")

Доказательство. Имеет место следующая цепочка равенств:

(Mph(q(p ох)))(г) = J pz 1 h(q(p ох)) dp = x z J (p о x)z 1 h(q(p о x))xI dp =

R+ R+

= x-*jy-k(q{y))d« = x- [ Щ [ y-№Jiv)it =

R+ 0 q(y)=t

zi+...+zn-1h(+\ rn I „,Z-I(

j fi+...+zn-1h(t)dt j yz-I(dqjdy), (5)

0 д(у) = 1

где dq Л (с^ J dy) = dy. Первый интеграл в последнем выражении — это преобразование Меллина от функции к. Осталось вычислить второй интеграл в последнем выражении. Для этого положим в цепочке (5) И(Ь) = ехр(—¿) и х = (1,..., 1). С учётом того, что Мъе-1 = Г — гамма-функция, получим, что

" ..*-1(Л„ Л„.\ - (М е^)( *)

yz (dqjdy) =

Г( г! + ... + гп)' я(у)=1

Подставляя это равенство в (5), получаем требуемую формулу.

Лемма 2. Пусть / € С(М+) и /(х) = 0(1х1-а) при 1х1 ^ <х, где а > с1 + ... + сп для некоторого с = (а,..., сп) € ШЩ. Тогда, хс-1 / (х), х2с-11 ¡(х)12 € Ь!(Щ), где I = (1,..., 1).

С

больших |х| имеет место оценка |/(х) ^ С(х\ +... + хп)-а. Имеет место легко проверяемая формула

С хс-1 Г(С1)^Г(СпЬ ^-1

dх = ^-г(а — с1 — ... — сп) ,

Х1 + ...+ХП >1

xi,...,xn^0

(Х1 + ... + Хп)а Г( С1 + ... + Сп)

где Г — гамма-функция. Из этой формулы следует, что функция (®i + ... + хп)-а интегрируема с весом хс-1 по внешности некоторого шара в R^ с центром в нуле. Из оценки на Ifl следует требуемое утверждение.

Лемма 3. Пусть q £ С(R™) ПС 1(intR™), q(x) > 0 щи х £ intR™, q(Xx) = Xq(х) при х £ intR^, А > 0. Пусть f £ С(R^), f(x) = 0(lxl-a) при Ixl ^ ж для некоторого а > с1 +...+сп, где с = (с 1,..., сп) £ R71, 0 < Ck < l,k = l, ..., п. Обозначим I = (l,..., l). При этих условиях справедливы, следующие утверждения.

(A) При z £ Сп, Rez = с, справедлива формула

(Мf)(z) ■ (Ме-)(I — z) = М[Rqf (■, l)](J — z) ■ Г(п — zi — ... — z,n). (6)

(B) Пусть t'a-C1 -...-C"-1h(t) £ L1(0, h ограничена,. Тогда при z £ Сп, Rez = с, справедлива формула

(М f)(z) ■ (Ме - )(I — z) ■ (Mh)(n — zi —... — zn) = (MRihf )(I — z) ■ Г(п — zi —... — ^). (7)

Доказательство. (А) С учётом теоремы Фубини и леммы 1 при г £ Сп, И,е г = с, можно записать

J р-2 е-д(рох)/(х) Ах Ар = ! / (х) ! р-2 е-д(рох) Ар Ах =

= У }(х)х2-1 Ах (Ме-9)(1 - г). (8)

К+хК+ К+ К+

к+

С учётом леммы 2 выражение справа конечно, поэтому и выражение слева конечно. Снова пользуясь теоремой Фубини, запишем

)

J р-хе-ч(рох) /(х) Ах Ар = I р-х J е-д(рох) /(х) Ах Ар =

К+хК+ К+ К+

I Р-х I е- I /(х)(Ахд(р о Х) J Ах) А1 = ^ р-2 ^ е-1 (К,/) (1) А1Ар

К+ о д(рох)= К+ о

-1 Г ,, (Р

I е-1 !р-г(Ид})(^ АрАг = I е-Нп-21-."-2п-1 <И • М[Яд/(•, 1)](/ - г). (9)

о к+

Сопоставляя (8) и (9), замечаем, что их левые части равны. Приравнивая их правые части, получаем утверждение пункта (А).

(В) Как и при доказательстве пункта (А), при г £ Сп, И,ег = с, с учётом теоремы Фубини справедливо равенство

р гк(д(р о х))/(х) Ар Ах =

+ хк+

К" хК"

= I х*-1 / (х) Ах.(Ме Я)(1 г) (Мк)(п - гг - ... - гп). (10) !(п - - ... - гп)

К+

Снова применяя теорему Фубини, можно записать

J р-2к(д(р о х))/(х) АрАх = ^ р-х J к(д(р о х))/(х) АхАр = (МК1д/)(1 - г). (11)

К+хК+ К+ К+

Сравнивая (10) и (11), получаем требуемое утверждение.

Далее нам понадобится ввести специальный класс функций. Положим по определению

см,а (Кп) = £ СМ (КП) . ц^ц^ < м £ N и {0}, а> 0,

д ^и(х)

|Ы|м<г = тах вир (1 + Ып)"

дхс

Справедлива следующая лемма.

Лемма 4. Пусть и £ СМ'а(Мга), где а > п, п ^ 2, N ^ 0 Тогда и £ Ь1 (Мга) и для преобразования Фурье

е*хи(х) Ах, С £ К™, (12)

о

К

справедлива, оценка,

Qn-lnN

< IWIn,*КI-n, Z е Rn \{0},

где 1 — площадь единичной сферы в Мга.

Доказательство. Сначала заметим, что из условия и £ СМ'а(Мга) следует, что все частные производные функции и вплоть до порядка N принадлежат Ь1 (Мга) и справедлива формула

^сИи^ dx = )а1 ...

К"

где £ = (£1,..., £п) £ Мга, а £ Z+, |а| ^ N. Беря модуль от левой и правой частей, домножая равенства на полиномиальные коэффициенты и суммируя по всем а £ Z+ с |а| = N, получим равенство

ш

\а\=N 4 7

i/:rd\a\u(x) , а%Кх- V > ¿х

дха

= (Ki| +... + I U)N ее Rn (13)

Далее, из условия и е CN'a(Rn) для каждого а е Z+, |а| = N, вытекает оценка:

Qn~1

дха

< \w\\n,*j (1 + Nп)-»dx = \М\

N,a-

а _ п

Rn

Учитывая эту оценку, оценку |+ ... + |£n| ^ |£|, а также то, что сумма всех полиномиальных коэффициентов по а е Z+, |а| = N, равна nN, получим из (13) указанное в условии леммы неравенство.

Теперь у нас всё готово для того, чтобы получить формулы обращения для обобщённого преобразования Радона и для интегральных операторов типа Радона.

Теорема 1. Пусть q е C(R+) П Cl(int R+); q(x) > 0 при х е int R+ и q(\x) = Xq(х) при х е int R+; X > 0. Пусть f е C(R+), f(x) = Odx^") при ^ ^ ж при некотором а > с1 + ... + сп, где с = (cl,..., сп) е Rn, 0 < с^ < 1, к = 1, ..., п. Определим, и(у) = есу f (еу), еу = (eyi,..., еу»), у = (yi,..., у*). Пусть и е CN'a (Rn), где N ^п + 1, а > п, п ^ 2. Далее, пусть h — ограниченная функция на [0, удовлетворяющая

условию tn-C1---Cn-lh(t) е Ll(0, +ж).

Тогда справедливы формулы

f(%) = fappr(x) + ferr(x), X е R'

g Rq f (; 1)](

(M e-i)(z)

fappr(x) = (_27i )-ni x*-1 M [%f(> ^ Г( Zi + ... + Zn) dz,

n )

( M - )( )

I-C+i BR

fappr(x) = (_2m) nJ

_ - (MRgf )(z)r( zi + ... + Zn) , (14)

' appr('b) = ( 27) J X (Me-я)(Z) • (Mh)(z 1 + ... + Zn) ^

I-с+i BR (Qn-l)2 nN х-с

^err^ ^ s ,--^ W^-Nn -, X е int R+,

\itrr\ )\ ^ (27Т)п(а _n)(N _n)11 NN'aRN-nl +'

для всех R > 0, где Br = {x е Rn: ^ ^ R}; Q*1-1 — площадь единичной сферы в Rn; I = (1,..., х-с = х-с 1 ... х-с".

Доказательство. Из условия и е CN'a(Rn) ^^^^тет, что и е Ll(Rn) П L2(Rn). Так как при этом функция и непрерывна, то по формуле обращения преобразования Фурье справедливо поточечное равенство

и(у) = (27)-п e-ityu(£) d£, у е Rn

п

п

R

п

где функция и определена формулой (12). Представляя и(у) = есу/(еу) и определяя х = еу, перепишем это равенство в виде

¡(х) = /аррг(х) + ¡егЛх), х е М+,

/аррг(х) = (2тт)-п [ х-(с^Щ)<%,

Вп (15)

ит(х) = (2тг)-п I х-(с+*МО<%.

М"\ Вп

Справедлива следующая цепочка равенств:

Ш = [ е^уи(

1(0 = 1 e^yu(y)dy = ! e^vf (еу)dy =

Rn Rn

= J xc+i^-1 f(x) dx = (Mf)(c + iO,

где преобразование Меллина М/ определяется формулой (4). Используя эту формулу и формулу (15), можно записать

/аррг(х) = (2тг)-п J x-(c+i^(Mf )(с + iO d£ =

Br

= (2тгi)-nJx-z(Mf)(z) dz.

C+iBR

Подставляя в это равенство выражения для Mf из (6) и (7), получаем выражения для применением леммы получаем оценку:

lferr(x)l ^x-c(2ж)-п J lu(Old( <

Rn\ Br

i-N

Qn-inN r

(2.n„-n) MN* j -

Rn\ Br

(ryn-l)2nN ™-c ) n_||„,|| r>n-N

= x (2n)n(a — n)(N — n) Mn>°R . Теорема полностью доказана.

4. Теоремы единственности для обобщённого преобразования Радона и для функции прибыли

Перейдём теперь к вопросам инъективности преобразования Радона и функции прибыли. С экономической точки зрения нас интересует вопрос о том, при каких условиях разным распределениям мощностей по технологиям в обобщённой модели Хаутеккера-Иохансена будут соответствовать разные функции прибыли.

Мы будем рассматривать частный случай функций себестоимости выпускаемой продукции, отвечающий постоянной эластичности замещения производственных факторов. Именно, мы рассматриваем функции да(х) = (х" + ... + х%)0 < а ^ 1, х = (х\,... ,хп) е М™. Легко видеть, что да е С (М™) ПС М™), да(Ах) = Ада (х) при х е Ш МП и А > 0.

Сначала найдём условия на меры ß и и, при которых из равенства функций прибыли Пqaß = ПЯаи (или обобщённых преобразований Радона: Rqaß = Rqav) при одной и той же функции себестоимости qa будет следовать, что меры ß и и совпадают.

Теорема 2. Пусть a > 0 ß и и — неотрицательные борелевские меры на R™, т,акие, что exp(-А1х\) £ L1(ß) П L1 (и) при некотором А > 0. Пусть выполнено равенство (А) Rqaß = Rqa и ил и (В) nqaß = ПЯаи. Тогда ß = и.

Доказательство. (А) Из равенства мер Rqaß = Rqаи в силу (3) следует равенство

J ß(dx)=J и (dx), р £ int R™ ,t> 0. (16)

qa(pox)^t qa (pox)^t

Чтобы в этом убедиться, достаточно применить формулу (3) к монотонно возрастающей последовательности непрерывных функций hn(r) с компактным носителем, поточечно сходящейся при n ^ ж к индикатору от резка [0, t].

Теперь сделаем в интегралах в формуле (16) замену переменных (у1,..., yn) = (xf,..., xf), (pi,..., p'n) = (Pi,..., Pn) t' = ta- Так мера ß перейдёт в меру ß', а мера и — в меру иМы придём к равенству

J ß (dy) = J и'(dУ),

р' у^ t' р' yKt'

где р'у = plyi +... + рПуп- Дифференцируя последнее равенство по t', домножая на exp(-t') и интегрируя по t' £ [0, получим, используя формулу (3) и представление exp(-t') в

виде предела последовательности функций с компактными носителями, следующее равенство:

J exp(-py) ß'(dy) = j exp(-py) i/(dy).

R+ R+

Это равенство справедливо при р £ Cn, Reр > с(А), где с(А) £ int Rn — некоторый веще-

А

мер ß' и и' при р £ Cn, Rep > с(А), следует, что ß = и', откуда следует, что ß = и. (В) Этот случай сводится к уже рассмотренному следующей леммой, более детальное доказательство которой можно найти в [4] (лемма 2.1).

Лемма 5. Пусть ß — борелевская мера со знаком на Rn, для которой конечна, на компактах полная, вариация Ißl = ß+ + ß-, где ß = ß+ — ß- — разложение Жордана, меры ß. Пусть 0 < a ^ 1. Тогда справедлива следующая формула:

92(Пqaß)(P, P0)

др{

2 =(Rqaß)(P, P0).

0

Схема доказательства леммы. С учётом определения (2) обобщённого преобразования Радона достаточно показать, что справедливо равенство

д

(Пда/л)(р,ро) = ^{х £ М™ : да(р ох) < ро} .

Пусть А > 0 (с А < 0 всё аналогично) и [ А] обозначает скобку Айверсона: [ А] = 1, если А истинно, и [ А] = 0, если А ложно. Тогда требуемая формула следует из следующей цепочки

равенств:

(Пaß)(P,P0 + А) - (Пaß)(p,po) =

= j[Qa(p ox) ^ Po + А] (po + А - qa(p o x)) ß(dx) - j [qa(p ox) ^ po] (po - qa(p o x))ß(dx)

R+ R+

= А J [ qa(p ox) ^ po + А] ß(dx) + J p < qa(p ox) ^ po + А] (po - qa(p о x)) ß(dx) =

R+ R+

= А -ß{x e R+ | qa (p ox) < po} + о(А).

Теперь мы получим условия на меры ß и v, при которых из равенства функций прибыли (или обобщённых преобразований Радона) мер ß и v при разных функциях себестоимости будет следовать, что меры ß и v совпадают. Эти условия оказываются более ограничительными, чем в случае одной и той же функции себестоимости, однако в случае разных функций себестоимости, кроме равенства мер ß и и, можно также утверждать, что носители мер ß

ß

объединении координатных лучей (меры объединения лучей равны нулю), что соответствует невозможности производить продукцию, используя лишь один тип ресурсов. Поэтому для таких экономических систем совпадение функций прибыли при разных функциях себестоимости и при мерах из соответствующего класса возможно лишь тогда, когда функции прибыли и распределения мощностей по технологиям тождественно равны нулю. Нам потребуется следующая теорема (см. [5]):

( )

определённая на положительном ортанте int R++ представима в виде преобразования Лапласа:

о-Р x.

f(p) = f e-pxß(x),

R+

ß

то есть f бесконечно дифференцируема, и для любого мультииндекса а e Z+, и для любого p e int R+ выполнено равенство

-1Г ^^ > 0.

v 7 dpa

При этом f (+0) = ß(R+) и мера ß может не быть конечной. Более того, мера ß определена единственным образом, и локально конечна.

Теперь мы воспользуемся теоремой 3, чтобы получить следующий результат.

Теорема 4. Пусть ß, v — неотрицательные конечные борелевские меры на R+; а > ß > 0; lxla e Ll(v). Пусть выполнено равенство (А) Rqaß = Rqßv или (В) nqaß = nqßv. Тогда ß = v, причём носитель этих мер сосредоточен в объединении координатных лучей Ufc=i Oxk, где Oxk = {(xi, ...,xn) e R+: V i = k xi = 0}.

Доказательство. (А) Из равенства Rqaß = Rqßv в силу (3) следует, что

J ß(dx) = j v(dxx), pe int R+,t> 0.

qa(pox)^t qß (pox)^t

Теперь сделаем в левом интеграле замену (у1,..., yn) = (xf,..., xf), а в правом — замену (yi,..., yn) = (xf,..., x^n)■ При этом мы перейдём к новым мерам ß' и v'. Переходя также

к новым параметрам р и t в интегралах, получим

ß

J ß(dy) = J u'(dy), 7 = ^ 0 < 7 < 1,

a

py^t р'«у<Л

где р1 = (р1,... ,р"п)- Беря производную от последнего равенства по t, умножая на ехр)(—) и интегрируя по t Е [0, получим равенство

ехр(-ру)^ехр (-(р1 у)и'^у). (17)

R+ R+

По теореме 3 слева стоит вполне монотонная функция, поэтому функция справа также вполне монотонна. В частности, её вторая частная производная по первой паре индексов (можно взять любую пару различных индексов) неотрицательна:

Jvm( ^ ^ Pl + Pk + р ) Уч ((Р1У)7 +7 -1) exp (-(,р1у)7) u'(dy) > 0

Rn \k=l /

при р Е int R++. Переходя к пределу при р\ = ... = рп ^ +0, получим

(7 - 1)n2j-1 j угу2( у\ + ... + Уп) 7-2u'(dy) ^ 0.

R+

7 < 1

множестве {у Е R++: У1У2 = 0}. Те же рассуждения можно было провести для произвольной пары индексов, поэтому носитель u' сосредоточен на множестве {у Е R++ | yiyj = 0, i = j} = {jrn=\Oyk. С учётом этого равенство (17) переписывается в виде

J exp(-py) ß(dy) = J exp (^—руij u'(dy) = J exp(-pu)v"(du),

R+ R+ R+

i i

где u'' получается из u' заменой переменных (u\,...,un) = (y^,..., уП )• Из совпадения преобразований Лапласа мер ß и u'' эти меры совпадают. Мера ß получается из меры ß заменой переменных (у..., yn) = (xf,..., xf), равно как и мера u'' — из меры u. Поэтому ß u

(В) Этот случай сводится к случаю (А) применением леммы 5.

Оказывается, что ограничение на рост мер в теореме 4 существенно. Имеет место следующий пример неединственности.

Предложение 1. Рассмотрим две локально-конечные меры на R+_;

ß(dxbdx2) = ( ) dx,dx2,

\ yjx\x2 J

^x1x2^x1 + x2

1 exp (— /x~-1 x\

u(dx1,dx2) = — exp (^—/x! ^ ö(x1 — x2) dx1 dx2,

где K1 (s) = 2 exp (—| (t + |)) dt, s Е C, Res > 0, — модифицированная функция Бесселя, второго рода. Тогда, справедливо равенство

(Rqiß)(p 1,Р2, dt) = (Rq7u)(р 1,р2, dt) = exp ^-//=(/р1 + у = d^p(t).

Для доказательства предложения 1 нам потребуется следующая лемма.

Лемма 6. Семейство |жр: р £ int R+} неотрицательных борелевских мер на [0, +ж) представимо в виде жр = (Rqaß)(p, ■) при некотором 0 < а ^ 1, где ß — некоторая неотрицательная борелевская мера на W+, для которой exp(-А|ж|а) £ Ll(ß) при всех А > 0, тогда и только тогда, когда

1) при всех р £ int R+ имеет место равенство

Fa(p) = j exp(-ta) d^pa-i (t) = (Lß')(p) = j e-pyß'(dy), (18)

R+ R+

-l

левская мера, L — преобразование Лапласа, px = plxl + ... + pnxn

где pa = (pi ,... ,p™ ) ß'(dy) — некоторая неотрицательная локально конечная боре-

2) для всех р £ int R+ и X > 0 справедливо равенство

J exp(-ta) d&\p(t) = j exp(-Xata) d&p(t). (19)

0 0

Более того, меры ß'(dy) и ß(dx) определены однозначно и связаны заменой переменных (Уг,...,Уп) = (xf,...,x^).

Доказательство. Необходимость. Пусть hn — монотонно возрастающая последовательность непрерывных функций с компактным носителем на [0, +ж), поточечно сходящаяся к h(t) = exp(-ta). Применяя формулу (3) к каждой функции hn и беря предел при п ^ ж, с учётом теоремы Лебега о монотонной сходимости, получим формулу (18). Снова по формуле (3) для функций hn при всех Л > 0 можно записать

J hn(t) d&\p(t) = j hn(qa(Xp о x)) ß(dx) = j hn(Xqa(p о x)) ß(dx) = j hn(Xt) d&p(t).

0 R+ R+ 0

Предельным переходом при n ^ ж в последнем равенстве получим формулу (19). Достаточность. Определим asp = (Rqaß)(p, ■)■ Из необходимости и из свойств (18), (19) получим для всех Л > 0 следующую цепочку равенств:

J exp(-Xata) dsep(t) = j exp(-ta)d&Xp(t) = 00

= j exp(-Xapaу) ß'(dy) = J exp(-ta) d^Xp(t) = j exp(-Xata) d^p(t).

R+

Из совпадений преобразований Лапласа мер ж'рш ае'р, получающихся из мер жрш агр заменой переменных = при Л > 0, следует, что меры жр и жр равны, то есть жр = {КЯац)(р, ■)• Единственность мер следует из теоремы 3.

Доказательство. (Доказательство предложения 1). Нам достаточно показать, что Ц.){р, ■) = жр и {К^^^){р, ■) = жр. Для этого мы воспользуемся леммой 6. Очевидно, что для семейства {жр} выполнено условие (19) при а = 1 и а = Далее, преобразование Лапласа меры ц, равно

(Lß)(pi,p2) = Jq exp(^-t -/ (/pl + /р2)^

Л dt У2)' t

0

0

поэтому по лемме 6 жр = {Яд1 ц,){р, ■). С другой стороны, если обозначить через и' образ меры и{с1х) при замене переменных у\ = /х\, у2 = /Х2, то для преобразования Лапласа меры г/ мы будем иметь формулу

(Lv')(pi,p2) = J -V - V(pi + P2^ j

Снова по лемме 6 получим, что œp = (Rq 1 v)(p, ■).

" 2

Работа поддержана грантом РФФИ № 14-07-00075 А.

Литература

1. Шананин А. А. Обобщённая модель чистой отрасли производства // Математическое моделирование. — 1997. — Т. 9, № 9. — С. 117-127.

2. Шананин А. А. Исследование одного класса функций прибыли, возникающих при макроописании экономических систем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1985. — Т. 25, № 1. - С. 53-65.

3. Henkin G. M., Shananin A. A. Bernstein theorems and Radon transform. Application to the theory of production functions // Translations of Mathematical Monographs. — 1990. — V. 81. - P. 189-223.

4. Агальцов А. Д. Теоремы характеризации и обращения для обобщённого преобразования Радона // Труды МФТИ. - 2013. - Т. 5, № 4(20). - С. 48-61.

5. Bochner S. Harmonie Analysis and the Theory of Probability. — University of California Press, 1995.

Поступила в редакцию 28.10.2013.

о