CC BY
54
Известия Тульского государственного университета Естественные пауки. 2009. Вып. 1. С. 5-27
Математика
УДК 517.5
Теоремы Джексона в пространствах Ьр, 1 ^ р ^ 2 с периодическим весом Якоби
Д.В. Чертова
Аннотация. Работа посвящена, доказательству точных неравенств Джексона для наилучших приближений тригонометрическими полиномами в пространствах Ьр, 1 ^ р ^ 2, 27г-периодических функций с весом Якоби |бш х\1а+1, а > —1/2. Определяются два новых оператора обобщенного сдвига, модули непрерывности. Строится полная ортогональная система тригонометрических полиномов, аналогичная системе экспонент.
Ключевые слова: тригонометрический полином, периодический вес Якоби, наилучшее приближение, оператор обобщенного сдвига, модуль непрерывности, неравенство Джексона.
Пусть Т = (—^, т] — одномерный тор, а ^ —1/2 т9а(х) = |8тж|2“+1 — периодический вес Якоби (ультрасферический вес), <1иа{х) = ,да{х)<1х, 1 ^ р ^ 2, Ьр>а(Т) — пространство 27г-периодических комплексных измеримых по Лебегу функций / с конечной нормой
При а = —1/2 индекс а в обозначениях будем опускать.
Пространство 1*2,а(Т) — гильбертово со скалярным произведением
Введение
/||р
а
Если тригонометрическую систему
{1 , COS X, sill X, . . . , COS ПХ, sill пх,. . .}
Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 05-01-31)005, №06-01-00372).
ортоготтализовать по методу Шмидта относительно скалярного произведения, то получим полную ортогональную систему в пространстве ¿2,о;(Т):
Щ (ж) = 1 , <Р2п (ж) = РпЛ,<Л) (cos х) г ^
ф2п-\ (х) = Р,(""|"'’и+^(С08 х) s'n xi п = 1; 2, • • •
(см. [1, 2J). Здесь Pt’u)(t) — ортогональные многочлены Якоби па отрезке [—1, 1] С весом (1 — Í2)“, ДЛЯ которых РпЛ,<Л\ 1) = 1 [1J. Отметим, что функции ф2п{х) и ífi2n-\{x) являются четными и нечетными тригонометрическими полиномами порядка п.
Пусть Hn(f)p,u ~ величина паилучшего приближения функции / € LPía(T) тригонометрическими полиномами порядка п — 1, т.е.
ftn(/)p,a= ¡Tlf
2(n— 1)
/м- £ akiPki,x)
к=О
Если а = —1/2, то модуль непрерывности функции /(ж) может быть определен с помотцыо оператора сдвига Tf'f(x) = f(x + t):
w(5, f)p = sup \\f(x + t)~ /(ж)||. ms
Неравенство Джексона с точной константой в пространстве ¿2(T)
ад)^тИ^/)2 (3)
было доказано Н.И. Черпыхом [3J. Им же [4J было доказано неравенство Джексона с точной константой (оценка сверху) и в пространствах LP(T):
Язп-1 , 1<р<2. (4)
\ ti > р
Оценка снизу в (4) была получена ранее В.И. Бердышевым [5J.
Если а > —1/2, то для определения модуля непрерывности необходимо использовать оператор обобщенного сдвига. Для функций, определенных па отрезке [0, я-], такой оператор был предложен А.М. Лежандром (а = 0) и Л. Гегепбауэром (а > —1/2) [6J:
«7Г
T\f(x) = cLt / /(arccos (cos ж cos t + sin ж sin t cos 0)) (sin 6)2ttd6, (5)
./o
где ж, t € [0,7r],
'Гг - nV2„]nY' Г(« + 1)
smff dO = ———-----------Ti-г- (6)
Jo ) v^l(« + l/2)
Так как ¡¿(х) — четные функции, образующие ортогональный базис в пространстве L2,ы[0, 7г],
Т\ф2к{х) = 4>2k{t)4>2k{x),
то оператор (5) определен и в пространстве ¿2,а(Т) на четных функциях.
Точные неравенства Джексона в пространствах ¿2,а(Т) для четных функций были доказаны А.Г. Бабенко [7J. Д.В. Горбачев [8J доказал точные неравенства Джексона в пространствах Lp, 1 ^ р < 2 на сфере Sm, т ^ 2. Эти неравенства, записанные для зональных сферических функций, приводят к неравенствам Джексона вида (4) в пространствах LP)Q;(T), 1 ^ р < 2, а = т/2 — 1 для четных функций.
В работе в пространствах LP)Q;(T), 1^р^2, а>—1/2 определяются операторы обобщенного сдвига, модули непрерывности и доказываются неравенства Джексона в форме неравенств (3), (4). Для пространства ¿2,0 (T) это сделано в [9]. Для пространств LP)o(T) результаты работы анонсированы в [10J.
1. Случай пространств L2,a(T)
Пусть ДЛЯ / € ¿2,0; (T)
оо
^2fkVk{x), fk = (£>/.)„, = (ipK<ifik)Lt (7)
k=0
— ее ряд Фурье. Равенство Парсеваля и обобщенное равенство Парсеваля имеют вид
оо 1 00 -
l/С = Е ttIC (/■*')« = Е (в)
k=0 i;=0
Оператор обобщенного сдвига определим равенством
оо
Ttf(x) = f0 + '^2(fi2k(t)(hk-iifi2k-i(x) + f2kifi2k(x)), t(=T. (9)
к = \
Так как \(f2k(t)\ ^ 1 [1], то оператор Тг: ¿2,а(Т) -4- ¿2,a(T) имеет норму 1. При а = —1 /2 он имеет вид
Ttf(x)='l-{f(x + t) + f(x-t)},
поэтому его норма, как оператора из LP(T) в LP(T), 1 ^ р ^ оо, равна 1.
Найдем интегральное представление для оператора (9) и покажем, что это интегральное представление определяет оператор из LP)Q,(T) в LP)Q,(T) с нормой, равной 1.
Лемма 1. Оператор (5) действует из пространства ЛР)Ы[0,7г] в пространство LPia[0,7г], 1 ^ р ^ оо и его норма равна 1.
ДОКЛЗЛТЕЛЬСТВО. В пространстве ЛР)Ы[0; 7г] норма определяется равенством , .
/ гп \ 4P
\\f\\p,«=yj \f{x)\pdv(X{x)j
при 1 ^ р < оо и
II/IIОС,а = vrai sup I f(x) I [0,7Г]
при p = ос. Мы докажем неравенства
II7Í/IU« < II/IU (10)
при р = 1, ос. Для остальных 1 < р < ос они будут вытекать из интерполяционной теоремы Рисса-Торина [11J. Точность этих неравенств вытекает из равенства Т\ 1 = 1.
Согласно (6) имеем очевидную оценку
\\T¡fWoo,a ^ Са Í ||/||oo,a(sin(9)2“a!(9 = WfWoo,a-Jo
Пусть p = 1. Если t = 0, то T°f(x) = f(x) и (10) верно. Если t = я-, то
«7Г
Tnf(x) = cLt / /(arccos (— cos ж))(sin в)2и(1в = — ж)
Jo
и (10) также верно. Будем считать, что 0 < t < ж. Если
9(х, t) = тпт{ж + t,'2w — X — t},
то, делая в (5) замену переменной -ф = arccos (cos ж cos t+ + sin ж sin t eos 0), получим ДЛЯ 0 < Ж < 7Г
f (ж) = cu / ¡(ф)¥(ь,х, ф)г11^(ф), (11)
•/1 a; — í I
2‘ia-l ^¡п £±|^ sin x±^t sin t±ibx s¡n -Щ+Ф y 1/¿
V(t, X ; •(/>) = -------------------------------
(sin t sin ж sin -ф)2,л
— функция, симметричная относительно Í, ж, -ф.
Пусть
Ut = {(х,ф) € (0,7г)2: |ж — t\ ^ ф ^ 0(х, i)}.
Если (ж, -0) € Ut, то (■(/>, ж) € Ut, поэтому для функции
'1, (х, ф) € Ut,
,0, (х, ф) G ((0,n)2\Ut)
выполняется равенство
\{1.х.Ф) = x(t,ip,x).
Отсюда и из (11)
= / / \f(ip)\V(t,x,ip)x(t,x,ip)di/VÍ(ip)di;VÍ(x)
Jo Jo
= са Г i т
Jo
^Са sup / V (t, X, 1p)x(t, 'ф, x)dVa{x)\\f\\l,a =
Фа(о,7г) Jо
= sup / l/(í, •i/’ra:)di/„(a:)||/||i)„ = (7"* 1)||/1|i= ||/||i,„.
'0e(O,7r) ./ |y>—i|
Неравенство (10) верно и при р = 1. Лемма доказана.
Для функций / € L 1,а(Т) определим линейный интегральный оператор
Tíf(x) = у /’"{/WO + + - ß)}(sin0)2“d0, (12)
где Ж, t G [-7Г, 7г], /(7г) = /(-7г),
. . sin ж cos t — cos ж sin t COS в
■ф = arccos (cos ж cos t + sm ж sin t cos 0), В = ----------------------;—------------.
S1I1 -ф
Так как
TO I COS Ж COS t + sill Ж sill t COS в I = 1 ДЛЯ 0 < в < 7Г только, если Ж, Í G {0,±7г}. В этих случаях считаем В = 0. Во всех остальных случаях
о SÍI12 t Sill2 в
I - В = -----5^ О
sm -ф
\B\^Í. (13)
Проверим, что 7^2 / (ж) = /(ж). Пусть
^ = /(^)(1 + е) + /(-0)(1-е).
Если ж = 0, то В = 0, -ф = 0, g = 2/(0) и 0) = /(0). Если ж = ±7г, ТО 0 = 0, -0 = 7Г, g = /(7г) + /( —7г) = 2/(±7г) И ^/(Ít) = /(±7г). ЕСЛИ 0 < Ж < 7Г, ТО В = \, -ф = X, g = 2/(ж) И 7^2 / (ж) = /(ж). Если —7Г < ж < 0, то В = — 1, -0 = —ж, g = 2/(ж) и 7^2 /(ж) = /(ж).
K(í, ж, -i/>)x(í; •(/>, x)dull(x) du^i-ф)
|/(í/0| V'(í, ж, 4>)di;Lt(4>) du^x
Так как
ip(—t) = arccos (cos ж cos t — sin ж sin t cos 9) = = arccos (cos ж cos t + sin ж sin t cos (ir — 9)), sill Ж COS t — COS Ж sill t COS (7Г — 9)
B(-t)
sin (arccos (cos ж cos t + sin ж sin t cos (w — в))) '
то делая в (12) замену w — в = А получим, что
Т^/{х) = Т*/{х). (14)
Вычислим Т£/{х). Если ж = 0, то В = 0, ф = ж, g = 2/(±7г) и 7^/(0) = /(—я")■ Если ж = ±7г, то В = 0, ф = 0, g = 2/(0) и Т£ f(±w) = /(0). Если 0 < Ж < 7Г, ТО В = — 1 , Ф = 7Г — X, g = 2/(ж — 7Г) и f(x) = f(x — 7г). Если —7Г < Ж < 0, ТО В = 1 , Ф = 7Г + X, g = 2f(n + ж) и f(x) = f(x + 7г). Итак,
77/(*> = №-*>’ (16)
{f(x + 7Г), —7Г ^ Ж ^ 0.
Так как
ф(—х) = arccos (cos ж cos t + sin ж sin t eos (ir — 9)), sill Ж COS t — COS Ж sill t COS (7Г — 0)
0(-ж)
sin (arccos (cos ж cos t + sin Ж sill t COS (7Г — 0))) то делая в (12) замену тг — в = А получим, что
7l/(-*) = у /"{/WOO - В) + /(-0)(1 + ß)}(sin 0)2“d0. (16)
Оператор (12) действует из пространства LP)Q,(T) в про-
странство LPía(T), 1 ^ р ^ оо и его норма равна 1.
Согласно (14) достаточно рассмотреть 0 ^ t ^ 7г. Если t = 0, то ||Т20/||Р)„ = ||/||Р)Ы. Если t = я-, то согласно (15)
I \Т£ f(x)\pdi;Lt(x) = I \ f (х+ тг)\р di;Lt(x) + I \f(x-w)\pdvvl(x) =
■I — ж J — тт J 0
= / |/(ж)|р£/г/ы(ж) + / |/(ж)|р(/г/ы(ж) = / |/(ж)|ро!/лДж).
./0 — 7Г •/ — 7Г
Для 0 < t < я- ЦТ^/Цр,« как и в лемме 1 оцепим при р = ос и р = 1. Если р = ос, то в силу (12), (13)
11^/||оо,а < у y^íll/Hoo.aíl + ß) + ||/||оо,а(1 - ß)}(sin 9)2ad9 =
= С„ / (sin 0)2“rf0||/||oo,« = ll/lloo,«*
./0
Са_
2
Если р = 1, то в силу (12), (13), (16)
I \Т%/(х)\(11Уи(х) =
•' — 7Г
/ / {/(0)(1 + Я) + /(—0)(1 — £?)}(8П1 0)2сес/0 ёии(х) +
./о -'о
У {/('г/,)(1 ~~ Я) + /(—■г/>)(1 + £?)}(81п 0)2ай0 а!г/а(ж)| ^
/ / {|/('0)1О + Я) + |/(—'0)|(1 — В)}(ш\в)2,л НвНи^х) +
./о -/о
+ ГГ {|/(-0)|(1 — б) + |/(—'0)|(1 + б)}(вт в)2(Х¿9(1ии{х) | =
= с«/ / {|/(0)1 + |/(—0)|}(8т0)2“й0£/г/ы(ж).
./о ./о
/*7Г + ./„
Л I /*'Я’ /*'Я’
Согласно лемме 1
Г»7Г Р7Г
поэтому
/ / |/(^)|(81п(9)2“а!(9а!г/а(ж) ^ [ \/{ф)\<1уа{-ф),
■Iо ./о ./о
Са / / |/(—г/ОКвт (9)2“аШг/а(ж) ^ / |/(-'0)|а!г/а('г/>) =
./о ./о ./о
= / 1/('0)ИМ'0);
«/ — 7Г
II72/(ж)II 1,00 ^ [ \КФ)^а(Ф) + [ \/(ф)\(1^а(ф) = ||/||1,оо-
•/О ./-7Г
Остается применить интерполяционную теорему Рисса-Торипа. Лемма дока-
ЗЯ1НЯ1.
Операторы (9), (12) совпадают на функциях из Ьр,а{Т), 1 ^ р < ос, ¿ля которых ряд Фурье (7) сходится в Ьр,а{Т).
ДОКЛЗЛТЕЛЬСТВО. Из теоремы умножения для многочленов Гегепбауэ-ра [12]
«7Г
Т*(Р2к(х) = Т\<р2к(х) = <Р2к{^)Ч>2к{х) = С„ / (р2к('Ф)(ыИ 0)2,х(1в =
•/О
Гш(Ф)( 1 + е) + ¥>2*(-^)(1 - е)}(й!п0)2“^ = ту2к(х).
■10
Дифференцируя обе части равенства
¥>2к^)(р2к(х) = / (р2к(Ф)(^тв)2иг1в
./о
по ж и пользуясь формулой
(17)
(см. [1]), получаем
Тгч>2к-\{х) = ^(¿О^-^ж) = с„ / у>2/;-1(-(/’)б(8т6>)2“£/6>
./о
у | (•</’)(! + Я) + (—</’)(! - В)}{тпв)2,х <1в = Г^^-^ж).
Для окончания доказательства остается заметить, что, если последовательность частичных сумм ряда (7) сходится в Ьр^а{Т), то Т^дг/ = Т2вдг/ и последовательность дг/ сходится в ¿Р)С,,(Т) в силу непрерывности Т| по лемме 2. Лемма доказана.
Замечание 1. Утверждение леммы 3 справедливо и для пространства Т
определен на всех функциях Ьр^а(Т), 1 ^ р ^ оо.
Для функций / € ¿Р)С|,(Т), ^ € Ьр> а(Т), 1 ^ р ^ оо, 1/р + 1/р; = 1 определим обобщенную свертку
Свертка является коммутативной операцией только для четных функций. Соберем вместе некоторые свойства оператора обобщенного сдвига (9).
5. (Т*/,^)„ = {f^Ttg)Vl: т.е. оператор Т* является самосопряженным.
Из обобщенного равенства Парсеваля (8)
1. ТЧ = 1.
2. Если /(ж) ^ 0, то Т*/(ж) ^ 0.
3. (Г*/(х))2к = 4>2к&)кк, (Т*Т(х))2к-\ = Ч>2к&)12к-\-
4. Если т > 0, |*| + т ^ 7г, носитель / С [—т, т], то носитель
(19)
(20) (21)
т*/ с [ т - |*|, г + |г|].
(22)
Свойства (19), (21), (24) вытекают из определения оператора обобщенного сдвига. Свойство (20) — из интегрального представления (12) и (13). Свойство (23) — из (9) и обобщенного равенства Парсеваля. В (12) у функции / участвует аргумент ±-ф = ± arccos (cos х cos t + sin x sin t eos 0), поэтому для (22) достаточно доказать, что для \х\ > т + |í|
или согласно убыванию cos г па [0,27г] cos х cos t + sin х • sin t eos в < cost. Так как |cos в\ ^ 1, то
Оценки норм операторов (12) в Ь\^а(Т) и (5) в Li)Q,[0,7r] легко вытекают из свойств (20) и (24):
Модуль непрерывности В пространстве ¿2,0: (Т) определим двумя способами. Следуя Х.П. Рустамову [12], положим
(24)
±-ф I = arccos (cos X cos t + sin x sin t cos 9) > т
COS X cos t + sin X sin t COS в ^ COS X cos t ± sin X sin t
COS (x^ft) = COS \x t\ ^ cos (|ж| — |t|) < COS r.
Tlf 111,« < ІІ^І/ПІ!
a
f 111
a *
Ш1 (6, /)2,„ =
sup \\Atf(x)\\2 \t\&
ГД0
разностный оператор, / — тождественный оператор. Согласно (7), (8)
(Т*УЧ(х) = /о + ^2(p%k(t)(f2k-\V2k-l(x) + hkV2k{x))
k=\
{hk-\4>2k-\{x) + hk4>2k{x))
k=1
°° /1 л t 1 л \
W?(5, /) 2,« = SUp 2^(1 - 4>2k(t)) ( ----------------1/2Л-112 + ~j—\ Ы? ) • (25)
k=i \d2k-i a2k )
Этот модуль непрерывности был использован в [7].
Второй способ, использованный в работах [8], [14], состоит в следующем:
1 /2
ш(" ^" ' " ',9..............
и*
>(<*) /)2,а = sup ( I (T*\f(y) - f(x)|2) |ff=!E di/„(a:) UK5 Vt
sup(^/ {\f(4>)-f(x)\20 + B) +
\t\^Sx L JT Jo
\ 1 /2
+ |/(—0) — /(ж)|2(1 — £?)}(sin 0)2Ltd9dvLt(x)J Согласно (7)—(9), (19), (24)
I (Ty\f(y) - f(x)I2) |V=I ЛлДж) = I {Tl\f(x)f + |/(х)|2Т*1 -
TT
— 2 R,e f (х)Тгf (x))dvLt(x) = 2||/||| „ — 2 R,e I f (х)Т1 f (x)di/a(x) =
T
= 2f;o -№(o) (¿4/V,i2 + ¿i&i2)
силу (25)
W2(<S, /)2,u = 2u/f(<S, /)2,„- (26)
Согласно (8)
^(/>2,0 = £ --[/2^-1|2+ -¡-Ш2) ■ (27)
V “2/s—1 “2/г }
k=n
Для любой / € ¿2,0; (Т) существует четная функция Р € ¿2,0 (Т), для которой для всех к
1 I Г |2 _1_ 1 I ? |2 _ 1 I /л |2
1/2/;—1| —172/; | —^-\Г2к\ ;
^2к — \ <12к dk
поэтому согласно (25)-(27) для всех п и
М/Ь,« = М/'Ъ,«, ш(<*, /)2,о = у(5, ^)2,о.
Таким образом, задачи о точной константе в неравенстве Джексона между величиной наилучшего приближения и модулем непрерывности функции па всем пространстве ¿2,о(Т и его подпространстве четных функций эквива-
Л6НТНЫ.
Пусть tn — наибольший нуль многочлена Р,1“’°^(£), тп = arccos tn. Из результатов А.Г. Бабенко [7J вытекает следующая теорема.
Если а > —1/2, п Є N, то для любой функции f Є L2,a{’T) справедливы точные неравенства
ВДЬ,« < -^ш(2т„, /)2)«, Kn(f)2,a < wi(2r„, /)2,а.
При а = —1 /2 система сводится к тригонометрической систе-
ме (1). Тригонометрическая система может быть записана в эквивалентной комплексной форме {ешх}П£%. Для экспонент справедливы следующие свойства: они попарно ортогональны,
|eina| = l<l, D_1/2einx = (einxY = ineinx, ein'° = i.
Возникает вопрос: нельзя ли при а > —1/2 в пространстве L2iCt(T) построить комплексную полную ортогональную систему {е„(ж)}„Є2 и линейный оператор Da такие, что
\еп(х)\ ^ 1, е„(0) = 1, Daen(x) = iXnen(ж), A„eR?
Покажем, что ответ на этот вопрос положительный. В пространстве Ь2>а(Т) существует аналог системы экспонент.
В пространстве L2 па прямой со степенным весом |ж|2“+1, а > —1/2 аналог системы экспонент был построен с помощью дифферетщиальпо-раз-постпого оператора Дапкля (см. [15, 16J)
Duy(x) = у'(х) + (а + 1/2)^^—^ .
X
Обобщенной экспоненциальной функцией называют функцию
е„(ж) = ja(x) - ij'a(x),
где
, , 2“Г(« + 1)./„(ж)
Ju(x) = -------—--------
— нормированная функция Бесселя первого рода порядка а. Для е„(ж) справедливы свойства
еа(0) = 1, |еа(ж)| ^ 1, Daea{x) = iea{x).
Искомый аналог системы экспонент в этом случае есть еа(Хх), А Є М. Систематическому применению оператора и преобразования Дапкля в задачах гармонического анализа и теории приближений посвящена работа Е.С. Белкиной [17J.
Функция ip2n(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению [1J ((sin ж)2“+1 у')' + /x„(sin ж)2“+1 у = 0
или уравнению
У" + + 1 У'(х) + ЦпУ = 0, (28)
tgx
¡J-n = + 2а + 1 ).
Положим
Day(x) = у'(х) + (« + у2)у{х)~у{~х), (29)
tgx-
е0(ж) = 1 , еп(х) = ср2п(х)-—<Р2п(х),
у №п
е-п{х) = еп{х) (nG N).
Согласно (17)
еп{х) + е-п{х) (а + 1 )
¥2п(х) = ---------7,-------; ¥2п-\(х) = ■ .- (е„(ж) - е_„(ж));
L îyfJ-n
поэтому система {е„(ж)}„е2 является полной ортогональной системой в пространстве L2,a(T). Далее еп(0) = 1, \еп{ж)\ = 1 и согласно (28)
|e„(ic)|2 = <Р2н(х) + -¿-(<Р2п(*))2,
Н‘П
(\еп(х)\2У = 2(р'2п(х) (ч>2п(х) + 7Й,(^)) = COSX&Zn(X))2-
\ Hjn / Н‘П ®1П X
Отсюда для четной функции |еп(ж)| при всех х
|е„(ж)| ^ max{|e„(0)|, |е„(7г)|} = 1.
Опять пользуясь (28), получим для п = 1,.. .
Dtten(x) = <р'2н(х) - -¿=<Р2п(х) - l^îjl ¥2п(х) =
Y Н‘П у Ь*‘П «5 &
= 4>2п(:х) + iy/Wi4>2n{x) = i^/Jhlen(x),
Due-n(x) = <f2n(x) - i^/jhÎ4>2n(x) =
Таким образом, для n € Z
Duen(x) = iXnen(x),
где
Xn = sgn n а/|п|(|п| + 2a + 1 ).
Оператор (29) является аналогом оператора Дапкля для периодического веса ¡вітіж|2“+1. Нетрудно проверить, что его квадрат па четных функциях у(х) совпадает с оператором Якоби в (28)
01у(х) = у"(х)+'^^-у/(х).
tgж
Пусть ДЛЯ / Є ¿2,0 (T)
f(x) = X fndn(x), fu = dn(f, е„)ы; dj = (e„, е„)„ (ЗО)
n&
— ее ряд Фурье по системе {е„}. Оператор обобщенного сдвига т* определим равенством
т*/(ж) = 5Z fnen(t)en(x). (31)
íiGZ
Он действует в ¿2,о(Т) и его норма равна 1. Найдем его интегральное представление. Если а = —1 /2, то т</(ж) = /(ж + í).
Для функций / Є Li)Q;(T), а > —1/2, определим линейный интегральный оператор
/*7Г
r¡f(x) = {/('0)0 + С) + /(—'0)( 1 — С)}(1 cos 0)(sin e)2ttd6< (32)
2 ./о
sin (ж + í)
ГД0
ф = arccos (cos ж cos t + sin ж sin t cos 0), C и С считаем нулем, если ж, t Є {0, ±7г}.
sin ф
Лемма 4. Оператор (32) является ограниченным линейным интегральным оператором из LP)Q,(T) в LP)Q,(T), 1 ^ р ^ оо.
Доказательство. Так как согласно (13)
sin (ж + t)(l — cos 9)
<2 +
|(1 і C)(l — cos 0)| < 2 + sill ж cos t — cos ж sin t COS 0
sin '0
+
sin ф
sin t cos ж — cos t sin ж COS 0
SÍI1 '0
<4,
TO
/(ж)|<2са [ (\f^)\ + \f(^)\)(sme)2ade. Jo
Далее как и в лемме 1 получаем оценки
|И/(ж)||р,о ^ 4||/(ж)||Р)С1
сначала при р = 1, ос,а затем опираясь па интерполяционную теорему Рисса-Торипа и для 1 < р < ос. Лемма доказана.
Операторы (31) и (32) совпадают на функциях из LP)Q,(T),
1 ^ р < ос, для которых ряд Фурье (30) сходится в LP)Q,(T).
ДОКЛЗЛТЕЛЬСТВО. Согласно лемме 4 достаточно проверить совпадение операторов Tf' и rf па функциях у>2п(ж), <Р2п-\(х) для всех п. Пользуясь их выражениями через еп(х) и е_п(ж), получим
tV 2п{х) = ^Т*'(еп(х) + е-п(х)) = lj{en(t)en(x) + еп (t) в-п (ж) } =
= iP‘¿n{t)iP2n{x) ~~ _|_ 1^2 ^2n_1 (^)s^2íí—1 (í); (33)
tV2п-\(х) = + ]_) r*(en(a:) - e-n(x)) =
* V P'ii
= (tt+]_){eft(^)e?t(x.) _ e_„(í)e_„(a:)} = v>2n(a:)v>2n-l(í) + ^2«(*)^2«-1 (ж). W ¡J-n
(34)
Согласно общей теореме умножения для многочленов Гегенбауэра [12, с. 451], лемме 3
V2n(t)(p2п(ж) = Сы / <р2п(:Ф)(8тв)2"(1в,
■10
¥2n-\(t)p2n-\(x) = ^ + С(* I ip2n(-ií>)cose(sme)2ctde:
М« Jo
/*7Г
У>2п-\(х)У>2n(t) = Ctt / ф2п-\{'Ф)В{хЛ){тпв)2и(1в,
Jo
/»7Г
V2n(x)V2n-\(t) = С„ / P2n-1 (•</>) S(í;a;)(sÍT10)2“£/0;
./о
. sin ж cos t — cos ж sin t COS 0
cos -ф = cos ж cos t + sin ж sm t cos 0, B(x,t) = -----------------;—--------------.
Sill -ф
Подставляя правые части этих равенств в (33), (34), получим
/* 7Г
Т^2«(ж) = С„ / у>2п(•</’)(1 - COS0)(sÍT10)2“d0,
./0
f / л />7Г / ..SÍI1 (ж + Í) /1\2ы j/i
Т р2п-\(х) = <Р2п-\(-ф)----:—I (1 - COS 0)(sill 0) de,
JQ Sin tp
а это и есть rfíp2n(x) и T\(P2n-\ (ж). Лемма доказана.
В дальнейшем оператор г* будет обозначать г*. Для оператора (32) выполнены все свойства (19)—(24), кроме свойства (20). Свойство (21) выглядит так:
(^/(ж))„ = e„(í)/n.
Покажем, что оператор (32) пе является положительным. Если f(x) — непрерывная неотрицательная 27г-периодическая функция, supp / € [—7Г, 0],
X = t = f, то
Tlf(x) = са I (l-:—г ) (1 — cos (9)(sin 0)2ad0 ^ 0
Jo V snii/V
и равенство будет только для f(x) = 0.
Положим
W2(Ö, f )‘2,ы = sup II Ai / H‘2,, ms
где
Atf(x) = (/ - т*У'2Кх) = ¿(-If (1/2) (Tfrf(x)
»1—n ' ' '
n=0
разностный оператор для оператора rt.
Имеем 1
w|(tf,/)2)a = SUP^|1 - en(t)\ — \fk\2. (35)
\№k ez dk
Далее положим
W3(5,/)2,a = SUp (I (T*\f(y) - f(x) |2) | y=x dva(i \t\^&\JY
Так как
Шз(5, /)2,а = 2 sup j ||/||| - Re I 7{х)ть f{x)du(X{x)
|t|<5 I
TO 1
Шз(5,/)2)а = 2 sup 2^(1 - ¥>2|Л|(*))-7-|/л|2-
Таким образом, модули непрерывности Ш2($, /)2,ы И шз(<^; /)2,ы существенно различные. Так как для п € N
|1 - en(t)\ = \/(1 - ^2n(i))2 + (P2n-l(t))2 ^ 1 - ¥>2n(i),
ТО
шз(5, /)г,а ^ 2ш2(<5, /)г,а-
Несложно показать, что
Мз(й, /)2,а = ш((5, /)2,„.
Тогда из теоремы 1 вытекает неравенство Джексона
A’n(/)2)e<W2(2rn,/)2)e. (36)
Покажем, что это неравенство также точное.
Из (35) и равенства
М/к„ = ^ -нЛ|2
\к\^п к
вытекает, что для 0 < S ^ ж
SUP 2/У У ^ SUP 2l t\ -
/eZ-2,a(T) шг(7Г> /)2,a
f S|fe|^nPfe ^ 1
suPi ----------------ii-------------------------ТГТ1— ■ Pk> 0, > < ос V =
18ир|4|^^|Л|^ -ek{t)\pk ф£х J
supj----------=------^—r--------------7—,— : pk > О, V pk = 1} ^
lsuP|t|<*E|*|>n I1 - ek(t)\pk J
(X
\k\^n
^ sup! --------=---- -:----—:------------- ; P2k ^ О, p2k = 1 !•
Ъиро^^/зЕ^/зП -e2k{t)\p2k ^/2 J
Здесь МЫ воспользовались тем, ЧТО функции |1 — e,2k(t) I — четные и для t е [0, 7г]
П - e-2k(t) | = |1 - е-2кЬГ - *)|-
Из асимптотического поведения <P2k{t)i ф2к-\ (t) [1J вытекает, что для любого
О < ё < тт/2
max 11 —II — e2k(t)\ \ —>■ 0 (к —¥ ос),
5^^7г/2
поэтому из леммы В.В. Арестова [18J следует оценка
supl ------------=---------г-------у—---- ■■Р2к^$, У\ Р2к = Л>1-
lsuPo<K*/2E|jfe|>n/2 I1 - е2к{Щр2к J
Это и доказывает точность неравенства (36).
Таким образом, справедлива теорема.
\к!^п/2
Если а > —1/2, п £ N, то для любой функции f € ¿2,a(T) справедливо точное неравенство
/i»(/)2,e<W2(2r„)/)2,a.
2. Случай пространств Lp,a(T), 1 ^ p < 2
Для / € LP)Q,(T), 1 ^ р < оо модуль непрерывности определим, используя оператор обобщенного сдвига (9), (12), равенством
W(5,/)P)U = SUp ii(i,/)P)U,
|*|<i
/)р,а = / (^у|/(у) - /(ж)П |„=!Е =
Jт
-у I I Ш'(Ф)-/(х)\Р0 + В)+\/(-ф)-/(х)\р(]-В)}(8тв)2иёв(11Уи(х).
(37)
Можно ЛИ определить модуль непрерывности В пространстве Ьр^а(Т), используя оператор обобщенного сдвига (31), (32)? Как показано в предыдущем параграфе при р = 2 ответ положительный. Нам неизвестен ответ па этот вопрос при р ф 2. Основная трудность состоит в том, что оператор т1 не является положительным. Тем не менее, будет ли функционал £!(£, /)Р)Ы пол ож ител ыты м ?
Цель этого параграфа — доказать неравенство Джексона в пространствах Ьр,а(Т) при 1 ^ р < 2. Будем следовать схеме, предложенной В.И. Ивановым [19, 20]. Будем также опираться па работу Д.В. Горбачева [8].
Рассмотрим неотрицательный тригонометрический полипом порядка
Здесь тп — наименьший положительный пуль у>2п(ж), а выбрано так, чтобы
части коэффициентов выполнены более сильные неравенства [8, 21]
2 п - 2
(38)
Так как для і = 0, 1,.... п — 1 ір2і(тн) > О,
І+І
¥2і(х)(Р2і(х) = X С^(р2к(х), С*-^0
к=\і-,і |
(см. [1]), то коэффициенты F2i ^0, г = 1,..., 2п — 2. На самом деле для
у) = (і0 + X р2і((І2і-]р2і-\(х)р2і-\(у) + <І2іір2і(х)ір2і(;у))- (40)
1=1
Покажем, что он также неотрицательный.
Симметричную непрерывную функцию /(ж, у) (/(ж, у) = f(y. ж)) назовем положительно определенной на Т2, если для любой функции g € Li)Q,(T)
f{x,y)g{x)g{y)dpa{x)dpa{y) ^ 0.
/T JT
Леммл 6. Нели /(ж) — 2п-периодическая, четная, неотрицательная функция, ее коэффициенты Фурье (7) f2k ^0 u J2T=o hk < °°> то функция
00 ^
/(ж, у) = /о + V -1— /2fe(d2fe-l¥>2fe-l(a:)¥>2fe-l(y) + d2k‘P2k(x)lP2k(y)) € С^Т2),
/(ж, 0) = /(ж), f(x,y) неотрицательная, положительно определенная на Т2.
Достаточно доказать, что на Т2 функция /(х,у) ^ 0 и положительно определенная.
Т
Т
/ g(y)f(x,y)dva(y) =
T
1 ~ ~ 1 ~ ~
= Т?о/о + / 3—f‘Ik(g2k-\ф2к-\(ж) + g-lkVlki:^)) =
0 fc=l 2к
= (g * /)(ж) = /' TVg(x)f(y)dua(y) > 0. (41)
T
Если предположить, что /(жо. уо) < 0, то в силу непрерывности f(x, y) па
Т
/(ж0,2/)^-Л, Л > 0, поэтому для характеристической функции Хд(ж) отрезка Д
/ XA(y)f(x,y)diya(y) = / f(x0,y)dva(y)^-\ dua(y) < 0,
T
что противоречит (41).
Т
Парсеваля
/(ж, y)g(x)g{y)du(X(x)du(X{y) =
TT
= 32 1?0 |2/0 + X T“ \S2k-l ? + -Т~\S2k |2) ^0.
do “ а2к \d2k-i d2k )
Лемма доказана.
Из леммы 6 вытекает, что тригонометрический полипом F(x, у) (40) па
Т
Рассмотрим линейный положительный интегральный оператор . 2п—2
Af(x) = / f{y)F{x,y)du(X{y) = /о + X р2і(/2і-і^2і-і(ж) + hi¥>2i(x)). h i=1
Отметим, что Af(x) — тригонометрический полипом степени не выше, чем
2 п - 2.
Для оператора /4 с неотрицательным, положительно определенным ядром справедлива следующая оценка.
Для любой функции / Є LPia(T), 1 ^ р < 2
II/ - Л/||Р)« < З1^-1 f /' /' |/(ж) - /(у)|р/<’(ж,у)^а(ж)^а(у)4 /Р
\Л,/1
Пусть
, Л і ¥>2я(ж), |ж|^Т„,
о(ж) = < д(ж) = Т "о(х)
.0, Т„ ^ Ж ^ 7Г,
— весовая функция, построенная А.Г Бабенко [7J при доказательстве теоремы Джексона в пространстве L2,« [0,7г],
см = Ркет)=§бгАта(1)' ä" = l- (42)
Имеем
G(x) ^ 0 (ж € Т), supp G С [-2тп, 2г„]. (43)
В [7J установлено, что л
02« ^ 0, г ^ п. (44)
Если г = 1,...,п — 1, |ж| ^ тп, то 0 < <^2г(ж) ^ 1 и согласно (7), (24)
п Я = /т('ГТп^(ж))у2г(ж)^д(ж) =
24 JT TTnv(x)dva(x)
S-Tn 4>2п (х) <P2i (х) dv« (x)
Jü"„ ¥»2п(ж)«/|/„(ж)
Пусть
oo
С (ж, у) = do + X C2»(f/2i-l ¥>2»-1 (ж)у>2»-1 (у) + d2iip2i(x)V2i(y))- (46) i=1
Согласно (39), (44), (45)
F0-G0 = 0, F2i-G2i>0, * = 1....
поэтому симметричная функция F(x,y) — G(x, y), как это следует из доказательства леммы 6, является положительно определенной.
, ч ,/___/г 7" і /і V / т £> * , v / , . , .
^»(т-я)--------7^----------ГТ5—^ ^2г(тъ)- (45)
В [8, 21] установлено, что для симметричной положительно определенной функции К(х, у), для которой К(х, у)¿иа (у) = 0 для всех х, и произвольной функции / € ¿р)С|,(Т), 1 ^ р < 2
|/(ж) - f(y)\pK(x, y)dpa{x)dva{y) ^ 0.
ITJT
Таким образом, справедлива следующая лемма.
Для любой функции f € LPia(T), 1 ^ р < 2 и функций F(x,y) (40), С(х:у) (46)
I I \f(x) - f(yWF(x,y)dpa(x)dpa(y) <
JtJt
< i i\f(x)-f(y)\PG(x,y)dva(x)dva(y).
Jt Jt
Для любой функции f G Lp a(T), Kp<2 и функций G(x) (42), G(x,y) (46)
I I \f{x)-f{:y)\pG{x, y)dvu{x)dvu{:y)= I ilp(y, f)p,ttG(y)di;tt(y). (47) Jt Jt Jt
Доказательство. Преобразуем отдельно левую и правую части равенства (47). Пусть
ОО
Ux(y) = |f(y) - f(x)|р, их(у) = (^)о + ^2(ui)kVk(y)-
k=\
Тогда согласно (46)
/ \f(x)-f(y)\pC(x,y)dvu(y) =
J T
оо
= Со(«^)о + '^2G2k((:U^)2k-\iP2k-\(x) + (Щ;)2кр2к(х)),
к= I
If(x) - f(y)\pG(x,y)dva(y)dva(x) =
fTJ T
оо
W \
Gq(ux)q + ^02к{(.Щ:)2к-\¥2к-\{х) + {щ:)2к¥2к{х)) \duu{x). (48)
L — 1 у
к=1
Далее согласно (37)
С^Л/С*) - /(ж)П 1*=х= у1!
оо
= (м^)о +1%2<P2k(y)((ui)2k-\<P2k-\(x) + (ui)2k^2k(x))
t.=x
к=1
Slp(yJ)P,Lt = I (Tj*\f(t) - f(x)\p) |t=x dva(x) .) T
I < (u^)o + ^ф2к(у)((Щ;)2к-\<Р2к-\(х) + (Щ: )lk 4>2k (x)) \du,x(x)
T
И
TT
X G{;y)du(X{:y)du(X{x) =
Отсюда и из (48) вытекает (47). Лемма доказана.
Согласно леммам 7-9, (43) для произвольной функции / € Ьр>а(Т), 1 ^ р < 2 имеем цепочку неравенств
/2 Тщ
№(У, f)p,aG(y)dua(y) ^ 21~рир(2тп, /)р,а.
-2т п
Таким образом, доказана следующая теорема
Если а > —1/2, п £ Щ, то для любой функции / € Ьр,а{Т),
1 ^ р < 2 справедливо неравенство
Замечание 2. В.И. Иванов и Liu Yongping (устное сообщение) доказали, что неравенство (49) точное.
Как уже отмечалось выше неравенство (49) для четных функций и а = т/2 — 1, т^2 вытекает из результатов работы [8].
Автор благодарит В.И. Иванова за помощь и постоянную поддержку при подготовке работы.
< 2Х"Р [ i\f(x) - f(y)\pF(x,y)dua(x)dua(y) <
TT
^2г p i [\f(x)-f(y)\pG(x,y)diya(x)diya(y)
TT
ft’2n—i(/)„,« ^2llp-lu(2Tmf)p,a
(49)
Список литературы
1. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физмалтиз, 1962. 500 с.
2. Бадков В.М. Введение в единую теорию алгебраических и тригонометрических ортогональных полинов: учебное пособие. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2006. 132 с.
3. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 71-74.
4. Черных Н.И. Неравенство Джексона в Lp(0.2tt) с точной константой /7 Труды МИРАН. 1992. Т. 198. С. 232-241.
5. Бердышев В.И. О теореме Джексона в Lp /7 Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88.
С. 13-16.
6. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1. М.: ИЛ, 1949. 798 с.
7. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина. для /^-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах /7 Изв.РАН. Сер. мал1. 1998. Т. 68, № 6. С. 27-52.
8. Горбачев Д.В. Точное неравенство Джексона в пространстве Lp на сфере /7 Матем. заметки. 1999. Т. 66, JSTB1. С. 50-62.
9. Куликова Д.В. Приближение периодических функций в пространстве I/ с весом Лежандра тригонометрическими полиномами /7 Изв. ТулГУ. Сер. Математика-Механика. Информатика. 2003. Т. 9, вып. 1. С. 108-128.
10. Chertova, D.V. Approximation of periodic functions by trigonomertic polynomials in Lp-space, 1 < p < 2 with legendre weight // Extremal problems in Approximation Theory and Function Theory: proceed, of R.ussian-Chinese Workshop. ТулГУ. Тула, 2006. С. 81-84.
11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. М.: Мир, 1965. 538 с.
12. Рустамов Х.П. О приближении функций на сфере /7 Изв. РАН. Сер. мал1. 1993. Т. 57, №5. С. 127-148.
13. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М.: Наука, 1991. 576 с.
Московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Wn) и LPja(R+) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4, вып. 1. С. 44-70.
15. Dunkl C.F. Differential difference operators assosia.ted to reflection groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V. 311. P. 167-183.
16. Rosier M. Dunkl operators: Theory and applications // Lecture Notes in Math. 2002. V. 1817. P. 93-135.
17. Белкина Е.С. Гармонический анализ Фурье-Да.нкля и приближение функций: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Петроза.вдоск. 2008. 92 с.
18. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенство Джексона на сфере в fj2 // Изв. вузов. Сер. Матем. 1995. №8. С. 13-20.
19. Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Lp /7 Матем. заметки. 1994. Т. 56, №2. С. 15-40.
20. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: Изд-во ТулГУ, 1995. 192 с.
21. Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения. Тула: Изд-во Гриф и К, 2005. 192 с.
22. Иванов В.И., Тюрюканов A.A. Константы Джексона в пространствах 1Р на конечных множествах // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2000. Т. 6, вып. 1. С. 108-136.
Поступило 23.11.2008
Чертова Дарья Вячеславовна ([email protected]), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Jackson Theorems in Lp-spaces, 1 ^ p ^ 2 with periodic Jacobi weight
D.V. Chertova
Abstract. The paper is devoted to proof of exact Jackson inequalities for the best approximations by trigonometric polynomials in Lp-spaces, 1 ^ p ^ 2 of 27r-periodic functions with Jacobi weight |sinx-|2“+1, a > —1/2. Two new generalized translation operators and modules of continuity are defined. The complete orthogonal system of trigonometric polynomials similar to exponent system is formed.
Keywords: trigonometric polynomial, periodic Jacobi weight, best approximation, generalized translation operator, module of continuity, Jackson inequality.
Chertova Darya ([email protected]), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
