CC BY
83
ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
УСТРОЙСТВА
УДК 621.396:681.323
С. И. Зиатдинов
ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ ДЛЯ КОМПЛЕКСНОГО И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО СИГНАЛОВ
Показано, что для однозначного восстановления непрерывного комплексного сигнала по его отсчетам необходимо, чтобы частота дискретизации была не меньше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала. Для однозначного восстановления непрерывного действительного сигнала необходимо, чтобы частота дискретизации была больше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала.
Ключевые слова: комплексный и действительный сигналы, дискретизация, восстановление, ошибки.
Фундаментальная теорема отсчетов [1, 2] (теорема В. А. Котельникова) находит самое широкое применение в задачах дискретной и цифровой обработки непрерывных сигналов. Согласно этой теореме отсчеты низкочастотного сигнала и (^) с ограниченным спектром для его точного восстановления следует брать с частотой дискретизации , не меньшей, чем двусторонняя (полная) ширина полосы частот, занимаемая этим сигналом: > 2Fmax, здесь Fmax — наивысшая частота в спектре сигнала.
Рассмотрим справедливость теоремы отсчетов для комплексного и действительного сигналов.
Комплексный сигнал. Выражение для комплексного сигнала в общем виде можно представить следующим образом:
ир) = и^)вЛШ+У({)], (1)
где и(^), О, ) — огибающая, несущая частота и начальная фаза сигнала.
Флюктуирующий сигнал (1) при разложении в ряд Фурье представляется суммой бесконечного числа элементарных гармонических составляющих, каждая из которых имеет свою амплитуду, частоту и начальную фазу.
В дальнейшем будем рассматривать только наивысшую составляющую спектра сигнала (1), который в дискретном виде записывается следующим образом:
и(Ь) = иеШ'; ^ = 1Тд + АТ, (2)
где Тд = 1/ Fд — период дискретизации; АТ — смещение по времени при взятии текущего
отсчета; /=0, 1, 2 ... — номер текущего отсчета; для простоты рассуждений начальная фаза сигнала (2) принята равной нулю.
Пусть интерполирующий сигнал является непрерывным комплексным гармоническим колебанием с частотой Q , равной частоте сигнала:
«и (0 = Uk (tj+*)], (3)
где Uk, Q, ф — огибающая, несущая частота и начальная фаза интерполирующего сигнала.
Определим, при каких значениях Uk, ф и AT интерполирующий сигнал (3) совпадает с исходным сигналом (2).
Пусть в точках отсчета й (t¿) = йи (t¿) или
UejQt' = UKej[nt<+ф]. (4)
Комплексные сигналы (4) представим в тригонометрической форме:
U cos Qtj + jU sin Щ = Uk cos(Qt;- + ф) + jUK sin(Qt¿ + ф). (5)
Равенство (5) будет справедливо, если его вещественные части и коэффициенты мнимых частей будут равны:
U cos Qtj = Uk cos(Qt;- + ф),1
г (6)
U sin Qít = Uk sin(Qtf + ф). J
После подстановки в уравнения (6) значения дискретного времени tt = ¡Тд + AT получим
(7)
и ^[П(Тд + ДТ)] = ии ^[П(Тд + ДТ) + ф], 1
и мп[0(/Тд + ДТ)] = ии ^п^(Тд + ДТ) + ф].}
Возведем в квадрат левые и правые части соотношений (7):
и2 ^2[П(Тд + ДТ)] = и2 ^2[П(Тд + ДТ) + ф],
и2 ^п2[0(Тд + ДТ)] = и2 мп2[0(Тд + ДТ) + ф].
2 2
Складывая левые и правые части выражений (8), получаем и = ии.
(8)
Отсюда следует, что отсчеты комплексного сигнала U cos Qt¿ и U sin Qt¿ однозначно определяют амплитуду непрерывного интерполирующего сигнала, равную амплитуде непрерывного входного сигнала, т.е. Uk = U.
Согласно теореме отсчетов на нижней границе частота дискретизации Fд равна удвоенной частоте сигнала Fc = Q / 2п. Далее будем рассматривать именно этот случай, когда F = 2Fc. Тогда соотношения (7) принимают вид
cos(in + QAT) = cos(in + QAT + ф), 1 sin(in + QAT) = sin(in + QAT + ф). J
Данные равенства будут выполняться только при условии ф = 0, 2п, 4п,... для любого значения AT .
Таким образом, однозначное восстановление непрерывного комплексного сигнала по его отсчетам возможно, если частота дискретизации больше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала или равна ей. Этот результат полностью совпадает с теоремой отсчетов Ко-тельникова.
Действительный сигнал. В данном случае можно воспользоваться одним из уравнений системы (7):
U sin[Q(T + AT)] = ии sin[Q(T + AT) + ф]. (10)
Определим, при каких значениях Uk, AT и ф будет выполняться данное равенство.
Рассмотрим крайнюю точку отсчета, когда частота дискретизации равняется удвоенной частоте сигнала. Тогда соотношение (10) принимает вид
Теорема отсчетов для комплексного и действительного сигналов
55
и 8т(7п + ОАТ) = ии БтОл + ОАТ + ф). (11)
Пусть АТ = 0. При этом отсчеты сигнала и (7) берутся в точках, в которых его значения равны нулю. В результате выражение (11) преобразуется к виду
ии 8ш(/я + ф) = 0.
Данное соотношение справедливо для любых значений ии при ф = 0, п, 2п,...
Таким образом, при АТ = 0; ф = 0, п, 2п,... и = 2сигналу и(7г-) можно поставить в соответствие бесчисленное количество интерполирующих сигналов ии (¿г-), имеющих любую амплитуду (рис. 1).
и, о.е.
2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 о.е
Рис. 1
При ф ^ 0, п, 2п,... формула (11) записывается следующим образом:
0
ии = и
8Ш(/П + ф)
В данном случае отсутствует интерполирующий сигнал с отличной от нуля амплитудой. Следовательно, при взятии отсчетов синусоидального сигнала в точках, в которых его значения равны нулю, интерполирующий синусоидальный сигнал также проходит через эти точки и может иметь любую амплитуду. При этом восстановление исходного сигнала по его отсчетам невозможно.
Далее положим АТ ^ 0. При этом точки отсчета сигнала и(7) не совпадают с моментами времени, в которых его значения равны нулю.
В качестве примера рассмотрим случай, когда = 2^., АТ = 0,25ТС (Тс = 1/ ^с). При
этом из выражения (10) находим
и = и 8ш[П(гТд + 0,25Тс)] = и и 8т[П(/Тд + 0,25ТС) + ф] соб ф
Полученное соотношение позволяет найти амплитуду интерполирующего сигнала для различных значений ф (рис. 2); см. ниже.
ф, 0 45 60 90
ии и 2и! VI 2П да
Следовательно, существует бесконечное множество интерполирующих сигналов. Равенство ии(7) = и(7) будет выполняться при любом I только при ^д > 2¥с и ф = 0. Данные
рассуждения можно распространить на более сложные сигналы с ограниченным наивысшей частотой спектром.
Рис. 2
Вывод. Однозначное восстановление непрерывного комплексного сигнала с ограниченным спектром по его отсчетам возможно в случае, когда частота дискретизации больше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала или равна ей. В то же время для однозначного восстановления действительного сигнала частота дискретизации должна быть больше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Котельников В. А. О пропускной способности „эфира" и проволоки в электросвязи // Материалы к Первому Всесоюзному съезду по вопросам реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. М.: Изд-во Управления связи РККА, 1933.
2. Худяков Г. И. Теорема отсчетов теории сигналов и ее создатели // Радиотехника и электроника. 2008. Т. 53, № 9. С. 1157—1168.
Сергей Ильич Зиатдинов
Сведения об авторе д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: [email protected]
Рекомендована кафедрой информационно-сетевых технологий
Поступила в редакцию 17.11.10 г.
