CC BY
28
УДК 514.76
Ю.И. Шевченко]
1 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4471-2750 doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-18
Тензор кривизны-кручения связности Картана
Рассмотрена группа Ли, содержащая подгруппу. Такая группа есть главное расслоение с типовым слоем — подгруппой и базой — однородным пространством, получающимся при факторизации группы по подгруппе. Отталкиваясь от этой группы, мы построили структурные уравнения пространства со связностью Картана, обобщающей точечную проективную связность Картана, линейчатую проективную связность Акивиса и плоскостную проективную связность. Структурные уравнения этой картановой связности, содержащие компоненты объекта кривизны-кручения, позволили: 1) показать, что объект кривизны-кручения образует тензор, содержащий тензор кручения; 2) найти аналог тождеств Би-анки, которому удовлетворяют тензор кривизны-кручения и его пфаффовы производные; 3) получить условия превращения пфаффовых производных тензора кривизны-кручения в ковариантные производные относительно связности Картана.
Ключевые слова: связность Картана, проективная связность Кар-тана, тензор кривизны-кручения картановой связности, аналог тождеств Бианки, ковариантные производные относительно связности Картана.
Поступила в редакцию 17.05.2019 г. © Шевченко Ю. И., 2019
1. Группа Ли с подгруппой как главное расслоение
Пространство проективной связности Картана Pn n имеет структурные уравнения, обобщающие структурные уравнения группы G , действующей в проективном пространстве Pn. Если Я — подгруппа стационарности точки, то проективное пространство есть фактор-пространство Pn = G /Н , причем n = dim G - dim Н . В случае неэффективного проективного пространства Pn имеем: G = GL(n + 1), Н = Hn2 +n+1 — цент-ролинейная группа. Аналогичным образом построим пространство со связностью Картана Kn r, отталкиваясь от n-мерного
однородного пространства K n .
Рассмотрим (r + n) -мерную группу Ли Gr+n со структурными уравнениями
de1 = Cjkej a вк, Cj) = 0 (I,... = 1, r + n), (1) — антисимметричны
ния (11):
где CJk — антисимметричные постоянные. Замкнем уравне-
СжСшек aeL aeM = о, (2)
откуда следует:
CI CJ = 0 . CJ[KCLM] - 0 .
Учитывая антисимметрию по индексам Ь и М, получим тождества Якоби
{ксЬм} = 0, (3)
где фигурные скобки обозначают циклирование, квадратные скобки — альтернирование, а круглые скобки — симметрирование.
Разобьем значения индексов на две серии:
I = (а, 1); а,... = 1, г; 1,... = г +1, г + и . Требуя выполнения условия
0, (4)
запишем структурные уравнения (1) следующим образом:
Св1 = в1 л (С]квк + 2С]ава), (5)
с1ва = Саргвр лвг + в1 л (сЦв1 - 2Сарв ). (6)
В этом случае система уравнений
в1 = 0 (7)
вполне интегрируема. Для постоянных Саг выполняются тождества Якоби, так как из тождеств (3) следует
са са + Са С1 =0 Са{ГС8Е} + С1{уСдЕ} = 0.
Используя равенства (4), получаем Ср^С^ = 0 . Значит, С'ру — структурные постоянные г -членной группы Ли Нг, являющейся подгруппой группы Ог+п. Уравнения (6) дают структурные уравнения группы Нг :
de" = с%е" л в' г = „|(7),
Утверждение 1. При условии (4) группа Ли Gr+n является главным расслоением Hr (Kn) со структурными уравнениями (5, 6), базой которого служит n-мерное однородное пространство Kn = Gr+n / Hr, а типовым слоем — группа Ли Hr. Если выполняется условие редуктивности (см., напр., [1, с. 456; 2, с. 176])
0% = 0, (8)
то расслоение Нг (Кп) становится пространством со связностью Н(К)гп, обладающим постоянным тензором кривиз-
ны Ljj .
2. Построение структурных уравнений пространства со связностью Картана
Изложим алгоритм построения структурных уравнений пространства картановой связности.
A. В однородном пространстве Kn = Gr+n /Hr действует группа Ли Gr+n со структурными уравнениями (1), содержащая подгруппу Hr.
Б. Левые части вполне интегрируемой системы (7), выделяющей подгруппу стационарности Hr точки в пространстве-
Kn, содержат n форм в1, которые называются главными.
B. Структурные уравнения пространства со связностью Картана, которое обозначим Kn r, получаются в результате
обобщения уравнений (1) группы Gr+n = Hr(Kn) путем добавления линейных комбинаций внешних произведений базисных форм — аналогов главных форм.
Теорема 1. Структурные уравнения пространства картановой связности Kn r имеют следующий вид:
da] = C]KaJ лак +RI]ka] лак, Rj) = 0, (9)
где C]K — постоянные группы Ли Gr+n, содержащей подгруппу Hr, а совокупность коэффициентов R]k называется объектом кривизны-кручения. 158
Используем условие (4) в подробно записанных уравнениях (90:
О = а]лю) + К']кС л ак, (10)
Саа = 0%)% лаг + 2С%ю% л а + К"о1 л о1; (11)
а)=2сааа, к'к=с'к+я%, каа=саа+я*. (12)
Структурные уравнения пространства Кп г в виде (10, 11)
с точностью до обозначений совпадают с уравнениями Евту-шика [2, с. 175] для специализированной связности Картана. Поскольку структурные уравнения (11) содержат внешние
произведения форм связности а% и базисных форм со1, справедлива
Теорема 2. Пространство со связностью Картана Кп г
не является главным расслоением со связностью. Оно обобщает точечное пространство проективной связности Картана Рп п [3], линейчатое пространство проективной связности Акивиса Рп 2(п_1) [4] и плоскостное пространство проективной связности Рп,(т+1)(п_т) [5], которые также не обладают (см. [6, с. 167]) главными связностями.
Представим уравнения (10, 11) в следующем виде:
сСа1 = а} лвв, Саа = а% лв% + К*со1 ло1; (13) вв = а) + К']как, вр = С%аг + 2ССрОг. (14)
Теорема 3. Пространство картановой связности Кп г,
определенное структурными уравнениями (13), является пространством со связностью Эресмана — Вагнера [7—10], объект кривизны которого КО! выражается по формуле (123). Если выполняется дополнительное условие (8), то простран-
ство Кп г становится главным расслоением Нг(Мп), базой
которого служит п-мерное гладкое многообразие Мп со структурными уравнениями (13г), а типовым слоем — группа Ли Нг. Это расслоение есть пространство со связностью Н(М)г п, обобщающее пространство Н(К)г п.
3. Вывод дифференциальных уравнений тензора кривизны-кручения
Замкнем структурные уравнения (91) пространства Кп г, используя (10):
2с1жс3шаК а а1 а аМ + Ж]к а а' аак +
+ (&ккт + р аак аа1 = 0, (15)
где тензорный дифференциальный оператор Л действует следующим образом:
ЛЯ)к = йЯ)к + я^П - я'а - Яак, (16)
П = 2сЖПК = а + 2слак, а = 2с^аа. (17)
По аналогии с равенствами (2) первое слагаемое в уравнениях (15) равно нулю в силу тождеств Якоби (3). Пользуясь антисимметриями (12, 92) и выражением (122), преобразуем последнее слагаемое уравнений (15):
Я{ккт+ят[кт]а Аак а а.
Поскольку компоненты кк1 антисимметричны, перейдем в коэффициентах от альтернирования по трем индексам к цик-лированию:
п1 Т^т п1 Т^т _тр1 Т^т Ят[кК11 ] + ят[ }Кк1 ] = 2Ят{ ]Кк1}.
В результате уравнения (15) упрощаются:
ЛЯ}к л с лак + 2ят{кто лак л а1 = 0. (18) Представим уравнения (18) в следующем виде: {лЯ^к лак _ 2Ят{1Кщак л аГ )л со1 = 0. Разрешим эти кубичные уравнения по лемме Лаптева [11; 12]:
ЛЯ]к лок _ 2Ят{]Кт}ак л а1 = ок ло}]к, (19)
причем выполняются условия полуголономности [13]:
I 1 к , „ I 1 к , „ а к л) л а = 0 -о- 0[ д ] л) л а = 0 —■
— °[]к] = (}к1с , (ик)1 = 0 ¿(т = 0. (20)
Преобразуем уравнения (19):
{м% + 2Я1,{ +оСк )лок = 0.
Раскроем эти квадратичные уравнения по лемме Картана и проальтернируем результат по индексам 1, к :
лЯ1}к+2Ят {[ ]Кк]Г}°+о)]к ]=Я[}к ]10, (21)
причем Я^] = 0 . С помощью условия полуголономности (201) дифференциальные уравнения (21) примут окончательный вид:
ЛЯ)к = Я), Я1^ = Як _ 2<иКто _ 1. (22)
->}
В силу антисимметрии (202) пфаффовы производные Я
к
компонент Я}к антисимметричны по двум индексам:
Я1 )г = 0, (23)
что соответствует антисимметрии (92) самих компонент Я}к .
Из уравнений (221) с учетом условия (4) и обозначений (12i, 16, 17) получим дифференциальные сравнения по модулю базисных форм с®:
ARjk = 0 (modC), AR% + 2RljkCfßcß = 0; (24)
AR% - dRjk + RßC - RkC - RjCk.
Возвращаясь к кубичным уравнениям (18), подставим в них дифференциальные уравнения (221) и вынесем все базисные формы:
fc + 2R
откуда с учетом антисимметрии (23) пфаффовых производных Rßi и выражений (122) компонент КЦ получим:
R{jkl} + 2Rm{j C} + Rk¡}) - 0. (25)
Теорема 4. Объект кривизны-кручения Rß пространства со связностью Картана Kn r является тензором, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (22¡). Тензор кривизны-кручения Rß содержит тензор кручения Rjk, компоненты которого подчиняются дифференциальным сравнениям (24¡). Компоненты тензора R!ß и их пфаффовы производные R Ijkl удовлетворяют аналогу тождеств Бианки (25).
Из дифференциальных сравнений (242) вытекают два утверждения относительно условий тензорности подобъекта Rjk
тензора R Ijk .
Утверждение 2. Если пространство картановой связности Кп г без кручения, то есть Я]к = 0, то тензор кривизны-
кручения Я1]к вырождается в тензор кривизны Я".
Утверждение 3. Если группа Ли ^^+п является главным расслоением со связностью Н(К)г п, то есть выполняется
условие редуктивности (8), то подобъект Я" тензора кривизны-кручения Я1-к становится тензором, который в сумме с постоянными С" дает тензор кривизны К" (123) пространства со связностью Н(М)г п.
4. Продолжение дифференциальных уравнений тензора кривизны-кручения
Для продолжения дифференциальных уравнений (22 ^
г
найдем внешние дифференциалы форм со'- и ^ , которые в
них входят. Дифференцируем формы (12а) с помощью структурных уравнений (11):
сСС- = 2С'-гС7араа л сР + С л сог-к, (26)
С = 2С]а КС - 2Саркср). (27)
Возьмем следующие внешние произведения:
С лск = 4С][ аС|к|рСа лС =
(к к ' \ (28)
= 2а Скр- С]РСка С лс .
Рассмотрим соответствующую часть тождеств Якоби (3):
СКРС—а + С'к]СкР + СК а Ср- =
Запишем их подробнее и используем условие (4):
С' Ск + С' Сг + С' Ск = 0
СкрС¡а + ар + СкаС$ ~ 0
Перенесем среднее слагаемое вправо, учтем антисимметрию (12) и подставим результат в формулу (28):
о) ао) = 2С)гСЪраа аор
Тогда структурные уравнения (26) принимают вид
= 0)0 Аак + ак а О'к. (29)
Внешние дифференциалы форм (171) найдем с помощью структурных уравнений (9]):
ёП = 2СжСш°Ь А°М + 0 А Пл, Пл = 2СжяК0. (30) Рассмотрим следующие внешние произведения:
П АПК = 4СК[1СК\М]оЬ А0М. (31) Представим тождества Якоби (3) в виде
СЖСЬМ + СЬКСШ + СМКСЖ = 0, откуда с учетом антисимметрии (12) получим:
С1 К ___
ЖС1М - СЛСКМ ~СШСКЬ- 2С3[ЬС\КМ].
Использование этих тождеств в формуле (31) дает 1-е слагаемое структурных уравнений (ЗО1), поэтому
п = ПК ап +ак а Пк. (32)
Замкнем дифференциальные уравнения (22i) с помощью структурных уравнений (13ь 29, 32):
(dRjkl + Rjklcj - Rlmkl®J - Rjml®k - Rljkm^r +
+ Rjk^j - Rjm^km - )лС = 0.
Разрешим эти квадратичные уравнения по лемме Картана, используем обозначения (141, 17, 27, 302):
VR]]kl - 2(RI]mCma + Rmciak = 0, (33)
где тензорный дифференциальный оператор V действует следующим образом:
VRjkl = dR]kl + RjklcJ - Rrnkl- Rljmlkk - RljkmkT.
Сравнения (33) примут тензорный вид лишь тогда, когда внетензорная часть обратится в нуль. Запишем это, раскрывая
обозначение (172) для форм со" :
R!np fa^ka + SkCla )C"ßcß = 0, откуда получается условие
(s^a +SCa Yßi = 0. (34)
Теорема 5. Тензор кривизны-кручения Rß и его пфаффовы производные R]kl образуют тензор Rjk, R]ki}, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (22i) и сравнениям (33). Производные R^i составляют тензор самостоятельно лишь при выполнении условия (34), тогда они являются ковариантными производными тензора R Ijk относительно связности Картана. Если группа Ли Gr+n есть пространство со связностью H(K)r n, то условие (34) выполняется.
Список литературы
1. Лумисте Ю. Г. Связности в однородных расслоениях // Ма-тем. сб. 1966. Т. 69, № 3. С. 434—469.
2. Евтушик Л. Е. Связности Картана и геометрия пространств Кавагути, полученные методом подвижного репера // Геометрия — 3. Итоги науки и техн. Соврем. матем. и ее прилож. Темат. обзоры. 2002. Т. 30. С. 170—204.
3. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Казань, 1962.
4. Акивис М. А. Об изоклинных три-тканях и их интерпретации в линейчатом пространстве проективной связности // Сибирский ма-тем. журнал. 1974. Т. 15, № 1. С. 3—15.
5. Шевченко Ю. И., Скрыдлова Е. В. О плоскостном пространстве проективной связности, обобщающем пространства Картана и Аки-виса // Классическая и современная геометрия : матер. Междунар. конф. М., 2019. С. 150—151.
6. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М., 1986.
7. Ehresmann C. Les connexions infinitesimales dans un espace fibre differenttable // Colloque de topologie. Bruxelles, 1950. P. 29—55.
8. Вагнер В. В. Теория составного многообразия // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. Вып. 8. М. ; Л., 1950. С. 11—72.
9. Близникас В. И. Неголономное дифференцирование Ли и линейные связности в пространстве опорных элементов // Литовский матем. сб. 1966. Т. 6, № 2. С. 141—209.
10. Шевченко Ю. И. Связность в составном многообразии и ее продолжение // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 23. Калининград, 1992. С. 110—118.
11. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. Т. 1. М., 1966. С. 139—189.
12. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии. Т. 9. М., 1979.
13. Шевченко Ю. И. Голономные и полуголономные подмногообразия гладких многообразий // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 46. Калининград, 2015. С. 168—177.
10. I/. WeBHeHKO
Yu. Shevchenko1 11mmanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236016, Russia
[email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4471-2750 doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-18
Curvature-torsion tensor for Cartan connection
Submitted on May 17, 2019
A Lie group containing a subgroup is considered. Such a group is a principal bundle, a typical fiber of this principal bundle is the subgroup and a base is a homogeneous space, which is obtained by factoring the group by the subgroup. Starting from this group, we constructed structure equations of a space with Cartan connection, which generalizes the Cartan point projective connection, Akivis's linear projective connection, and a plane projective connection. Structure equations of this Cartan connection, containing the components of the curvature-torsion object, allowed: 1) to show that the curvature-torsion object forms a tensor containing a torsion tensor; 2) to find an analogue of the Bianchi identities such that the curvature-torsion tensor and its Pfaff derivatives satisfy this analogue; 3) to obtain the conditions for the transformation of Pfaffian derivatives of the curvature-torsion tensor into covariant derivatives with respect to the Cartan connection.
Keywords: Cartan connection, Cartan projective connection, Cartan connection curvature-torsion tensor, analogue of Bianchi identities, covar-iant derivatives with respect to Cartan connection.
References
1. Lumiste, Yu. G.: Connections in homogeneous bundles. Math. Sat., 69:3, 434—469 (1966) (in Russian).
2. Evtushik, L. E.: Cartan connections and the geometry of the Kawa-guchi spaces obtained by the moving reference method. Geometry — 3. Itogi nauki i tekhn. Sovrem. Math and its app. Theme reviews. Moscow. 30, 170—204 (2002) (in Russian).
3. Cartan, E.: Spaces of affine, projective, and conformal connection. Kazan (1962) (in Russian).
4. Akivis, M.A.: On isoclinic three-webs of their interpretation in the ruled space of projective connection. Siberian Mat. J., 15:1, 3—15 (1974) (in Russian).
5. Shevchenko, Yu. I., Skrydlova E. V.: On the plane space of projec-tive connection, which generalizes the Cartan and Akivis spaces. Classical and modern geometry: materials inters. conf. Moscow. 150—151 (2019) (in Russian).
6. Kobayashi, Sh.: Transformation groups in differential geometry. Moscow (1986) (in Russian).
7. Ehresmann, C.: Les connexions infinitesimales dans un espace fiber differenttable. Colloque de topologie. Bruxelles. 29—55 (1950).
8. Vagner, V. V.: The theory of composite manifolds. Semin. by vect. and tenz. analysis papers, 8, 11—72 (1950) (in Russian).
9. Bliznikas, V.I.: Nonholonomic Lie Differentiation and Linear Connections in the Space of Supporting Elements. Lithuanian Math. J., 6:2, 141—209 (1966) (in Russian).
10. Shevchenko, Yu. I.: Connectivity in a composite manifold and its continuation. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 23, 110—118 (1992).
11. Laptev, G.F.: Basic infinitesimal structures of higher orders on a smooth manifold, Tr. geom. Semin., 1, 139—189 (1966) (in Russian).
12. Evtushik, L. E., Lumiste, Yu. G., Ostianu, N.M., Shirokov, A. P.: Differential-geometric structures on manifolds. Problems of geometry, 9 (1979) (in Russian).
13. Shevchenko, Yu. I.: Holonomic and semi-holonomic sub manifolds of smooth manifolds. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 46, 168—177 (2015) (in Russian).
