CC BY
35
УДК 539.3.01:622.834
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНОМ МАССИВЕ*
Лидия Николаевна Гахова
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт горного дела им. Н.А. Чинака-ла Сибирского отделения Российской академии наук, 630091, Россия, г. Новосибирск, ул. Красный проспект, 54, с.н.с. лаборатории ДМСМГП, тел. (383)217-03-37, e-mail: [email protected]
Рассматриваются вопросы постановки задач квазистатической термоупругости для кусочно-однородного массива. По результатам численного моделирования выполнена оценка напряженного состояния турбинного сталежелезобетонного водовода гидротехнического сооружения с учетом температуры внешней среды и воды в водоводе.
Ключевые слова: численное моделирование, квазистатическая термоупругость, напряженное состояние, кусочно-однородный массив.
THERMAL STRESSES IN A PIECEWISE-HOMOGENEOUS MASS*
ЫМа N. Gakhova
N.A. Chinakal Institute of Mining Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny Pr., PhD in Physics and Mathematics, Senior Researcher of the Rock’s Mechanical Condition Diagnostics Laboratory, e-mail: [email protected]
Under consideration are the issues dealing with the statement of the quasistatic thermoelasticity problems for a piecewise-homogeneous mass. Using the numerical modeling data, the stress state of the turbine steel-concrete water conduit was assessed with consideration for the environment and water-conduit temperatures at a hydraulic engineering facility.
Key words: numerical modeling, quasistatic thermoelasticity, stress state, piece-
wise-homogeneous mass.
Задача теории упругости для кусочно-однородных тел основывается на рассмотрении тела многосвязной замкнутой области G, состоящего из однородных блоков G[n], для которых выполняется G = у G[n] [1,2]. Поверхность
п
раздела блоков G[n] и G[m] - Sn,m = G[m] Q G[n], при этом для одного и того же элемента Sn m: S*m - граничные элементы, расположенные на стороне, обращенной к блоку G[n], а S~m - на стороне, обращенной к смежному блоку G[m]. Г[n] - свободная граница блока G[ n], n,m = 1,...,N.
Описание напряженно-деформированного состояния области G осуществляется тензорами напряжений а = (а) и деформаций s = (stj ), где i, j = x,y, а
* Работа выполнена в рамках Программы ФНИ УШ.74.1 и при финансовой поддержке Гранта РФФИ № 12-08-00489-а
также вектором перемещения и(пх,пу). Для плоской деформации строятся
уравнения равновесия блоков и выражения для деформаций и напряжений, содержащие модуль сдвига и коэффициент Пуассона блока. На внешней поверхности Г[и] блоков О[и] и на границе раздела £ит граничные условия формулируются в предположении, что смежные блоки работают совместно, т.е. граничные элементы £+т и 8~т одного и того же элемента 8пт совпадают друг с другом.
Уравнения напряжений и смещения во внутренних точках блока строятся с использованием функций влияния Грина, описывающих напряжения и смещения во внутренних точках Х(х,у) п-ного блока, вызванные действием единичной силы, приложенной в точке У(х,у) граничного или контактного контура
£[ и]. Для вычисления компонентов векторов перемещений и напряжений на
внешней поверхности блока £и т строятся системы уравнений с использованием функций, называемых фиктивными нагрузками [1,2].
Следствием температурных воздействий на массив блочной структуры являются перераспределения напряжений как в самих блоках, так и между ними. Для учета динамики температурного поля в блоке используется уравнение нестационарной теплопроводности. Система дифференциальных уравнений несвязанной квазистатической термоупругости без источников тепла и массовых сил будет иметь вид [1]
М[п] Аи[п] + (Л[п] + м["] ^аё Шу и[п] = у[п] егаё£[п], (1)
А Ы»] 1 8в'"]
А^ =—гг-------- (2)
ж[п] д г 5 ( )
где и[п](Х, г) — вектор смещений (в точке X (х, у) в момент времени г); в[п] (X, г) = Т(X, г) - Т0 — температура, отсчитываемая от исходного состояния; Л[п] , ^[п] — константы Ламе; у [п]= а[п](3Л[п] + 2^[п]), а [п] — коэффициент линейного теплового расширения; А — оператор Лапласа; ж[п] — коэффициент температуропроводности.
Предполагается, что разность температур такова, что свойства массива не изменяются под их воздействием, следовательно, напряжения и деформации связаны соотношением Дюамеля - Неймана [1].
Температурное поле определяется независимо от поля перемещений решением уравнения (2) с граничными и начальными условиями
в[п](Х, 0) = 0, Х е О[п] и Г[п], (3)
дв[п] -
■д^ + к[п](У, г)в[п](У, г) = к[п](У, г)в [п](У, г), У е Г[п], г > 0, (4)
дп(У )
Рі (У,і) = ^ (У,і) , Г є Рп], г > 0, І = 1,2
(5)
к[п] (У, г) — коэффициент теплообмена; в [п] (У, г) — температура окружающей среды или соседнего блока; дв[п] / дп(У) — производная по внешней нормали к блоку. Найденное значение температуры используется для решения уравнения (1), в котором время г рассматривается как параметр.
Задача несвязанной квазистатической термоупругости сводится к последовательному решению системы интегральных уравнений для нахождения плотностей , I = 1, 2, 3. Значения величин определяются интегрированием по границе (для плотностей (р1, (р2, полученных из системы интегральных уравнений изотермической упругости) или по границе и времени (для (р3, полученной из интегрального уравнения теплового потенциала простого слоя [1,2]).
В соприкасающихся средах (твердых телах) на границе разделов задаются условия сопряжения тепловых потоков и температур [4]: + = ^_ ,
п, т п, т £п,т £п ,т
где ^о+ , ^ + - соответственно тепловой поток и температура граничного эле-
п, т £п ,т
мента £+, расположенные на стороне, обращенной к блоку О[п], а ^_ и _ -
’ п, т £п ,т
тепловой поток и температура граничного элемента 8~т, расположенного на
стороне, обращенной к смежному блоку О[ т].
Условия сопряжения тепловых потоков на границе неподвижной среды (твердого тела) с текущей средой (жидкостью, воздухом) задаются через коэффициенты теплоотдачи а1 Вт/( м -град) и теплообмена Ь1= а1/к (1/м), где к - коэффициент теплопроводности, Вт/(м-град.).
Численная реализация задачи основана на методе регуляризации А.Н. Тихонова. Для решения практических задач, требующих значительных временных ресурсов, алгоритмы разработаны на основе концепции параллельных вычислений [1 - 3].
Исследовалось НДС конструктивных элементов сталежелезобетонного водовода Саяно-Шушенской ГЭС (СШ ГЭС) в условиях сезонного колебания температур воды на пороге водоприемника и наружного воздуха (рис. 1). Сталежелезобетонный трубопровод круглого сечения представляет собой многослойное кольцо, состоящее из стальной оболочки и железобетонной обделки с двумя слоями кольцевой арматуры: слой 1 - металлическая оболочка (материал - сталь 09Г2С); слои 2, 4, 6 - бетон (марка М250); 3, 5 - арматурные кольца. Толщина арматурного кольца принята равной диаметру арматурных стержней (сталь класса А-11, диаметр арматурных стержней внутренних и внешних колец от 40 до 70 мм [2]). Предполагалось, что металл оболочки, бетон и арматурные кольца - линейно деформируемые материалы. В табл. 1 приведены исходные данные для расчета напряженного состояния сталежелезобетонного турбинного водовода.
Рис. 1. Температура воды на пороге водоприемника и сезонное колебание температура воздуха в районе СШ ГЭС
Таблица 1
Физико-механические свойства конструктивных элементов сталежелезобетонных водоводов
Физические параметры массива Стальная оболочка Бетон Материал арматурных колец
Модуль упругости, Е, МПа Плотность, р , кг/м3 Коэффициенты: Пуассона V линейного теплового расширения а, 1/град теплопроводности к, Вт/(м-град) температуропроводности х , м2/сек теплоотдачи а1, Вт/( м -град) 2.1-105 7794 0,28 1.2-10-5 35 7.32-10-6 3.51 2.9-104 2400 0.17 0.95-10-5 1 0.54-10-6 0.87 2.1-105 7784 0.25 1.1-10-5 30 0.84-10-6 2.1
Для учета условий сопряжения тепловых потоков на границе неподвижной среды с текущей средой (жидкостью, воздухом) приняты следующие значения коэффициентов теплоотдачи и теплообмена: теплоотдачи воздуха а1 = 6 Вт/(м -град); теплоотдачи воды, движущейся по трубам: а2 = 600 Вт/(м -град); теплообмена воздух-бетон Ь1= а1/к = 3,45 1/м; теплообмена вода - сталь И2 т= а2/к = 17,14 1/м.
На рис. 2 - динамика температурного поля водовода в радиальном направлении в течение года, начиная с зимнего периода. Минимальная температура
наружного воздуха (Т™^ = -17,3°С) - в январе, максимальная (Т^Х = +17,9°С) - в июле. Температура воды в водохранилище на отметке водоприемника принималась, согласно рис. 1: перед наполнением водохранилища не превосходи 2,5°С, в июле - августе увеличивается до 12°С.
1 12 - месяц в году
Рис. 2. Динамика температурного поля в водоводе при изменении температуры наружного воздуха от -17,3°С до +17,9°С и воды в водоводе от +2,0°С до 12.4°С
Задача термоупругости решалась в квазистатической постановке с шагом 15 сут. (УВБ = 500 м). Ниже (табл. 2) приведены тангенциальные напряжения конструктивных элементов сталежелезобетонного водовода на 30 (минимальное значение Тт°Пд среднемесячных температур) и 180 (максимальное значение
грвозд \ ~ ~
Т тах среднемесячных температур) сутки температурных воздействий с учетом трещинообразования в бетоне [3]. Расчеты выполнены без учета изменения уровня верхнего бьефа (УВБ).
В холодный период года, характеризующийся понижением температуры наружного воздуха и воды в водохранилище (рис. 1), в бетоне и арматуре, расположенной вблизи наружной грани водовода, растягивающие тангенциальные напряжения возрастают. Растягивающие напряжения металлической оболочки увеличиваются незначительно. В летний период года разогрев внешнего бетонного кольца и внешней железобетонной оболочки снижает тангенциальные напряжения в кольцевой внешней арматуре: растягивающие напряжения вблизи
наружной грани водовода значительно уменьшаются (с 108,95 МПа при Т тП* =
-17,3°С до 64,12 МПа при ТтОХд = +17,9°С). В условиях аномального превышения среднесуточной температуры наружного воздуха и наполнения водохранилища (увеличения УВБ) они могут перейти в сжимающие. Следствием увеличения температуры воды в водоводе является уменьшение растягивающих тангенциальных напряжений в металлической оболочке.
Таблица 2
Тангенциальные напряжения (ое, МПа) конструктивных элементов сталежелезобетонного водовода при УВБ = 500 м с учетом температурных воздействий и трещинообразования в бетоне
Номер кольца Конструктивный элемент Без учета температуры С учетом температурного фактора
грвозд 1 г-1 лор 1 тіп I/,3 с глвозд _|_1 7 00Г^ 1 тах 1/,9 с
1 Металлическая оболочка 133,46 137,60 121,48
3 Арматура* 106,12* 83,14 60,20
5 Арматура* 77,56* 108,95 64,12
* Напряжения приведены непосредственно в арматуре
В заключение необходимо отметить следующее. Проверка работоспособности разработанной модели решения задач квазистатической термоупругости методом сингулярных интегральных уравнений для кусочно-однородных массивов выполнена на примере расчетов напряженного состояния многослойного турбинного сталежелезобетонного водовода гидротехнического сооружения. Результаты расчетов свидетельствуют о возможности расчета температурного поля композитного массива с учетом изменения температуры внешней среды и воды в водоводе. Изменения напряженного состояния конструктивных элементов водовода, обусловленные температурными воздействиями, имеют качественное и количественное подобие результатам натурных измеренных напряжений [2,3].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гахова Л.Н. Температурные напряжения в массивах блочной структуры / Труды конф. с участием иностр. ученых «Фундаментальные проблемы формирования техногенной геосферы» - Новосибирск: ИГД СО РАН.- 2010.- т.1.- с. 117-121.
2. Гахова Л.Н., Кузнецова Ю.А. Решение плоской задачи квазистатической термоупругости для сталежелезобетонных турбинных водоводов // Известия ВУЗов. Строительство. -2010. - №8. -с. 46 - 52.
3. Гахова Л.Н. Напряженное состояние многослойных железобетонных конструкций с учетом трещинообразования в бетоне / Труды 2-ой Российско-Китайской научной конф. «Нелинейные геомеханико-геодинамические процессы при отработке месторождений полезных ископаемых на больших глубинах»: - Новосибирск: ИГД СО РАН, 2012. - С.316 - 320.
4. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление. - М.: Энерго-атомиздат. - 1990.
© Л.Н. Гахова, 2013
