CC BY
15Логические исследования 2022. Т. 28. № 2. С. 9-39 УДК 168.3
Logical Investigations 2022, Vol. 28, No. 2, pp. 9-39 DOI: 10.21146/2074-1472-2022-28-2-9-39
Философия и логика
Philosophy and logic
В.И. шалак
Телеология и целенаправленное поведение: логический анализ
Владимир Иванович Шалак
Институт философии РАН.
Российская Федерация, 109240, г. Москва, ул. Гончарная, д. 12, стр. 1. E-mail: shalack@mail.ru
Аннотация: Целенаправленное поведение - телеологическое понятие, наиболее адекватное для описания многих изменений в живой природе, не вписывающихся в доктрину детерминизма. Такого рода поведение обладает уникальными характеристиками. Оно законоподобно, так как характеризуется устойчивостью и повторяемостью при сходных начальных условиях. Оно способно контролировать энтропию, так как в зависимости от цели его результаты имеют меньшую или большую энтропию, чем начальные условия. Также оно обладает свойствами своеобразной обратной причинности, когда будущее целевое состояние через посредство агента поведения вызывает изменения в настоящем.
Элементарные блоки целенаправленного поведения могут быть представлены правилами двух видов - конструирующих «Если имеет место C, сделай d, чтобы достичь О» и процессуальных «Если имеет место C, сделай d, чтобы запустить процесс P, который приведет к искомой цели О». Сложное целенаправленное поведение может быть описано как выполнение набора правил, определяющих, какие и в каком порядке следует производить действия для достижения искомой конечной цели. Успешные схемы целенаправленного поведения в последующем могут служить образцом для разработки различных технологий.
Анализ целенаправленной деятельности людей при вычислении функций привел А. Тьюринга к построению математической модели, получившей название машины Тьюринга. По ряду причин невозможно создать теорию целенаправленного поведения, сравнимую с теорией эффективной вычислимости, но вполне возможно построить общую модель и логическую теорию такого рода поведения, что и является целью настоящей работы. Для этого был взят язык, содержащий динамические операторы (d) и временные операторы U (Until) и S (Since). В работе определена семантика данного языка и осуществлена его аксиоматизация. В результате была построена минимальная комбинированная логика USD, допускающая дальнейшие расширения. Показано, каким образом в этой логике можно определить правила целенаправленного поведения и их разновидности.
Ключевые слова: телеология, цель, целенаправленное поведение, целенаправленная деятельность, логический анализ, временная логика, динамическая логика
© Шалак В.И., 2022
Для цитирования: Шалак В.И. Телеология и целенаправленное поведение: логический анализ // Логические исследования / Logical Investigations. 2022. T. 28. № 2. С. 9-39. DOI: 10.21146/2074-1472-2022-28-2-9-39
Введение
Телеология, учение о целенаправленных, целесообразных изменениях в природе, столь же стара, как и сама философия, поскольку еще со времен античности была одной из ее центральных тем [Евлампиев и др., 2019]. Успехи естественных наук в механистическом объяснении явлений окружающего мира привели к тому, что телеологии было отказано в научности и долгое время к ней обращались лишь философы, которые, не будучи скованы доктринами естественных наук, не могли не видеть, что многие изменения в природе не могут быть объяснены в одних лишь терминах причинности и детерминизма. В «Критике способности суждения» Кант пишет: «...некоторые продукты материальной природы нельзя рассматривать как возможные только по механическим законам (суждение о них требует совершенно другого закона каузальности, а именно закона конечных причин)» [Кант, 1994, с. 228]. «Отвращение людей науки нового времени к спекуляциям религиозной телеологии повело к решительному отказу от всего, что как-то ее напоминало, в том числе и к отказу от целевой причины и постановки вопроса "для чего" даже в тех областях исследования, где он был закономерен. <...> Но посредством простого отлучения и науке невозможно избавиться от многих "проклятых" вопросов в силу их объективного содержания, из-за того, что эти вопросы отражают реальные отношения, возникающие в природе и обществе независимо от намерений, вкусов и воли исследователя. К такого рода вопросам относится и вопрос "для чего", когда речь идет о биологических и социальных явлениях. Неумение правильно поставить и решить этот вопрос не может служить доказательством его ненаучности» [Украинцев, 1972, с. 95-96]. Сложной проблеме совместимости принципов детерминизма и телеологии при описании живой природы посвящена работа [Фролов, 2019]. Но времена меняются, и в XX в. с появлением кибернетики как учения о самоуправляемых системах многие понятия телеологии стали обретать научный статус [Винер, 1983].
Для определенности предмета нашего исследования сосредоточимся на логическом анализе очевидных примеров целенаправленного поведения людей. Синонимом понимаемого в широком смысле целенаправленного поведения является целенаправленная деятельность, устойчивые схемы которой со временем могут служить образцом для разработки различных технологий.
Целенаправленное проведение обладает рядом удивительных характеристик, которые достойны внимательного изучения.
Прежде всего, целенаправленное поведение законоподобно. В законах природы мы фиксируем устойчиво повторяющиеся ряды событий, имеющие место всегда и везде, где имеются соответствующие начальные условия. Общая логическая форма законов имеет вид Ух(Ах Э Вх). Но и целенаправленное поведение характеризуется устойчивостью и повторяемостью при соответствующих начальных условиях. В качестве простейших и хорошо известных примеров можно привести заваривание чая, приготовление яичницы на завтрак, дорогу на работу и с работы, измерение температуры тела. Это не природные закономерности в обычном смысле слова, но они обладают требуемыми характеристиками.
Следующая характеристика — это управление энтропией. Если законы физики описывают изменения, приводящие к повышению энтропии, то целенаправленное поведение в зависимости от поставленной цели может приводить к ее локальному уменьшению или увеличению. Собирая случайно перемешанный кубик Рубика, нашей целью является привести его к виду, когда каждая грань будет содержать клетки лишь одного цвета, а это состояние наименьшей энтропии. Если мы научились собирать кубик, мы можем делать это регулярно. Но точно так же, чтобы еще раз подтвердить свое умение, мы можем перемешать клетки кубика, максимально увеличив их энтропию. Другой пример — Золушка, перебирающая зернышки. В начальном состоянии зерна ячменя и проса беспорядочно перемешаны в одной куче, имеющей высокую энтропию. По окончании работы перед Золушкой останутся всего две кучки зерен — ячменя и проса, характеризующихся наименьшей энтропией. Но затем Золушка, чтобы было чем заняться от скуки, может заново перемешать их и тем самым увеличить энтропию. Следующий пример из области физики. Любой газ, если наполнить им сосуд, стремится равномерно распределиться по всему объему. Вероятность того, что все молекулы когда-нибудь в результате хаотического движения случайно соберутся в одной половине сосуда, практически равна нулю. Но мы вставляем в сосуд поршень, нажимаем на него и перемещаем все молекулы в одну половину. И это мы умеем делать регулярно. Следующий пример из области математики. Решение задачи нахождения корней уравнения / (х) = 0 — это тоже пример целенаправленного поведения с понижением энтропии. Если сначала мы находимся в ситуации полной неопределенности, то после решения задачи неопределенность исчезает — мы находим корни или приходим к заключению, что их нет.
Еще одна удивительная характеристика целенаправленного поведения — это отмечаемая многими обратная причинность. «Может пока-
заться, что .здесь мы встречаем .забавный тип каузальности, в котором причина и следствие перевернуты во времени. Причина — это вещь в будущем, производящая следствие в настоящем или прошлом» [Ruse, 2003, с. 14], цит. по [Евлампиев и др., 2019, с. 27]. Еще не существующее будущее целевое состояние через посредство агента поведения приводит к изменениям уже сегодня. Если вам нужно через неделю сдать статью в редакцию, вы сегодня оставляете все другие дела и начинаете работать над ней. Если кто-нибудь попытается вас отвлечь, вы скажете, что вам некогда, вам нужно работать. Точно так же и будущее состояние кубика Рубика заставляет вас сейчас вращать его слои в разные стороны. Обратная причинность — это вовсе не какая-то экзотика, так как обнаруживается во многих явлениях не только живой, но и неживой природы [Faye, 2021].
Как следует из смысла термина «целенаправленное поведение», оно совершается с какой-то целью. В дальнейшем изложении для обозначения цели мы будем использовать символ G (goal). Цель — это некоторое будущее положение дел, к которому стремится активный субъект (агент) целенаправленного поведения и которое может быть описано предложением языка. В русском языке для описания цели обычно используют придаточные предложения, отделяемые от основной части союзом «чтобы». Субъектами целенаправленного поведения могут быть как отдельные люди, так и группы людей, рабочие коллективы, государственные образования и пр., рассматриваемые как единое целое.
Коль скоро мы говорим о целенаправленном поведении или деятельности, предполагается, что его субъект не является пассивным наблюдателем, а совершает определенные действия для достижения поставленной цели. Такие действия мы будем обозначать символом d. Набор действий, непосредственно совершаемых субъектом, весьма ограничен. Если говорить о людях, то это механические перемещения тела или его частей и приложение усилий к предметам окружающего мира. В нашем арсенале нет действия зажигания спички. Все, что мы можем сделать, — это взять пальцами спичку и провести ею по одной из сторон спичечного коробка. Если коробок и спичка не отсырели, то она загорится. Точно так же в нашем арсенале нет действия включения света в комнате. Все, что мы можем сделать, — это подойти к выключателю и пальцем нажать на него. Если он исправен, если электропроводка и лампочка в сохранности, а сеть под напряжением, в комнате появится свет.
Для совершения того или иного действия требуется выполнение определенных предусловий. Невозможно чиркнуть спичкой по коробку, если у вас нет ни спички, ни коробка. Невозможно приступить к приготовлению яичницы на завтрак, если у вас нет яиц и сковороды. Достаточные
условия для совершения действий мы будем обозначать посредством символа C (condition).
Элементарный «кирпичик» целенаправленного поведения может быть описан следующим образом: «Если имеет место C, сделай d, чтобы достичь С». Назовем его элементарным правилом целенаправленного поведения и запишем в виде:
C ^ d : G
Очевидно, что далеко не всякая цель достижима в один шаг применением единственного элементарного правила. Достижение удаленной цели G обычно опосредовано целым рядом промежуточных целей с промежуточными действиями для их достижения. Достаточно вспомнить сборку кубика Рубика. Сложное целенаправленное поведение может быть описано как выполнение набора правил, определяющих, какие и в каком порядке следует производить действия для достижения искомой конечной цели.
Обучая ребенка переходу через регулируемый перекресток, мы могли бы сказать ему следующее:
1. Если на светофоре горит красный или желтый свет, то остановись, чтобы дождаться зеленого света.
2. Если на светофоре горит зеленый свет, то переходи дорогу, чтобы оказаться на другой ее стороне.
Такой набор из двух правил достаточно хорошо описывает целенаправленное поведение при пересечении перекрестка.
Обратим внимание, что поведение, описываемое правилами вида «C ^ d : G», свойственно не только людям, но и многим представителям животного мира. Такие правила соответствуют хорошо знакомой схеме стимул-реакция. Услышав писк мыши, кошка бросается, чтобы поймать ее и съесть. Но есть ли какое-то различие между целесообразным поведением людей и целесообразным поведением животных, если на уровне элементарных механических действий они неотличимы? При этом очевидно, что многие животные могут выполнять такие действия гораздо лучше, чем люди, — быстрее перемещаются, превосходят нас силой, способны высоко летать и погружаться глубоко в воду.
Принципиальное отличие целесообразного поведения людей заключается в способности производить действия с отсроченным во времени достижением цели, основанном на знании природных причинных связей.
Представим ситуацию, что у вас болит голова. Желаемая цель — избавление от этой боли. Ваше поведение в такой ситуации вполне целесообразно. Вы знаете, что, если у человека болит голова, он может проглотить таблетку обезболивающего, чтобы головная боль прошла. Вы проглатываете таблетку, запиваете водой и ждете. Вы знаете, что непосредственный результат действия проглатывания таблетки не совпадает с желаемым целевым состоянием, но вы также знаете, что он инициирует в организме особые химико-физиологические процессы, которые через некоторое время должны принести облегчение. Совершаемое действие направлено не на непосредственное достижение целевого состояния, а на создание достаточных причинных условий для запуска в организме специальных процессов. Ответ, почему они начнутся, дает наука, изучающая причинные связи в природе и производимые ими эффекты. Подобно этому мы бросаем весной зерна в борозду, чтобы осенью собрать урожай. Действие и целевое состояние разделяет полгода времени. Результат наших непосредственных действий отличен он конечной цели, но эти действия запускают сложные причинные процессы, которыми мы научились пользоваться.
Новый вид правил, свойственных в основном людям, имеет более сложную форму, включающую указание на инициируемые процессы: «Если имеет место С, сделай й, чтобы запустить процесс Р, который приведет к искомой цели С». Запишем их в виде:
С ^ ( : Р : С
Правила первого вида будем называть конструирующими, а второго — процессуальными. Если при выполнении конструирующего правила цель должна быть достигнута сразу, поскольку совпадает с результатом действия, то при выполнении процессуального правила цель достигается не сразу, а по мере протекания причинно инициируемого процесса.
Необходимо отметить, что даже хорошо себя зарекомендовавшие образцы целенаправленного поведения не всегда приводят к достижению поставленных целей. В таких случаях мы обычно говорим, что все сделали правильно, но не получилось. Вовремя посеяли зерно, но сильная засуха или обильные осадки привели к гибели урожая.
Активное применение правил второго вида со временем привело к появлению разнообразных технологий, состоящих из запускаемых разнородных, но объединенных в одну цепочку природных процессов. Появился сильный стимул для научных изысканий, приводивших к дальнейшему совершенствованию существующих технологий и появлению новых. Технологические революции в значительной степени были обусловлены открытия-
ми новых причинных связей в природе — от силы пара до внутриатомных превращений.
Развитию новых технологий способствовала также простота механических действий, за рамки которых не могут выходить элементарные действия людей. На заре появления паровых машин их работа требовала участия человека, который, дергая рычаги, поочередно открывал и закрывал клапаны рабочего цилиндра. Ввиду простоты эта работа зачастую поручалась детям. Согласно легенде, однажды смышленому мальчику надоело дергать рычаги, и он ремнями соединил их и рабочие механизмы таким образом, что рычаги стали двигаться сами, открывая и закрывая клапаны. То, что ранее определялось инструкциями по очередности выполняемых действий, было замещено новыми структурными связями частей паровой машины, которые взяли на себя роль управления основными физическими процессами.
В 1936 г. Алан Тьюринг, анализируя целенаправленное поведение человека по вычислению математических функций, построил математическую модель абстрактного вычислительного устройства, названного впоследствии его именем [Turing, 1936]. Все, что может делать человек-вычислитель, — это перемещать фокус внимания по страницам своего блокнота, а также записывать и стирать символы на них. В предложенном Тьюрингом формализме поведение человека описывалось выполнением набора правил вида «С ^ d». Цель в них специально не указывалась, так как предполагалось, что ничто не может помешать успешному их выполнению и непосредственный результат каждого действия совпадает с его целью. Вскоре на основе результатов Тьюринга возникла теория эффективной вычислимости, были построены и получили широкое распространение компьютеры.
Поскольку вычисление математических функций является частным случаем целенаправленного поведения, естественно возникает желание по образцу и подобию теории эффективной вычислимости построить математическую теорию всего целенаправленного поведения. К сожалению, это невозможно и связано с тем, что теория эффективной вычислимости существенным образом использует факт фиксированности алфавита исходных символов и фиксированности набора действий машины Тьюринга. Это позволяет произвести необходимую для развития теории гёделизацию машин Тьюринга. В случае целенаправленного поведения, если мы и можем указать фиксированный набор элементарных действий субъекта, то перечислить все физические процессы, которые уже открыты или еще будут открыты наукой в будущем, не представляется возможным. Язык для описания всех образцов целенаправленного поведения открыт для будущих
пополнений. Не следует возлагать излишних надежд и на кибернетику, которая в основном сосредоточена не на общих моделях целенаправленного поведения, а на изучении обратных связей между целью и действиями, предпринимаемыми для ее достижения. Выпущенная в направлении цели ракета с головкой самонаведения периодически корректирует свою траекторию, чтобы точно поразить цель.
Целесообразное поведение в терминах конструирующих и процессуальных правил обладает дополнительным глубинным смыслом. Первая глава первой книги Метафизики Аристотеля начинается словами: «Все люди от природы стремятся к знанию». Дальше он выделяет три вида знаний. Первое — знание, происходящее из чувственных восприятий, второе — искусство (или умения) и третье — мудрость, знание о причинах. Сегодня вместо чувственного восприятия мы бы использовали термин эмпирическое знание, вместо искусства и умений — инженерное знание в широком смысле, а вместо мудрости — теоретические науки. Правила «С ^ d : P : G» имплицитно содержат все три перечисленных вида знаний. Проверка условий С применения правил опирается на эмпирическое знание о текущем положении дел. Инженерное знание — это знание о том, как посредством простых манипуляций d запускать те или иные процессы P. Теоретические науки открывают новые процессы P и описывают их причинные связи.
В предыдущих работах [Шалак, 2021a] и [Шалак, 2021b] на многочисленных содержательных примерах мы уже рассмотрели проявление, структуру и эволюцию целенаправленного поведения в жизни отдельных людей и в функционировании социальных структур. Следующим шагом должен был стать строгий логический анализ и определение семантики. Несмотря на то, что построить математическую теорию целенаправленного поведения по образцу теории вычислимости невозможно, все еще представляется возможным построить общую модель и логическую теорию такого рода поведения. Это и является целью настоящей работы.
1. Комбинированная логика USD
Чтобы приступить к решению задачи, выделим общие черты, которыми должен обладать язык логики и его модели.
1. Поскольку цель всегда удалена во времени, нам не обойтись без моделей и языка временной логики.
2. Поскольку субъект для достижения поставленных целей должен совершать те или иные действия, мы должны иметь языковые средства для их представления.
3. Поскольку действия субъекта могут инициировать протяженные во времени процессы, они также должны быть каким-то образом пред-ставимы.
1.1. Язык
Возьмем язык пропозициональной логики и добавим к нему два двухместных временных оператора S (Since) и U (Until), которые помимо задания временных отношений позволят нам представлять длящиеся во времени процессы. Такой язык рассмотрел Дж. Камп [Kamp, 1968], применив его для анализа continuous-времен английского языка. Это как раз то, что нам нужно. Также дополним язык множеством элементарных действий Act, которые может выполнять агент.
1. Prop — множество пропозициональных переменных;
2. Act — множество элементарных действий {di, d2,... };
3. —, Л — логические связки;
4. S, U — двухместные временные операторы;
5. ), (, ), ( — технические символы.
Понятие формулы определим следующим образом: A = p | —A | (A Л B) | S(A, B) | U(A, B) | (d) A, где p e Prop, d e Act.
Определение 1. Расширим язык посредством определений:
1. (A V B) ^de/ —(—A Л—B);
2. (A D B) ^de/ —A V B;
3. t ^de/ P V —p — для фиксированной p e Prop;
4. f ^de/ —t;
5. FA ^de/ U(A, t);
6. GA ^de/ —F—A;
7. PA ^de/ S(A, t);
8. HA ^de/ —P—A;
9. [d] A ^de/ —(d)—A.
Замечание. Для краткого обозначения в метаязыке логических связок и кванторов будем использовать следующие символы:
• ... » — «не... »;
• «... & ... » — «... и... »;
• «■ ■ ■ ^ ... » — «если..., то... »;
• «■ ■ ■ ^ ... » — «... если и только если... »;
• «Зг... » — «существует такой г, что... »;
• «Уг ... » — «для всякого г имеет место... ».
1.2. Модельная структура
Модельной структурой будем называть пару (Ж, <) , где
1. Ж — непустое множество возможных миров;
2. < С Ж х Ж — временное отношение достижимости на мирах.
В целях максимальной общности мы не налагаем на отношение достижимости никаких ограничений. Если понадобится, это можно будет сделать в будущем.
1.3. Модель
Модель М = (Ж, <, I) — это тройка, где
1. (Ж, <) — модельная структура;
2. I — функция интерпретации дескриптивных терминов языка:
• I(р) С Ж;
• I(() С <.
Поскольку действия, выполняемые агентом, происходят во времени, они должны подчиняться его порядку. Этим обусловлено требование I(() С<.
1.4. Истинность в модели
Обозначим посредством М, ад = А отношение «формула А истинна в возможном мире ад модели М = (Ж, <, I)», задав его следующим образом:
1. М, ад = р ^def ЭД е I(р);
2. М, ад = -А ^е/ М, ад .И А;
3. М, ад = А Л В ^е/ М, ад = А & М, ад = В;
4. М, ад = 5 (А, В) ^е/ Зг(г <ад & М, г = А & Уи(г < и < ад ^ М, и = В));
5. М, ад = и (А, В) ^е/ Зг(ад <г & М, г = А & Уи(ад < и < г ^ М, и = В));
6. М, ад = (¿) А ^Ле/ Зг((ад, г) е I(¿) & М, г = А);
Операторы Б и и можно понимать как ограниченные во времени прай-оровские операторы Н и С. Если НА интерпретируется как «всегда было А», то Б(В,А) понимается как «с некоторого момента в прошлом, когда было В, всегда имело место А». Аналогично для будущего И(В, А) — «до некоторого момента в будущем, когда станет истинно В, всегда будет иметь место А».
Легко проверить, что условия истинности для формул с модальными операторами, которые мы ввели посредством Определения 1, стандартны:
7. М, ад = ГА ^ Зг(ад < г & М, г = А);
8. М, ад = СА ^ Уг(ад < г ^ М, г = А);
9. М, ад = НА ^ Уг(г < ад ^ М, г = А);
10. М, ад = РА ^ Зг(г < ад & М, г = А);
11. М, ад = А ^Уг((ад,г) е I^ М,г = А).
Также зададим следующие отношения:
• М = А Уад(М, ад = А) — А истинна в модели М;
• = А ^е/ УМ(М = А) — А общезначима;
• ЗМЗад(М, ад = А) — А выполнима.
1.5. Аксиомы и правила вывода
Ax.0 Аксиомы логики высказываний
Ax.1 G(A D B) D (U(C, A) D U(C, B)) Л (U(A, C) D U(B, C))
Ax.2 H(A D B) D (S(C, A) D S(C, B)) Л (S(A, C) D S(B, C))
Ax.3 A Л U(B, C) D U(B Л S(A, C), C)
Ax.4 A Л S(B, C) D S(B Л U(A, C), C)
Ax.5 [d](A D B) D ([d] A D [d] B)
Ax.6 (d) A D FA
Четыре правила вывода:
1. Modus ponens;
2. b A ^ b GA;
3. b A ^ b HA;
4. b A ^ b [d] A.
Определения отношения выводимости и доказуемости стандартные.
2. Непротиворечивость и полнота логики USD
Из-за наличия нестандартных операторов S и U доказательство полноты несколько сложнее, чем аналогичное для временной логики с прайоров-скими операторами. В общих чертах оно будет следовать доказательству С. Мина [Ming, 1988], но более подробно и с дополнительными отличиями из-за наличия динамических операторов.
Лемма 1. Логика USD непротиворечива относительно предложенной семантики.
Доказательство леммы опускаем, так как оно не представляет особой сложности и сводится к простой проверке аксиом и правил вывода.
Определение 2. Еще раз напомним определения максимально непротиворечивых и дедуктивно замкнутых множеств.
1. MCS =de/ {w : ~(w b f) & VA(A e w ^ w U {A} b f)} — семейство всех максимально непротиворечивых множеств формул.
2. DCS =def {w : VA(w h A ^ A e w)} — семейство всех дедуктивно замкнутых множеств формул.
Необходимо дать комментарий к пониманию отношения выводимости «h» в выражениях вида w h A, где w — некоторое, возможно, пустое, множество формул. Пусть Th — множество всех теорем логики USD. Тогда отношение выводимости w h A означает то же самое, что и классическая выводимость Th U w h A.
Лемма 2. Логика USD обладает следующими свойствами:
1. h -B ^ h -U(B, A)
2. h -B ^ h -S(B,A)
3. h B = С ^ h A [B/p] = A [C/p]
4. hAiDA2, hBiDB2 ^hU(Ai,Bi)DU(A2,B2), hS(Ai, Bi)dS(A2, B2)
5. h A D GPA
6. h A D HFA
7. h G(A D B) D (GA D GB)
8. h H(A D B) D (HA D HB)
9. h A Л U(B,C) D U(B,C Л PA) 10. h A Л S(B, С) D S(B, С Л FA)
Доказательство.
(1) h -B ^ h -U(B, A).
+1. h -B
2. h G-B
3. h -FB
4. h -U(B, t)
5. h G(A D t) D (U(B, A) D U(B, t))
6. h G(A D t) D (- U(B, t) D - U(B, A))
7. h A D t
8. h G(A D t)
9. h -U(B,A)
доп. из 1
из 2 по Опр. 1.6 из 3 по Опр. 1.5 Ax.1
из 5 по ЛВ теорема ЛВ из 7
из 4, 6, 8
(2) b -B ^ b -S(B,A). Аналогично (1)
(3) b B = C ^ b A [B/p] = A [C/p].
Это стандартная теорема о подстановке, которая доказывается структурной индукцией по A. Для случая, когда главным знаком A является U или S, применяем аксиомы Ax.1 или Ax.2.
(4) bAiDA2, bBiDB2 ^bU(Ai,Bi)DU(A2,B2), bS(Ai, Bi)dS(A2, B2).
Это свойство монотонности операторов U и S, которое доказывается применением аксиом Ax.1 и Ax.2.
(5) b A D GPA. +1. A
[+2. -GPA |3. F-PA |4. U(-PA, t)
|5. A Л U(-PA, t) D U(-PA Л S(A, t), t) |б. U(-PA Л S(A, t), t) |7. u(-PA Л PA, t) |8. b -(-PA Л PA) |9. b -U(-PA Л PA, t) [10. противоречие
11. GPA
12. b A D GPA
(6) b A D HFA. Доказательство аналогично (5).
(7) b G(A D B) D (GA D GB).
+1. G(A D B)
+2. GA
[ +3. -GB
|4. F-B
|5. U(-B, t)
|б. u(-B Л S(GA, t), t)
|7. U(-B Л PGA, t)
|8. b PGA D A
— доп.
— доп.
— из 2 по Опр. 1.6
— из 3 по Опр. 1.5
— Ax.3
— из 1, 4, 5
— из 6 по Опр. 1.7
— теорема ЛВ
— из 8 по (1)
— 7, 9
— из 2-10
— из 1-11
— доп.
— доп.
— доп.
— из 3 по Опр. 1.6
— из 4 по Опр. 1.5
— из 2, 5 по Ax.3
— из 6 по Опр. 1.7
— из (6)
|9. и(-Б Л А, 4)
110. и(-(А э Б), 4)
111. Р-(А э Б)
112. -С(А э Б) [13. противоречие
14. СБ
15. Ь С(А э В) э (СА э СБ)
— из 7, 8, (4)
— из 9 по (3)
— из 10 по Опр. 1.5
— из 11 по Опр. 1.6
— 1, 12
— из 3-13
— из 1, 2-14
(8) Ь Н(А э Б) э (НА э НБ). Доказательство аналогично (7).
(9) Ь А Л и(Б, С) э и(Б, С Л РА).
+1. А Л и(Б, С)
2. СРА
3. Ь РА э (С э С Л РА)
4. Ь С(РА э (С э С Л РА))
5. Ь СРА э С(С э С Л РА)
6. С(С э С Л РА)
7. Ь С(С э С Л РА) э (и(Б, С) э и(Б, С Л РА))
8. и(Б, С) э и(Б, С Л РА)
9. и(Б,С Л РА)
10. Ь А Л и(Б, С) э и(Б, С Л РА)
— доп.
— из 1 по (5)
— теорема ЛВ
— из 3
— из 4, по (7)
— из 2, 5
— Ах.1
— из 6, 7
— из 1, 8
— из 1-9
(10) Ь А Л 5(Б, С) э 5(Б, С Л РА).
Доказательство аналогично (9). I
Лемма 3. Для любых ад, V € МС5 и любой формулы А следующие утверждения эквивалентны:
1. УБ(Б € V ^ и(Б, А) € ад)
2. УБ(Б € ад ^ 5(Б,А) € V)
Доказательство.
(1 ^ 2)
+1. УБ(Б € V ^ и(Б, А) € ад) — доп.
+2. Б € ад — доп.
[+3. 5(Б, А) € V —доп.
4. -S(B,A) е v
5. U(-S(B, A), A) е w
6. B Л U(-S(B, A), A) D U(-S(B, A) Л S(B, A), A)
7. U(-S(B, A) Л S(B, A), A) е w
8. h -(-S(B,A) Л S(B,A))
9. h - U(-S(B, A) Л S(B, A), A)
10. - U(-S(B, A) Л S(B, A), A) е w [11. противоречие
12. S(B,A) е v
13. VB(B е w ^ S(B,A) е v)
(2 ^ 1)
+1. VB(B е w ^ S(B,A) е v)
+2. B е v
[+3. U(B,A) е w
4. - U(B, A) е w
5. S(-U(B, A), A) е v
6. B Л s(- U(B, A), A) D S(-U(B,A) Л U(B, A), A)
7. S(- u(b, A) Л U(B, A), A) е v
8. h -(- U(B, A) Л U(B, A))
9. h -S(-U(B,A) Л U(B, A), A)
10. -S(-U(B,A) Л U(B, A), A) е v [11. противоречие
12. U(B, A) е w
13. VB(B е v ^ U(B, A) е w)
из 3
из 1, 4
Ax.3
из 2, 5, 6
теорема ЛВ
из 8 по Лемме 2.1
из 9
7, 10
из 3, 11
из 2-12
доп.
доп.
доп.
из 3
из 1, 4
Ax.4
из 2, 5, 6
теорема ЛВ
из 8 по Лемме 2.2
из 9
7, 10
из 3, 11
из 2-12
Определение 3. Для любых w,v е MCS
1. r(w, A, v) VB(B е v ^ U(B, A) е w);
2. f(w,x,v) x е DCS & VA(A е x ^ r(w, A,v));
3. R(w, x, v) ^(w, x, v) & Vy(f(w, y, v) & x С y ^ x = y).
Смысл отношения R(w, x, v) заключается в том, что если w и v понимать как полные описания положения дел в двух возможных мирах, то x — это множество всех предложений, которые сохраняют истинность в промежуточных возможных мирах при переходе от w к v.
Лемма 4. Для любых w, v e MCS
1. r(w, A, v) ^ Зж(г (w, ж, v) & A e ж);
2. f(w, ж, v) ^ 3y(R(w, y, v) & ж С y);
3. R(w, ж, v) & A e ж ^ 3B(B e ж & ~r(w, A Л B, v));
4. U(A, B) e w ^ ЗжЕЦЕ^, ж, v) & B e ж & A e v);
5. S(A, B) e v ^ ElwEte^w, ж, v) & A e w & B e ж).
Доказательство.
(1) r(w, A, v) ^ Зж(г (w, ж, v) & A e ж)
+1. r(w, A, v)
2. ж =def {B : A h B}
3. A e ж [+4. ж h С |5. A h С L6. С e ж 7. ж e DCS [+8. B e ж |9. A h B
110. h A D B
111. VC(С e v ^ и(С, A) e w)
112. VC(c e v ^ u(c,B) e w) [13. r(w, B, v)
14. VB(B e ж ^ r(w,B,v))
15. f(w, ж, v)
16. Зж(г (w, ж, v) & A e ж)
(2) f(w, ж, v) ^ 3y(R(w, y, v) & ж С y)
Пусть Ai,..., An,... — пересчет всех формул языка. Определим последовательность DCS-множеств жо,..., ж^+i,... . жо = ж
если z = {B : жп U {An} h B}, f(w, z, v); в противном случае.
— доп.
— х дедуктивное замыкание {А}
— из 2, т.к. А Ь А
— доп.
— из 2, 4 по свойствам Ь
— из 2, 5
— из 4-6, по Опр. 2.2
— доп.
— из 2, 8
— из 9 теореме дедукции
— из 1 по Опр.3
— из 10, 11, Лемме 2.4
— из 12, по Опр. 3.1
— из 8-13
— из 7, 14 по Опр. 3.2
— из 3, 15
жп+i =
оо
y =def U жг
г=0
z,
жra,
(3) R(w, x, v) к A G x ^ 3B(B G x к ~r(w, A Л B, v))
+1. R(w, x, v) к A G x
2. f (w, x, v) к Vy(f(w, y, v) к x С y ^ x = y)
3. Vy(x С y ^ -r(w,y,v))
4. y =de/ {C : x U {A} h C} Б. x С y
б. ~f(w,y,v)
T. 3C(C g y к ~r(w,C,v)) В. C G y к ~r(w,C,v) g. x U {A} h C
10. B Л A h C
11. h B Л A D C
[ +12. r(w, A Л B, v)
113. VD(D G v ^ U(D,A Л B) G w)
114. Vd(d g v ^ U(D, C) G w) 11Б. r(w, C, v)
[1б. противоречие
1T. -r(w, A Л B, v)
1В. B G x к -r(w, A Л B, v)
1g. 3B(B G x к ~r(w, A Л B, v))
— доп.
— из 1 по Опр. 3.3
— из 2
— зададим y
— из 1, 4
— из З, Б
— из б по Опр. 3.2
— из T для некот. C
— из 4, В
— из g для некот. B G x
— из 10
— доп.
— из 12 по Опр. 3.1
— из 11, 13, Лемма 2.4
— из 14 по Опр. 3.2
— В, 1Б
— из 12-1б
— из 10, 1T
— из 1В
(4) U(A, B) G w ^ 3x3v(R(w, x, v) к B G x к A G v)
+1. U(A, B) G w
2. vo =de/ {A} U {S(C, B) : C G w} 1+3. vo h f
4. A Л S(Cl, B) Л ... Л S(Cn, B) h f
Б. Cl Л ... Л Cn G w
б. S(Cl Л ... Л Cn, B) G vo
t. h S(Cl л ... л C«, B) d S(Cl, B) л ... л S(Cn, B)
В. A Л S(Cl Л ... Л Cn, B) h f
g. u(a л S(Cl л ... л C«, B), B) g w
10. ~ [U(A Л S(Cl Л ... Л C«, B), B) h f
11. -h-U(A Л S(Cl Л ... Л C«, B), B)
12. ~ h -(A Л S(Cl Л ... Л Cn, B))
13. ~ [A Л S(Cl Л ... Л Cn, B) h f [14. противоречие
1Б. - [vo h f]
1б. vo С v к v G MCS
доп.
определим мн-во vo
доп.
из З
из 2, 4
из 2, Б
теорема USD из 4, T
из 1, Б по Ax.3 из g из 10
из 11 по Лемме 2.1 из 12 из 4, 1З из 3-14
из 1Б для некот. v
17. УС (С е w ^ 5(С,В) е V)
18. г^, В, V)
из 2, 16
из 17 по Лемме 3 и
24. ЗхЕЦЕ^, х, V) & В е х & А е V)
19. Зх е & В е х)
20. г^, х, V) & В е х
21. Зу е ДС5(Я^, у, V) & х С у)
22. Зу е ДС5(я^,у^) & В е у)
23. Зу(Я^, у, V) & В е у & А е V)
Опр. 3.1
из 18 по (1) из 19 для некот. х из 20 по (2) из 20, 21 из 2, 16, 22 из 23
(5) 5(А, В) е V ^ ЗwЗx(Я(w, х, V) & А е w & В е х) Аналогично (4).
Лемма 5. Имеют место следующие утверждения:
1. Я^, х, V) ^ УА(А е w ^ 5(А, ¿) е х)
2. Я^, х, V) ^ УА(А е V ^ и(А, 4) е х) Доказательство.
(1) Я^, х, V) ^ УА(А е w ^ 5(А, 4) е х)
+1. Я(w,x,v) —доп.
+2. А е w — доп.
[+3. 5(А, 4) е х — доп.
|4. 5(А, 4) е х ^ ЗВ(В е х & 5(А, 4) Л В, V)) — по Лемме 4.3
|5. ЗВ(В е х & 5(А, 4) Л В^)) — из 3, 4
|6. Вех & £(А, 4) Л В, V) — из 5 для некот. В
7. ЗС(С е V & и(С, 5(А, 4) Л В) е w)
8. С е V & и(С, 5(А, ¿) Л В) е w
9. Г х, V) & Уу(Г у, V) & х С у ^ х = у)
10. х е ДС5 & Уа(а е х ^ г^, А, V))
11. Вех ^ г^, В, V)
12. г^, В, V)
13. УС (С е V ^ и(С, В) е w)
14. С е V ^ и(С, В) е w
15. и(С, В) е w
16. Ь А Л и(С, В) ^ и(С, В Л РА)
17. и(С, В Л РА) е w
18. Ц(С, В Л 5(А, 4)) е w
из 6 по Опр. 2.1 из 7 для некот. С из 1 по Опр.3.3 из 9 по Опр. 3.2 из 10 из 6, 11
из 12 по Опр. 3.1 из 13 из 8, 14 Лемма 2.9 из 2, 15, 16 из 17 по Опр. 1.7
[19. противоречие — 8, 18
13. 5(А, 4) е х — из 3-19
(2)Я^, х, V) ^ УА(А е V ^ и(А, 4) е х) Аналогично (1)
Лемма 6. Для любых w, V е МС5 имеет место
Г х, V) & - и(А, В) еw & Aеv ^ ^ ЗиЗх^х2 [Я^, х1, и) & Я(и, х2, V) & х С и & -В е и]
Доказательство.
+1. f(w, ж, v) & - U(A, B) e w & A e v
2. Zz(R(w,z,v) & ж С z)
3. R(w, z, v) & ж С z
4. f(w, z, v) & Vy(f(w, y, v) & z С y ^ z = y)
5. z e DCS & VA(A e z ^ r(w, A, v)) [+6. B e z
|7. B e z ^ r(w, B, v)) |8. r(w, B, v)
|9. VC(C e v ^ U(C,B) e w)
110. A e v ^ U(A,B) e w
111. U(A,B) e w [12. противоречие
13. b e z
14. ~ [{-B}U z h f
15. u =def MCS — расширение{-В} U z
16. VC(C e w ^ S(C, t) e z)
17. VC(c e w ^ s(c, t) e u)
18. r(w, t, u)
19. VC(C e v ^ U(C, t) e z)
20. VC(c e v ^ u(c, t) e u)
21. r(u, t, v)
22. Зж^ж^Е^, ж^ u) & R(u, ж2^))
23. -В e u
24. ж С u
25. EluE^z^ ^(w^^u) & R(u, ж2^) & ж С u &
-В e u]
доп.
из 1 по Лемме 4.2 из 2 для некот. z из 3 по Опр. 3.3 из 4 по Опр. 3.2 доп. из 5 из 6, 7
из 8 по Опр. 3.1 из 9 из 1, 10 из 1, 11 из 6-12 из 13
на основании 14 из 3 по Лемме 5.1 из 15, 16
из 17 по Лемме 3
и Опр. 3.1
из 3 по Лемме 5 (2)
из 15, 19
из 20 по Опр. 3.1
из 18, 21
по Лемме 4.1, 4.2 из 15 из 3, 15 — из 22, 23, 24
Лемма 7. Имеет место следующее утверждение:
А е w ^ ЗгЗж(Е(ад, ж, г) & А е г & УВ([^] В е w ^ В е г))
Доказательство.
+1. А е w
2. и =ае/ {А} и {В : [¿]В е w} и {С : СС е w}
3. Ь сс э ИС
4. {С : СС е w} С {В : [^]В е w} [+5. и Ь /
6. ВЬ...,В„,А Ь /
7. Ь В1 Л ... Л Вп э -А
8. Ь [¿]В1 Л ... Л ИВ« э И-А
9. [^]-А е w
10. А е w [11. противоречие
12. - [и Ь у]
13. г =^е/ МСБ-расширение и
14. УС(СС е w ^ С е г) [+15. £ е г
116. е г
117. е w
118. е w [19. е w
20. £ е г ^ е w
21. е г ^ е w)
22. е г ^ Ц(Д 4) е w)
23. г^, 4, г)
24. Я^,ж,г) & 4 е ж
25. А е г [+26. [¿]В еw [27. В е г
28. ИВ е w ^ В е г
29. УВ([^]В е w ^ В е г)
30. Я^, ж, г) & А е г & УВ([¿]В е w ^ В е г)
31. ЗгЗж(Я^, ж, г) & А е г & УВ([^]В е w ^ В е г))
— доп.
— определим мн-во и
— из Ах.6
— из 3
— доп.
— из 2, 4, 5
— из 6
— из 7
— из 2, 8
— из 9 по Опр. 1.9
— из 1, 10
— из 5-11
— на основании 12
— из 2, 13
— доп.
— из 15
— из 14, 16
— из 17
— из 18 по Опр. 1.6
— из 15-19
— из 20
— из 21 по Опр. 1.5
— из 22 по Опр. 3.1
— из 23 по Лемме 4.1, 4.2
— из 2, 13
— доп.
— из 2, 13
— из 26-27
— из 28
— из 24, 25, 29
— из 30
Чтобы завершить доказательство полноты, нам необходимо определить понятия канонической модельной структуры и канонической модели.
Определение 4. Пусть Т* некоторое бесконечное счетное множество. Определим К как множество всех четверок вида (Т, <, /, д) , где
С0 Т С Т* и Т конечно;
С1 < С Т х Т и удовлетворяет условию УхУу~(х < у & у < х); С2 / : Т ^ МС5,д ДС5; С3 VÍ1VÍ2 [¿1 <¿2 ^ г (/(^1),д(^1,^2), /(¿2))]; С4 VÍ1VÍ2VÍ3 [¿1 < ¿3 < ¿2 ^ ^(¿1,^2) С /(¿з)] .
Условия, которым могут не удовлетворять четверки (Т, <, /, д): С5и < ¿2 & -и(А, В) е /(¿1) & А е /(¿2) ^
З£з(^1 <¿3 <¿2 & -Ве/(¿з))];
С6и [и(А, В) е /(¿1) ^ < ¿2 & А е /(¿2) & В е дС^))];
С58 VÍ1VÍ2[Í2 < ¿1 & -5(А, В) е /(¿1) & А е /(¿2) ^ З^з(^2 <¿3 <¿1 & -Ве/(¿з))];
С68 [5(А, В) е /(¿1) ^ З^2(¿2 < ¿1 & а е /(¿2) & В е #(¿1, ¿2))];
С7 мда А е /(¿1) ^ < ¿2 & А е /(¿2) & VB([d]B е /(¿1) ^ Ве/ (¿2)))].
Выполнение условий С5и-С7 необходимо для требуемой интерпретации временных и динамических модальных операторов в будущей канонической модели. Покажем, что существуют четверки (Т, <, /, д), которые удовлетворяют всем условиям СО-С7.
Определение 5. Пусть к = (Т, <, /, д) и к' = (Т', <', /',д'). к' есть расширение к(к < к'), если
1. Т С Т';
2. < = <' П(Т х Т);
3. / С /';
4. д С д'.
Лемма 8. Пусть k = (T, <, f, g) е K и ii, ¿2, A, B образуют контрпример для C5u, т.е. ti < t2 & - U(A, B) е f (ti), A е f (t2) и ~3i3(ii < t3 < t2 & —Bеf (t3)). Тогда для k существует расширение k' = (T', <',/',g'), в котором ti, t2, A, B уже не образуют контрпример для C5u.
Доказательство. Пусть w = f(ti), x = g(ti,t2), v = f(t2). По Лемме 6 существуют такие u е MCS и xi, x2 е DCS, что R(w,xi,u), R(u,x2,v), x С u и —B е u.
Пусть t3 е T* \ T. Определим k' = (T', <', f', g') следующим образом:
a) T' = T U {¿з};
b) <' = < U{(ti, ¿3), (¿3,t2)};
c) f' = f U {(¿3, u)};
d) g' = g U {((ii,¿3) ,xi), ((¿3,^2) ,x2)}.
■
Лемма 9. Пусть k = (T, <,f, g) е K и ¿i, U(A, B) образуют контрпример для C6u, т.е. U(A, B) е f (¿i) и ~3i2(ii < ¿2 & A е f (¿2) & B е g(ii,i2)). Тогда для k существует расширение k' = (T', <', f',g'), в котором ¿i, U(A, B) уже не образуют контрпример для C6u.
Доказательство. Пусть w = f (ii). Тогда по Лемме 4.4 существуют такие v е MCS и x е DCS, что R(w, x, v), A е v и B е x.
Пусть ¿2 е T* \ T. Определим k' = (T', <', f', g') следующим образом:
a) T' = T U {¿2};
b) <' = < U{(ii,i2)};
c) f' = f U {(¿2, v)};
d) g' = g U{((ii,¿2) ,x)}.
■
Для условий C5s и C6s доказательство аналогично Леммам 8 и 9.
Лемма 10. Пусть k = (T, <, f, g) е K, ¿i и (d) A образуют контрпример для C7, т.е. (d) A е f (¿i) и ~3i2(ii < ¿2 & A е f (¿2) & VB([d]B е f (¿i) ^ B е f (¿2))). Тогда для k существует расширение k' = (T', <', f',g'), в котором ¿i и (d) A уже не образуют контрпример для C7.
Доказательство. Пусть w = /(¿1). По Лемме 7 существуют такие V е МС5 и х е ДС5, что А е V и VB([d]B е w ^ В е V).
Пусть ¿2 е Т* \ Т. Определим к' = (Т', <', /', д') следующим образом:
a) Т' = Т и {¿2};
b) <' = < и{(^)};
c) /' = / и {(¿2, V)};
ё) д' = д и {((^ 1, ¿2) ,х)}.
■
Лемма 11. И А ^ Ь А.
Доказательство. Рассуждаем от противного. Допустим, формула А не доказуема. Тогда формула -А непротиворечива, т.е. ~ [—А Ь f ]. Пусть Wo е МС5 и -А е Wo. Выберем ¿о е Т* и определим ко = (То, <о,/о, до) следующим образом:
a) То = {¿о};
b) <о = 0;
c) /о = {(¿о^о)}; ё) до = 0.
Повторным применением Лемм 8, 9 и 10 образуем последовательность {кп} элементов К таким образом, что кп < кга+1. Для любого контрпримера С5, С6 и С7 в {кп} существует такой т, что кп < кт и кт уже не является для него контрпримером.
Пусть а) Т = игаТга;
b) < = и„ <„;
c) / = и„/„; ё) д = и„д„.
Четверка к = (Т, <, /, д) удовлетворяет условиям С1-С7. Пусть моделью будет тройка М = (Т, <, I) , где I : Ргор ^ 2Т — функция интерпретации, сопоставляющая каждой пропозициональной переменной р такое множество I (р) С Т, что £ е I (р) ^ ре / (¿).
Интерпретацию элементарных действий определим следующим образом:
I(¿) = {(¿,¿1) |* < ¿1 & VA([d]A е /(¿) ^ А е /(¿1))} = {(¿,¿1) |* < ¿1 & VA(A е /(¿1) ^ (¿) А е /(*))}.
Докажем по индукции, что для любой формулы А в модели М имеет место М,4 И А ^ А е /(¿).
Базисный случай и случаи для классических связок доказываются стандартно.
(1) м, г И р ^ г е I (р) ^ ре / (¿).
(2) М,* И -А ^ М^^ А ^ А е /(¿).
(3) М, t И АлВ ^ [М, t И А, М, t И В] ^ А е /(¿), В е /(¿) ^ АлВ е /(¿).
(4) М, t И и(А, В) ^ и(А, В) е /(¿)
+1. М^ И и(А, В)
2. З^1 (^ < ¿1 & М, ¿1 И А & < ¿2 < ¿1 ^ М, ¿2 И В))
3. ^ < ¿1 & М, ¿1 И А & < ¿2 < ¿1 ^ М, ¿2 И В)
4. А е /(¿1)
5. < ¿2 < ¿1 ^ В е /(¿2)) Г+6. и(А, В) е/(¿)
|7. -и(А,В) е/(¿)
|8. ^ < ¿1 & - и(А, В) е /(¿) & А е /(¿1) |9. Зí2(^ < ¿2 < ¿1 & -В е /(¿2)) [10. противоречие 11. и(А, В) е/(¿)
(Н
+1. и(А, В) е/(¿)
2. З^1 (^ < ¿1 & А е /(¿1) & В е д(М0)
3. ^ < ¿1 & А е /(¿1) & В е д^, ¿1)
4. Ví2 [¿<¿2 <¿1 ^ д(М0 С /(¿2)]
5. Ví2 [^ < ¿2 < ¿1 ^ В е /(¿2)]
6. ^ < ¿1 & М,^ И А
7. VÍ2 ^ < ¿2 < ¿1 ^ М, ¿2 и В]
доп.
из 1 по опр. из 2 для некот. ¿1 из 3 по инд. доп. из 3 по инд. доп. доп. из 6
из 3, 4, 7 из 8 по С5и 5, 9
из 6-10
доп.
из 1 по С6и из 2 для некот. ¿1 С4
из 3, 4
из 3 по инд. доп. из 5 по инд. доп.
8. (г < ¿1 & м, ¿1 и А & у*2(* < ¿2 < ¿1 ^ м, ¿2 и В))
9. м^ и и(А, В)
(5) м, t и 5(А, В) ^ 5(А, В) е /(¿) Доказывается аналогично (4).
(6) м^ И (й) А ^ (й) А е /(¿)
Ы
+1. м^ И (й) А
2. ¿1) е I(й) & м,^ И А)
3. 3^((М1) е I(¿)& А е /(¿1))
4. < ¿1 & А е /(¿1) & УВ(И В е /(¿) =
5. * < ¿1 & А е /(¿1) & УВ(И В е /(¿) ^ В
[+6. а е/ (¿)
|7. -(й) А е /(¿) |8. И -А е /(¿) |9. -А е /(¿1) [10. противоречие 11. (ф А е /(¿)
— из 6, 7
— из 8 по опр.
— доп.
— из 1 по опр.
— из 2 инд. доп.
> В е /(¿1))) — из 3 по опр. 1(ё) е /(¿1)) — из 4 для некот. ¿1
— доп.
— из 6
— из 7 по Опр. 1.9
— из 5, 8
— из 5, 9
— из 6-10
(Н
+1. (ф А е / (¿) —доп.
2. 3^ < ¿1 & А е /(¿1) & УВ(И В е /(¿) ^ В е /(¿1))) — из 1 по С7
3. 3^1 ((¿, ¿1) е I(¿) & А е /(¿1)) — из 2 по опр. I(¿)
4. 3^1 ((¿, ¿1) е I& м, ¿1 И А) — из 3 по инд. доп.
5. м, £ И А — из 4 по опр.
По построению к = (Т, <,/, д) имеет место -А е /(¿о). Отсюда получаем м, ¿о И -А и м, ¿о И А. Следовательно, .И А, что и завершает доказательство леммы.
■
3. Целенаправленное поведение
Как было сказано ранее, элементарные правила целенаправленного поведения делятся на два вида — конструирующие и процессуальные.
В языке логики Ц^Д элементарные конструирующие операторы можно определить контекстуально следующим образом:
Определение 6. (С ^ I : С) А С Л (I) А — «После некоторого выполнения правила "С ^ I : С " имеет место А».
Обращаем внимание на то, что в правой части определения цель С выполнения правила никак не фигурирует. Это связано с тем, что цель — это субъективная установка агента действия, а не логическая составляющая. Тем не менее мы можем ее использовать, чтобы выразить, например, следующие утверждения:
• (С ^ I : С) (С Л А) — «После некоторого успешного выполнения правила "С ^ I : С " имеет место А»;
• - (С ^ I : С) С — «Ни одно выполнение правила "С ^ I : С " не приводит к искомой цели О»
В этих утверждениях цель правила позволяет выразить точку зрения агента на успешность или неуспешность его выполнения.
Элементарные процессуальные операторы определим контекстуально следующим образом:
Определение 7. (С ^ I : Р : С) А С Л (I) и(А, Р) — «После некоторого выполнения правила "С ^ I : Р : С " имеет место А».
С их помощью мы можем дополнительно выразить, например, такие утверждения:
• (С ^ I : Р : С) (С Л А) — «В результате некоторого успешного выполнения правила "С ^ I : Р : С " имеет место А»;
• - (С ^ I : Р : С) С — «Ни одно выполнение правила "С ^ I : Р : С " не приводит к достижению искомой цели О»;
• (С ^ I : Р : С) (-Р Л А) — «После некоторого выполнения правила "С ^ I : Р : С " процесс Р завершается и имеет место А»;
• (С ^ I : Р : С) (С Л Р) — «В ходе некоторого выполнения правила "С ^ I : Р : С " достигается искомая цель С, но процесс Р продолжается»
• (С ^ I : (Р Л -С) : С) (С Л А) — «В ходе некоторого выполнения правила "С ^ I : Р : С " при первом достижении цели С имеет место А».
4. Заключение
В заключении необходимо вернуться к трем удивительным характеристикам целенаправленного поведения и посмотреть, как они эксплицируются в формализме логики USD.
Законоподобность. Элементарные правила целенаправленного поведения C ^ d : G или C ^ d : P : G имеют вид, сходный с видом законов Vx(Ax D Bx). Как и последние, они содержат указание на условия применения и конечный результат, но если в случае законов природы результат следует в силу объективно существующих причинных связей, то в случае целенаправленного поведения он опосредован действиями агента, которые необходимо совершить. То есть наряду со сходством имеются и очевидные различия, но они и должны быть, так как мы имеем дело с законоподоб-ными связями, отличными от природных.
Управление энтропией. В точки зрения временной логики в каждый момент времени имеется целый набор альтернативных путей дальнейшего развития. Законы природы позволяют приписать им различную вероятность быть реализованными. Природа отдает предпочтение тем, которые характеризуются возрастанием энтропии. Другие варианты практически не имеют шансов реализоваться и потому могут считаться лишь логически возможными. Но агент целенаправленного поведения не связан требованиями возрастания энтропии. Своими действиями он сам выбирает путь дальнейшего развития, который может быть отличен от предпочитаемого природой и приводить к уменьшению энтропии.
Обратная причинность. Будущее целевое состояние не является семантически значимой компонентой правил целенаправленного поведения, а существует лишь в представлении агента. Именно поэтому в определениях модальных операторов целенаправленного поведения цель никак не фигурирует в определяющей части, но может быть использована для последующих внешних оценок выполнения правил, поскольку действия агента объективно направлены на ее достижение и предшествуют ей во времени. При этом если следствия прямой причинной связи детерминированы, то изменения, вызываемые обратной причинной связью, таковыми не являются. Агент сам решает, бросить камень или выстрелить из лука, чтобы поразить цель.
В будущем предполагается продолжить исследования целенаправленного поведения, рассмотрев логики ветвящегося времени со сложными операторами действий, а также альтернативные варианты логических формализмов.
Литература
Винер, 1983 - Винер Н. Поведение, целесообразность и телеология // Винер Н. Кибернетика. М.: Наука, 1983. С. 297-307.
Евлампиев и др., 2019 - Евлампиев И.И., Куприянов В.А. Телеология в классической и неклассической философии. СПб.: РХГА, 2019. 308 с.
Кант, 1994 - Кант И. Соч.: В 8 т. Т. 5. М.: Чоро, 1994. 416 с.
Украинцев, 1972 - Украинцев Б.С. Самоуправляемые системы и причинность. М.: Мысль, 1972. 256 с.
Фролов, 2019 - Фролов И.Т. Детерминизм и телеология. М.: Либроком, 2019. 272 с.
Шалак, 2021a - Шалак В.И. Алгоритмическая модель социальных процессов // Философские проблемы информационных технологий и киберпространства. 2021. No. 1. С. 46-62. URL: https://cyberspace.pgu.ru/jour/article/view/220/220 (дата обращения: 01.05.2022).
Шалак, 2021b - Шалак В.И. Алгоритмическое поведение и самоубийство Homo sapiens // Ученые записки Крымского федерального университета имени В.И. Вернадского. Философия. Политология. Культурология. 2021. Т. 7 (73). No. 4. С. 147-158. URL: http://sn-philcultpol.cfuv.ru/wp-content/uploads /2022/03/V.I-SHalak.-Algoritmicheskoe-povedenie-i-samoubiystvo-homo-sapiens.pdf (дата обращения: 01.05.2022).
Faye, 2021 - Faye J. Backward Causation, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2021 Edition), Edward N. Zalta (ed.). URL: https://plato.stanford.edu/archives/spr2021/entries/causation-backwards/ (дата обращения: 01.05.2022).
Kamp, 1968 - Kamp J.A.W. Tense Logic and the Theory of Linear Order, doctoral dissertation, University of California at Los Angelis, 1968.
Ming, 1988 - Ming Xu On some U,S-tense Logics// Journal of Philosophical Logic. 1988. 17 (2). P. 181-202.
Ruse, 2003 - Ruse M. Darwin and design: does evolution have a purpose? Cambridge, Massachusetts and London, England, 2003.
Turing, 1936 - Turing A.M. On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem // Proceedings of the London Mathematical Society. 1936-1937. Vol. 42. P. 230-265.
Vladimir i. Shalack
Teleology and goal-directed behavior: a logical analysis
Vladimir I. Shalack
Institute of Philosophy of Russian Academy of Sciences, 12/1 Goncharnaya St., Moscow, 109240, Russian Federation. E-mail: shalack@mail.ru
Abstract: Goal-directed behavior is a teleological concept that is most adequate for describing many changes in living nature that do not fit into the doctrine of determinism. This kind of behavior has unique characteristics. It is law-like, as it is characterized by stability and repeatability under similar initial conditions. It controls entropy because, depending on the goal, its results have less entropy or more entropy than the initial conditions. It also has the properties of a kind of reverse causality, when the future goal-state through the agent of behavior leads to changes in the present. The elementary blocks of goal-directed behavior can be represented by two types of rules - constructive "If C occurs, do d to achieve G" and procedural "If C occurs, do d to start process P, which will lead to the desired goal G". Complex goal-directed behavior can be defined as the execution of a set of rules that determine what actions should be performed and in what order to achieve the desired end goal. Successful schemes of goal-directed behavior have served as the basis for the emergence of various technologies. An analysis of the goal-directed activity of people during the calculation of functions led A. Turing to the construction of a mathematical model, called the Turing machine. For a number of reasons, it is impossible to create a theory of goal-directed behavior comparable to the theory of effective computability, but it is quite possible to construct a logical theory of this kind of behavior, which is the goal of this work. For this, we took a language containing that contains dynamic operators <d> and temporary operators U (Until) and S (Since). The paper presents the semantics of this language and its axiomatization. The constructed minimal logic allows further extensions. It is shown how in this logic it is possible to determine the elementary rules of purposeful behavior and their varieties.
Keywords: teleology, goal, goal-directed behavior, goal-directed activity, logical analysis, temporal logic, dynamic logic
For citation: Shalack V.I. 'Teleologiya i tselenapravlennoye povedeniye: logicheskiy analiz" [Teleology and goal-directed behavior: a logical analysis], Logicheskie Issledovaniya / Logical Investigations, 2022, Vol. 28, No. 2, pp. 9-39. DOI: 10.21146/2074-1472-2022-28-2-9-39 (In Russian)
References
Evlampiyev, 2019 - Evlampiyev, I.I., Kupriyanov, V.A. Teleologiya v klassicheskoy i neklassicheskoy filosofii [Teleology in Classical and non-classical philosophy]. SPb.: RKhGA, 2019. 308 pp. (In Russian).
Faye, 2021 - Faye, J. Backward Causation, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2021 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
[https://plato.stanford.edu/archives/spr2021/entries/causation-backwards/, accessed on 01.05.2022]
Frolov, 2019 - Frolov, I.T. Determinizm i teleologiya [Determinism and Teleology]. M.: Librokom, 2019. 272 pp. (In Russian).
Kamp, 1968 - Kamp, J.A.W. Tense Logic and the Theory of Linear Order, doctoral dissertation, University of California at Los Angelis, 1968.
Kant, 1994 - Kant, I. Sochineniya v 8-mi tomakh[Essays in 8 volumes]. Vol. 5. M.: Choro, 1994. 416 pp. (In Russian)
Ming, 1988 - Ming, Xu "On some U,S-tense Logics", Journal of Philosophical Logic, 1988, Vol. 17, No. 2, pp. 181-202.
Ruse, 2003 - Ruse, M. Darwin and design: does evolution have a purpose?" Cambridge, Massachusetts and London, England, 2003.
Shalack, 2021a - Shalack, V.I. "Algoritmicheskaya model' sotsial'nykh protsessov" [Algorithmic model of social processes], Filosofskiye problemy informat-sionnykh tekhnologiy i kiberprostranstva, 2021, No. 1, pp. 46-62. [ht-tps://cyberspace.pgu.ru/jour/article/view/220/220, accessed on 01.05.2022] (In Russian)
Shalack, 2021b - Shalack, V.I. "Algoritmicheskoye povedeniye i samoubiystvo Homo sapiens" [Algorithmic behavior and Homo sapiens suicide], Uchenyye zapiski Krymskogo federal'nogo universiteta imeni V.I. Vernadskogo. Filosofiya. Politologiya. Kul'turologiya. 2021, Vol. 7 (73), No. 4, pp. 147-158. [http://sn-philcultpol.cfuv.ru/wp-content/uploads/2022/03/V.I-SHalak.-Algoritmicheskoe-povedenie-i-samoubiystvo-homo-sapiens.pdf, accessed on 01.05.2022] (In Russian)
Turing, 1936 - Turing, A.M. "On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem", Proceedings of the London Mathematical Society, 1936-1937, Vol. 42, pp. 230-265.
Ukraintsev, 1972 - Ukraintsev, B.S. Samoupravlyayemyye sistemy i prichinnost [Self-managed systems and causality]. M.: Mysl, 1972. 256 pp. (In Russian).
Wiener, 1983 - Wiener, N. "Povedeniye, tselesoobraznost' i teleologiya" [Behavior, expediency and teleology], Kibernetika. M.: Nauka, 1983. S. 297-307. (In Russian)
