CC BY
49
УДК 532.517.2
Ф. Х. Тазюков, Х. А. Халаф, К. М. Алиев, Ф. А. Гарифуллин,
Ф. Р. Карибуллина, Р. С. Шайхетдинова
ТЕЧЕНИЕ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
В КАНАЛАХ, МОДЕЛИРУЮЩИХ КРОВЕНОСНЫЕ СИСТЕМЫ СО СТЕНОЗОМ
Ключевые слова: Вычислительная гидродинамика, метод контрольного объема, неньютоновская жидкость, артерии со
стенозом.
В работе рассматривается математическое моделирование течения нелинейно-вязкой жидкости, в плоских каналах со стенозом. Исследуется влияние числа Рейнольдса и степени стеноза на поведение жидкости. Показано, что при степени стеноза 75% максимальные значения скорости вдоль оси канала, давления и напряжений на стенках канала больше чем при 25% и 50% степени стеноза. Показано, что для псевдопластичной жидкости пиковые значения этих величин наибольшие. По сравнению с ньютоновской жидкостью (n=1), расхождения для псеводопластичной жидкости увеличиваются. Проанализирована возможность подавления несимметричных циркуляционных потоков, образующихся за стенозом.
Key words: Computational fluid dynamics, finite volume method, non-Newtonian fluid, Power-law model, blood flow, stenosed artery.
The problems of non-Newtonian blood flow through a stenosed artery are solved numerically using Finite Volume Method where the non-Newtonian rheology of the flowing blood is characterized by the Generalized Power-law model.
The effects of Reynolds number and stenosis severity on the flow behavior were studied. The axial velocity, pressure and wall shear stress peaks for 75% stenosis are higher than that for 25% and 50% stenosis. These peaks for the pseudoplastic model were the highest. As regards to the Newtonian fluid model (n=1), for the pseudoplastic model, one can say that there is a decrease of disturbances while for the dilatant model, one can say that there has been an increase of disturbances.
Введение
Артериальный стеноз представляет из себя одно из самых распространенных заболеваний, особенно широко распространен в западных странах: сильные стенозы приводят к параличу и инфаркту, которые относятся к главным причинам потери трудоспособности людей и смерти. Артериальные стенозы возникают из-за образования локального сужения кровеносного сосуда, вследствие отложения холестерина на стенках сосуда и разрастания соединительных биологических тканей, что приводит к образованию бляшек, которые увеличиваются внутрь сосуда и ограничивают движение крови. Вследствие чего биологические ткани сосудов получают меньше кислорода [1,2,3].
Изучение гемодинамики стенозов имеет много клинических приложений [4]. Большинство медицинских предсказаний для диагностики предотвращения инфарктов, ишемических заболеваний сердца базируются на информации об образовании значительных стенозов в кровеносных сосудах. Таким образом, современное лечение кардиологических болезней основывается на выявлении места расположения и степени осложнения потока стенозом. Степень осложнения определяется в процентах уменьшения диаметра или площади течения в выбранном кровеносном сосуде. Когда степень стеноза превышает 75%, то это считается клиническая стадия [5]. В частности, для сонной и коронарной артерии назначается хирургическое лечение, если степень стеноза больше 75%, а для главной левой коронарной артерии эта величина составляет 50% [3,6-8].
Данная работа посвящена численному моделированию ламинарного течения неньютоновской жидкости для трех различных реологических моделей в
сосудах со стенозом, что очень важно при изучении гемодинамики связанной с этим заболеванием. Особое внимание в данной работе посвящено исследованию влияния таких параметров, как число Рейнольдса Re и степень стеноза St, для течений ньютоновских и неньютоновских жидкостей; определению изменения скорости вдоль оси, давления и касательных напряжений на стенке для различных значений числа Рейнольдса.
Математическая модель Для описания движения нелинейно-вязкой несжимаемой жидкости используются уравнения сохранения количества движения и массы, записанные в размерной форме в следующем виде:
V-V = 0 (1)
- - 1 - - ~
V -Уу = —Ур + У-т (2)
Р
где V - вектор скорости, р - давление, Т - девиатор напряжения, с - плотность и У = I .
В качестве конститутивного реологического уравнения, связывающего неньютоновские напряжения с градиентом скорости, принимается модель обобщенной ньютоновской жидкости (степенная модель):
~ = Л У (3)
где У = У V + УV1, тензор деформации скоростей и Л эффективная неньютоновская вязкость.
Жидкости, для которых динамическая вязкость не является постоянной величиной, а зависит от скорости сдвига, называются нелинейно-вязкими жидкостями. В действительности, почти все физио-
логические жидкости проявляют неньютоновское поведение, и их вязкость являются функцией от скорости сдвига л = л(у) = Куп 1, а обобщенное число Рейнольдса Re определяется как р112п(2а)п
Re =
K
где и характерная скорость (определяемая как средняя скорость), а - половина ширины канала во входном сечении, К и п консистенция и показатель нень-ютоновости для степенной модели соответственно.
В данной работе течение предполагается ламинарным, несжимаемым, неньютоновским, а стенки сосудов являются твердыми стенками, на которых выполняется условие прилипания жидкости. На рис.1 показана схема течения крови в кровеносной артерии со стенозом.
Для описания формы поверхности со стенозом применяется модель Янга[9]
ух)=с
1+co^- I x-d-—
LI 2
d < x < L +d
(4)
yx = a
Upstream Flow
Fully Developed Downstream Flow
w Secondary Vortex Flow
vortex j Boundary
L
Рис. 1 - Схема течения в кровеносном сосуде со стенозом (а - радиус кровеносной артерии в той части, где нет стеноза, Ь0 - расстояние участка, где проявляется стеноз стенки сосуда, к - максимальная высота стеноза)
В качестве граничных условий задаются полностью развитое параболическое течение Пуазейля на входе и выходе, при этом выходное сечение берется на достаточно удаленном расстоянии от стеноза, для обеспечения того, чтобы выходной поток стал установившимся. На всех твердых стенках ставится граничное условие прилипания жидкости.
Численный алгоритм
Конститутивное соотношение (3) решается совместно с уравнениями (1) и (2), используя метод контрольного объема. Область течения жидкости покрывается сеткой контрольных объемов. Для каждой неизвестной переменной, определяемой в центре контрольного объема, строится свой контрольный объем. Сетка контрольных объемов остается неподвижной во все время. В данном исследовании строится прямоугольная сетка контрольных объемов. Для каждой неизвестной переменной определен свой контрольный объем. Для разных неизвестных переменных строится отдельная сетка контрольных объемов, которые разнесены по пространству и такая сетка назы-
вается разнесенной сеткой контрольных объемов. Использование разнесенной сетки контрольных объемов позволяет получить устойчивые решения для поля давления [10-12].
Результаты моделирования
Численное моделирование артериального стеноза дает возможность получения картины течения, вызванное стенозом. Оно дополняет информацию, которую можно получить с помощью экспериментальных исследований и позволяет определить влияние формы стенки, типа и характера течения на степень заболевания. Такие параметры как распределение скорости вдоль оси и падение давления очень важны для установления развития физиологических и патологических условий в артерии. Особыми характеристиками течения в пораженных стенозом сосудах является появление переходных и турбулентных режимов течения, которые рассматриваются как патологические, в отличие от нормального режима кровообращения. В кардиососуди-стых системах течение происходит при низких значениях числа Рейнольдса в ламинарном режиме. В свою очередь, в течениях со стенозом проявляются такие особенности течения, как разделение течения, вихревые зоны, сильные пограничные слои. Таким образом, наличие нескольких стенозов в кровеносном сосуде может значительно уменьшить расход крови, вследствие появления вихревых зон.
Для исследования и более глубокого понимания влияния эффекта Коанда на течение крови, артерию со стенозом можно представить в виде двумерного симметричного канала с симметричным и гладким сужением. Заметим при этом, что задача не может решаться в симметричной постановке, поскольку в этом случае в качестве граничных условий для системы исходных разрешающих уравнений должны быть поставлены условия симметрии, что в свою очередь приводит к невозможности получения информации о поведении потока жидкости, проявляющей несимметричные свойства. Другим способом проявления эффекта Коанда является увеличение скорости жидкости вблизи одной из стенок канала, что в свою очередь приводит к уменьшению давления вблизи этой стенки и повышению давления вблизи другой. Таким образом, как только устанавливается различие давлений на стенках, можно утверждать о возникновении асимметрии в течении.
В работе численно моделируется течение для Ре=50 и степенью сужения ^) равной 25%, 50% и 75% для двух реологических моделей жидкости, ньютоновской жидкости и псевдопластика. Линии тока, представленные на рис. 2 показывают влияние степени сужения на характер течения псевдопластика. Из этого рисунка видно, что когда стеноз составляет 25% вихревые зоны не образуются и даже при 50% степени стеноза появляется только маленькая циркуляционная зона. Для 75% степени стеноза циркуляционная зона является доминирующей в области течения. Видно, что увеличение степени стеноза приводит к увеличению размера вихревой зоны, а также к проявлению асимметрии в течении и
образованию второй вихревой зоны за основной циркуляционной зоной.
Рис. 2 - Линии тока для псевдопластичной жидкости (п=0.8) при Яе=50 для 81=25%; Ь) 81=50%; с) 81=75%
Если происходит физиологический рост стеноза, то это приводит к атеросклерозу, что может привести к серьезному повреждению кровеносных сосудов. Также, эта замкнутая циркуляционная зона с низкими и высокими значениями касательных напряжений, может стать источником повреждения красных кровяных телец и формированию тромбоза. Дальнейшее увеличение стеноза приводит к тому, что часть артерии должна быть заменена на искусственный клапан. В связи с этим обстоятельством необходимо принять дополнительные меры к восстановлению симметрии тока крови и существенного уменьшения размеров циркуляционных зон. На рис.3 показано влияние установки блока на оси симметрии канала на картину течения крови за местным сужением. Можно видеть, что установка блока на оси канала приводит к восстановлению симметричности потока что, по всей видимости, связано с влиянием блока на эволюцию возмущений.
a) Re=50, без блока
б) Re=50, с блоком в центре
Рис. 3 - Контуры линий тока для вязкой жидкости (п=1) при Яе=50, 81=75%
Заключение
В работе представлено изучение нелинейных эффектов при течении крови в кровеносных артериях со стенозом для двух реологических моделей: ньютоновской и псевдопластичной. Численные расчеты были проведены с помощью метода контрольного объема для разных значений числа Рейнольдса и различ-
ной степени стеноза кровеносной артерии. Расчеты показали, что при малых значениях числа Рейнольдса в потоке развиваются симметричные вихревые зоны. С ростом значения числа Рейнольдса обнаруживается явление бифуркации в виде нарушения симметрии потока. При этом на верхней и нижней стенке возникают вихревые зоны различного размера. При увеличении числа Рейнольдса асимметрия потока проявляется сильнее.
Для подавления влияния эффекта Коанда на течение крови в кровеносной системе со стенозом использована установка блока на оси канала.
Литература
1. Lloyd-Jones, D. Heart Disease and Stroke Statistics -2009 Update / R. Adams, M. Carnethon // A Report from the American Heart Association Statistics Committee and Stroke Statistics Subcommittee. Circulation. -2009. -Vol.3. -P.119.
2. Lusis, A. J. Atherosclerosis / J. Nature. -2000. -Vol.407. -P.233-241.
3. Dubini, G. Flow Dynamics through a Stenosed Vessel/ M.Sc. Thesis, Eindhoven University of Technology, Netherlands. -2009.
4. Dawson, D. L. Duplex Scanning, in Vascular Diseases / D. E. Jr Strandness // Surgical and Interventional Therapy by Strand-ness and Van Breda. -1994. -P.157-199.
5. Young, D.F. Fluid Mechanics of Arterial Stenosis / J. Bio-mech. Eng. -1979. -Vol. 101, P.157-173.
6. Chaitman, B.R. Effect of Coronary Bypass Surgery on Survival Patterns in Subsets of Patients with Left Main Coronary Artery Disease / L.D. Fisher, M. G. Bourassa, K. Davis, W.J. Rogers // Report of the Collaborative Study in Coronary Artery Surgery (CASS). Am. J. Cardiol. -1981. -Vol.48. -P.765-777.
7. Dawson, D.L. Duplex Scanning, in Vascular Diseases / D.E. Jr Strandness // Surgical and Interventional Therapy by Strandness and Van Breda. -1994. -P.157-199.
8. Yucel, E.K. Magnetic Resonance Angiography, in Vascular Diseases / Surgical and Interventional Therapy by Strandness and Van Breda. -1994. P.289-302.
9. Young, D.F. Effects of a Time-Dependent Stenosis of Flow through a Tube / J. Eng. Ind. -1968. -Vol.90. -P.248-254.
10. Long, Q. Numerical Investigation of Physiologically Realistic Pulsatile Flow through Arterial Stenosis / X.Y. Xu, K.V. Ram-narine, P. Hoskins // J. Biomech. -2001. -Vol.34. -P.1229-1242.
11. F.Kh. Tazyukov, B.A. Snigerev, K.M. Aliev, F.A. Garifullin Bifurcation Phenomena in the Flow of Non-Newtonian Fluids in a Symmetric Channel with a Suddenly Expanded and Contracted Part, 7th Annual European Rheology Conference, Conference Book: Book of Abstracts. -2011, -P.113, Suzdal.
12. F.Kh. Tazyukov, A.G. Kutuzov, G.N. Lutfullina Bifurcation Characteristics of Flow in Rectangular Sudden Expansion Channels. Высокоэффективные Технологии в Химии, Нефтехимии и Нефтепереработке. -2011. -С.185-189. г. Нижнекамск.
13. Снигерев Б.А., Тазюков Ф.Х., Кутузов А.Г., Амер Аль Ра-ваш. Течение упруговязкой жидкости со свободной поверхностью// Вестник Казан. технол. ун-та. 2007. № 1. С.86-93.
14. Мануйко Г.В., Аминова Г.А., Дьяконов Г.С., Бронск5ая В.В. Моделирование периодического процесса полимеризации бутадиена на модифицированном литиевом катализаторе с учетом изменения его активности / Вестник Казан. технол. ун-та. 2012. Т. 15, №1.С.79-86.
© Ф. Х. Тазюков - д-р техн. наук, проф. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ; 1жуи[email protected]; Х. А. Халаф - асп. той же кафедры; К. М. Алиев - асп. той же кафедры; Ф. А. Гарифуллин - д-р техн. наук, проф. каф. технология конструкционных материалов КНИТУ; Ф. Р. Карибуллина - доц. каф. КМУ КНИТУ; Р. С. Шайхет-динова - ст. препод. каф. технология конструкционных материалов КНИТУ, [email protected].
55
