CC BY
7Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Research BIB / Index Copernicus
(E)ISSN: 2181-1784 4(6), June, 2024 www.oriens.uz
TASODIFIY MIQDORLAR YIGINDISINING YUQORI TARTIBLI MOMENTLARINI XARAKTERISTIK FUNKSIYALAR METODI ORQALI
ANIQLASH
Dushatov N.T.,
Obloqulov S.Z.
Islom Karimov nomidagi Toshkent davlat texnika universiteti
Olmaliq filiali [email protected]
ANNOTATSIYA
Мацолада xarakteristik funksiyalar metodi yordamida tasodifiy miqdorlar yig'indisining к - tartibli momentini aniqlash masalasi o'rganilgan. £, £ ,...,£ bo 'gliqsiz va a parametr bilan ko 'rsatkichli qonunga bo 'ysinuvchi tasodifiy miqdorlar yig'indisining к - tartibli momenti topilgan.
Kalit so'zlar: tasodifiy miqdor, zichlik funksiya, ko'rsatkichli taqsimot, xarakteristik funksiya, к - tartibli momenti.
ABSTRACT
The problem of determining the order moment of the sum of random variables using the method of characteristic functions is studied in the article. к - order moment of the sum of independent random variables £, £,...,£ subject to the exponential law with the a parameter is found.
Key words: random variable, density function, exponential distribution, characteristic function, к - order moment.
АННОТАЦИЯ
В статье исследуется задача определения момента k-го порядка суммы случайных величин методом характеристических функций. Найден момент k-го порядка суммы независимых случайных величин £, £,...,£ , подчиняющихся экспоненциальному закону с параметром a.
Ключевые слова: случайная величина, функция плотности, показательное распределение, характеристическая функция, момент k-го порядка.
1-Tarif. [1] £- tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi deb haqiqiy t argumentning ushbu
<X)
f (t) = Meitx = J eitxdP = J eitxdF^ (x) (1
Q -да
funksiyasiga aytiladi.
Oriental Renaissance: Innovative, (E)ISSN: 2181-1784
educational, natural and social sciences 4(6), June, 2024
Research BIB / Index Copernicus www.oriens.uz
Agar q diskret taqsimotga ega bo'lsa, u holda xarakteristik funksiya
f (t) = X eitXkP(% = Xk ) = X eitxkp(xk ) (2)
tenglik orqali ifodalanadi. Agar % tasodifiy miqdor absolyut uzluksiz taqsimotga ega bo'lib, p(x) uning zichlik funksiyasi bo'lsa, u holda
œ
f (t ) = J eitxp( x)dx
bo'ladi, yani absolyut uzluksiz tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi p( x ) zichlik funksiyaning Fure almashtirishidan iborat.
1-Teorema. [1] fq(t)- \ tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi bo'lsin.
U holda
1. f(o) =1 , IfM^1;
2. Ixtiyoriy a va b o'zgarmas haqiqiy sonlar uchun fa+bq(t) = eiat fq(bt) tenglik o'rinli;
3. Ut ) = f(—1 ) = fjt );
4. Agar \ o'zoro bog'liqsiz tasodifiy miqdorlar bo'lsa, u holda
f%i(t ) = fi(t ) • hM ) ••• \ (t ) tenglik o'rinli;
5. fq (t) xarakteristik funksiya R = (—œ, œ) da tekis uzluksiz;
6. f (t) xarakteristik funksiya haqiqiy bo'lishi uchun % tasodifiy miqdorning Fq ( x) taqsimot funksiyasi simmetrik bo'lishi zarur va etarli.
ik
2-Teorema. [1] Agar E\\\ < œ bo'lsa, f(t) xarakteristik funksiya k-tartibli uzluksiz hosilaga ega bo'lib, quyidagi munosabatlar o'rinli:
œ
fP(t) = iv JxveltxdF\(x), v = 1,2,...,k, (3)
—œ
fv)(0) = iv E\v, (4)
k (jt)v
W) = X(-f E%v+ °(tk ), t ^ 0. (5)
v=0 V!
2-Ta'rif. [1] (Q, A,P) ehtimollar fazosida aniqlangan tasodifiy miqdor va k>0 biror son bo'lsin. Agar M\\k matematik kutilma mavjud bo'lsa, u holda ak = M\k
—œ
Oriental Renaissance: Innovative, (E)ISSN: 2181-1784
educational, natural and social sciences 4(6), June, 2024
Research BIB / Index Copernicus www.oriens.uz
songa | tasodifiy miqdorning k-tartibli boshlang'ich momenti, mk = M||k songa esa,
uning k-tartibli absolyut momenti deyiladi.
Agar |, Ibo'gliqsiz va a parametrli ko'rsatkichli taqsimotga bo'ysinuvchi tasodifiy miqdorlar bo'lsa, uning taqsimoti P(|< x) = 1 - e a, x > 0, i = 1,2,... [2].
Lemma. Agar |, |bo'gliqsiz va a parametr bilan ko'rsatkichli qonunga bo'ysinuvchi tasodifiy miqdorlar bo'lsa, u holda ihtiyoriy k, n = 1, 2,... uchun
e z \k n(n + 1)(n + 2)...(n + k -1)
M I + | + ... + In ) = "---P-¿
a
bo'ladi.
Isboti. Ko'rsatkichli taqsimot xarakteristik funksiyasi f (t) = a . Endi
1 a- it
Tin=I+I2 +... + | kabi belgilash kiritamiz. Asosiy masala M^nk ni topishdan iborat. (4) munosabatga ko'ra M^nk =1 f^\0) . Xarakteristik funksiyaning 1-teorema 4-punktidagi xossasiga ko'ra:
n
f„, (t)=n fj )=
/ ли ' а л
J=1 \а~ it у
Uning k-tartibli hosilasini topamiz:
fVn (t) = an (-я)(а - it)-n-1 (-i) = annl(a - it)-n-1,
f (t) = ann(-n - l)i (а - it)-n-2 (-i) = ann(n + 1)i2 (а - it)-n-2
f^) (t) = ann(n + 1)(n + 2)...(n + к - 1)ik (а - it)-n-k,
(k_ a"n(n + 1)(n + 2)...(n + к - 1)ik f_ (t) _ '
4n y ' +k
(а - it)
t=0 nuqtadagi qiymatini hisoblaymiz
(к) = n(n + 1)(n + 2)...(n + k - 1)ik J* (0) ak
Demak,
л л 1 t n(n + 1)(n + 2)...(n + k - 1)ik _n(n + 1)(n + 2)...(n + k -1)
M^n = Jj1n (0) = J--^ = ^ ■
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR (REFERENCES):
1. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука. 1984.
2. Б.А.Севостьянов, В.И.Чистяков, А.М.Зубков «Сборник задач по теории вероятностей», Москва, «Наука», 1989 г.
