Связность планарного графа с высоконадежными ребрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2012 Прикладная теория графов №3(17)

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ

УДК 519.248,519.176

СВЯЗНОСТЬ ПЛАНАРНОГО ГРАФА С ВЫСОКОНАДЁЖНЫМИ РЁБРАМИ

Г. Ш. Цициашвили, А. С. Лосев Институт прикладной математики ДВО РАН, г. Владивосток, Россия E-mail: [email protected], [email protected]

Приведены результаты вычислительных экспериментов по определению вероятности несвязности планарных графов с высоконадёжными рёбрами. Полученные результаты подтверждают теоретическую, не более чем кубическую, оценку сложности проводимых вычислений, основанных на рассмотрении двойственных графов и построении асимптотических соотношений. Приведены результаты сравнения используемого методы с методом Монте-Карло, которые свидетельствуют о существенном сокращении числа арифметических операций и времени счета.

Ключевые слова: вероятность связности, двойственный граф, минимальный разрез.

Введение

В работе [1] доказаны асимптотические формулы вычисления вероятности несвязности планарного графа с высоконадёжными рёбрами, обобщающие известную формулу Буртина — Питтеля [2]. Параметрами доказанного соотношения являются минимальное число D рёбер в разрезах и число C разрезов с D рёбрами. Рассмотрение двойственных графов [3], в которых разрезы исходного графа порождают циклы, и использование известных алгоритмов перечисления циклов в произвольных графах [4] позволили сократить количество арифметических операций и получить сложность вычисления констант D, C не более чем кубическую от числа граней графа, а в частных случаях линейную.

В настоящей работе рассмотрены отдельные случаи планарных графов с минимальным числом рёбер в разрезах D = 2, 3, 4, 5, в том числе нанотрубка, имеющая прикладное значение. Для рассмотренных графов построены двойственные графы, точно вычислены константы D, C и получены асимптотические соотношения для вероятности несвязности. На основе полученных соотношений проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие быстродействие предложенного алгоритма по сравнению с методом Монте-Карло.

1. Основные результаты

Рассмотрим неориентированный связный граф G с конечным множеством вершин U и рёбер W. Под разрезом графа понимается некоторое подмножество рёбер, после удаления которых граф перестает быть связным. Обозначим через d(L) объём разреза L (число его рёбер), D — минимальный объём разреза, C — число разрезов объёма D. Пусть ребра графа G отказывают независимо с вероятностями h.

Теорема 1. Для вероятности несвязности графа выполняется соотношение

Р - Ск °, к ^ 0.

(1)

Данная теорема 1 является обобщением известной асимптотической формулы Бур-тина— Питтеля [2] и доказана в [1].

Предположим, что граф О является планарным и каждое ребро в нём принадлежит какому-либо простому циклу. Рёбра графа разбивают плоскость на грани. Сопоставим графу О двойственный граф О*. Каждой грани г графа О соответствует вершина г* графа О*, каждому ребру ш графа О, принадлежащему граням ¿і, х2, соответствует ребро ш*, соединяющее вершины г*, г*. Нас будут интересовать разрезы минимального объёма, а значит, двойственные им циклы минимальной длины.

Обозначим т число рёбер, п — число граней (включая внешнюю) в планарном графе О. Пусть элементы а^ матрицы А определяют число рёбер, содержащихся в пересечении граней хі П Ху (і = і) графа О, ац = 0. Элементы степени А1, / > 1, матрицы А обозначим а ^ . В работе [4] получены формулы вычисления С& — числа простых циклов длины к, к = 3, 4, 5, в двойственном графе, а в работе [1] —формула для с2:

Из вышеизложенного следует, что вычисление асимптотических констант О, С произвольных планарных графов путём перехода к двойственным графам и с использованием известных алгоритмов перечисления их циклов имеет сложность не более чем кубическую, что значительно меньше, чем в прямых алгоритмах счёта. В частных случаях, когда любые две внутренние грани имеют не более одного общего ребра, сложность вычислений становится линейной. Последнее часто встречается в приложениях и имеет практическую значимость, в частности при создании и изучении различных наноматериалов, в основе которых лежат гексагональные структуры [3]. Одно из таких соединений рассмотрено далее в примере 2.

Пример 1. Приведём примеры планарных графов, минимальное число рёбер в разрезах которых О = 2, 3,4, 5. На рис. 1-4 построены графы С2, С3, С4 с О = 2, 3, 4, 5

соответственно и двойственные к ним графы С2, ^2, Сд, Сд.

Из формулы (2) нетрудно определить, что

где Сс1 имеет смысл константы С для графа С^, г = 1, 2, 3, 4. В свою очередь, из теоремы 1 следует:

Из формулы Эйлера [5] в работе [1] получены соотношения

Б ^ 5, Б = шіп(к : 2 ^ к ^ 5, ск > 0), С = со.

(2)

2. Вычислительный эксперимент

ССх = 4 СС2 = 7 ССз = 8 СС4 = 12,

Ро1 ~ 4К2, Рс2 ~ 7К3, Рс3 ~ 8К4, Рс4 ~ 12К5, К —— 0.

С1

Рис. 1. Пример графа с О = 2 и двойственный ему (25 — внешняя грань)

о2 сг

Рис. 2. Пример графа с О = 3 и двойственный ему (¿5 — внешняя грань)

Рис. 4. Пример графа с О = 5 и двойственный ему (¿20 — внешняя грань)

Сравним результаты вычисления вероятности несвязности Р по асимптотической формуле и методом Монте-Карло Р с числом реализаций 106. Положим К = 0,05,

тогда

Рс ъ 0,01, ъ 0,009982,

Ро2 ъ 0,000875, РС2 ъ 0,000821,

Р2

=С2 - 1 ъ 0,061714,

РС2

Рс3 ъ 0,00005, РС3 ъ 0,000048,

Р2

=Сз - 1 ъ 0,041667.

Рсз

В результате проведённых вычислений время счёта методом Монте-Карло составило несколько часов, а по асимптотическому соотношению — не более минуты, что подтверждает полученную теоретическую оценку о том, что вычисление констант имеет не более чем кубическую сложность. Полученные результаты несложно распространить на произвольные планарные графы с соответствующим числом рёбер в разрезах.

Пример 2. Аналогичным образом определим вероятность несвязности Р нанотрубки, которая получается склеиванием гексагональной решётки по противоположным сторонам. Данное соединение является основным элементом в различных наноструктурах и имеет прикладное значение [6].

Из формул (1), (2) следует

О = 2, С =18, Р - 18к2, к ^ 0.

Положим к = 0,005 и проведём вычислительный эксперимент, аналогичный описанному в примере 1. Имеем

В результате эксперимента подтверждена линейная оценка сложности вычисления констант О, С. В итоге время счёта вероятности несвязности нанотрубки методом Монте-Карло составило чуть более суток, что в несколько сотен раз больше, чем по асимптотическому соотношению.

Полученные формулы определения параметров планарного графа на основе построения двойственных графов существенно облегчают задачу в вычислительном плане, что подтверждается расчётами. А построение двойственного графа в обход традиционным подходам существенно уменьшает оценку сложности вычисления вероятности несвязности произвольных планарных графов и имеет не более чем кубическую

Рис. 5. Нанотрубка и её расположение на плоскости

-- --* Р

Р ъ 0,00045, Р ъ 0,00044, = - 1 ъ 0,02272.

’ ’ ’ ’ р ’

сложность. Помимо этого, в большинстве случаев переход к рассмотрению двойственных графов приводит к уменьшению обрабатываемого множества вершин, что также сокращает количество необходимых арифметических операций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Tsitsiashvili G. Sh. Complete calculation of disconnection probability in planar graphs // Reliability: Theory and Applications. 2012. V. 1(24). No. 1. P. 154-159.

2. Буртин Ю, Питтель Б. Асимптотические оценки надёжности сложных систем // Техническая кибернетика. 1972. Т. 10. №3. С. 90-96.

3. Whithney H. Nonseparable and planar graphs // Trans. American Math. Soc. 1932. V. 34. P. 39-362.

4. Harary F. and Manvel B. On the Number of Cycles in a Graph // Matematickycasopis. 1971. V. 21. No. 1. P. 55-63.

5. Прасолов В. В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. М.: МЦНМО, 2004. 352 с.

6. Золотухин И. В. Углеродные нанотрубки // Соросовский образовательный журнал. 1999. №3. С. 111-115.