Связанные состояния в суперкритических полях и обобщенная квантовая динамика Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 151, кн. 1

Физико-математические пауки

2009

УДК 539.189.1

СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ В СУПЕРКРИТИЧЕСКИХ ПОЛЯХ И ОБОБЩЕННАЯ КВАНТОВАЯ ДИНАМИКА

Р.Х. Гайпутдииов, А. А. Мутыгултта, А. С. Петрова

Аннотация

В статье рассмотрена проблема связанных состояний в суперкритических полях. Получено решение обобщенного динамического уравнения, которое определяет энергетическое распределение электронного связанного состояния 1в1/2 , погруженного в нижний континуум, с точностью до О ((^ — ZCr)/ZCr), где - полтш заряд ядра, ^сг -критический заряд.

Ключевые слова: сверхтяжелые ядра, электронные связанные состояния, нестабильный вакуум.

При столкновениях очень тяжелых ионов (например, ионов урана: U + U) с энергией, близкой к кулоновскому барьеру, и суммарным зарядом ядер Z > 173 на время 10-19с формируется молекулоподобное сверхтяжелое ядро [1]. Такие ядра называются сверхкритическими. Энергия низшего связанного электронного состояния в поле такого ядра превышает по модулю удвоенную энергию покоя электрона, то есть это состояние присоединяется к состояниям отрицательного континуума уравнения Дирака. Если рассматриваемое связанное состояние не содержало ни одного электрона, то после «погружения» оно создает дополнительную вакансию в отрицательном континууме, которая спонтанно заполняется электроном из «дираковского моря». Образовавшаяся при этом «дырка» представляет собой позитрон, который удаляется от ядра, испытывая его отталкивающий потенциал. Таким образом, связанное состояние, погруженное в отрицательный непрерывный спектр, является нестабильным и распадается с рождением электрон-позитронной пары. В отличие от стабильных связанных состояний, рассматриваемых в квантовой электродинамике (КЭД), нестабильное состояние = 0} характеризуется некоторым энергетическим распределением ai(E), а не определенной энергией, а вектор нестабильного состояния можно представить в виде [2]:

где Е) - собственный вектор оператора энергии, отвечающий значению энергии Е. Поэтому обычные методы КЭД, базирующиеся на определении собственных значений гамильтониана, непригодны для случая описания связанных состояний в поле сверхкритического ядра. Вместе с тем в работе [4] был разработан формализм обобщенной квантовой динамики (ОКД), базирующийся на наиболее общих принципах канонической и фейнмановской формулировок квантовой теории. В [5] было выведено обобщенное динамическое уравнение (ОДУ), позволяющее получить

Введение

(1)

оператор С (г), описывающий энергетическое распределение нестабильного связанного состояния. Применение методов ОКД к решению задачи о нестабильных связанных состояниях в поле сверхкритических ядер было рассмотрено в работе [6] для заряда ядра, не сильно превышающего критический. Результаты, полученные в первом порядке итерационного решения, то есть в первом порядке по малому параметру А = (^ — ^сг)/^сг, совпадают с результатами, выведенными на основе обычных методов КЭД. В данной работе мы рассмотрим решение задачи о связанА

1. Связанные состояния в ОКД

Как хорошо известно, оператор Грина С(г), связанный с оператором эволюции в шредингеровском представлении соотношением

сю

и,3(£,0) = — / d,x exp(—izt)G(z), г = х + 1у, (2)

2п ,]

— с

можно представить в виде

С(г) = Сс(г) + Сс(г)Т (г)Со(г), (3)

где

^ г — Яо'

п

|п) — собственные векторы свободного гамильтониана Я о ■ В гамильтоновой дина-

Я

= . (4)

г — Я

Это связано с тем, что оператор эволюции 0) с оператором Грина в форме (4) является решением уравнения Шредингера 0)/Л = Яи8(£, 0). При этом

соотношение (3) является определением Т-матрицы, играющей важную роль в квантовой физике. Вместе с тем, как было показано в работе [4], уравнение (3) с оператором Т(г), определенным соотношением

Т (г) = «У ¿(¿2 — ¿1)ехр(гг(£2 — ¿1)) ехр(—гЯо£2)<§'(£2, ¿1) ехр(гЯо^), (5)

где ¿1) описывает вклад в оператор эволюции V(¿2,^) в представлении взаимодействия от процесса, при котором взаимодействие начинается в момент времени ¿1 и заканчивается в момент времени ¿2> является следствием основного принципа квантовой теории. Действительно, уравнение (2) эквивалентно представлению

г ¿2

V(*2,*1) = 1 + У ¿¿2 У ^(¿2^1), (6)

¿0 ¿0

выражающему принцип суперпозиции амплитуд вероятности, заключающийся в том, что амплитуда вероятности события, которое может произойти различными альтернативными способами, есть сумма амплитуд вероятности для каждого из этих способов. То, что этот принцип выражает явление квантовой интерференции и должен использоваться как основополагающий постулат теории, было показано

Фейнманом [7]. Для использования этого постулата необходимо выбрать класс альтернатив. В формализме ОКД в качестве альтернативных способов осуществления событий, связанных с эволюцией квантовых систем, предлагается использовать процесс с определенными временами начала и конца взаимодействия в системе. При этом соответствующие амплитуды (Ф21 (¿:2, ^ 1) | Ф1) используются как основополагающие ^«строительные блоки» из которых строятся все амплитуды теории. Операторы , ¿1) удовлетворяют обобщенному динамическому уравнению [4]

¿2 ¿4

(¿2 — ¿1)£(*2,*1) = У ¿¿4 У ^(¿4 — *3№,*4)£(*3,*1). (7)

¿1 ¿1

Это уравнение позволяет определить ¿^¿2,^1) для всех ¿1 и ¿2, то есть определить оператор эволюции, если этот оператор известен для бесконечно малых времен т = = ¿2 — ¿1 взаимодействия. Основной вклад должны давать процессы, связанные с фундаментальным взаимодействием в системе. Отсюда мы имеем следующее граничное условие для уравнения (7):

£(¿2^1) ^ (8)

¿2 —►¿1

где описывает фундаментальное взаимодействие в системе. Будучи эк-

вивалентным уравнению Шредиигера в случае, когда это взаимодействие является локальным во времени, #^(¿2^1) имеет вид

ЯЩ^1) = 2«^2 — ¿1)Я/ (¿1), (9)

где Я/(¿) - гамильтониан взаимодействия. Обобщенное динамическое уравнение позволяет расширить квантовую динамику на случай нелокальных во времени взаимодействий.

Из сказанного выше следует, что соотношение (3), которое в гамильтоновой Т

ратор Т(г), который, в свою очередь, определяется соотношением (5). В случае локальных во времени взаимодействий эти два подхода приводят к одинаковым результатам. Важным является то, что определение оператора Грина в ОКД является более общим и имеет силу даже в случае, когда в теории нельзя определить гамильтониан как оператор, генерирующий динамику системы. Это, например, имеет место в КЭД: после перенормировки матрицы рассеяния расходящиеся выражения появляются в гамильтониане. Поэтому теория перенормировок КЭД не позволяет описывать временную эволюцию систем. В частности, эта проблема проявляет себя при описании связанных состояний в КЭД.

Обобщенное динамическое уравнение (7) в терминах оператора Грина принимает вид

С(^) — С(^) = (*2 — ¿1)6(^2 )С(^1). (10)

Уравнение в этой форме является очень удобным для решения проблемы связанных состояний в КЭД н позволяет естественным образом учитывать, что в общем случае в КЭД связанные состояния характеризуются не определенными энергиями, а энергетическими распределениями. В работе [5] это было продемонстрировано на примере тяжелых многозарядных ионов. При описании связанных состояний электронов в поле ядер обычно используется картина Фарри, в которой «свободный» гриновский оператор имеет вид

п г — Еп

где |Фп) и ЕП0) являются векторами и энергиями дираковского гамильтониана соответственно. Таким образом, в этой картине взаимодействие электрона с куло-новским полем ядра включается в «свободный» гриновский оператор, и проблема определения связанных состояний сводится к вычислению КЭД-поправок к Е<п°) ■ Очевидно, эти поправки обусловлены взаимодействием связанных электронов с вакуумом, например, с собственным полем излучения. Такое взаимодействие приводит к тому, что во второй части выражения (3) для оператора Грина содержатся члены, имеющие такую же структуру, как и оператор Оо(г). Поэтому их следует объединить, определив соответствующий новый «свободный» гриновский оператор Оо(г). В результате такой редукции мы имеем:

Оо(г) + Оо(г)Т (г)Оо(г) = Оо(г) + Оо(г)М (г)Со(г), (12)

где оператор М(г) описывает именно взаимодействие между частицами, а не их самодействие. Поскольку <^о(г) описывает только процессы самодействия электронов, он имеет следующую структуру [3]:

|Ф»)(Ф»1

(13)

Если связанное состояние является стабильным, то можно определить его энергию из условия г — ЕПо) — Сп(г) = 0. Однако в общем случае, когда состояние является нестабильным, оно характеризуется поведением функции Сп(г) в окрестности

т-л(о)

точки г = Еп ■

2. Результаты и их обсуждение

Для ядер с зарядом Z больше критического (Z > Zcr) естественно разделить кулоновский потенциал ядра V(Z, r) = V(Z) на две части: V(Z) = V(Zcr) + V(Z'), где Zcr - критический заряд, Z' = Z — Zcr - сверхкритический заряд. В качестве базисных векторов представления Фарри выберем собственные векторы критического дираковского гамильтониана с потенциалом равномерно заряженной сферы радиуса R0:

H (Z ) = i^(3/dx^) + m + V (Zcr), (14)

где

{—Zcr<a/r, r > Ro,

cr th (15)

—Zcra/Ro r < Ro.

Для такой модели ядра Zcr = 173 [8, 10].

Оператор Грина, который описывает эволюцию в случае, когда взаимодействие в системе сводится только к взаимодействию электронов и позитронов с ядром, описываемому потенциалом V(Zcr), и взаимодействию системы с вакуумом, то есть

нет переходов между различными связанными состояниями, имеет следующий вид:

G° (16)

где |ФПСТ)) - собственные векторы гамильтониана (14). При таком выборе свободного оператора Грина полный гриновский оператор можно записать в виде

G(z) = G0cr)(z) + G0cr) (z)M(z)G0cr) (z), (17)

где оператор M(z) описывает кулоповское взаимодействие электронов и позитронов с ядром и электромагнитным полем, исключая взаимодействие, описываемое потенциалом V(Zcr), и не включает в себя взаимодействие системы с вакуумом. Важным здесь является то, что операторы C?0cr)(z) и M(z), описывающие нестабильное состояние, несут ту же информацию, что и вектор (1). По сути функцию Грина основного |1s) состояния можно представить в виде [6]:

(Ь|сГ)(^)|Ь) = j^fdE. (18)

В отличие от стандартного подхода к описанию нестабильных состояний, задача описания нестабильного состояния в ОКД изначально сводится к нахождению его энергетического распределения C(z), а не собственных векторов какого-либо гамильтониана. Уравнения для операторов C(z) и M(z) были выведены в работе [5]:

M(zi) - M(z2) = (z2 - zi)M(z2)G0cr)(z2)GG0cr)(zi)M(zi)-

- (z2 - zi)M(z2)C?0cr)(z2)M(z2)C?0cr)(z2)C?0cr)(zi)M(zi)-

- (z2 - zi)M(z2)GG0cr)(z2)GG0cr)(zi)M(zi)G0cr)(zi)M(zi), (19)

C(zi) - C(z2) = (z2 - zi)M(z2)C?0cr)(z2)G0cr)(zi)M(zi) (20)

со следующими граничными условиями:

<^r)|M(z)|V£r)) r <^mcr)|B(z)|^ncr)) - <^mcr)|V(ZcrMcr)), n = m, (21)

| z\ —

Cn(z) ^ <^ncr)|B(z)|^icr))-<^(cr)|V (Zcr)|^icr)). (22)

\ z\ —

При малых Z' (Z' ~ 7) только основное связанное состояние |1s) присоединяется к состояниям непрерывного спектра, и нужно рассматривать лишь энергетическое распределение этого состояния. Кроме того, при малых Z' можно также пренебречь КЭД-эффектамп, такими, как поляризация вакуума и лэмбовский сдвиг, и свести все взаимодействие в системе к кулоновскому взаимодействию V(Z').

В данной задаче существует малый параметр А = Z'/Zcr, равный отношению сверхкритического заряда Z' к критическому заряду Zcr. С точностью до первого А

M (i)(z) = V (Z ') + O(A). (23)

C(z)

А2

C^2)(z) = (^icr)| C(z)|*ncr)) =

^(cr)

V(Z') ^^icr)| V(Z')G0cr) (z)V(Z') |^ncr)) + O(A2). (24)

В лидирующем порядке можно пренебречь Cn(z) то отношению к En в операторе C?0cr)(z) и представить C(S)(z) в виде [6]:

I ^dE + AEla, (25)

E<-mc2

где Ve = (1s|V(ZAEU = (1s|V(Z')|1s) и |у>^г)) _ собственные векторы критического гамильтониана, принадлежащие отрицательному непрерывному (2)

спектру. Функция C\J (z) определяет энергетическое распределение основного состояния после погружения в отрицательный континуум. Для наглядности запишем ее в виде:

C[2)(z) = F (z) - -iT/2 + AEu, (26)

где F (z) — интеграл в смысле главного значения:

F(z) = P.V. [ Г = 27г|Уе|2.

z-E

E<-mc2

Энергетическое распределение |ais(E)|2, входящее в матричный элемент (18), в этом порядке по А определяется следующим образом:

Г2

МЩ2= [E-Els-AEls-F(zW + ry4- (2?)

Тогда вектор состояния |1s) определяется выражением:

|1s) =J als(E)|^ECr)) dE, (28)

свидетельствующим о перемешивании этого связанного состояния с состояниями, принадлежащими непрерывному отрицательному спектру.

Распределение (27) является брейт-внгнеровскнм (лоренцевым) энергетическим распределением с максимумом вблизи энергии E = Eis + AEis + F (z) и шириной Г/2. Эти результаты совпадают с результатами, полученными стандартными методами [9]. Отметим, что распределение (27) выведено нами в лидирующем порядке решения обобщенного динамического уравнения.

Используя метод последовательных итераций, мы можем решить обобщенное динамическое уравнение (19) с любой точностью. Например, в следующем порядке А

M (3)(z) = V (Z ') + V (Z ')G(cr) (z)V (Z ')-

- V(Z')G(Cr)(z)V(Z')G(0cr)(z)V(Z') + O(A3). (29) Подстановка (29) в (20) приводит к разложению C1s(z) с точностью до А4:

^(z) = (1s| V (Z ')|1s) + (1s|V (Z 'Gr)(z)V (Z ')|1s) +

+ (1s|V (Z ')G(r)(z)V (Z ')G(0cr)(z)V (Z ')|1s)-- (1s|V(Zr)G(cr)(z)V(Z')G0cr)(z)V(Zr)G(cr)(z)V(Z')|1s) + O(A4), (30)

или, если снова пренебречь Cn(z) по отношению к En в операторе G(cr)(z):

C(4)(z)= c(S) (z)+

+ J -(z-E)(z-E>)-dEdE~

E,E'<-me

J dEdE' dE''x

E,E',E''<-me

(z - E)(z - E')(z - E")

+ O(A4). (31)

Это выражение; более сложное, чем (24). и оно может не совпадать с брейт-винеровским энергетическим распределением.

Заключение

Рождение электрон-иозитронных пар в сверхкритических полях было предсказано еще в [10]. Спонтанная эмиссия позитронов из области столкновения очень тяжелых ядер является экспериментальным признаком образования суперкрнтн-ческого молекулоподобного ядра, одно или несколько связанных состояний которого «погружены» в отрицательный непрерывный спектр. Изучение энергетических спектров позитронов эмиссии определение формы, ширины и распределения интенсивности спектральных линий представляет интерес не только с точки зрения фундаментальной науки, но также позволяет получить детальную информацию о ядерной реакции между очень тяжелыми ядрами, такую, как время жизни мо-лекулоиодбного сверхтяжелого ядра, расстояние между составляющими ядрами, поперечное сечение реакции и др. Для теоретического исследования спектров необходимо знание связанных состояний в поле сверхкрнтнческнх ядер. В настоящей статье эта задача была рассмотрена с точки зрения формализма ОКД. Мы получили выражение для оператора эволюции, описывающего эволюцию состояния |1s), погружающегося в континуум. Это состояние характеризуется в лидирующем порядке энергетическим распределением, описываемым амплитудой (27). Важно, что результаты, полученные в рамках ОКД, в лидирующем порядке воспроизводят результаты, полученные стандартными методами. Но при решении вопросов погружения состояний и структуры вакуума в поле супертяжелых ядер не обязательно ограничиваться решением обобщенного динамического уравнения только в лидирующем порядке: это уравнение позволяет решить данную задачу с любой точностью. Если заряд ядра существенно превышает критический заряд, в континуум опускаются следующие за 1s связанные состояния (2p, 2 s и т. д.). В этом случае уже нельзя ограничиваться лишь кулоновским взаимодействием в системе и задача сильно усложняется. В то же время у нас есть надежда, что эта задача может быть корректно описана в рамках формализма ОКД, и это откроет новые возможности для решения многих проблем электродинамики в сильных полях.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ НШ-2965.2008.2.

Summary

R.Kh. Gainuttlinov, A.A. Mutygullina, A.S. Petruva. Bound States in Supercritical Fields and the Generalized Quantum Dynamics.

The problem of the bound states in supercritical fields is investigated. A solution of the generalized dynamical equation is obtained, which determines the energy distribution of the electronic bound state 1si/2, which is imbedded in the lower continuum, up to accuracy of O ((Z — Zcr)/Zcr), where Z stays for the whole nuclear charge and ZCT is the critical charge.

Key words: superheavy nuclei, electronic bound states, unstable vacuum.

Литература

1. Müller U., Suff G., de Reus Т., Reinhardt J., Greiner W. Positrons from Supercritical Fields of Giant. Nuclear systems // Zeitschrift, für Physik A. Atoms and Nuclei. 1983. Bd. 313. S. 263 279.

2. Фок В.А., Крылов H.G. О двух основных толкованиях соотношения неопределенности для энергии и времени // ЖЭТФ. 1947. Т. 17. Р. 93 100.

3. Gainutdinuv R.Kh. The decay and energy of unstable bound states // J. Pliys. A: Math. Gen. 1989. V. 22. P. 269 286.

4. Gainutdinuv R.Kh. Nonlocal interactions and quantum dynamics // J. Pliys. A: Math. Gen. 1999. V. 32. P. 5657 5677.

5. Гайиутдииов P.X. Расщепление энергетических уровней мпогозарядпых ионов, обусловленное взаимодействием с собственным полем излучения // ЖЭТФ. 1991. Т. 100. С. 133 144.

6. Гайиутдииоа Р.Х., Мутыгуллхша A.A., Петрова A.C. Энергетические распределения электронных связанных состояний в поле сверхтяжелого ядра // Учен. зап. Казан. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2008. Т. 150, кп. 2. С. 104 111.

7. Feynman R.P. Space-time approach to non-relat.ivist.ic quantum mechanics // Rev. Mod. Pliys. 1948. V. 20. P. 367 387.

8. Greiner W., Reinhardt J. Quant.enelekt.rodynamik. Frankfurt.: Verlag Harri Deutsch. 1995. 520 S.

9. Greiner W., Müller В., Rafelski J. Quantum Electrodynamics of Strong Fields. Berlin. Heidelberg: Springer-Verlag, 1985. 594 p.

10. Зельдович Я.В., Попов B.C. Электронная структура сверхтяжелых атомов // Усп. физ. паук. 1971. Т. 105. С. 403 440.

Поступила в редакцию 27.01.09

Гайнутдинов Ренат Хамитович доктор физико-математических паук, профессор кафедры оптики и папофотопики Казанского государственного университета. E-mail: Renat.GainutdinuvOksu.ru

Мутыгуллина Айгуль Ахмадулловна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры общей физики Казанского государственного университета. E-mail: Aigul.Mutygullina Qksu.ru

Петрова Александра Сергеевна студент кафедры оптики и папофотопики Казанского государственного университета.